Un petit complément pour revenir sur un calcul fait hier, en classe, au tableau.

“Une police d’assurance couvre des pertes X et Y qui sont des variables aléatoires continues fonction dont on donne la densité conjointes. Trouver l’espérance du remboursement s’il est de X + Y avec un déductible de 1.”

Au tableau, je m’étais lancé dans des calculs un peu compliqué (notant que les variables étaient indépendantes, on pouvait utiliser la convolution pour trouver la loi de la somme facilement… mais on reviendra sur ce calcul plus tard). La solution la plus simple était la suivante: la loi de admet pour densité . Le remboursement est la variable aléatoire

On peut alors faire le calcul de

autrement dit, on a obtenu que les deux composantes étaient indépendantes, et que est uniformément distribuée sur . Aussi, pour la loi de la somme

i.e.

soit

Aussi

Première chose, on note que

i.e.

J’avais alors suggéré d’utiliser (en utilisant la propriété que pour une variable positive, l’espérance est l’intégrale de la fonction de survie) que

Or cette expression n’est valide que pour une variable strictement positive ! Or ici, il y a de forte chance (1/3) que le remboursement soit nul. Le plus simple est alors de faire des calculs classiques d’espérance. Notons que

donc un peu de calcul de dérivées permet d’écrire pour . On peut alors calculer l’espérance du remboursement

soit

Youpi, avec plein de calculs, on arrive au même résultat…

Faisons un peu de simulations pour vérifier,

> n=1000000 
> set.seed(1) 
> X=sqrt(runif(n)) 
> Y=runif(n)

On peut vérifier par exemple la densité de sur ,

> u=seq(1,2,by=.01) 
> hist(X+Y,probability=TRUE,col="light blue") 
> lines(u,u*(2-u),lwd=2,col="red")

Si on regarde maintenant la prime pure, on retrouve le résultat obtenu par deux calculs différents,

> R=(X+Y-1)*(X+Y>1) 
> mean(R) 
[1] 0.2497528