Que signifie “utiliser de l’information” ?

Considérons un simple jeu de pile ou face. On suppose que l’on tombe sur pile avec une probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif (histoire de formaliser un peu). Le but du jeu est dedeviner sur quelle face la pièce va tomber: si on devine bien, on gagne, sinon on perd. Et le but de mon billet est de comprendre quelle est la stratégie qu’il convient de mettre en œuvrer si on connaît, ou si on estime http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif.

  • Connaissance parfaite des probabilités

Supposons que l’on connaisse parfaitement http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif. A priori deux stratégies sont possibles:

  • jouer au hasard, en utilisant les différentes probabilités: on prédit pile avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif et face avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-21.gif.
  • ne pas jouer au hasard, et prédire la valeur la plus probable, autrement dit si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-22.gif, on prédit pile, sinon on prédit face (à chaque lancer si on fait plusieurs lancers consécutifs).

Notons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-24.gif la variable correspondant à la valeur prise au lancer, disons 1 si on tomber sur pile et 0 sur face. Et notons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-23.gif la valeur prédite. On gagne si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-25.gif, et la probabilité de gagner est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-26.gif

i.e. pour la première stratégie

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-27.gif

En revanche pour la seconde, la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-28.gif

Graphiquement, on peut représenter en ligne la prédiction que l’on fait, et en colonne la face obtenue. En bleu, on gagne, et en rouge on perd,

Supposons que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-29.gif. Considérons le polynôme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-30.gif, dont les racines sont http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-31.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-32.gif, i.e sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-33.gif,
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-34.gif

ou encore

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-35.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-36.gif

(avec une inégalité stricte si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif est strictement inférieur à 1). Bref, il est toujoursplus intéressant de parier toujours la même chose (et de ne pas essayer de jouer au plus malin).

  • Connaissance imparfaite des probabilités

Supposons maintenant que la probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif soit inconnue, mais estimable. Autrement dit, on a assisté à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-03.gif lancers, on a un échantillon http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-01.gif et on estime la probabilité de tomber sur pile par

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-05.gif

Comme auparavant pour la première stratégie, on utilise un générateur de nombre aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-04.gif (qui tire une loi uniforme sur le segment unité), pour la prochaine valeur, on prédit

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-06.gif

Pour la seconde stratégie

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Autrement dit, si on estime que la probabilité de tomber sur pile dépasse 50%, on prédit pile, et sinon on prédit face.
On gagne si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-08.gif, et la probabilité de gagner est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-09.gif

Dans le premier cas, la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-11.gif
dont l’espérance est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-12.gif (comme auparavant). En revanche, dans le second cas, le calcul de la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-13.gif

Graphiquement, on obtient, cette fois,

Si on se place au bout de 20 lancers, on obtient la courbe rouge ci-dessous pour le cas d’information imparfaite, et verte dans le cas de l’information parfaite, pour le ratio de la probabilité de gagner avec le second cas divisé par le premier cas (nous avions vu auparavant que le ratio été inférieur à 1)

à partir du code suivant

> p=seq(.5,1,by=.01)
> q=(p^2+(1-p)^2)/(p*(1-pbinom(10,20,p))+
+ (1-p)*pbinom(10,20,p))
> plot(p,q)
  • Répétons le jeu plusieurs fois et apprentissage des probabilités

Supposons que l’on répète le jeu un certain nombre de fois, avec un apprentissage au fur et à mesure que les tirages avancent, i.e. l’algorithme s’écrit

> n=10
> p=.64
> X=sample(c("a","b"),size=100,prob=c(p,1-p),replace=TRUE)
> S1=S2=rep(NA,100)
> for(s in (n+1):100){
+ P=c(mean(X[1:(s-1)]=="a"),mean(X[1:(s-1)]=="b"))
+ S1[s]=(sample(c("a","b"),size=1,prob=P)==X[s])
+ S2[s]=(names(sort(table(X[1:s])))[2]==X[s])
+ }
> sum(S1[(n+1):100])/sum(S2[(n+1):100])

Graphiquement, si on suppose que l’on apprend sur 10 tirages (et que l’on calcule le nombre moyen de victoires sur les 90 lancers suivants), on obtient un graphique assez proche de ce que l’on avait auparavant,

I.e. comme le ratio est inférieur à 1, la seconde stratégie l’emporte toujours.
Moralité, j’ai un peu l’impression qu’il est souvent inutile d’élaborer une stratégie trop complexe, car les stratégies les plus simples permettent de gagner le plus souvent…


2 thoughts on “Que signifie “utiliser de l’information” ?”

  1. merci, et désolé d’être aussi confus. En fait, j’avais en tête des choses comme l’histoire de Joseph Jagger (ici), alias The Man Who Broke the Bank at Monte Carlo. L’histoire raconte qu’il avait observé qu’une des roulettes était biaisée, et plus particulièrement que neuf nombres (7, 8, 9, 17, 18, 19, 22, 28 et 29) sortaient plus que les autres. La légende veut qu’il ait réussi à exploiter cette information et à gagner plein d’argent. Si l’on écarte la vigilance des croupiers, je me demandais ce que signifiait “exploiter cette information“. Car la légende ne rentre pas dans les détails… En simplifiant, je me demandais s’il fallait jouer au hasard en utilisant les probabilités observées, ou s’il fallait simplement miser sur le numéro qui sort le plus (sans chercher à jouer au hasard à son tour…. je ferais d’ailleurs un nouveau billet sur la génération du hasard).

    En espérant que ça éclaircisse un peu mon billet. Avec encore toutes mes excuses.

  2. Bonjour
    j’aime beaucoup votre blog, et je suis en master de statistique, mais j’ai un peu du mal à comprendre ce que vous voulez dire avec ce billet. Je crois que je comprends les calculs, mais pas vraiment ce que vous voulez dire ?
    merci
    Thomas

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