Statistiques, STT2700, cours 05/01

Petite précision suite au cours de ce matin: le cours du vendredi a lieu de 10.30 à 11.30 (il y avait une faute de frappe sur le plan de cours ici). Pour les billets liés au cours, il faut aller .

Côté travaux pratiques, ils commencent ce vendredi, et l’énoncé est en ligne ici (j’ai repris les exercices de la session d’automne).

Enfin, petit complément par rapport à une question posée à la fin du cours. Un élève m’avait demandé s’il ne fallait pas supposer la fonction de répartition dérivable pour définir une densité. Une variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png est continue si sa fonction de répartition http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est continue. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est par ailleurs croissante. Aussi, on peut montrer que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est dérivable presque partout. Comme le montrent Douglas S. Kurtz, Jaroslav Kurzweil et Charles Swartz dans Theories of integration: the integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock,

ou plus particulièrement, on a le résultat suivant

On retrouve le même résultat, appelé théorème de Lebesgue dans l’ouvrage de Yeh, Real analysis: theory of measure and integration

Maintenant pour associer densité et dérivée, il faut faire un peu attention (cf le commentaire ici). Maintenant, en faisant quelques raccourcis (supposer la fonction à variations finies par exemple), on a le résultat suivant. Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est supposée continue, la densité est une fonction http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone4.png qui vérifie

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone3.png

En fait, comme le montrent les théorèmes ci-dessus, cette densité est unique, sauf aux points de non dérivabilité de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png, qui sont de mesure nulle, autrement dit http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone4.png est unique presque partout. Et, pour les points où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est dérivable,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone5.png

et ailleurs… ? peu importe, en fait….
Considérons la fonction de répartition suivante, continue et dérivable partout, sauf en 0, et à variations finies.

La densité est alors, pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monontone6.png

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monotone7.png

c’est à dire 1/2 sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monontone11.png et 1/4 sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monotone12.png,

et peu importe la valeur (finie) donnée en 0: on peut définir http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monotone13.png la dérivée à droite, et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monotone15.png la dérivée à gauche, par exemple (si ces dérivées existent), de telle sorte que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monotone20.png

Bref, la densité est définie pour une loi continue (sans autre hypothèse), presque toujours. Pour aller plus loin, je renvoie ici par exemple….

 


6 thoughts on “Statistiques, STT2700, cours 05/01”

  1. Bonjour,
    je tiens tout d’abord à vous dire que j’aime beaucoup votre blog. Je me permets de laisser un commentaire même si je suis sûr de ne rien vous apprendre : la bonne façon (ou plutôt la façon habituelle) de définir l’absolu continuité c’est en parlant d’une mesure relativement à une autre (avec les ensembles de mesure nulle) et de retrouver ensuite le concept de densité par le théorème de Radon-Nykodym (preuve classique dans Rudin, preuve probabiliste dans Williams Probability with martingales par exemple) (et j’ai bien conscience que c’est hors sujet si vous vous interdisez de parler mesure mais c’était pour réagir à votre dernier commentaire).

    RÉPONSE: entièrement d’accord…. (sauf sur le fait que je n’ai rien à apprendre ! je ne cesse d’apprendre en écrivant ce blog, c’est bien pour ça que je passe autant de temps dessus). En fait je pensais faire un billet sur le changement de mesure (et dont évoquer Radon-Nykodym) un jour où je ferais un billet de valorisation financière. Mais pour remettre dans le contexte, le résultat que j’évoquais était dans une introduction de rappels de probas (de 4 heures) que j’avais prévu avant de commencer le cours de Statistique Mathématiques. Maintenant je pense que tous les références et les éclaircissements sont dans les commentaires ! Merci encore ! Et n’hésitez pas à repasser sur les billets que je vais continuer à mettre en ligne bientôt (sur la convergence de variables aléatoires, sur les liens entre moments et lois, etc).

  2. Bonsoir Christophe, et merci pour ton commentaire !

    Bon, moi qui pensais que ça serait un billet rapide pour éclairer un élève, me revoilà replongé malgré moi dans la théorie de la mesure.

    Alors j’ai l’impression que ça commence à se mordre la queue, car pour moi, c’est la définition de l’absolue continuité que d’admettre une densité: http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est absolument continue sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/abscon0.png si et seulement s’il existe une fonction http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone4.png intégrable sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/abscon0.png, au sens de Lebesgue, telle que

    http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/abscon1.png

    Et dire qu’une loi admet une densité si et seulement si elle admet une densité, ça devient tautologique. Sinon il doit être possible de définir l’absolue continuité à l’aide de la notion de variation finie (mais dans ce cas, on retombe sur la discussion précédente).

    Mais effectivement, j’aurais pu dire dès le départ que si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est absolument continue (au lieu de continue) alors la densité coïncide avec la dérivée presque partout, et toutes ces discussions n’auraient pas lieu… Maintenant, ça fait vivre le blog, non ? alors merci !

  3. et tu ne peux pas supposer que la fonction de répartition est absolument continue, c’est une condition nécessaire et suffisante non ?

  4. bonjour Pierre,
    effectivement, ton argument se tient, et tu as entièrement raison (je renvois ici pour une explication de cet escalier de Cantor)…
    toutefois je voudrais apporter une précision importante: le cours est un cours de Concepts et méthodes en statistiques, et je me suis interdit de parler de théorie de la mesure. Ça n’était pas l’objet du cours. Les livres de références sont les livres de Rice (pour l’essentiel) mais sur les rappels de probabilité, j’ai repris le début du Casella et Berger (d’où j’avais tiré ces notions de continuité et d’existence de densité).
    Le but que je m’étais fixé dans le cours est que 99% aient compris les grandes notions, j’ai l’impression que faire quelques raccourcis de ce genre permettent de mieux comprendre. Maintenant peut être qu’énoncer des théorèmes presque sûrement vrais n’est pas forcément une bonne chose…
    En tous les cas, j’ai préféré passer plus de temps à insister sur le fait que la densité peut excéder 1, et que ce n’est pas une probabilité…
    Merci en tous les cas pour le commentaire, je vais reprendre (en partie) le billet pour mettre un bémol…

  5. Bonjour,
    soit je n’ai pas compris ce que tu as dis soit tu fais une petite erreur:
    “Bref, la densité est définie pour une loi continue (sans autre hypothèse)”
    Cette affirmation est fausse, le contre exemple le plus connu est l’escalier de Cantor, c’est une fonction croissante (donc dérivable p.p) de dérivé nulle ou elle existe, comme F est non nulle elle est dérivable p.p mais F n’est pas à densité. Il faut ajouter une condition du type variation fini…

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