ACT2121, éléments de correction (2)

Un petit complément pour revenir sur un calcul fait hier, en classe, au tableau.

Une police d’assurance couvre des pertes X et Y qui sont des variables aléatoires continues fonction dont on donne la densité conjointes. Trouver l’espérance du remboursement s’il est de X + Y avec un déductible de 1.

Au tableau, je m’étais lancé dans des calculs un peu compliqué (notant que les variables étaient indépendantes, on pouvait utiliser la convolution pour trouver la loi de la somme facilement… mais on reviendra sur ce calcul plus tard). La solution la plus simple était la suivante: la loi de https://latex.codecogs.com/gif.latex?(X,Y) admet pour densité https://latex.codecogs.com/gif.latex?f_{X,Y}(x,y)=2xboldsymbol{1}_{[0,1]times[0,1]}(x,y). Le remboursement https://latex.codecogs.com/gif.latex?R est la variable aléatoire

https://latex.codecogs.com/gif.latex?R=h(X,Y)=(X+Y-1)boldsymbol{1}_{]1,+infty[}(X+Y)

On peut alors faire le calcul de
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_{mathbb{R}^2}%20h(x,y)f(x,y)dxdy
i.e.
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_0^1%20int_{1-x}^1%20[x+y-1]2x%20dy%20dx
soit
https://latex.codecogs.com/gif.latex?int_0^1%202xleft[(x-1)y+frac{y^2}{2}<br /> ight]_{1-x}^1%20dx=int_0^1%20x^3dx=frac{1}{4}
Voilà pour la version simple (et finalement assez générale). Pour la version plus compliquée
https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20f_{X,Y}(x,y)=2xboldsymbol{1}_{[0,1]times[0,1]}(x,y)=underbrace{2x%20boldsymbol{1}_{[0,1]}(x)}underbrace{%20boldsymbol{1}_{[0,1]}(y)}
autrement dit, on a obtenu que les deux composantes étaient indépendantes, et que https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20Y est uniformément distribuée sur https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20[0,1]. Aussi, pour la loi de la somme
https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20mathbb{P}(S%3Es)=int_{0}^1%20mathbb{P}(S%3Es|Y=y)f_Y(y)dy=int_{0}^1%20mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)dy
et par indépendance,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=mathbb{P}(X%3Es-y)=int_{s-y}^1%20f_X(x)dx

i.e.
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=%20int_{s-y}^1%202xboldsymbol{1}_{[0,1]}(x)%20dx=int_{max{s-y,0}}^1%202xdx
soit

https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=left[x^2<br /> ight]_{max{s-y,0}}^1=1-(max{s-y,0})^2

Aussi

https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3Es)=int_{0}^1%20big(%201-(max{s-y,0})^2%20big)dy

Première chose, on note que
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3E1)=int_{0}^1%20big(%201-(max{1-y,0})^2%20big)dy=int_{0}^1%20big(%201-(1-y)^2%20big)dy
i.e.
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3E1)=left[y+frac{(1-y)^3}{3}<br /> ight]_0^1=1+0-frac{1}{3}=frac{2}{3}
J’avais alors suggéré d’utiliser (en utilisant la propriété que pour une variable positive, l’espérance est l’intégrale de la fonction de survie) que
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_0^1%20mathbb{P}(R%3Es)ds
Or cette expression n’est valide que pour une variable strictement positive ! Or ici, il y a de forte chance (1/3) que le remboursement soit nul. Le plus simple est alors de faire des calculs classiques d’espérance. Notons que
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3E1+s)=left[y+frac{(1+s-y)^3}{3}%20<br /> ight]_0^1=1+frac{s^3}{3}-frac{(s+1)^3}{3}
donc un peu de calcul de dérivées permet d’écrire https://latex.codecogs.com/gif.latex?f_S(s)=s(2-s) pour https://latex.codecogs.com/gif.latex?sin[1,2]. On peut alors calculer l’espérance du remboursement
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_1^2(s-1)f_S(s)ds=int_1^2(s-1)s(2-s)ds
soit
https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_1^2(s^3+3s^2-2s)ds=left[frac{s^4}{4}+s^3-s^2<br /> ight]_1^2=frac{1}{4}
Youpi, avec plein de calculs, on arrive au même résultat…

Faisons un peu de simulations pour vérifier,

> n=1000000 
> set.seed(1) 
> X=sqrt(runif(n)) 
> Y=runif(n)

On peut vérifier par exemple la densité de https://latex.codecogs.com/gif.latex?S sur https://latex.codecogs.com/gif.latex?[1,2],

> u=seq(1,2,by=.01) 
> hist(X+Y,probability=TRUE,col="light blue") 
> lines(u,u*(2-u),lwd=2,col="red")

Si on regarde maintenant la prime pure, on retrouve le résultat obtenu par deux calculs différents,

> R=(X+Y-1)*(X+Y>1) 
> mean(R) 
[1] 0.2497528

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