Mercredi, pour le dernier cours, nous allons revenir sur l’estimation, les tests, et plus généralement sur la modélisation statistique. Pour cela, j’avais pensé travailler sur les nombres de buts marqués, par match, lors de différentes coupes du monde de soccer (1982, 1998 et 2010). Je ne mets pas l’intégralité du code aujourd’hui, l’idée est pour l’instant de mettre en ligne des données qui serviront à répondre aux questions qui seront posées mercredi. Le code (accompagné – éventuellement – d’explications théoriques) sera posté par la suite.

soccer1982=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1982")
S82=(soccer1982$V1+soccer1982$V2)
soccer1998=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1998")
S98=(soccer1998$V1+soccer1998$V2)
soccer2010=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer2010")
S10=(soccer2010$V1+soccer2010$V3)

Les boxplot associés à ces trois échantillons sont les suivants,

On va se poser des questions autour de ces données, par exemple voir s’il est vraisemblance (ou pas) que le nombre moyen de but dans un match (avant prolongation, s’il y en a eu). On peut commencé par essayer de se demander quel modèle utiliser. Classiquement, la loi de Poisson est la plus utilisée (en plus, c’est la seule loi qui est autorisée lorsqu’on publie un billet le 1er avril). Les histogrammes sont les suivants

boxplot(S82,S98,S10,col=c("red","yellow","blue"),
label=("1982","1998","2010"))
hist(S82,breaks=0:11,col="red")
hist(S98,breaks=0:11,col="yellow")
hist(S10,breaks=0:11,col="blue")

Si on compare les fonctions de répartition empiriques à celles de lois de Poisson ajustées par maximum de vraisemblance, on obtient, pour la coupe du monde de 1982

et pour celle de 2010,

Visuellement, l’ajustement semble relativement bon, surtout en 2010. On peut aussi faire un test du chi-deux,

> library(vcd)
> (GF=goodfit(S10,type="poisson"))

Observed and fitted values for poisson distribution
with parameters estimated by ML

 count observed     fitted
     0        7  6.6409703
     1       17 15.0459484
     2       13 17.0442384
     3       14 12.8719508
     4        7  7.2907534
     5        5  3.3036226
     6        0  1.2474617
     7        1  0.4037543

> summary(GF)

	 Goodness-of-fit test for poisson distribution

                      X^2 df  P(> X^2)
Likelihood Ratio 5.586765  5 0.3485255

On voit que l’on accepte l’ajustement par une loi de Poisson. Pour ceux qui veulent une visualisation, sur la figure ci-dessous, on a la densité d’une loi du chi-deux. Le premier trait vertical est la valeur observée, et l’aire jaune est alors la p-value (qui excède largement 5%). En rouge on a 5%, donc le second trait vertical est la borne de la région critique associé au test pour une erreur de première espèce valant 5%,

On peut ensuite faire plein de tests.  On suppose que . On va pouvoir tester

contre une hypothèse alternative

Comme on a une hypothèse sur la loi des observations qui semble robuste, on peut utiliser un test de type rapport de vraisemblance.
On peut aussi faire un test de la forme

contre

(histoire de tester des hypothèses simples – qui ont une interprétation). Sinon, comme ce qui nous intéresse, c’est de savoir si on a plus de trois buts par matchs, on peut définir la variable binomiale , en notant que

est une proportion – donc facile à tester – qui nous intéresse ici compte tenu du problème que l’on cherchera à résoudre. On pourra alors tester, par exemple

contre

Ces derniers tests sont alors facile à mettre en œuvre,

> Z=(S10>=3)*1
> prop.test(sum(Z),length(Z),p=1/2,alternative="less")

	1-sample proportions test with continuity correction

data:  sum(Z) out of length(Z), null probability 1/2 
X-squared = 1.2656, df = 1, p-value = 0.1303
alternative hypothesis: true p is less than 0.5 
95 percent confidence interval:
 0.0000000 0.5322764 
sample estimates:
       p 
0.421875

On peut aussi faire des tests de moyenne sur

Un test de l’hypothèse

contre une hypothèse alternative

s’écrit alors

> t.test(S10,mu=3,alternative ="less")

	One Sample t-test

data:  S10 
t = -3.7763, df = 63, p-value = 0.0001775
alternative hypothesis: true mean is less than 3 
95 percent confidence interval:
     -Inf 2.590273 
sample estimates:
mean of x 
 2.265625

Mais on l’aura l’occasion de revoir tous les points du cours, y compris aller peut être un peu plus loin, par exemple sur la comparaison de moyenne entre échantillons,

> t.test(S82,S98,var.equal=FALSE)

	Welch Two Sample t-test

data:  S82 and S98 
t = 0.427, df = 85.266, p-value = 0.6704
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 -0.5503669  0.8514658 
sample estimates:
mean of x mean of y 
 2.807692  2.657143