Examen intra, éléments de correction

L’énoncé de l’examen intra est en pdf ici et comme annoncé par courriel, la correction de l’intra est dans le pdf en ligne. Comme personne ne semble en désaccord avec les réponses proposées, les notes seront mises en ligne très bientôt. Concertant les questions 18 et 19 quelques compléments d’explications (que je n’avais pas tapé dans le pdf). On avait vu que l’estimateur du maximum de vraisemblance pour une régression de Poisson était asymptotiquement Gaussien,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{P}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\beta},V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{P}))

(asymptotiquement) avec

https://latex.codecogs.com/gif.latex?V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{P})=\left(\sum_{i=1}^n%20\widehat%20Y_i%20\boldsymbol{X}_i\boldsymbol{X}_i%27\right)^{-1}

Quand on a une régression de type binomiale négative, si on note de manière très générale https://latex.codecogs.com/gif.latex?\omega_i=\text{Var}(Y_i|\boldsymbol{X}_i) (on avait vu en cours qu’il existait plusieurs spécifications possibles pour cette variance conditionnelle). Dans ce cas,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{BN}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\beta},V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{BN}))

avec

https://latex.codecogs.com/gif.latex?V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{P})=\left(\sum_{i=1}^n%20\widehat%20Y_i%20\boldsymbol{X}_i\boldsymbol{X}_i%27\right)^{-1}\left[\sum_{i=1}^n%20\omega_i%20\boldsymbol{X}_i\boldsymbol{X}_i\right]\left(\sum_{i=1}^n%20\widehat%20Y_i%20\boldsymbol{X}_i\boldsymbol{X}_i%27\right)^{-1}

Bref, tout dépend fondamentalement de la spécification de la variance conditionnelle. Sous R, c’est la régression binomiale négative de type 1 qui est considérée, i.e.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\omega_i=\text{Var}(Y_i|\boldsymbol{X}_i)=\phi\cdot%20\mathbb{E}(Y_i|\boldsymbol{X}_i)=\phi%20\cdot%20\widehat{Y}_i

On toujours une relation de la forme

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{QP}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\beta},V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{QP}))

avec (en simplifiant un peu)

https://latex.codecogs.com/gif.latex?V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{QP})=\phi\cdot\left(\sum_{i=1}^n%20\widehat%20Y_i%20\boldsymbol{X}_i\boldsymbol{X}_i%27\right)^{-1}

aussi, on a

https://latex.codecogs.com/gif.latex?V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{QP})=\phi\cdot%20V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{P})

Mais comme annoncé en cours, des points étaient données pour ceux qui se contentaient d’affirmer que la variance des estimateurs était plus grande s’il y avait sur-dispersion.


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