Picking an asset to invest

Yesterday, Andrew Lo spent some time on a nice graph, discussing attitudes towards risk. Here are four assets (thanks  for improving the terminology), real data (no information here about time, but it’s the same scale for the four of them)

The question raised was quite simple

if you could invest in one, and only one, asset which one will you pick ?

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Econometrics and Machine Learning

I will be in London, UK, at the Centre for Central Banking Studies, invited as a keynote speaker for a major conference. For my talk, on Econometric Models and Statistical Learning Techniques, the agenda is the follownig

  • introduction on High Dimensional Data and Modeling
  • foundations of econometric models, and probabilistic aspects
  • machine learning techniques, with a discussion on boosting, cross validation
  • classification, from the logistic regression to trees and random forest
  • machine learning tools that can be used in econometrics, such as bootstrap, principal component analysis / partial least squares, and instrumental variables and variable selection

Slides are avaible (as usual, the pdf version is more informative than the one on slideshare where animations are missing)

 

Mathématiques et économie

Dimanche, je vais participer au week-end organisé à Rennes, sur la place des mathématiques dans la société,

J’interviendrais dimanche matin sur la place des maths dans la science économique.  Les slides sont légers. Je reviendrais sur des notions assez générale, sur l’économie, et la science économique. Je parlerais ensuite du concept de prix, dans un environnement incertain. On verra en particulier la valorisation en assurance (méthode actuarielle, reposant sur la mutualisation et la loi des grands nombres) et la valorisation en finance (sous hypothèse d’absence d’arbitrage, de prix de réplication, et de valorisation risque neutre). L’idée est de montrer comment les prix apportent de l’information, en finance (en marché complet, et liquide). Je parlerais aussi un peu d’économétrie, et de la spécificité de la science économique (où on utilise des données, et pas des expériences). Enfin, je conclurais sur le concept de mathiness, introduit par Paul Romer, récemment (que nous avions présenté dans un article avec Béatrice Cherrier, il y a quelques mois).

Trouver le millionième chiffre

Dimanche, avec mon fils, on a tenté de résoudre un petit problème posé par Ian Stewart (qu’est-ce qu’il faut pas inventer pour éviter de voir mon fils sur sa tablette toute la matinée). Le problème est très simple, dans sa formulation : considérons la suite suivante

> paste(1:26,collapse="")
[1] "1234567891011121314151617181920212223242526"

Quel serait le millionième chiffre ? Regardons la réponse,

> L=paste(1:999999,collapse="")
> f=function(n) substr(L,n,n)
> f(1000000)
[1] "1"

J’espérais trouver une logique (genre “c’est toujours un 1“), en vain. Le point de départ était “si on va jusqu’à écrire 99“, combien de chiffres faut-il ? Facile

> 9+90*2
[1] 189

et maintenant “si on va jusqu’à 999” ?

> 9+90*2+900*3
[1] 2889

Etc. On peut utiliser la petite fonction

> g=function(k) sum(9*10^(1:k-1)*(1:k))

Pour le millionième chiffre, quel était la taille du nombre ?

> g(5)
[1] 488889
> g(6)
[1] 5888889

C’était manifestement un nombre à 6 chiffres: quand on aura écrit le dernier nombre à 5 chiffres – 99999 – il y aura eu, en tout, 488889 chiffres. Pour savoir quel chiffre on aura atteint au millionième chiffre, notons que

> (1000000-g(5))%/%6
[1] 85185

autrement dit, on cherche le 85185ème nombre à 6 chiffres, soit

> 100000+(1000000-g(5))%/%6
[1] 185185

Et pour trouver quel chiffre se trouve précisément à la position 1000000, rien de plus simple

> (1000000-g(5))%%6
[1] 1

autrement dit, c’est le premier chiffre du nombre 185185, qui est un 1. C’est le calcul qu’on avait commencé avec mon fils… mais je me demandais s’il n’y avait pas un truc… Si on regarde pour le millième chiffre, ou le dix millième chiffre, ou le cent millième chiffre, il ne semble pas y avoir de logique

> f(1000)
[1] "3"
> f(10000)
[1] "7"
> f(100000)
[1] "2"
> f(1000000)
[1] "1"

Pourtant,  il y a une forte régularité, quand on regarde la répartition des 10 chiffres (de 0 à 9), dans la séquence

> library(RColorBrewer)
> COL= brewer.pal(10, "Set3")
> k=100
> V=rep(NA,k*k)
> plot(0:k,0:k,col="white",xlab="",ylab="")
> for(i in 1:k){
+   for(j in 1:k){
+     n=(i-1)*k+(j-1)
+     x=as.numeric(f(n))
+     rect(i-1,j-1,i,j,col=COL[x],border=NA)
+     V[n]=x
+   }
+ }

Mais rien de probant… Plus étonnant, si on regarde la distribution des chiffres, sur les 100000 premiers,

> Z=Vectorize(function(x) as.numeric(f(x)))(1:1e5)
> table(Z)[1:8]
    0     1     2     3     4     5     6     7 
 8642 19753 11111  8642  8642  8642  8642  8642

Le 1 ressort très majoritairement… le 2 se distingue aussi, mais ensuite, c’est étonnamment constant

> barplot(table(Z))

 

On peut d’ailleurs noter que la différence entre le nombre de 1 et le nombre de 2 est très exactement le nombre de 0, de 3, de 4, de 5, …

> table(Z)[3]-table(Z)[2]
    2 
-8642

 

étonnant, non ?

L’état civil, les données publiques, la psychose de la confidentialité, et tant d’autres choses

Suite à des discussions avec Simon et Marin, les semaines passées, je me suis dit que j’allais prendre le temps de narrer quelques (més)aventures qui me sont arrivées, en partant à la pêche des données. Et oui, ça va parler de données, de données ouvertes (ou fermées), d’administrations, et un peu de recherche publique (en vrac).

Le point de départ est assez simple. Je cherche en France une base proche de celle qui existe aux Etats-Unis, à savoir le Social Security Death Master File, qui donne – pour toutes les personnes disposant d’un numéro de sécurité sociale – la date de naissance et date de décès. Cette base est pratique pour faire de la démographie (quoi qu’incomplète puisqu’on n’a que les personnes décédées). Je cherche aussi une autre information, permettant de faire le lien (pour faire simple) entre l’espérance de vie d’un individu, et de l’information relative à ses parents. Autrement dit, je cherche un fichier liant un individu à ses parents (par numéro de sécurité sociale pour faire simple, mais on peut anonymiser en hashant le numéro). Je veux ainsi une base indiquant l’identifiant d’un individu, celui de son père, et celui de sa mère.

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Econometrics: Learning from Statistical Learning Techniques

In two weeks, I will be invited as a keynote speaker in London, to give a talk on what can central bank policymakers learn from other disciplines. Which is an interesting question. Initially, I wanted to give a talk on actuarial science, large risks, and connexion with finance, but I will finally give a talk on connexions between Econometrics and Machine Learning, and how we can – as Econometricans – actually learn a lot from people coming from the Statistical Learning community – in the spirit of Varian (2013). I will upload the slides within the next ten days….

Et si je tweetais en anglais pour une mauvaise raison

Sur Twitter, assez naturellement, j’ai tendance à tweeter en anglais. J’ai toujours eu l’impression qu’en anglais, la limite des 140 caractères était moins contraignante. Qu’en anglais, la même chose pouvait être dite de manière plus concise.

Histoire de vérifier cette vague intuition, je suis allé chercher des livres sur Gutenberg. Le plus simple est de récupérer un livre en français, au format texte (txt), de compter le nombre de symboles, et de trouver le même livre en anglais. La fonction, à partir d’un code de livre, ressemble à ça

> cpte=function(no){
+     url0=paste(
+         "http://www.gutenberg.org/cache/epub/",
+         no,"/pg",no,".txt",sep="")
+     download.file(url0,destfile="u.txt")
+     s=scan("u.txt",what="character")
+     sum(nchar(s))
+ }

Par exemple, pour David Copperfield, de Dickens, le  code pour la version originale, en anglais, est

> gb=766

et en français, il faut récupérer 2 fichiers

> fr_a=17868
> fr_b=17869

Aussi,

> g=cpte(gb)
essai de l'URL 'http://www.gutenberg.org/cache/epub/766/pg766.txt'
Content type 'text/plain; charset=utf-8' length 1992535 bytes (1.9 MB)
=================================================
downloaded 1.9 MB

Read 288181 items
> f=cpte(fr_a)+cpte(fr_b)
essai de l'URL 'http://www.gutenberg.org/cache/epub/17868/pg17868.txt'
Content type 'text/plain; charset=utf-8' length 1161492 bytes (1.1 MB)
=================================================
downloaded 1.1 MB

Read 191311 items
essai de l'URL 'http://www.gutenberg.org/cache/epub/17869/pg17869.txt'
Content type 'text/plain; charset=utf-8' length 1135661 bytes (1.1 MB)
=================================================
downloaded 1.1 MB

Read 186515 items

le ratio du nombre de caractère en anglais, et en français, est de l’ordre de 90%. Autrement dit, la version anglaise contient 10% de caractères en moins que la version française,

> g/f
[1] 0.9090498

Si on regarde une pièce de théâtre, comme Othello, la version anglaise est 25% plus courte que la version française.

> fr=18179
> gb=1793
> g=cpte(gb)
essai de l'URL 'http://www.gutenberg.org/cache/epub/1793/pg1793.txt'
Content type 'text/plain; charset=utf-8' length 188634 bytes (184 KB)
=================================================
downloaded 184 KB

Read 24951 items
> f=cpte(fr)
essai de l'URL 'http://www.gutenberg.org/cache/epub/18179/pg18179.txt'
Content type 'text/plain; charset=utf-8' length 239158 bytes (233 KB)
=================================================
downloaded 233 KB

Read 36157 items
> g/f
[1] 0.746805

Plus généralement pour les pièces de théâtre de Shakespeare, on valide mon intuition : les versions en anglais sont toujours plus courtes que les versions en français,

Pour faire ce graphique, on peut utiliser la trentaine de livres que j’ai regardé, à l’aide du fichier

> download.file(
+ "http://freakonometrics.free.fr/livre.RData",
+ "livre.RData")
essai de l'URL 'http://freakonometrics.free.fr/livre.RData'
Content type 'text/plain' length 1095 bytes
=================================================
downloaded 1095 bytes

> load("livre.RData")

La base ressemble à ça

> base
           nom        FR      UK language   ratio
1  3 Mousquet.    1110255 1156011       FR 104.12
2  Dorian Grey     398653  404799       UK 101.54
3  Pierre-Jean     248299  228838       FR  92.16
4      Odyssée     691648  651044       GR 118.17
5       Iliade     550924  514953       GR  74.45
6  Jules César     157726  105685       UK  67.00
7      Macbeth     160571   96276       UK  59.95
8      Othello     189984  141881       UK  74.68
9       Hamlet     275629  145380       UK  52.74
10   Com. Mép.     115583   97704       UK  84.53
11  Ant.-Cléo.     185806  130857       UK  70.42
12   Rom.-Jul.     195273  126323       UK  64.69
13    Roi Lear     196185  124483       UK  63.45
14  Sganarelle      50408   63387       FR 125.74
15 OliverTwist     778914  770784       UK  98.95
16  D.Copperf.    1808770 1644262       UK  90.90
17    Assomoir     585237  565444       FR  96.61
18   T. Raquin     351525  353837       FR 100.65
19    20000 L.     745559  518932       FR  69.60
20    80 Jours     367388  329073       FR  89.57
21  5 Semaines     491510  483289       FR  98.32
22 CentreTerre     362617  370584       FR 102.19
23          93     585073  637499       FR 108.96
24  Notre Dame     885048  928256       FR 104.88
25   Jane Eyre     922233  919521       UK  99.70
26    Possédés    1241293 1293319       RU 104.19
27 Guerre-Paix    2409360 2739725       RU 113.71
28     Corbeau      27884   21886       UK  78.48
29  Mme Bovary     585237  565444       FR  96.61

Si on visualise tous les titres, et pas seulement les pièces de Shakespeare, on obtient

Autrement dit, la différence n’est pas aussi significative qu’elle y paraissait. Plus troublant, si on regarde les livres écrit en anglais (en rouge ci-dessous) on observe effectivement que la version française est plus longue. Par contre, pour les livres écrits en français (en bleu), la version anglaise est sensiblement de la même taille…

A suivre donc…

Fibonacci, les lapins, le nombre d’or et les calculs actuariels

Léonard de Pise, souvent plus connu sous le nom de Fibonacci, a laissé sa trace dans les livres de mathématiques pour avoir étudié, ou plutôt modélisé, la reproduction des lapins. De la dynamique du nombre de lapins est né le nombre d’or, le fameux ratio magique, que l’on retrouve dans toute la peinture et l’architecte classique. Mais la contribution la plus importante est probablement le Liber Abaci, datant de 1202, dans lequel Fibonacci a introduit explicitement le principe d’actualisation financière en Europe. Fibonacci a grandi dans la colonie pisane de Bougie, en Algérie, où son père était officier des douanes. Et c’est probablement grâce à la culture arabe que les premiers calculs actuariels ont été formalisés.

La dynamique de reproduction des lapins et le nombre d’or

Fibonacci est connu par tous les étudiants du monde pour avoir posé le problème suivant:

partant d’un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu’après deux mois ?

Formellement, on cherche à décrire le comportement de la suite définie par la relation http://latex.codecogs.com/gif.latex?u_n=u_{n-1}+u_{n-2} (avec deux valeurs initiales). Comme cette suite est linéairement récurrente d’ordre deux, on peut écrire son équation caractéristique. On obtient une équation du second degré, http://latex.codecogs.com/gif.latex?x^2-x-1, dont une des racines est connue sous le nom de « nombre d’or »,

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

qui vaut environ 1,618. On peut alors montrer que l’on obtient la formule dite de Binet,

http://latex.codecogs.com/gif.latex?u_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n-\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^n\right)

Comme l’avait déjà remarqué Johannes Kepler, vers 1611, le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c’est-à-dire , converge vers le nombre d’or, http://latex.codecogs.com/gif.latex?\varphi. Ce nombre est appelé en anglais « golden ratio », car il s’agit aussi d’une proportion, d’un ratio, défini comme l’unique rapport http://latex.codecogs.com/gif.latex?a/b entre deux longueurs http://latex.codecogs.com/gif.latex?a et http://latex.codecogs.com/gif.latex?b, telles que la somme http://latex.codecogs.com/gif.latex?a+b sur la plus grande des deux (http://latex.codecogs.com/gif.latex?a sur la Figure 1) soit identique, autrement dit

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}

Alors forcément, la plus grande longueur est 61,8% plus grande que la petite. Euclide évoquait ce ratio très particulier dans ses Eléments. Comme le montre la Figure 1, ce ratio est utilisé pour construire une spirale. Luca Pacioli, un moine franciscain italien du Moyen Age, l’appelle la “divine proportion“. En effet, comme l’avait énoncé Saint Thomas d’Aquin, « les choses qui sont dotées de proportions correctes réjouissent les sens », ce qui semble conférer un caractère quasi-divin à ce nombre.

Figure 1 : interprétations géométriques du nombre d’or

Comme le montre la Figure 1, à gauche, à partir de rectangles dont le rapport des longueurs des deux côtés est égal au nombre d’or, on peut construire itérativement une succession de carrés emboîtés, sous forme de spirale. On retrouve ce découpage dans la composition d’un grand nombre de tableaux de la Renaissance, mais aussi dans plusieurs ouvrages architecturaux. Et si l’on colle deux rectangles dont le ratio des longueurs des côtés est égal au nombre d’or, un verticalement et un horizontalement, le prolongement de la diagonale du rectangle horizontal passera par le sommet du rectangle verticale. Cette figure se retrouve dans de nombreux croquis de Le Corbusier.

La notion de récursivité

Au-delà du fait que c’est à Fibonacci que l’on doit le fameux nombre d’or, cette suite récursive est surtout très populaire en informatique pour introduire la notion de récursivité. En effet, un algorithme pour calculer les termes de cette suite est

F = function(n) {

if(n>1) Fn = F(n-1) + F(n-2)

if(n<=1) Fn = n

return(Fn) }

Cet algorithme est simple, mais le temps d’exécution est long, très long. Si certains notent qu’il croit exponentiellement vite, on peut montrer assez simplement que le temps d’exécution est donné par une relation de type de celle de Fibonacci.

La comptabilité, en chiffres romains

Mais souvenons-nous que Fibonacci est né à la fin du XIIème siècle. Si la géométrie n’a pas beaucoup changé, l’arithmétique, elle a beaucoup changé. Pour rappel, on comptait alors encore bien souvent à l’aide de la numérotation romaine. Cette dernière est basée sur 7 symboles, I (pour 1), V (pour 5), X (10), L (50), C (100), D (pour 500) et enfin M (1000). A partir de ces symboles, certains nombres se construisent par addition (par exemple 11 va s’écrire XI) et d’autres par soustraction (4 va s’écrire IV): un symbole plus petit placé avant correspond à une soustraction, et un symbole plus petit placé après, à une addition. On s’attend ainsi à ce que tous les symboles soient placés par ordre décroissant (et si c’est le cas, on les ajoute), mais s’il y en a un qui est placé avant, on va le soustraire. Aussi, DCXIV contient les symboles D (500), C (100), X (10), I (1) et V (5). Comme 1 est avant 5, c’est qu’il faut lire -1, et pas +1. Et donc DCXIV vaut 500+100+10-1+5 soit 614. De même XLV correspond à -10+50+5, soit 45. Il existait aussi une forme d’écriture multiplicative. Par exemple 300 pouvait s’écrire CCC ou IIIC. Et 80 IVXX (d’où une explication possible de la forme française de “quatre-vingt”).

L’origine de ces symboles se trouve dans les entailles pratiques par les étrusques, sur des bouts de bois, ou des os. Mais chez les étrusques, seule l’addition de symboles était autorisée. Par la suite, les égyptiens ont adopté un système décimal, et introduit l’addition (uniquement), ce qui a permis aux scribes de faire des observations statistiques, et des prévisions. Lorsqu’ils adoptèrent la langue et les pratiques grecques, vers 300 avant Jésus Christ, les égyptiens ont commencé à tenir de véritables documents comptables, avec des stocks de données agricoles, et des flux monétaires. A la même époque en Grèce, les lettres de change existaient, et le prêt à intérêt était fréquent. A Athènes, la cour des logistes avait le rôle d’expert-comptable. Les romains ont poursuivi et amélioré cette tradition, avec des livres de recettes et de dépenses. L’arithmétique était complexe, comme en témoigne Schärlig (2014), et pourtant, ce système d’encoches a été utilisé probablement jusqu’au XVIIème siècle, en Europe.

Le livre des calculs, Liber Abaci, et la règle de trois

Fibonacci est l’auteur d’un Liber Abaci, correspondant à un livre des calculs (Abaci donnera par la suite le terme abaque). En fait, alors que la norme à l’époque était d’utiliser l’arithmétique romaine, Leonardo s’est énormément inspiré des mathématiques arabes. Les nombres arabes présentaient l’avantage d’utiliser le système décimal, ce qui a fait gagner énormément de temps de calcul (on peut aussi remonter à l’arithmétique indienne, basé sur le même système). Il y avait ainsi neuf symboles correspondant à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (et le 0 a été introduit au Vème siècle). Afin d’illustrer la simplicité des calculs, Fibonacci évoque intensément l’utilisation de la « règle de trois » (même s’il ne l’appelle pas ainsi, il faudra attendre Le Gendre (1684) pour voir évoqué cette terminologie). Cette règle, relative à la théorie des proportions, se retrouve aussi beaucoup utilisée chez Euclide (au IIIème siècle avant Jésus Christ): « si quatre nombres sont en proportions, le produit des extrêmes [le plus grand et le plus petit] est égal au produit des moyens ». En fait, la règle de trois permet de trouver ce qui s’appelle parfois la « quatrième proportionnelle », qui est le quatrième nombre à mettre dans un tableau de proportionnalité dont 3 cases sur 4 sont déjà remplies. Certains ont appelé la règle de trois la « règle d’or ».

En actuariat, le calcul des provisions pour sinistres à payer par conservation des cadences de paiements, repose historiquement sur cette règle. Le Tableau 1 illustre ainsi l’utilisation de la règle de trois pour estimer les paiements futurs : fin 2014, 57 millions d’euros avaient été payé au titre des sinistres de 2014, et fin 2015, 83 millions ; si fin 2015, 63 millions avaient été payés au titre des sinistres de 2015, on peut estimer qu’un peu plus de 90 millions seront payés fin 2016. Ce montant http://latex.codecogs.com/gif.latex?\color{red}{x} est obtenu, dans la méthode dite Chain Ladder (décrite dans Charpentier et al. (2010)), par la règle de trois.

paiements

année 1

paiements

année 2

2014

http://latex.codecogs.com/gif.latex?57

http://latex.codecogs.com/gif.latex?83

2015

http://latex.codecogs.com/gif.latex?63

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{red}{x}}=\frac{63\times%2083}{57}

Table1 : illustration de la règle de trois en provisionnement

On retrouve de nombreuses utilisations de cette règle dans les calculs comptables (on pourra consulter Taulane (1689)), mais c’est surtout à Fibonacci qu’on doit la formalisation de la règle, dans un contexte financier.

Les bases de l’actualisation

Mais on doit surtout à Fibonacci d’avoir formalisé le calcul actuariel. Rappelons que la valeur actuelle d’un ensemble de flux financiershttp://latex.codecogs.com/gif.latex?\lbrace%20F_1,\cdots,F_n\rbrace, versés dans le futur, à différentes dates s’écrit

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V=\sum_{t=1}^n\frac{F_t}{(1+i)^t}

où http://latex.codecogs.com/gif.latex?i est le taux d’actualisation. Cette à cette formule que va aboutir Fibonacci, dans le Liber Abaci, lorsqu’il va tenter de résoudre le problème suivant

« Un homme se rend à Lucca pour affaires, où il double son argent. Il dépense là-bas 12 dinars. Ensuite, il va à Florence où il peut là encore doubler son argent, et il dépense encore 12 dinars. Puis il va ensuite à Pise, double encore son investissement, et dépense à nouveau 12 dinars. Quelle somme avait-il au début? »

Ce calcul de la somme initiale correspond fondamentalement au calcul d’une valeur actuelle. Pour reprendre les notations de Fibonacci pour investir 1 à Pise (la troisième ville), il faut disposer de ½½½, qu’il interprète comme un facteur d’escompte. Pour investir 1 à Florence (la seconde ville), il fallait disposer de ½½ au début. Etc. Pour connaître la somme initiale, on notera que le facteur d’actualisation est ½+½½+½½½, soit 7/8. Le capital initial est alors 7/8×12, soit 10 ½ . Avec des notations plus contemporaines, avec http://latex.codecogs.com/gif.latex?i = 100%, on veut calculer,

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{12}{(1+i)}+\frac{12}{(1+i)^2}+\frac{12}{(1+i)^3}

On retrouve ici la définition classique de la valeur présente d’un ensemble de flux financier. Mais plus sophistiqué, Fibonacci propos ensuite le problème suivant

« Un soldat se voit offrir une annuité par un roi, de 300 par an, payée à une cadence trimestrielle, à hauteur de 75 par trimestre. Soudain, le roi change pour 300, payé en fin d’année. Le soldat est capable de gagner 2 pour 100 placés, par mois (à la fin de chaque trimestre) à partir de son investissement »

On retrouve ici un problème qui pourrait être posé à un examen sur les calculs actuariels.

Conclusion

Depuis Goetzmann (2005) et la redécouverte des travaux de Léonard de Pise, beaucoup considèrent que Fibonacci a introduit le calcul actuariel en Europe, ou plutôt son formalise, avec des notations très contemporaines. Mais il convient de rappeler que l’actualisation existait depuis bien longtemps. Des traces de formalisation se retrouvent dans toutes les cultures, à commencer probablement en Chine, où Les Neuf Chapitres sur l’Art des Mathématiques, datant de 263, évoquent un problème proche de celui présenté par Fibonacci (avec là encore un voyageur qui part dépenser son argent). On retrouvera ensuite ce problème (et sa résolution) dans des textes arméniens, dans des papyrus égyptiens, mais aussi sur le Lilivati de Bhāskarācārya, écrit en Inde vers 1150, juste avant la formalisation par Léonard de Pise. Mais la lecture de Fibonacci est facilité par l’utilisation de chiffres arabes, qui rendent les calculs plus proches de ceux que nous avons l’habitude de voir, tous les jours.

Références

Charpentier, A., Devineau, L. & Nessi, J.M. (2010) Mesurer le risque lors du calcul des provisions pour sinistres à payer. Risques 83, 93-100.

Fibonacci (1202). Fibonacci’s Liber abaci, traduit par Laurence E. Sigler A translation into modern English of Leonardo Pisano’s Book of calculation, Springer-Verlag,‎ (2002).

Goetzmann, W. N. (2005) Fibonacci and the Financial Revolution. In Goetzmann and Rouwenhorst, The Origins of Value: The financial innovations that created modern capital markets, Oxford University Press.

Le Gendre, F. (1684). L’arithmétique en sa perfection.

Le Goff, J.P. (2000). Une mise en perspective historique de la quatrième proportionnelle à la fonction linéaire, in Cahiers de la Maison de la Recherche en Sciences Humaines, n° 24, L’épistémologie de la règle de trois. Caen, Presses Universitaires de Caen, déc. 2000.

Schärlig, A. (2014). Les moyens de calcul du comptable antique. Revue d’Histoire des Comptabilités, 6.

Taulane, J. (1689) Trésor d’arithmétique des marchands et des géomètres.

Estimer une Proportion sur une Question Sensible, par Enquête

Comme le rapportait Slate hier (dans un article qui, malheureusement ne mérite pas d’être lu), un joli sujet a été proposé au baccalauréat au lycée français de Pondichéry, en mathématiques.

Ce sujet est d’autant plus intéressant qu’il revient sur une méthode assez classique pour questionner les gens sur des questions sensibles (ici sur le téléchargement pirate, mais on peut poser la même question sur la fraude, ou des pratiques sexuelles).

Comme le notait , cette technique avait été introduite initialement par Stanley Warner, voilà un demi-siècle,

Cette technique est particulièrement intéressante, tant d’un point de vu intellectuel que pratique. Plusieurs sur Twitter me faisaient remarquer que, contrairement à ce qui était raconté dans Slate, cette technique est effectivement utilisée.

Quand j’enseignais cette technique, je prenais la version simple, avec une pièce de monnaie. Supposons qu’une proportion  de personnes fraudent le fisc. Et qu’une proportion  aime Prince, va à la piscine une fois par mois, a un diplôme de l’enseignement supérieur, etc. Peut importe, la seconde proportion doit pouvoir être estimée sans problème avec une autre enquête (voire par le recensement). Bref, on a un estimateur de . Ici, les personnes interrogées tirent une pièce et répondent soit à la question “avez-vous déjà fraudé au Fisc?” s’ils tombent sur face, et à la question “aimez-vous Prince?” s’ils tombent sur pile. On pourrait dire qu’ils tirent une pièce dans leur tête, mais il faut s’assurer que la probabilité de tomber sur face est effectivement 1/2.

La magie est de noter que la proportion de personnes qui fraudent le fisc peut s’écrire

On peut avoir, par une autre enquête un estimateur du second terme, . Et en regardant des personnes qui ont répondu “oui” à une question inconnue, on a un estimateur pour

Et par différence, on en déduit un estimateur de . Les maths sont dans l’article de Stanley Warner, mais il faut reconnaître que la méthode est vraiment jolie…. Dans le cas du sujet du bac, la mise en oeuvre est un peu différente, mais l’idée est un peu la même….

(si certains ont des exemples pratiques d’application, les commentaires sont ouverts, ou sinon par mail pour joindre des documents en pièce jointe)

Partager la donnée : une question de confiance ?

Demain, les Rendez-vous Parlementaires de Bretagne sur l’Economie Numérique vont se poursuivre l’après midi, à partir de 14H dans les locaux de la French Tech Rennes-Saint Malo. Un groupe de travail autour de Partager la donnée : une question de confiance ? sera organisé, animé par Simon, avec une trentaine de participants venus du monde de l’entreprise mais aussi de la recherche, du milieu associatif et bien sur des élus de Rennes Métropole. A suivre donc….

An Open Lab-Notebook Experiment