Encore une année record…

Comme l’a noté la blogosphère ces dernières heures, il semble que des records aient (encore) été battus en terme de catastrophes naturelles: “catastrophes naturelles : une année 2010 exceptionnelle” (ici) ou “2010, année record des catastrophes naturelles” (). Maintenant on peut remonter un peu dans le temps aussi: “catastrophes naturelles: 2008 bat des records” (ici) ou “2008 a battu des records de catastrophes naturelles” (), “en 2007, les catastrophes naturelles ont atteint un nombre record” (ici), “catastrophes naturelles : 2005 bat des records en matière d’intensité et de coûts” (ici) ou “les catastrophes ont entraîné une facture record en 2005” (), “déjà record, le bilan 2004 des catastrophes naturelles s’alourdit” (ici), “année 2000 : record de catastrophes naturelles” (ici) et “catastrophes naturelles : encore une année record” (en 2000, ) etc, etc.

Bon, en tant que statisticien, les rares résultats que je connaisse sur les records sont des théorèmes en log (i.e. en variation lente). Si http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record01.png est une suite de variables i.i.d. et que l’on définie les durées entre records,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/records02.png

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record03.png, avec http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record04.png. Alfred Rényi a montré que

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record08.png

alors que Marcel Neuts a montré que

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record09.png

En particulier, on note que

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record11.png

Autrement dit, plus le temps avance, plus les records doivent devenir rares.
Par exemple, regardons la simulation suivante. Considérons un processus Poissonnien homogène, http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat01.png, avec les dates des catastrophes, et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat02.png leur coût.

On note

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat04.png

le nombre annuel de catastrophes (éventuellement, on ne considère que les catastrophes dont le cout dépasse un seuil prédéfini, comme cela semble généralement être le cas).

On peut définir le processus de records,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat07.png

qui ressemble à ça

Bon, maintenant, si on a des records tous les ans (ou presque) c’est probablement que l’hypothèse i.i.d. n’était pas valide.
Supposons par exemple qu’il y ait de l’inflation, i.e. les coût sont http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat03.png.

Dans ce cas, le processus de nombre d’événements annuels est

et celui des records

Si on répète l’expérience un grand nombre de fois, le nombre moyen d’événements par année me cesse de croître (en rouge ci-dessous)

et le processus de records moyen (avec le cas i.i.d. en bleu),

Autrement dit, si l’inflation est trop importante, il est possible d’avoir régulièrement de nouveaux records.
Une autre possibilité est de supposer qu’il n’y a pas d’inflation, mais que le nombre de sinistres ne cesse de croître (ici un processus de Poisson à intensité linéaire), c’est à dire une fréquence plus importante des événements climatiques extrêmes

Le nombre annuel de catastrophes est alors

soit, si l’on considère le processus de records

Là encore, si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois, le nombre moyen de catastrophes ne cesse de croître

alors que le processus de records a la moyenne suivante

Bref, il est possible d’avoir effectivement des records presque tous les ans. Cela signifie probablement que les sinistres coûtent de plus en plus cher (hausse de la valeur à risque), mais aussi probablement que les catastrophes sont de plus en plus fréquentes. On retrouve finalement ce que je disais il y a quelques mois maintenant (ici).


4 thoughts on “Encore une année record…”

  1. Bonjour,

    Pourriez-vous mettre en ligne votre code R pour cet article ?

    Merci beaucoup !

    RÉPONSE: le code était super simple (en tous les cas dans la version de base), c’est pour ça que je ne l’avais pas mis…. Je vais essayer de retrouver ce que j’avais. Sinon j’essayerais de trouver un peu de temps pour le retaper.

  2. Bonjour,
    l’étude des records est très intéressante, deux approches de modélisation des records sont possibles :
    Une modélisation en termes de valeurs records ( exp : couts des sinsitres) ou modélisation en termes de nombre records (occurrence de l’événement, exemple : catastrophe naturelle) , les études statistiques qui ont été faites ne sont pas assez nombreuses, l’application sur R est intéressante, je vous invite, ainsi, à voir les deux références suivantes :
    – Einmahl J., Magnus J.R. (2006) : Records in athletics through extreme value theory, Tilburg University, Department of Econometrics and Operations Research, Paper Series n. 2006-83
    – Embrechts et al., 1997, Modeling Extremal Events for Insurance and Finance Springer, Berlin. p. 307

    REPONSE: merci Noureddine…. John Einmahl m’avait parlé de son papier quand il est venu à Rennes il y a quelques années… et je pensais faire travailler un étudiant sur le sujet. Le hic ici est que je n’ai pas vraiment de données: j’ai récemment eu accès à la database de Munich Re, mais ce sont plus des statistiques et des graphiques que des données (mais je continue de creuser)

  3. Arthur,

    Tu nous dis:

    “..Bon, maintenant, si on a des records tous les ans (ou presque) c’est probablement que l’hypothèse i.i.d. n’était pas valide…”

    quoi ?! je suis choque, l’hypothese i.i.d n’est pas valide, mais ou va-t’on ? Plus precisement, pourquoi sommes nous maries a cette hypothese est la question centrale ne penses-tu pas ? 🙂

    Ta reponse finale est une reponse normande mais tu n’a pas considere d’autre facteurs qui me semblent au moins aussi precieux. Qu’en est il d’une deterioration des infrastructures ? je pense en particulier a xynthia et Katrina qui toutes les deux montrent une negligence dans la construction ou le renforcement continuel des digues. Je comprend que cela ne soit qu’un billet de blog, mais je suis absoluement sur que des journalistes vont le lire et avoir leur moment de “ahah” qui les empecheroint de considerer d’autres raisons au moins aussi realiste.

    Igor.

    REPONSE: 🙂 Je suis en train de préparer mon cours de concepts fondamentaux en statistiques, qui commence demain… Et effectivement la première phrase d’un cours de statistique est “bon, à partir de maintenant, on va supposer que l’on dispose d’un échantillon i.i.d.” Et c’est effectivement un postulat central par la suite en actuariat… Au pire, en économétrie, sur des données individuelles, on suppose que s’il n’est pas i.i.d., il le sera conditionnellement à des variables explicatives, et donc en faisant des régressions, on récupère des classes à l’intérieur desquelles les observations sont i.i.d.

    Sinon pour les séries temporelles, se pose le problème de l’inflation… et on suppose qu’on peut toujours déflater pour récupérer des données i.i.d.

    Mais j’avais déjà évoqué tout ca l’an dernier je crois, ici….

  4. Bonjour,
    Très intéressant article.
    Puis-je vous demander à l’aide de quel logiciel vous effectuez vos simulations/graphiques ?

    REPONSE: sous R, comme toujours (mais exceptionnellement je n’ai pas mis le code… )

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