Pour la fin du cours, on a commencé à voir la méthode dite Chain Ladder. Pour cela, rappelons que l’on dispose du jeu de données suivants, de paiements cumulés,

> source("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/bases.R")
> PAID
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372 4411 4428 4435 4456
[2,] 3367 4659 4696 4720 4730   NA
[3,] 3871 5345 5398 5420   NA   NA
[4,] 4239 5917 6020   NA   NA   NA
[5,] 4929 6794   NA   NA   NA   NA
[6,] 5217   NA   NA   NA   NA   NA
> PAID/PREMIUM
       [,1]   [,2]   [,3]   [,4]   [,5]   [,6]
[1,] 0.6989 0.9522 0.9607 0.9644 0.9660 0.9705
[2,] 0.7206 0.9972 1.0051 1.0102 1.0124     NA
[3,] 0.7960 1.0991 1.1100 1.1145     NA     NA
[4,] 0.8191 1.1433 1.1632     NA     NA     NA
[5,] 0.8688 1.1976     NA     NA     NA     NA
[6,] 0.8112     NA     NA     NA     NA     NA

si on visualise l’évolution du ratio sinistre/primes. On peut visualiser les facteurs de transition dans le tableau ci-dessous,

> PAID[,2:6]/PAID[,1:5]
[,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]
[1,] 1.362418 1.008920 1.003854 1.001581 1.004735
[2,] 1.383724 1.007942 1.005111 1.002119       NA
[3,] 1.380780 1.009916 1.004076       NA       NA
[4,] 1.395848 1.017407       NA       NA       NA
[5,] 1.378373       NA       NA       NA       NA
[6,]       NA       NA       NA       NA       NA

Toutefois, pour faire le ratio moyen, on ne fait pas la moyenne des ratios, ou alors à condition de pondérer correctement, par exemple pour passer de la première à la seconde ligne du tableau,

> k=1
> weighted.mean(x=PAID[,k+1]/PAID[,k],w=PAID[,k],na.rm=TRUE)
[1] 1.380933
> sum(PAID[1:(6-k),k+1])/sum(PAID[1:(6-k),k])
[1] 1.380933

En itérant, on récupère l’ensemble des coefficients de transition,

> lambda=rep(NA,5)
> for(k in 1:5){
+ lambda[k]=(sum(PAID[1:(6-k),k+1])/sum(PAID[1:(6-k),k]))}
> lambda
[1] 1.380933 1.011433 1.004343 1.001858 1.004735

Une fois récupérés tous les coefficients de transition, on peut compléter la partie inférieure du triangle (ou de la matrice),

> PROJECTION=PAID
> for(k in 1:5){
+ PROJECTION[((7-k):6),k+1]=PROJECTION[((7-k):6),k]*lambda[k]
+ print(PROJECTION)}
[,1]     [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411 4428 4435 4456
[2,] 3367 4659.000 4696 4720 4730   NA
[3,] 3871 5345.000 5398 5420   NA   NA
[4,] 4239 5917.000 6020   NA   NA   NA
[5,] 4929 6794.000   NA   NA   NA   NA
[6,] 5217 7204.327   NA   NA   NA   NA
[,1]     [,2]     [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428 4435 4456
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720 4730   NA
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420   NA   NA
[4,] 4239 5917.000 6020.000   NA   NA   NA
[5,] 4929 6794.000 6871.672   NA   NA   NA
[6,] 5217 7204.327 7286.691   NA   NA   NA
[,1]     [,2]     [,3]     [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428.000 4435 4456
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720.000 4730   NA
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420.000   NA   NA
[4,] 4239 5917.000 6020.000 6046.147   NA   NA
[5,] 4929 6794.000 6871.672 6901.518   NA   NA
[6,] 5217 7204.327 7286.691 7318.339   NA   NA
[,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5] [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428.000 4435.000 4456
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720.000 4730.000   NA
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420.000 5430.072   NA
[4,] 4239 5917.000 6020.000 6046.147 6057.383   NA
[5,] 4929 6794.000 6871.672 6901.518 6914.344   NA
[6,] 5217 7204.327 7286.691 7318.339 7331.939   NA
[,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]
[1,] 3209 4372.000 4411.000 4428.000 4435.000 4456.000
[2,] 3367 4659.000 4696.000 4720.000 4730.000 4752.397
[3,] 3871 5345.000 5398.000 5420.000 5430.072 5455.784
[4,] 4239 5917.000 6020.000 6046.147 6057.383 6086.065
[5,] 4929 6794.000 6871.672 6901.518 6914.344 6947.084
[6,] 5217 7204.327 7286.691 7318.339 7331.939 7366.656

où on visualise, étape par étape, le remplissage de la partie inférieure de la matrice. La dernière colonne contient des prédictions des charges ultimes, par année de survenance, et sur la diagonale, on a toujours le montant de paiements déjà effectués par année de survenance. Le montant de provision est alors la différence entre ce que l’on pense payer, et ce que l’on a déjà payé.

> PROJECTION[,6]-diag(PAID[,6:1])
[1]    0.00   22.3968   35.7838   66.0646  153.0835 2149.6564
> sum(PROJECTION[,6]-diag(PAID[,6:1]))
[1] 2426.985