Les méchanismes bonus-malus

L’outil de base pour l’étude des systèmes bonus-malus est l’utilisation des chaînes de Markov, dès lors que l’on travaille sur des classes de bonus. Pour plus de compléments sur les chaînes de Markov, je renvoie à des vieilles notes de cours (inachevée, et sûrement remplis de coquillettes) ici.

  • Les chaînes de Markov

L’outil de base pour l’étude des systèmes bonus-malus est l’utilisation des chaînes de Markov, dès lors que l’on travaille sur des classes de bonus. Pour plus de compléments sur les chaînes de Markov, je renvoie à des vieilles notes de cours (inachevée, et sûrement remplis de coquillettes) ici.
Pour reprendre les grandes idées, on considère une suite de variables aléatoires à valeurs dans https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/calE.png, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/suiteXn.png. Cette suite est sera une chaîne de Markov si pour tout https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ngeq1.png, et pour tout

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/suitei.png

telle que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/markov-proba1.png

on ait

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/proab1.png
= https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/proab2.png

On parlera d’absence de mémoire (au sens où seule la dernière valeure intervient dans le calcul de la loi conditionnelle, et pas l’intégralité de la trajectoire). Si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/suiteXn.png est une chaîne de Markov de distribution initiale https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/lambdaV.png et de matrice de transition P, pour tout https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/nkentier.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/proba-markov-statioonnaire.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/pr135.png

Pour étudier l’évolution sur le long terme, on peut utiliser l’équation de Chapman-Kolmogorov: si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/suiteXn.png  est une chaîne de Markov de distribution initiale  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/lambdaV.png et de matrice de transition P,  pour tout
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/nkentier.png, pour tout https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zvze54v6.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chapman-kol.png

Un corrolaire important est que si

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ezjpjio.png

alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcnaoli.png

Bref, on peut facilement étudier l’évolution à long terme de la chaîne de Markov en faisant un peu de calcul matriciel, i.e. des calculs de puissances de matrices.
En fait, formellement, on peut soit étudier des matrices, soit des graphes. Par exemple,

Si on veut étudier l’évolution sur deux périodes, il suffit de calculer le carré de la matrice, i.e.

  • Les systèmes bonus-malus par classes

Les tableaux ci-dessous sont tirés des annexes de la bible de Jean Lemaire, Bonus-Malus systems in automobile insurance. Le plus simple est probablement celui de Hong Kong, qui est Markovien (à l’ordre 1),

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.BM-hong-kong-B-9_m.jpg

L’exemple ci-dessous est celui qui a existé en Allemagne dans les années 80,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.BM-germany-B-7_m.jpg

puis celui qui existait en Finlande,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.BM-finnish-B-6_m.jpg

et enfin le système italien du début des années 90,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.BM-italy-B-11_m.jpg

Pour tous ces sytèmes, une fois spécifiée la loi du nombre de sinistres par an, il est possible de construire la matrice de transition des classes de bonus sur un an, ou plus.
En particulier, l’étude de la loi invariante de ce genre de sytème (que je mentionnais en introduction) permet d’étudier la viabilité du système à plus ou moins long terme, et la vitesse de la convergence vers l’état stationnnaire.

  • Le système bonus-malus français

En France, le mécanisme de bonus-malus peut paraître un peu plus compliqué, et il fonctionne de la manière suivante.

Le calcul du bonus-malus s’ef
fectue en fonction des sinistres survenus (ou non) pendant la période de douze mois consécutifs précédant de deux mois l’échéance annuelle du contrat d’assurance.
Seuls les accidents responsables donnent lieu à malus. C’est à dire qu’en cas de foce majeur, ou si l’accident est entièrement imputable à un tiers, alors le conducteur n’aura pas de malus. Notons aussi que Le malus est rattaché au contrat d’assurance. Autrement dit, si quelqu’un cause un accident avec un véhicule assuré par un tiers, il se supportera pas le malus.
La prime de référence est la prime qui sera utilisée pour ensuite actualiser le montant de prime en tenant compte du coefficient de majoration ou minoration. Il s’agit de la prime technique calculée par l’assureur en fonction de charactéristiques a priori, comme la puissance du véhicule véhicule, la zone géographique de circulation, l’usage socioprofessionnel ou encore le kilométrage parcouru….
A partir de cette prime de référence, on calcule une prime qui tient compte de l’expérience passée, via un coefficient multiplicatif.
La valeur de référence est de 1 pour le taux de majoration-minoration. Ce taux subie une réduction – corrrespondant à un bonus – pour une année sans accident, d’un niveau de 5 %. Toutefois, la valeur du coefficient est arrêté à la deuxième décimale et arrondi par défaut. Au final, le taux prend donc un nombre fini de valeurs. Pour résumer schématiquement

1 année sans accident 100 x 0.95 = 0.95 de Bonus
2 années sans accident 0.95 x 0.95 = 0.90 de Bonus
3 années sans accident 0.90 x 0.95 = 0.85 de Bonus
4 années sans accident 0.85 x 0.95 = 0.80 de Bonus
5 années sans accident 0.80 x 0.95 = 0.76 de Bonus
6 années sans accident 0.76 x 0.95 = 0.72 de Bonus
7 années sans accident 0.72 x 0.95 = 0.68 de Bonus
8 années sans accident 0.68 x 0.95 = 0.64 de Bonus
9 années sans accident 0.64 x 0.95 = 0.60 de Bonus
10 années sans accident 0.60 x 0.95 = 0.57 de Bonus
11 années sans accident 0.57 x 0.95 = 0.54 de Bonus
12 années sans accident 0.54 x 0.95 = 0.51 de Bonus
13 années sans accident 0.51 x 0.95 = 0.48 plafonné à 0.50

La réduction maximale est donc de 0.50, soit 50% de réduction sur la prime de référence.
En revanche, chaque accident responsable donne lieu à une majoration – on palera de malus – de 25 % du coefficient par accident. Toutefois, cette majoration est réduite de moitié (12,5 %) si la responsabilité n’est que partiellement engagée.Là encore, le coefficient obtenu est arrêté à la deuxième décimale et arrondi par défaut. Aussi, avec deux accidents responsables dans l’année, le coefficient sera multiplié par un coefficient de 1,56. Afin d’éviter l’absence d’assurance, on notera qu’en aucun cas, le coefficient de réduction-majoration ne peut excéder 3,50.
Pour les jeunes conducteurs, l’article A. 335-9-1 du code des assurances prévoit que l’assureur a la possibilité de majorer la prime de référence (dans des limites fixées par la loi là encore).
Notons enfin qu’il existe des avantages pour les bons conducteurs: si un conducteur est au bonus maximal depuis au moins trois ans, il conserve son bonus après le premier accident responsable. Notons que c’est le genre de disposition qui figure dans la loi et que certains assureurs utilisent à des fins commerciales (comme le montre l’affiche ci-dessus ou ci-dessous, qui a été analysée sur le blog de Gizmo (ici)).

Il existe aussi une règle dite de descente rapide qui peut atténuer les effets des malus: après deux années consécutives sans accident, votre coefficient ne peut être supérieur à 1.
Ce qui rend le système intéressant, c’est qu’il est obligatoire, en France. Aussi, en cas de changement d’assureur, le coefficient de bonus-malus sera recalculé à partir d’un relevé d’information: l’assureur est tenu de fournir ce document à la résiliation du contrat (contenant des informations sur le conducteur et le véhicule, ainsi que le nombre des sinistres survenus au cours des cinq années précédant l’établissement du relevé d’information, ainsi que leur nature et la part de responsabilité retenue)
Davantage d’information se trouve ici, (ce document propose d’ailleurs une petite simulation à la fin sur le coût d’un accident) ou encore (pour une approche plus actuarielle), voire (pour une approche plus économique).

Primes, joker et mathématiques financières

Lors du dîner de gala des JEEA jeudi soir, Mohamed m’a posé une question intéressante, et je lui ai promis un billet (ou plutôt deux car son problème est compliqué, et je ne connais la solution qu’à une version simple). Le problème est le suivant: un gros assureur à trois lettres souhaite encourager les agents commerciaux par une prime. On leur donne un joker, et durant une période d’un mois, ils concluent des affaires nouvelles. Ils ont la possibilité de toucher une fois (et un seule) une prime (en utilisant leur joker) qui sera proportionnelle au montant de l’affaire signée. Quelle est la stratégie optimale pour utiliser leur joker ?. Une question plus courte pour résumer cette optimalité: le deuxième jour, un gros contrat (aux yeux du vendeur) est signé: faut-il utiliser son joker ou vaut-il mieux attendre un peu ? Bon, le vrai problème est qu’ils ont 5 jokers, et qu’ils peuvent les utiliser en une seule fois, ou en plusieurs…. Avant de réfléchir à cette histoire de 5 jokers, regardons un peu avec un….

  • Formalisation du problème…

Faisons quelques hypothèses forcément simplificatrices… On suppose que chaque jour, un contrat est signé, et que les montant des contrats sont indépendants et identiquement distribués (on ne fait pas de plus gros deal en début de mois). Soit le montant de la prime associée à la kième affaire (si on utilisait le joker). Il faut alors arbitrer, chaque jour k, entre

  • toucher 
  • ne pas toucher la prime, et espérer que l’on touchera davantage plus tard.

Notons la valeur du joker à la date k. Alors

Aussi

soit

On sait aussi que (le dernier jour, si on a le joker, on l’utilise). Autrement dit, on devrait  y arriver par induction backward… Et la résolution dépend de la loi des montants des affaires.

  • si F est uniforme sur [0,100]

Dans ce cas, l’équation se simplifie. Si ,

et

soit

On peut visualiser cette fonction sur le graphique suivant, en fonction du temps

Autrement dit, on se fixe une stratégie a priori, et on s’y tient ! Sur la simulation suivant, on utilise son joker dès le 4ème jour,

Bon, je suis nul en calculs, mais en faisant du monte carlo, on en déduit la loi de la date optimale d’exercice,

ainsi que le gain espéré (ce qui permettra à Mohamed de se couvrir).

Notons que l’espérance de la date d’exercice est environ le 12ème jour, et le montant moyen est de 95 (contre 50 en exerçant le dernier jour).

  • si on change de loi, une loi exponentielle ?

Je pense qu’on peut faire des calculs fermés…. mais je suis un peu paresseux…. on obtient la courbe suivante

La distribution de la date optimale donne

et pour le montant empoché

Dans ce cas, on exerce en moyenne au bout de 17 jours, pour un gain moyen de 174.

  • L’exercice d’options américaines

Damned, mais tout ça correspond au problème de valorisation des options américaines (ou plutôt Bermudéennes car le temps est discret). Les options dites bermudéennes peuvent être exercée à un ensemble prédéterminé de dates

L’idée de la valorisation est simple: à chaque date, le détenteur de l’option a en effet de choix,

  • exercer son option et en retirer un payoff 
  • conserver son option, de telle sorte que son option vaut  en 

Si on note  le facteur d’actualisation entre les dates  et , on en déduit que la valeur en  de l’option peut s’écrire

est la filtration naturelle, et  est une probabilité risque neutre, sous laquelle la valeur actualisée de l’actif est une martingale, i.e.

Je renvoie à mes notes de cours de méthodes numériques en finance (ici) mais en utilisant les arbres binomiaux, on peut valoriser un put américain, par exemple,

JEEA, première journée

Les Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance (ou les “premières” journées pour reprendre un lapsus qui décidément aura marqué) ont commencé ce matin. Cette première journée comptait un peu moins d’une centaine de participants. Je mettrais en ligne les slides des exposés sur le site des JEEA (http://jeea.univ-rennes1.fr/)

La suite demain matin, toujours Amphi 2, à la faculté de Sciences Eco…

Quand faut-il acheter son billet d’avion ?

Lors de l’organisation des JEEA (ici), la principale incertitude était non pas le nombre de participants (qui n’a cessé d’augmenter jusqu’à ce qu’on se décide à clôturer, et finalement les prévisions faites il y a un mois, lorsque l’on a contacté les traiteurs pour les plateaux repas du midi se sont avérées très précises), mais les remboursements de frais de transports1.

Pour laisser toute souplesse aux intervenants, je leur avais laissé acheter eux-même leurs billets pour venir sur Rennes, sans aucune précision sur le mode de transport. Pour le train, les prix sont assez stables, mais j’avais très peur pour les personnes qui venaient en avion, qu’elles s’y soient prises trop tôt, ou trop tard et que le prix soit très élevé. Bref, comme à chaque fois que je dois acheter un billet d’avion, je me pose la même question: “existe-t-il une date optimale pour acheter ton billet d’avion en ligne ?”.

  • Une petite étude sur 6000 vols (domestiques) américains

Benny Mantin a fait une étude semblable, en regardant sur la période de 3 mois précédant le départ (ou 90 jours pour être précis) un millier de vols (au sens origine-destination), chaque vol étant considéré à 6 dates différentes (6 mercredis consécutifs).
Par exemple pour un vol. ABQ-BOS (Albuquerque-Boston), on a les six évolutions de prix suivantes,

(on peut visualiser une prédiction par régression locale, en rouge). Si l’on prend comme prix de départ comme référence (base 100), on observe les évolutions suivantes sur les 200 premiers vols,

Vu de loin, on semble observer une réelle tendance avec un optimum à 30 jours du départ. Si on change la fenêtre de la régression locale, on obtient des résultats assez similaires,

pour un lissage beaucoup plus fin,

  • Quelle est alors la date optimale ?

On peut d’ailleurs regarder la distribution de la date optimale de départ (sur la régression lowess). On note que la date optimale semble être 1 mois avant le départ,

Si on prend une fenêtre de lissage beaucoup plus fine, on observe la distribution suivante pour la date où le minimum est atteint,

Si on regarde quand est obtenu le minimum sur la base brute (ou plutôt le moment où est atteint le minimum pour la première fois, car le prix est parfois constant deux jours consécutifs), et non pas sur les données lissées, on obtient la distribution suivante,

Si on fait la même chose sur le moment où le minimum est atteint pour la dernière fois, on a

Ces deux graphiques sont beaucoup plus difficile à lire, car les données brutes sont beaucoup plus ératiques que la prédiction par régression locale.

  • Quid de la volatilité des prix ?

Bon, c’est bien tout de voir qu’il est optimal d’attendre un mois avant le départ pour avoir un prix en moyenne plus bas. Mais c’est aussi la période où les prix sont les plus volatiles…. Par exemple sur le premier vol que nous avons étudié, si on normalise le prix en base 100 (comme dans la  partie précédante) on obtient une volatilité de la forme suivante, qui augmente au fur et à mesure que l’on se rapproche de la date de départ.

Pour une personne qui ne cherche pas le meilleur prix en moyenne, mais qui cherche à éviter que le prix soit trop élevé, on peut regarder par exemple une régression quantile. La courbe en rouge ici présente le quantile à 90% du prix du billet d’avion.

Comme précédement, on peut chercher la date optimale pour que le prix – en tant que quantile et pas en tant que prix moyen – soit le plus bas possible,

Notons que l’on a chercher une régression quantile sous une forme polynomiale (ici un polynôme de degré 5). Si on utilise un polynôme de degré plus faible (par exemple 4), la distribution du maximum – sur la courbe lissée – change un peu, mais finalement pas tant que ça….

Ce qui  confirmerait la robustesse de nos conclusions…

  • est-il pertinant de commander ses billets depuis le bureau ?

Un dernier point avant de cloturer ce billet. Sur les graphiques suivant, on s’intéresse aux variations du prix du billet d’avion d’un jour sur l’autre (aux log-rendements). On s’intéresse là encore au premier vol, ABQ-BOS, avec les zones bleues correspondant aux week-end,

La courbe en rouge est une régression locale afin de visualiser une éventuelle tendance, avec un voisinage fin afin de prendre en compte les cycles hebdomadaires. Ce qui est intéressant, c’est que les plus grandes variations ont lieu en dehors des week-end, avec en particulier des baisses de prix en début de semaines, et de hausse de prix juste avant les week-end,

Afin de mieux visualiser ces centaines de courbes brutalement superposées, on  peut plutôt superposer les tendances lissées,

Cette impression d’avoir des baisses les lundi et des hausses le vendredi est confirmé sur ce graphique. On peut aussi regarder brutalement la moyenne des log-rendement en fonction du jour,

On peut aussi étudier la volatilité brute, en chacun des jours,

On note que les prix sont relativement calmes le week end, et que généralement, ils ont tendance à baisser le lundi…. moralité, mieux vaut attendre de revenir au bureau pour commander son billet… Bon bien sûr, il faut habiter aux Etats-Unis….
1 un parti pris était de faire une conférence gratuite, en fournissant des repas le midi pour tous les participants. En contrepartie, la conférence avait obtenu des subventions de la chaire AXA grands risques, et de différentes entités locales (ville de Rennes, Rennes métropoles, conseils général et régional). Mais nous ne souhaitions pas trop solliciter le CREM (le labo de la faculté de sciences économiques). Bref, nous avions une limite dans notre budget, et avec une centaine de participants, nous ignorions réellement quelle souplesse nous avions….

… et d’où sort le modèle probit ?

Histoire de poursuivre le billet sur la régression logistique (ou logit, ici), je continue avec la régression probit. Chester Bliss (papier de 1934 en ligne ici) travaillait, en tant que biologiste, sur la conception de pesticides. Au lieu de travailler (comme habituellement) sur le pourcentage de nuisibles détruits, mais sur une grandeur qu’il a appelé “probability unit“, soit “prob…it“, qu’il condensa en probit. De manière arbitraire, un pourcentage de tués valant 0,0001 correspondait à une probit nulle, et un pourcentage de 0,9999 à une probit de 10.
Il avait d’ailleurs proposé une table de correspondance, permettant de passer du pourcentage au probit. Il proposait alors de relier le probit au logarithme de la dose de pesticides produits, ce qui devait aboutir – dû moins l’espérait-il – à une ligne droite. Il appela ce modèle un modèle probit.
David Finney ( pour un article rétrospectif) a poursuivi cette idée, toujours dans le domaine toxicologique. Dans son livre de 1952, on retrouve une table de convertion associée à cette grandeur introduite par Bliss

Mais pour aller plus loin, il faut remonter à un papier publié par Finney et Stevens en 1948, où ils eurent la bonne idée de renormer les grandeurs de Bliss en translatant tout de 5, autrement dit un pourcentage quasi-nul (0,0001) correspondait à une probit de -5, et un pourcentage de 0,9999 à une probit de 5. Aussi la probit de 0 correspondait au cas où le pourcentage valait 1/2. Ils notent ainsi que la probit Y associée à une proportion P est la grandeur qui vérifie

Voilà pour la petite histoire…

De l’uniformité des tirages du loto

J’ai abordé à plusieurs reprises les tirages du loto (ici ou ), en mentionnant par exemple que Slutsky avait proposé les utiliser comme générateurs de nombres aléatoires. Or je suis tombé un peu par hasard l’autre jour sur un rapport – qui date un peu, certes – expliquant que la loterie britannique était biaisée, la boule 37 tombant (selon ledit rapport) un peu trop souvent.
On retrouve le même genre de remarque sur le loto français, où certains trouvent surprenant que certains numéros soient sortis plus souvent que d’autres…. Certains notent – sans rire – que le fait que la boule 7 soit sorti 722 fois sur 4858 tirages confirme le pouvoir magique de ce chiffre (en moyenne, une boule n’est sortie que 694 fois). Je laisse les amateurs de pratiques ésotériques s’amuser avec la base qui est téléchargeable ici (on pourra noter que les multiples de 5 apparaissent aussi plus souvent que la moyenne).

  • De la normalité des tirages

Mais je m’égare. Le but était de voir si, sur les tirages du loto en France, certaines boules sortaient éventuellement tropsouvent. Si on prend la base et que l’on regarde les statistiques d’ordre, on obtient le graphique suivant

En l’occurrence, la boule qui est le plus sortie est sortie 745 fois (il s’agit du 34), et celle qui est le moins sortie est sortie 652 fois (le 29). Cette répartition me rappelant la  fonction quantile de la loi normale, j’ai décidé de la représenter aussi sur le graphique. Intuitivement, quand on tire des boules dans une urne (avec remise), on s’attend à trouver un loi binomiale, qui s’approche d’une loi normale quand le nombre de tirages est grand. Avec près de 5000 tirages, on pourrait penser que l’approximation asymptotique ne serait pas absurde.
Mais si l’ajustement n’est pas mauvais pour les boules les plus sorties, on voit qu’il est assez mauvais pour les boules les moins sorties….La première explication à laquelle j’ai pensée est que mon approximation est valide si l’on fait des tirages avec remise. Or formellement, entre chaque tirage, on remet bien toutes les boules dans l’urne, mais à l’intérieur d’un tirage, les tirages se font sans remise (ce qui fait qu’une boule ne peut sortir qu’un fois par tirage). Bref, ceci pourrait expliquer la non-normalité…

  • Le latin cube

Ceci m’a fait pensé à l’idée du latin hypercube, qui est souvent utilisé pour rendre “plus uniforme” les tirages avec des lois de Monte Carlo.
Les figures ci-dessous montrent des simulations de Monte Carlo classiques à gauche, et avec une partition avec 10 tirages uniformes dans 100 carrés, à droite.

C’est l’idée du latin hypercube… Les figures ci-dessous correspondent à des estimations nonparamétriques des densités par des noyaux betas, avec le même paramètre de lissage (pouvant être interprété comme une fenêtre),

Autrement dit, l’utilisation de la méthode latin hyperbube permet d’avoir des choses beaucoup plus uniformes…
C’est finalement la même chose que l’on a ici. Mais ceci fait qu’on devrait être de variance plus faible, mais cela n’explique pas l’asymétrie que l’on observe. Car effectivement, si l’on calcul la skewness (moment centré réduit d’ordre 3), on obtient 0,1928.

  • Faisons un peu de simulations

Afin de voir s’il y avait un soucis, la méthode la plus simple consiste à faire du Monte Carlo. Et afin de valider cette histoire de latin cube, deux techniques ont été considérée ici,

  • tirer 34000 boules (avec remise) parmi {1,2,….,49}, ce qui doit se rapprocher de la normalité,
  • tirer 7 boules (sans remise) parmi {1,2,….,49}, et répéter 4858 fois cette opération, ce qui correspond à un vrai tirage du loto.

En faisant 10000 tirage de ces 4858 tirages du loto, on obtient les résultats suivants, résumés par les valeurs moyenne en trait plein, et les quantiles à 5% et 95% en trait pointillé. Les traits verts sont la simulation de vrais tirages, et les traits mauves correspondent à la version avec remise. On peut noter que la courbe verte présente moins de variance que la courbe mauve, ce qui semble confirmer ce que je racontais dans le paragraphe précédant,

Bref, on note que les boules qui sont peu sorties sont finalement trop sorties par rapport à ce qu’aurait du donné des tirages indépendants. Mais ceci ne prouve rien, si ce n’est que c’est statistiquement surprenant….

Représentation de l’équilibre de Stackelberg

On considère deux entreprises avec des fonctions de coût

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ergzeh57645.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zev654+54h6.png

La demande total des consommateurs se traduit par une fonction de
demande inverse

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/5z46gh546.png où  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/v6e8z4684.png.

Bref, le profit de l’entreprise 1 est alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rzh68464hb65zr46.png

soit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ezg6546546.png

et on a une expression similaire pour l’entreprise 2. La courbe d’isoprofit pour l’entreprise 1 est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze3v5ez4v654ze6v.png

Si on recherche l’équilibre de Cournot, chaque entreprise va essayer de maximiser son profit, i.e. pour l’entreprise 1, on cherche

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ez6f87468z4.png

La condition du premier ordre donne

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zg4z654g6.png

soit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/g64er65g46er54g6er54g6er54g6.png

On parle alors de fonction de réaction. Pareil, on obtient

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze4686z8v7ze68v76z85v.png

en maximisant le profit de l’entreprise 2. L’équilibre de Cournot est le point d’intersection des deux fonctions de réaction, mais on peut aussi y voir une recherche de point fixe, i.e. on veut que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/e+b5er46b54e6r.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zev4z6e54v632.png

Bref, en l’occurence, le point d’équilibre est obtenu en résolvant

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/68e4rg9684er68g4er.png

(avec une équation similaire en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/y2.png).
Pour l’équilibre de Stackelberg, on suppose par exemple que la firme 1 domine l’autre: elle va chercher à maximiser son profit en supposant que l’autre prenne une décision suivant sa fonction de réaction.Elle va donc chercher

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z4vze541v3213.png

L’interprétation graphique est la suivante. Traçons les courbes d’isoprofit de l’entreprise 1 (en vert), soit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze3v5ez4v654ze6v.png

L’équilibbre est forcément sur la fonction de réponse de l’entreprise 2, c’est à dire la courbe rouge. L’aire jaune signifie qu’il est possible d’améliorer le profit de l’entreprise 1 (plus la courbe verte est base, plus grand est le profit). La courbe orange est alors l’ensemble des points accessibles par 1, qui correspondent à une réponse de 2. Aussi, l’équilibre se Stackelberg (le point mauvesur le graphique ci-dessous) appartient à cette courbe. Il suffit de trouver le point correspondant au profil maximal de l’entreprise 1 (ce que l’on voit lorsque les courbe verte se déplacent vers le bas).

Aussi, l’équilibre de Stackelberg est obtenu en cherchant le point de tangence entre une courbe d’isoprofit de la firme 1 (c’est le programme de la première firme qui veut maximiser son profit) et la courbe de réponse (l’entreprise 2 se contenant de répondre à la production de l’entreprise dominante).

Mais qui connaît la loi logistique ?

Certains élèves ont pris peur en voyant apparaitre la loi logisitque dans le cours d’économétrie des variables qualitatives, car autant j’avais passé pas mal de temps lors des remises à niveau sur la loi normale, la loi de Student, la loi de Poisson…. jamais je n’avais présenté la loi logistiquue.. Mais qui connaît la loi logisitique ?

  • La loi logistique (en tant que loi)

En maths, on a introduit très tôt les fonctions de la forme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zevzev.png

où K et r sont des réels positifs et a un réel quelconque, qui sont ce que l’on appelle les solutions (en temps continu) du modèle de Verhulst.

C’est Pierre François Verhulst qui a donné le nom de “courbe logistique“, en expliquant, en 1845  « nous donnerons le terme de logistique à cette courbe ». Comme toujours, il faut revenir aux racines étymologique, en notant que  « logistique » a même racine que logarithme, et que logistikos signifie “calcul” en grec (on peut retrouver plus d’information ici , ou encore ).

Ces fonctions ont été introduites par Pierre François Verhulst, qui était un élève d’Adolphe Quetelet, et qui dévait étudier un modèle d’évolution de population qui ne soit pas exponentielle. Cette courbe a été utilisée dans l’étude des populations à partir des années 20 par Raymond Pearl et Lowell Jacob Reed, mais qui ne créditent Verhulst de la paternité de la découverte qu’en 1922. En revanche, on ne retrouve le terme de “logistique” qu’en 1924 dans une correspondance entre George Yule et Reed. On notera que c’est Joseph Berkson qui défendra l’idée d’ajuster certaines courbes par une fonction logistique (modèle logit) plutôt que par la fonction de répartition de la loi de Gauss (modèle probit, introduit par Bliss en 1934, mais c’est une autre histoire que je raconterais sûrement un jour….).

En dynamique des populations, le modèle de Verhulst est un modèle de croissance proposé vers 1840. Pour reprendre l’explication de wikipedia sur le sujet (inspiré de plusieurs ouvrages sur le sujet dont de Handbook on logisitic distribution) Verhulst a proposé ce modèle en réponse au modèle de Malthus qui proposait un taux d’accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la population. Le modèle de Verhulst imagine que le taux de natalité et le taux de mortalité sont des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente.

On appelle y la taille de la population, m(y) le taux de mortalité et n(y) le taux de natalité. La taille de la population suit l’équation différentielle

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/585468azdf.png

Si m et n sont des fonction affines respectivement croissante et décroissante (ce qui une hypothèse un peu forte, mais qui a longtemps été utilisée comme on l’avait vu en cours d’actuariat en M1) alors n – m est une fonction affine décroissante. L’équation peut s’écrire

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/325365ze4v.png

avec a et b deux réels positifs, si la croissance est positive quand y est proche de 0. En posant K=a/b, l’équation devient

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/36854z6e5v46z.png

avec a > 0 et K > 0 . Aussi, histoire de formaliser, on recherche des fonctions strictement positives définies sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/r+.png et vérifiant le système https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/5za365c4a.png et

 https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/54za6cf8.png

ce qui conduit à la solution dite logistique
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/az4c65.png
  • La cote au lieu de la probabilité

Bref, voilà pour la loi…. mais comment voit-on apparaître cette loi en économétrie ? Pour rappel, on cherche à modéliser la probabilité de survenant d’un évènement. Mais il existe d’autre outils que la probabilité en tant que telle. En particulier, la cote d’un évènement – ou odds in favor of an event” – est la quantité

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/pipipiphn.png

où p est la probabilité de réalisation de cet évènement.
Cette grandeur est bien connue par les turfistes…. Bon, dans ce cadre (les paris), cette probabilité n’a rien d’une probabilité historique, mais il s’agit plutôt d’une probabilité risque neutre comme on dit en finance: il s’agit de la probabilité extraite des prix. Considérons un exemple simple (où on ne mise que sur le vainqueur)

  • Le parieur A mise 10 € sur le cheval numéro 1.
  • Le parieur B mise 5 € sur le cheval numéro 2.
  • Le parieur C mise 20 € sur le cheval numéro 3.
  • Le parieur D mise 15 € sur le cheval numéro 4.

On suppose que les sommes misées reflètent les croyances des joueurs (qui ont tous la même aversion pour le risques). Autrement dit, les joueurs pensent que le cheval 1 a deux fois plus de chances de gagner que le cheval 2. Bref, La cote d’un cheval est obtenue en divisant la somme des enjeux joués sur les autres chevaux par la somme des enjeux joués sur le cheval choisi (ou l’inverse, ça dépend de

la manière dont on souhaite le présenter), soit ici

  • Pour le cheval 1, une cote de [5+20+15]/10=4 (on dira 4 contre 1)
  • Pour
    le cheval 2, une cote de [10+20+15]/5=9 (on dira 9 contre 1)
  • Pour le cheval 3, une cote de [10+5+15]/20=3/2 (on dira 1.5 contre 1)
  • Pour le cheval 4, une cote de [10+5+20]/15=7/3

Ca existe également en football (comme en témoigne le ticket ci-contre où figurent les cotes). Bref, cette cote est une manière très naturelle de parler de probabilité. L’énorme avantage est qu’une probabilité est définie sur [0,1] alors qu’une cote peut prendre n’importe quelle valeur positive.

  • La régression logistique

On souhaite donc modéliser la cote à l’aide de variables explicatives. Mais comme le score peut être négative, il est assez “naturel” de prendre le logarithme (comme pour la régression Poissonnienne par exemple). Aussi, on peut comprendre l’écriture de la forme suivante

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ojker%c3%b4bvjk%c3%b4.png

ou encore

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/hopvezuiogvp.png

Or la fonction qui apparaît à gauche est la fonction quantile de la loi logistique. Quod erat demonstrandi…

  • Un cas particulier de GLM

La transformation logistique apparaît très naturelle quand on utilise les GLM (modèles linéaires généralisés). En effet, il faut que la loi s’écrive sous la forme exponentielle
(comme j’en avais parlé ici ou , par exemple). Pour reprendre les notations du cours d’actuariat 2, il faut écrire la loi binomiale

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/khpok%c3%b9ikh%c3%b9.png

sous la forme^

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ezv65465.png

soit ici (on n’a pas de paramètre de surdispersion)

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/6ze54c65.png

En notant que la loi binomiale se réécrit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/azcac6ea46.png

ou encore

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/6c48ze684fg.png

On en déduit que le paramètre naturel est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zegzgh8796h8.png

et que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/az6f54ea68g54.png

(moyennant un peu de réécriture). Bref, on note une relation naturelle (on parlera de fonction de lien canonique) de la forme entre le paramètre usuel de la loi binomiale et le paramètre dit naturel de la loi exponentielle,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zegzgh8796h8.png

ou encore

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zevzg7h9.png

La fonction de répartition logistique apparaît là encore presque par enchantemant…. enfin, presque…

Optimum de Pareto

Les exercices de la PC8 sont en ligne ici et (merci à Yukio pour la dernière feuille), et ceux de la PC9 ici.

  • Définition de l’optimalité au sens de Pareto

Tout d’abord, pour la petite histoire, Wilfredo Pareto (1848-1923) a pris la suite de Walras à la chaire d’économie politique à l’Université de Lausanne quand celui-ci est parti à la retraite. C’est dans son « Manuel d’économie politique » que se trouve son apport décisif sur l’optimum économique. D’abord, en passant de l’hypothèse walrasienne de cardinalité à celle d’ordinalité des préférences et de l’utilité, ce qui l’amène à privilégier la notion de courbes d’indifférence qu’il emprunte aux travaux d’Edgeworth. Ensuite, et surtout, il va introduire un critère de définition de l’optimum économique.
Le critère d’optimalité paretienne est proche de la conception utilitariste de la justice sociale héritée de John Bentham (et donc dans l’individualisme): une allocation Pareto-optimale est nécessairement « individuellement rationnelle » en ce sens que chaque agent la préfère à sa dotation initiale. Or, une allocation individuellement rationnelle n’est pas toujours « équitable » en ce sens qu’un agent au moins peut avoir envie d’une allocation obtenue par un autre agent. Pour dépasser les limites du critère paretien, d’autres conceptions de l’équité que l’utilitarisme ont été introduite, que ce soit la conception libertarienne (avec von Mises, Hayek et Nozick) ou la conception libérale-égalitaire (avec en particulier Rawls et Sen). Pour reprendre la terminologie de Gérard Debreu (1966) un optimum est  « un état réalisable auquel n’est préféré aucun état réalisable ». Connaissant (décrétant) l’optimum , le marché doit déterminer l’équilibre général correspondant. Elle doit donc trouver les prix relatifs “fictifs” ou “prix ombres” comme certains les ont appelés.
D’un point de vue quantitatif, l’utilité d’un individu X doit être est maximale sous contrainte que celle de Y doit rester supérieure à un niveau donné. Supposons que les deux consommateurs consomment deux biens, notés (1) et (2),

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ipjpoihezc.png

sous contraintes

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/efzef.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zacafgzegr.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zceczeczeczergrher.png

où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zefgrhtjhjht.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zenklkn.png désignent les quantités des deux biens qui sont disponibles, respectivement. Classiquement, on résout ce programme d’optimisation à l’aide du lagrangien

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rtrnnreverj.png

les conditions du premier ordre donnent

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/erhjjjrt-jk.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zeghzhr.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zehrejherj.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rherjetjkrtk.png

On en déduit alors simple que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zegbhzrbn.png

ce qui correspond à une égalité des TMS à l’équilibre.
Formellement, on retombe sur des équations semblables en considérant le programme d’optimisation suivant

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ippipiyout.png

Le point optimal est obtenu à l’aide du diagramme d’Edgeworth (je peux renvoyer ici pour des slides d’Abdul Noury expliquant simplement la construction, et la lecture, de ce diagramme). Sur le dessin ci-dessous, on la région verte est l’ensemble des allocations pour lesquelles on augmente à la fois l’utilité de X et de Y,

Le théorème de bien être nous garantie que tout optimum de Pareto dans l’espace des répartitions des biens est atteignable en situation de concurrence pure est parfaite moyennant une redistribution forfaitaire des dotations initiales. En fait, tout se passe comme si les deux consommateurs étaient face l’un à l’autre pour négocier des échanges de bien (1) contre bien (2) et réciproquement, dans le but d’améliorer leur bien-être.
Le TMS représente le prix « psychologique » d’échange entre (1) et  (2) pour le consommateur considéré, c’est-à-dire la quantité maximum de (2) qu’un agent accepte de céder pour avoir une quantité infinitésimale supplémentaire de (1). Le TMS correspond à un prix psychologique limite. On arrive finalement à la conclusion qu’un état optimal doit être un état réalisable (avec saturation des contraintes, i.e. pour chaque bien, la somme des quantités allouées aux deux consommateurs doit être égale à sa quantité totale disponible) et cet état doit être efficient, en vérifiant l’égalisation des TMS pour les deux consommateurs.

  • Optimalité au sens de Pareto à la cantine

Lorsque j’étais élève à l’ensae, je ne sais plus quel prof nous avait illustré l’optimalité au sens de Pareto à partir du passage à la cantine de l’insee… Quand on va chercher de l’eau à la fontaine à eau, il y a deux arrivées d’eau, mais qui se fournissent à la même source. Autrement dit, si deux personnes se servent en même temps, le débit est deux fois plus faible que si une seule personne se sert. De mémoire, si on est seul à prendre de l’eau, il faut environ 30 secondes pour remplir un pichet. Supposons que j’arrive à la fontaine à eau, et que quelqu’un soit en train de servir depuis 10 secondes. Deux possibilités s’offrent à moi,

  • commencer à me servir dès que j’arrive: la première personne a fini de se servir au bout de 40 secondes, et 50 secondes pour moi
  • attendre que la personne qui se sert ait fini: la première personne a fini de se servir au bout de 20 secondes, et moi 50 secondes

Bon, le raisonnement n’a de sens que si personne ne vient entre temps se servir sur l’autre fontaine (ou alors qu’au moins elle tienne le même raisonnement que moi, c’est à dire qu’elle attende que j’ai fini avant de se servir).

Si je compara les deux situations, on voit que le second cas permet à l’autre personne d’améliorer strictement la situation. Autrement dit l’optimum de Pareto est d’attendre que l’autre personne se soit servi avant de se servir.

De l’interprétation d’un effet nonlinéaire en régression

Je vais poursuivre un peu le TD de statistique de l’actuariat 2, où nous avions parlé tarification et régression Poissonnienne.

  • Analyser un effet nonlinéaire

Dans un premier temps, nous avions regardé un modèle simple, où l’on voulait voir si l’âge du conducteur expliquait la fréquence de sinistres. Bref, on peut utiliser une régression log-Poisson, qui donne la prédiction suivante, en fonction de l’âge,

Mais l’âge est une variable un peu particulière car c’est une fausse variable continue: seule les valeurs entières apparaissent. Comme on chercher à calculer

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/latex-glm-nb-1.png

notons qu’il est possible de considérer l’estimateur empirique naturel de cette grandeur, i.e.

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https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/latex-glm-nb-3.png

Graphiquement, on obtient la courbe suivante,

Le côté ératique de la série à droite et à à gauche vient de la faible représentation dans la base, comme en atteste l’histogramme de l’âge du conducteur,

Je peux en profiter pour revenir à un commentaire posté ici sur les modèles GAM. En effet, au lieu de regarder la fréquence en fonction de l’âge, on peut s’intéresser à la la différence par rapport à la fréquence globale.

> m=mean(base$nbsin)
> Y=predict(REG,newdata=data.frame(age=X,expo=E),type = "response")
> lines(X,Y/m-1,col="red")

On obtient alors le graphique suivant (en superposant à l’ajustement obtenu par GAM)

Notons que si l’on ajuste un modèle log-Poisson uniquement sur la tranche d’âge [50-70], on est très proche de ce que propose le modèle GAM, d’où l’interprétation de l’ajustement GAM comme un ajustement local.

 

  • Changer de modèle (et les comparer)

On a choisi un modèle log-Poisson, mais on se doute que d’autres modèles seraient possible. En particulier dans notre base, les assurés ont eu 0 ou 1 sinistre l’année passée. Autrement dit, des lois binomiales peuvent être ajustée,

> REG0 = glm(nbsin~age,base,
+  family=poisson(link="log"),
+  offset=expo)
> REG1a = glm(nbsin~age,base,
+  family=binomial(link = "logit"),
+  offset=expo)
> REG1b = glm(nbsin~age,base,
+  family=binomial(link = "probit"),
+  offset=expo)
> REG1c = glm(nbsin~age,base, 
+  family=gaussian(link = "identity"),
+  offset=expo)

Le critère AIC est souvent invoqué pour juger de l’adéquation d’un modèle. Il vaut ici

> AIC(REG0)
[1] 36470.7
> AIC(REG1a)
[1] 36044.45
> AIC(REG1b)
[1] 37304.02
> AIC(REG1c)
[1] 32549.83

Mais on peut également regarder le critère BIC,

> AIC(REG0, k = log(nrow(base)))
[1] 36488.81
> AIC(REG1a, k = log(nrow(base)))
[1] 36062.57
> AIC(REG1b, k = log(nrow(base)))
[1] 37322.14
> AIC(REG1c, k = log(nrow(base)))
[1] 32577

Autrement dit, en utilisant le règle “the smaller, the better” on retiendrait le dernier modèle qui est un modèle Gaussien, manifestement assez mauvais: sur le graphique ci-dessous, la régression log-Poisson est en mauve, presque confondu avec la régression logistique1, en bleu, la régression probit en vert et le modèle linéaire (Gaussien) en rouge,

Bref, ce dernier modèle n’est pas convainquant… Par contre, notons que si l’on compare le modèle log-Poisson et logit, ce dernier conduit à tarifer moins cher les âges extrêmes,

Autrement dit, au lieu de comparer des modèles actuariels sur la base d’outils statistiques, et uniquement de ces outils, il peut être instructif d’essayer de comprendre qui verra sa prime baisser avec tel ou tel modèle… Mais je reviendrais plus longuement, une autre fois, sur les histoires de choix de modèles…..

Propriétés des estimateurs dans une régression

Comme les rappels (je devrais plutôt dire “remise à niveau“) ont été particulièrement rapides, je vais prendre un peu de temps pour revenir sur quelques éléments du cours d’économétrie (d’autant plus que j’ai reçu quelques questions par mail).

  • sur le calcul des estimateurs

Je vais reprendre les questions que j’ai reçu, ça sera plus simple, “je comprend pas très bien quelle méthode utilise l’opération lm(Y~X…..) sur R pour trouver les coef” ou encore “je regresse un modèle simple, je sors le summary, et j’obtiens un betaREG 3 étoiles. Toujours sur R, je compare ce betaREG avec le betaCalc = (X’X)-1 * X’Y, il est différent ! Comment expliquer cela ? Est-ce possible ?“.
Commençons par la première question: la fonction lm() utilise la méthode dite des moindres carrés, ce qui revient à calculer

en adoptant une écriture matricielle, i.e. la solution est alors

Cet estimateur est celui qui minimise la somme des carrés des erreurs. Et on peut vérifier numériquement que cet estimateur est bien celui calculé par R,

>data(cars)
>X=cbind(rep(1,nrow(cars)),cars$speed); Y=cars$dist
> X[1:5,]
      [,1] [,2]
 [1,]    1    4
 [2,]    1    4
 [3,]    1    7
 [4,]    1    7
 [5,]    1    8
> solve(t(X)%*%X)
            [,1]         [,2]
[1,]  0.19310949 -0.011240876
[2,] -0.01124088  0.000729927
> t(X)%*%Y
      [,1]
[1,]  2149
[2,] 38482
> (solve(t(X)%*%X))%*%(t(X)%*%Y)
           [,1]
[1,] -17.579095
[2,]   3.932409

ce qui correspond très précisément à ce que calcule la fonction de R

> lm(dist~speed,cars)
Coefficients:
(Intercept)        speed 
    -17.579        3.932

Et on peut aussi vérifier qu’il minimise bien la somme des carrés des erreurs,

> b0=seq(-30,10,by=3);
> b1=seq(1,7,by=.5)
> SC=matrix(NA,length(b0),length(b1))
> for(i in 1:length(b0)){
> for(j in 1:length(b1)){
 + SC[i,j]=sum((cars$dist-(b0[i]+b1[j]*cars$speed))^2)
}}
> contour(b0,b1,SC)

et je peux certifier que la valeur obtenue est bien le minimum de cette fonction (en fait c’est un résultat théorique d’optimisation).
Ca se généralise bien entendu en dimension plus grande. Alors attention, cette formule permet de calculer un estimateur du vecteur des paramètres, mais la formule est bien sûre fausse si on raisonne composante par composante.

> X=cars$speed; Y=cars$dist
> (solve(t(X)%*%X))%*%(t(X)%*%Y)
         [,1]
[1,] 2.909132

Mais ça c’est un résultat (trivial) d’algèbre linéaire. En effet, le fait d’avoir

ne signifie pas que l’on ait ce genre de formule composante par composante, i.e.

Dit de manière un peu formelle, le produit matriciel n’est pas un produit terme à terme. La traduction économétrique de cette idée est qu’une régression multiple n’est pas une succession de régressions simples. En effet, dans l’équation précédante, le dernier terme correspond à la régression sans la constante, comme on peut le voir ci-dessous

> lm(dist~0+speed,cars)
Coefficients:
speed  
2.909

et le premier est tout simplement la moyenne empirique,

> lm(dist~1,cars)
Coefficients:
(Intercept)  
      42.98  
> mean(cars$dist)
[1] 42.98
> X=rep(1,nrow(cars)); Y=cars$dist
> (solve(t(X)%*%X))%*%(t(X)%*%Y)
      [,1]
[1,] 42.98
  • sur les propriétés des estimateurs

Une question était “doit-on vérifier les propriétés de l’estimateur (sans biais, efficace etc…) du summary de la Reg ? pour chaque régression ?
Bon, la réponse est non car c’est impossible ! Pour répéter tranquillement ce que j’avais dit plusieurs fois oralement: quand on fait un modèle (théorique), on part d’hypothèses (par exemple ici les résidus sont centrées, de variance constante). Sous ces hypothèses on a des propriétés: ce sont des théorèmes, autrement dit de la théorie. Le plus connu étant le théorème de Gauss-Markov sur le modèle linéaire, qui garantie que l’estimateur par moindre carré est BLUE (best linear unbiased estimator).
Autrement dit (si je retraduit ce que dit ce théorème), si les hypothèses sont valides, alors la théorie nous garantie que les estimateurs vérifient des propriétés, dont celle d’être sans biais, par exemple.
On ne
peut pas
vérifier qu’un estimateur est sans biais, on peut juste vérifier ex post que les hypothèses sont valides (ou non), ce qui garantit (ou pas) l’absence de biais.
Mais comme on va le voir par la suite, le biais ce n’est pas forcément gênant, ce qui est important, c’est surtout la convergence. Comme le notait Clive Granger  “if you can’t even get a consistant estimator, you shouldn’t be in this business“.

  • et sur des points plus théoriques

sinon la personne qui avait des soucis numériques à calculer les coefficients me demandait si cela avait un “rapport avec les plim X’E/n et plim (X’X)-1/ n“.
Pour revenir sur ce point, une hypothèse forte dans le modèle linéaire (de base) est que le bruit soit soit un vrai bruit, c’est à dire non corrélé avec la variable explicative, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/latex-reponse-mail-1.png

En effet, sinon

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/latex-reponse-mail-2.png

autrement dit l’estimateur par moindre carré est biasé. La solution la plus naturelle pour éviter ce “problème” est d’utiliser un instrument (ou une variable instrumentale).
Mais surtout, sur cet exemple, on voit qu’on ne pourra avoir la convergence de notre estimateur par moindres carrés que si la corrélation entre le bruit et la variable explicative tend vers 0 asymptotiquement.
Il existe en effet une différence fondamentale entre le biais et la consistance (ou la convergence vers la vraie valeur).

  • un estimateur sans biais est généralement convergent (et de manière consistante)
  • un estimateur biaisé peut ne pas converger

Prenons un petit exemple pour illustrer ces points. On supposera n1 < n2 < n3par la suite. Comme je l’ai expliqué auparavant, la distribution de l’estimateur est une propriété théorique qui ne peut se voir sur un jeu de données (à moins de faire des simulations mais ça sort du cadre de mon billet d’aujourd’hui). La figure ci-dessous correspond au cas sans biais, et convergent

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.graph-estimateur-sans-biais-convergent_m.jpg

La figure ci-dessous correspond au cas biaisé, mais convergent, et consistant, au sens où asymptotiquement, l’estimateur sera sans biais.

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.graph-estimateur-biais-convergent_m.jpg

Enfin, un dernier cas correspondant au cas biaisé, convergent, mais non consistant. Asymptotiquement l’estimateur sera toujours biaisé,
https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.graph-estimateur-biais-non-convergent_m.jpg

Mais revenons un peu sur la formaliation sous-jacente au modèle linéaire. Les propriétés sur les résidus sont conditionnelles aux variables explicatives, en particulier.

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(c’est l’hypothèse d’homoscédasticité et d’indépendance des résidus). Bon, il faut aussi l’absence de relation linéaire entre les variables explicatives, ce qui se traduit parfois comme une absence de collinéarité.
On peut s’intéresser aux propriétés asymptotiques de l’estimateur. Pour cela, il faut peut être rappeler ce que signifie la convergence pour une variable aléatoire (en statistique mathématique, les estimateurs sont vus comme des variables aléatoires). On dira que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/latex-reponse-mail-5.png converge en probabilité vers https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/latex-reponse-mail-6.png, parfois noté

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/latex-reponse-mail-7.png

si

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/latex-reponse-mail-8.png

Par exemple la loi des grands nombres garantie que, pour un échantillon i.i.d.

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si l’espérance des variables est finie, alors

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Alors sous les hypothèses mentionnées auparavant, on peut montrer que, dans le modèle linéaire,

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On parlera alors d’estimateur convergent. On peut aussi montrer que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/latex-reponse-mail-12.png

Mais formellement,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/latex-reponse-mail-13.png

si

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/latex-reponse-mail-14.png

Voilà en gros quelques éléments pour répondre aux questions, mais tout ça sera repris en détails dans le cours d’économétrie 1 qui commencera très bientôt… et surtout d’économétrie 2 qui abordera les aspects dynamiques.

Crédibilité et calcul bayésien

On a commencé en cours la tarification a posteriori, en commençant par la tarification bayésienne, et en présentant ensuite l’approche d’Hans Bühlmann comme un cas particulier en projetant dans un sous espace de combinaisons linéaires (un peu comme l’économétrie linéaire était présenté en cours comme un cas particulier de calcul d’espérance conditionnelle).La classification a priori sera poursuivie un TD, sur des bases de données, afin d’orienter davantage le cours sur la pratique des GLM.
L’utilisation des techniques bayésiennes en actuariat ne s’est pas faite sans peine. Pour ceux qui souhaitent s’en convaincre, il suffit de relire les comptes rendus de la conférence à Trieste en 1962. Dans le discours de Bruno de Finetti (publié dans l’ASTIN Bulletin), on retrouve un point historique, présentant les nouveaux travaux d’Hans Bühlmann,

Et Bruno de Finetti de conclure en rappelant les apports d’Arthur Bailey en 1950,

  • La formule de Bayes, ou apprendre par l’expérience

La formule de Bayes ne dit pas grand chose quand on le regarde sous la forme suivante

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A la rigueur on peut aussi la réécrire en utilisant deux fois cette formule

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Bon, là encore, on ne voit peut être toujours pas ce qu’on peut en faire…. L’idée géniale est de faire la lecture suivante

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Autrement dit la loi a posteriori du paramètre, conditionnellement aux observations (en bleu) est proportionnelle au produit de  la loi a priori du paramètre (en vert) et de la vraisemblance des observations (en rouge, qui sera un simple produit de lois si on suppose l’indépendance conditionnelle au paramètre). Le paramètre en noir est juste un facteur de normalisation, histoire que la loi soit effectivement une mesure de probabilité. D’où parfois l’écriture

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Bref, on a réussit à inverser les deux termes dans la probability (on retrouve le terme “inverse probability” dans la littérature anglo-saxonne).
En cours, on avait vu que si on supposait le nombre annuel de sinistres Poisson, conditionnellement au paramètre, avec une indépendance (toujours conditionnellement à ce paramètre), et que l’on suppose que la loi a priori du paramètre est une loi Gamma, alors la loi a posteriori se calcule facilement et c’est une loi Gamma.
Considérons la petite simulation suivante: on suppose que le nombre de sinistres suit une loi de Poisson, et on cherche à estimer le paramètre de cette loi. On commence par une loi a priori Gamma, centrée sur 5, et on regarde évoluer la loi a posteriori au fur et à mesure que l’on observe les sinistres arriver (ou les années passer en l’occurence).

On peut également considerer l’évolution de l’espérance a posteriori du paramètre, ainsi qu’un intervalle de confiance (puisqu’on connaît la loi)

La “magie” des méthodes bayésiennes est que peu importe la loi a priori, on va converger vers la vraie valeur. Par exemple sur l’animation ci-dessous, on part d’une loi a priori de moyenne 2,

avec là aussi l’évolution de la moyenne a posteriori avec un intervalle de confiance,

La morale de l’histoire est que comme la loi a priori n’influence pas (j’exagère un peu car elle va influencer la vitesse de la convergence, ce qui n’est pas rien en pratique), autant prendre quelque chose de simple pour les calculs: la loi conjuguée de la loi exponentielle. La loi conjuguée d’une loi de la famille exponentielle de la forme

s’écrit

où et sont des constantes, et où  est une constante de normalisation (afin que cette fonction soit effectivement une mesure de probabilité).

  • L’hérésie de la statistique bayésienne

La principale hérésie des statisticiens bayésien a été de proposer une lecture des probabilités d’un point de vue subjectif. En particulier Jimmie Savage et Bruno de Finetti partait de l’hypothèse que chacun avait à sa disposition son propre espace de probabilité.C’est ce qui lui permet de se construire un a priori. Et au fur et à mesure que le temps passe, on apprend, et on peut dériver une loi a posteriori. Par exemple  je pars d’un a priori comme quoi un enfant sur deux qui nait est un garçon, en France. Je peux ensuite récupérer des données, et affiner ma connaissance. C’est ce qu’avait fait Laplace il y a fort fort longtemps….
L’hérésie est ici un
problème philosophique lié au concept même de probabilité. Mais on peut noter qu’à l’époque dans les années 60, les débats étaient assez virulants. Et pour Jimmie Savage et Bruno de Finetti, il n’est pas nécessaire d’avoir le formalisme mathématique d’Andreï Kolmogorov pour appréhender la notion de probabilité (c’est à dire la mesure d’ensembles dans un espace abstrait d’évènements, voir ici ou ). On notera que pour John Keynes (qui avait écrit un “traité de probabilités“) il existait une probabilité subjective, mais davantage liée à une information donnée par l’éducation. C’est un problème culturel plus que personnel. Mais finalement, il a surtout fallu attendre les travaux de Daniel Kahneman et Amos Tversky dans les années 70 pour que des psychologues se penchent sur la construction individuelle des probabilités.

  • La crédibilité au sens de Bühlmann

L’idée d’Hans Bühlmann est de proposer une formule fermée qui approche l’espérance conditionnelle, tout simplement en utilisant celle qui avait été obtenue dans le cas bayésien. En tarification, on s’intéresse à des primes pures, et il est finalement assez naturel de chercher à calculer

Hans Bühlmann a suggéré d’approcher cette grandeur par

avec classiquement

est appelé facteur de crédibilité, avec , et où respectivement,


Bref, on a un facteur de crédibilité qui dépend de la variance intra et de la variance inter, pour reprendre des termes connus en statistique. L’énorme avantage est que cette formule peut très facilement s’utiliser sur des données. En particulier, considérons un tableau de la forme suivante

où on regarde si un contrat a – ou n’a pas – eu de sinistre chacune des années. Formellement, on dispose d’un tableau d’observations,

(on notera que le nombre d’années d’observations pour chacun des contrats peut être différent). On peut alors obtenir les estimateurs empiriques des moments nécéssaires, i.e. on pose

correspondant à la moyenne empirique pour un contrat,

et

Le facteur de crédibilité pour le contrat i est alors

où tout naturellement