Probabilité et contre-intuition

Je suis tombé un peu par hasard sur un vieux papier de Peter Enis, Enis (1973), qui revient sur une relation que l’on prend toujours pour acquis (moi le premier) à savoir http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba07.gif. Mais il faut des hypothèses complémentaires pour que cette relation soit vraie. Le fait que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba09.gif existe par exemple ne suffit pas ! (je laisse les amateurs de résultats contre-intuitifs le temps de réfléchir à cette affirmation)

Supposons par exemple que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba02.gif, conditionnellement à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba03.gif, suive une loi normale centrée, d’écart-type http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba08.gif,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba06.gif

où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba03.gif est une variable (strictement) positive. Presque sûrement http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba05.gifquelle que soit la loi de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba03.gif. Et donc http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba04.gif. Mais si la loi de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba03.gif présente des queues “trop épaisses” (sans pour autant être extrême pour autant d’ailleurs), il est fort possible que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba02.gif ne soit plus intégrable ! Par exemple (c’est ce que propose Enis (1973)), on peut supposer que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba03.gif suit une loi Gamma de paramètres 1/2 et 2, i.e. de densité

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba01.gif

Dans ce cas, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba02.gif suit une loi de Cauchy, qui n’est pas d’espérance finie. C’est pénible, hein ?

Bon, d’un autre côté, c’est très lié à la définition de l’espérance conditionnelle retenue. En l’occurrence, j’utilisais l’espérance de la loi conditionnelle. Mais je ferais peut être un billet un jour sur les diverses constructions de l’espérance conditionnelle.


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