La formule de Bayes et les avis d’experts

Pour répondre à une question de Laurence (qui voulait que je réexplique la formule de Bayes), je voulais faire une digression par un exemple amusant, emprunté à Daniel Kahnmann et Amos Tversky. Mais tout d’abord revenons à la formule de Bayes, qui nous dit que la fonction

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est une mesure de probabilité,

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que l’on appellera probabilité conditionnelle. Avec cet outils, on peut essayer de résoudre le problème suivant

La question est alors

Daniel Kahnmann et Amos Tversky ont présenté ce problème à beaucoup d’étudiants, et comme ils le notent

Qu’en est-il ? Comme toujours, un peu de formalisme. La couleur C du taxi prend deux valeurs, Bleue (B) ou Vert (G). Quant au témoin (W), il peut être correct (C) ou parfois se tromper (F). Les informations dont on dispose sont

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(pour la couleur des taxis) et pour le fait de se tromper

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D’après la formule de Bayes

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On peut réécrire la première relation

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et en faisant pareil pour la seconde, on en déduit

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donc finalement le rapport des probabilités d’avoir un taxi bleu, ou vert, s’écrit

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Comme on sait que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/bayeees11.gif on en déduit

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On notera que malgré notre avis d’expert, la probabilité que la voiture soit bleue est toujours plus grande que la probabilité que la voiture soit verte. Même avec une faible probabilité de se tromper (15%) on ne lui accorde guère de crédit… Quel est le crédit que l’on doit accorder à un expert ? Les experts n’ont-il pas tendance à sur-estimer leurs connaissances… C’est un peu ce que je lisais dans l’article d’Eric Van den Steen, Overconfidence by Bayesian-Rational Agents [à suivre]


2 thoughts on “La formule de Bayes et les avis d’experts”

  1. Dans l’état actuel de l’énoncé, nous persistons à répondre 80 %.

    En effet, Daniel Kahnmann et Amos Tversky font l’hypothèse que la probabilité d’avoir un accident est la même pour un taxi bleu que pour un taxi vert, or cette hypothèse ne figure pas dans l’énoncé.

    Si la compagnie bleue avait décidé d’imposer des délais plus réduits à ses chauffeurs et qu’en prenant plus de risques, malgré leur nombre réduit, ceux-ci provoquaient 100 % des accidents, la question ne se poserait pas.

    L’information sur la répartition des taxis nous est apparue inexploitable, nous n’avons pas pu appliquer la règle de Bayes et avons donc répondu 80 %.

  2. Dans le même genre, il y a le fameux exercice sur le faux positif pour une maladie très rare
    http://econoclaste.org.free.fr/dotc
    en fait, on peut quand même finir par développer une espèce d’intuition non quantitative, à savoir que quand un événement est beaucoup plus improbable qu’un autre, même si un test ou un témoin certifie qu’il a lieu, son improbabilité de départ écrase tellement tout qu’il devient plus raisonnable de ne pas croire le témoin. On pourrait appliquer ça à pas mal de choses d’ailleurs (ovnis, miracles, etc…)

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