All posts by Arthur Charpentier

Arthur Charpentier, professor in Montréal, in Actuarial Science. Former professor-assistant at ENSAE Paristech, associate professor at Ecole Polytechnique and assistant professor in Economics at Université de Rennes 1.  Graduated from ENSAE, Master in Mathematical Economics (Paris Dauphine), PhD in Mathematics (KU Leuven), and Fellow of the French Institute of Actuaries.
Selection_182

Les anniversaires de vos amis sur Facebook

J’ai découvert avec un peu de retard le joli billet Les anniversaires de vos amis sur Facebook, qui tentait de répondre à la question

Si je possède n amis, quelle est la probabilité qu’il y ait au moins un jour dans l’année où je n’ai pas d’anniversaire à souhaiter ?

Ce problème, on peut aussi l’analyses en posant plutôt la question suivante,

Il y a en tout 365 jours dans une année. Combien d’amis doit-on espérer avoir pour qu’il n’y ait pas un jour sans fêter un anniversaire d’un de ses amis ?

Le problème est différent. Mais la résolution est assez jolie, si on regarde attentivement.

Si je note  le nombre d’amis qu’il me faut pour couvrir tous les anniversaires, et que je commence à regarder, ami après ami le nombre de jours couverts. Supposons que j’ai  jours de l’année couverts, et notons  le nombre de nouveaux amis qu’il va me falloir avant de couvrir  jours de l’année. On peut voir que

Le point intéressant avec cette notation, c’est qu’on connaît la loi de . En fait,  on reconnaît une loi géométrique

Aussi, on peut assez facilement avoir le nombre moyen d’amis qu’il va falloir pour couvrir tous les jours de l’année,

Je laisse les amateurs de calculs essayer de simplifier, mais ça me semble compliqué. Par contre, numériquement on obtient facilement

> sum(365/(1:365))
[1] 2364.646

En fait, la somme, on peut quand même la simplifier un peu, car on reconnaît

Et on sait que

où  est la constante d’Euler. Et effectivement, avec cette approximation, on obtient

> (log(365)+ 0.57721)*365
[1] 2364.144

Ce nombre d’amis est à rapprocher du calcul fait sur https://blogdemaths.wordpress.com/, qui obtenait

on a une chance sur deux pour qu’il y ait au moins un jour sans anniversaire à souhaiter, il faut avoir environ 2285 amis

Calculer un quantile est un peu plus compliqué pour moi (je ne peux calculer que des moyennes), mais on voit que les ordres de grandeurs sont assez proches.

Selection_169

Income distribution and Tour de France

A few days ago, Jean-François Mignot published an interesting article entitled Tour de France 2014 : pourquoi le vainqueur gagne 100 fois plus que le 10e. In this article, we have the following graph, with the income of the cyclist, as a function of his final ranking (the data where downloaded from http://sportbuzzbusiness.fr/)

> bike=read.csv(
+ "http://freakonometrics.free.fr/tourdefrance.csv",
+ sep=";",header=TRUE,dec=" ")

> bike[1:19,"prime"]=bike[1:19,"prime"]*1000
> plot(bike,log="y",type="b",
+ xlab="(Final) rank",ylab="Bonus")

As pointed out by Jean-François, if the winner gets a lot of money, the bonus decreases fast, very fast actually. Gini index is very high here

> library(ineq)
> ineq(X,type="Gini")
[1] 0.910461

and if we look at Lorenz curve, indeed, the Tour de France is not very equalitarian,

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Selection_166

Somewhere else, part 150

Some writings worth reading, here and there

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Selection_117

London, Bayes and the Lloyd’s

Monday, we really had a great conference in London.

It was a great pleasure since I did learn a lot of things. And also a great honor to be the last speaker. Tuesday morning, I wanted to go to Thomas Bayes’grave, which is the the graveyard next to the CASS Business School. I had a good a apriori about where the grave should be,

but to be honest, it was not possible to get close enough to be able to read the name on it (even if I now know that it is the large one in the right lower corner of the picture)

Actually, on the internet, you can find some picture where the stone is clean, so you can learn that the grave is the “cotton” one – at least, you can easily read that name.

It was actualy more simple to see William Blake’s grave, as well as Daniel Defoe’s.

Then, with Leo, we’ve been to the Lloyd’s to see some friends, as well as Richard Rogers’s building.

At the 11th floor, you have a lot of rooms for meetings, as well as old paintings, to tell a bit more about the history of the company,

The building is just amazing. Unfortunately, to get in, there is a dress code. A sort of strict one actually. Leo is working for RBC, so he casually wears a suit. But I don’t. I mean, I did have a shirt, but as someone mentioned, “there is no collar !” (I don’t want to put my friend into trouble for helping me getting in).

So, after going throught the basement, we’ve been able to reach the elevator, and go on top.

The building is not exactly located where Edward Lloyd got his coffee shop (even after moving at the end of 1691 on Lombard street), but the Lloyd’s is still a legend for anyone interested in the history of insurance, and more generally, the history of risk modeling (and management).

Somewhere else, part 148

Some writings worth reading

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Selection_157

Bayesian Wizardry for Muggles

Monday, I will be giving the closing talk of the R in Insurance Conference, in London, on Bayesian Computations for Actuaries, as to be more specific, Getting into Bayesian Wizardry… (with the eyes of a muggle actuary). The animated version of the slides (since we will spend some time on MCMC algorithm, I thought that animated graphs could be more informative) can be downloaded from here.

Those slides are based on the chapter writen with Ben Escoto for the Computational Actuarial Science with R book, and some previous work.

Selection_124

La fresque de Joe Sacco

En matière de bandes dessinées relative à la grande guerre, j’ai longtemps cru que Jacques Tardi serait impossible à égaler. Lire C’était la guerre des tranchées ou Putain de Guerre était une expérience marquante. Mais il y a quelques semaines, j’avais acheté la fresque de Joe Sacco à mon fils, car je trouve qu’ils dessinent un peu de la même manière, avec des dessins denses et touffus, remplis de détails,

Comme toujours, Joe Sacco a un dessin qui marque. Mais alors que je lui reprochais toujours de parler trop dans ses livres, cette fois, on a une fresque de 7 mètres de long, silencieuse, devant laquelle on peut se planter, et regarder, comme la tapisserie de Bayeux

Et depuis une semaine, la fresque a été reproduite sur 130 mètres de long, dans le long couloir de la station de métro Montparnasse, dans le cadre des commémorations pour le centenaire

Je trouve l’idée incroyable, et j’avoue avoir hâte de vivre l’expérience. Vivement mardi prochain, où j’ai justement une correspondance à Montparnasse, en revenant de mon excursion à Londres !

1 tous les dessins sont extraits de La Grande Guerre, par Joe Sacco, publié en Français chez Futuropolis, et la photo devant la fresque est signée Bertrand Guay / AFP

Somewhere else, part 147

Some writings worth reading

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Selection_125

Variance of the Average of a Sequence

In the case where  are i.i.d. random variables, then

Now, what if  are identically distributed, but no longer independent. What if we have an autoregressive process? Assume that

Then

can be written

Here, we will express the variance as a function of  and , but it is possible to use also , since, in the context of an ,

Now, since  we get

which can be simplified, since

i.e.

So, the variance of the mean can be writen as

Observe that if  is large enough,

This asymptotic relationship is well known actually. A simple way to get it is the following. One can can write

or equivalently

But actually, the first relationship is probably more interesting to get an asymptotic approximation,

In the context of an  process, this can be writen

Thus, we get the following well-known relationship

In the case where  is an i.i.d. sequence, i.e. , then we get the relationship mentioned initially. And in the case of a random walk… unfortunately, we cannot use that relationship. But observe that

i.e.

which can be written

If we compare the true value and the approximation, we get the following graph,

> V=function(phi,s2=1,n=100){
+ g0=s2/(1-phi^2)
+ if(phi<1){
+ if(phi==0){v1=g0/n}
+ if(phi>0){v1=g0/n^2*(n+2*((n-1)*
+ phi^(-1)-n+phi^(n-1))/(phi^(-1)-1)^2)}
+ v2=g0/n*(1+phi)/(1-phi)
+ }
+ if(phi==1){
+ v1=(2*n+1)*(n+1)*s2/(6*n)
+ v2=NA
+ }
+ return(c(v1,v2))}
> 
> Vphi=function(phi) V(phi,1,100)
> x=seq(.01,1,by=.02)
> M=matrix(unlist(lapply(x,V)),nrow=2)
> plot(x,M[1,],type="l",col="red",log="y",
+ ylab="Variance of the average (log scale)",
+ xlab="Autoregressive coefficient")
> lines(x,M[2,],col="blue")

Somewhere else, part 146

Nothing special about 146. But some writings worth reading,

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