Fibonacci, les lapins, le nombre d’or et les calculs actuariels

Léonard de Pise, souvent plus connu sous le nom de Fibonacci, a laissé sa trace dans les livres de mathématiques pour avoir étudié, ou plutôt modélisé, la reproduction des lapins. De la dynamique du nombre de lapins est né le nombre d’or, le fameux ratio magique, que l’on retrouve dans toute la peinture et l’architecte classique. Mais la contribution la plus importante est probablement le Liber Abaci, datant de 1202, dans lequel Fibonacci a introduit explicitement le principe d’actualisation financière en Europe. Fibonacci a grandi dans la colonie pisane de Bougie, en Algérie, où son père était officier des douanes. Et c’est probablement grâce à la culture arabe que les premiers calculs actuariels ont été formalisés.

La dynamique de reproduction des lapins et le nombre d’or

Fibonacci est connu par tous les étudiants du monde pour avoir posé le problème suivant:

partant d’un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu’après deux mois ?

Formellement, on cherche à décrire le comportement de la suite définie par la relation https://latex.codecogs.com/gif.latex?u_n=u_{n-1}+u_{n-2} (avec deux valeurs initiales). Comme cette suite est linéairement récurrente d’ordre deux, on peut écrire son équation caractéristique. On obtient une équation du second degré, https://latex.codecogs.com/gif.latex?x^2-x-1, dont une des racines est connue sous le nom de « nombre d’or »,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

qui vaut environ 1,618. On peut alors montrer que l’on obtient la formule dite de Binet,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?u_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n-\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^n\right)

Comme l’avait déjà remarqué Johannes Kepler, vers 1611, le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c’est-à-dire , converge vers le nombre d’or, https://latex.codecogs.com/gif.latex?\varphi. Ce nombre est appelé en anglais « golden ratio », car il s’agit aussi d’une proportion, d’un ratio, défini comme l’unique rapport https://latex.codecogs.com/gif.latex?a/b entre deux longueurs https://latex.codecogs.com/gif.latex?a et https://latex.codecogs.com/gif.latex?b, telles que la somme https://latex.codecogs.com/gif.latex?a+b sur la plus grande des deux (https://latex.codecogs.com/gif.latex?a sur la Figure 1) soit identique, autrement dit

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}

Alors forcément, la plus grande longueur est 61,8% plus grande que la petite. Euclide évoquait ce ratio très particulier dans ses Eléments. Comme le montre la Figure 1, ce ratio est utilisé pour construire une spirale. Luca Pacioli, un moine franciscain italien du Moyen Age, l’appelle la “divine proportion“. En effet, comme l’avait énoncé Saint Thomas d’Aquin, « les choses qui sont dotées de proportions correctes réjouissent les sens », ce qui semble conférer un caractère quasi-divin à ce nombre.

Figure 1 : interprétations géométriques du nombre d’or

Comme le montre la Figure 1, à gauche, à partir de rectangles dont le rapport des longueurs des deux côtés est égal au nombre d’or, on peut construire itérativement une succession de carrés emboîtés, sous forme de spirale. On retrouve ce découpage dans la composition d’un grand nombre de tableaux de la Renaissance, mais aussi dans plusieurs ouvrages architecturaux. Et si l’on colle deux rectangles dont le ratio des longueurs des côtés est égal au nombre d’or, un verticalement et un horizontalement, le prolongement de la diagonale du rectangle horizontal passera par le sommet du rectangle verticale. Cette figure se retrouve dans de nombreux croquis de Le Corbusier.

La notion de récursivité

Au-delà du fait que c’est à Fibonacci que l’on doit le fameux nombre d’or, cette suite récursive est surtout très populaire en informatique pour introduire la notion de récursivité. En effet, un algorithme pour calculer les termes de cette suite est

F = function(n) {

if(n>1) Fn = F(n-1) + F(n-2)

if(n<=1) Fn = n

return(Fn) }

Cet algorithme est simple, mais le temps d’exécution est long, très long. Si certains notent qu’il croit exponentiellement vite, on peut montrer assez simplement que le temps d’exécution est donné par une relation de type de celle de Fibonacci.

La comptabilité, en chiffres romains

Mais souvenons-nous que Fibonacci est né à la fin du XIIème siècle. Si la géométrie n’a pas beaucoup changé, l’arithmétique, elle a beaucoup changé. Pour rappel, on comptait alors encore bien souvent à l’aide de la numérotation romaine. Cette dernière est basée sur 7 symboles, I (pour 1), V (pour 5), X (10), L (50), C (100), D (pour 500) et enfin M (1000). A partir de ces symboles, certains nombres se construisent par addition (par exemple 11 va s’écrire XI) et d’autres par soustraction (4 va s’écrire IV): un symbole plus petit placé avant correspond à une soustraction, et un symbole plus petit placé après, à une addition. On s’attend ainsi à ce que tous les symboles soient placés par ordre décroissant (et si c’est le cas, on les ajoute), mais s’il y en a un qui est placé avant, on va le soustraire. Aussi, DCXIV contient les symboles D (500), C (100), X (10), I (1) et V (5). Comme 1 est avant 5, c’est qu’il faut lire -1, et pas +1. Et donc DCXIV vaut 500+100+10-1+5 soit 614. De même XLV correspond à -10+50+5, soit 45. Il existait aussi une forme d’écriture multiplicative. Par exemple 300 pouvait s’écrire CCC ou IIIC. Et 80 IVXX (d’où une explication possible de la forme française de “quatre-vingt”).

L’origine de ces symboles se trouve dans les entailles pratiques par les étrusques, sur des bouts de bois, ou des os. Mais chez les étrusques, seule l’addition de symboles était autorisée. Par la suite, les égyptiens ont adopté un système décimal, et introduit l’addition (uniquement), ce qui a permis aux scribes de faire des observations statistiques, et des prévisions. Lorsqu’ils adoptèrent la langue et les pratiques grecques, vers 300 avant Jésus Christ, les égyptiens ont commencé à tenir de véritables documents comptables, avec des stocks de données agricoles, et des flux monétaires. A la même époque en Grèce, les lettres de change existaient, et le prêt à intérêt était fréquent. A Athènes, la cour des logistes avait le rôle d’expert-comptable. Les romains ont poursuivi et amélioré cette tradition, avec des livres de recettes et de dépenses. L’arithmétique était complexe, comme en témoigne Schärlig (2014), et pourtant, ce système d’encoches a été utilisé probablement jusqu’au XVIIème siècle, en Europe.

Le livre des calculs, Liber Abaci, et la règle de trois

Fibonacci est l’auteur d’un Liber Abaci, correspondant à un livre des calculs (Abaci donnera par la suite le terme abaque). En fait, alors que la norme à l’époque était d’utiliser l’arithmétique romaine, Leonardo s’est énormément inspiré des mathématiques arabes. Les nombres arabes présentaient l’avantage d’utiliser le système décimal, ce qui a fait gagner énormément de temps de calcul (on peut aussi remonter à l’arithmétique indienne, basé sur le même système). Il y avait ainsi neuf symboles correspondant à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (et le 0 a été introduit au Vème siècle). Afin d’illustrer la simplicité des calculs, Fibonacci évoque intensément l’utilisation de la « règle de trois » (même s’il ne l’appelle pas ainsi, il faudra attendre Le Gendre (1684) pour voir évoqué cette terminologie). Cette règle, relative à la théorie des proportions, se retrouve aussi beaucoup utilisée chez Euclide (au IIIème siècle avant Jésus Christ): « si quatre nombres sont en proportions, le produit des extrêmes [le plus grand et le plus petit] est égal au produit des moyens ». En fait, la règle de trois permet de trouver ce qui s’appelle parfois la « quatrième proportionnelle », qui est le quatrième nombre à mettre dans un tableau de proportionnalité dont 3 cases sur 4 sont déjà remplies. Certains ont appelé la règle de trois la « règle d’or ».

En actuariat, le calcul des provisions pour sinistres à payer par conservation des cadences de paiements, repose historiquement sur cette règle. Le Tableau 1 illustre ainsi l’utilisation de la règle de trois pour estimer les paiements futurs : fin 2014, 57 millions d’euros avaient été payé au titre des sinistres de 2014, et fin 2015, 83 millions ; si fin 2015, 63 millions avaient été payés au titre des sinistres de 2015, on peut estimer qu’un peu plus de 90 millions seront payés fin 2016. Ce montant https://latex.codecogs.com/gif.latex?\color{red}{x} est obtenu, dans la méthode dite Chain Ladder (décrite dans Charpentier et al. (2010)), par la règle de trois.

paiements

année 1

paiements

année 2

2014

https://latex.codecogs.com/gif.latex?57

https://latex.codecogs.com/gif.latex?83

2015

https://latex.codecogs.com/gif.latex?63

https://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{red}{x}}=\frac{63\times%2083}{57}

Table1 : illustration de la règle de trois en provisionnement

On retrouve de nombreuses utilisations de cette règle dans les calculs comptables (on pourra consulter Taulane (1689)), mais c’est surtout à Fibonacci qu’on doit la formalisation de la règle, dans un contexte financier.

Les bases de l’actualisation

Mais on doit surtout à Fibonacci d’avoir formalisé le calcul actuariel. Rappelons que la valeur actuelle d’un ensemble de flux financiershttps://latex.codecogs.com/gif.latex?\lbrace%20F_1,\cdots,F_n\rbrace, versés dans le futur, à différentes dates s’écrit

https://latex.codecogs.com/gif.latex?V=\sum_{t=1}^n\frac{F_t}{(1+i)^t}

où https://latex.codecogs.com/gif.latex?i est le taux d’actualisation. Cette à cette formule que va aboutir Fibonacci, dans le Liber Abaci, lorsqu’il va tenter de résoudre le problème suivant

« Un homme se rend à Lucca pour affaires, où il double son argent. Il dépense là-bas 12 dinars. Ensuite, il va à Florence où il peut là encore doubler son argent, et il dépense encore 12 dinars. Puis il va ensuite à Pise, double encore son investissement, et dépense à nouveau 12 dinars. Quelle somme avait-il au début? »

Ce calcul de la somme initiale correspond fondamentalement au calcul d’une valeur actuelle. Pour reprendre les notations de Fibonacci pour investir 1 à Pise (la troisième ville), il faut disposer de ½½½, qu’il interprète comme un facteur d’escompte. Pour investir 1 à Florence (la seconde ville), il fallait disposer de ½½ au début. Etc. Pour connaître la somme initiale, on notera que le facteur d’actualisation est ½+½½+½½½, soit 7/8. Le capital initial est alors 7/8×12, soit 10 ½ . Avec des notations plus contemporaines, avec https://latex.codecogs.com/gif.latex?i = 100%, on veut calculer,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{12}{(1+i)}+\frac{12}{(1+i)^2}+\frac{12}{(1+i)^3}

On retrouve ici la définition classique de la valeur présente d’un ensemble de flux financier. Mais plus sophistiqué, Fibonacci propos ensuite le problème suivant

« Un soldat se voit offrir une annuité par un roi, de 300 par an, payée à une cadence trimestrielle, à hauteur de 75 par trimestre. Soudain, le roi change pour 300, payé en fin d’année. Le soldat est capable de gagner 2 pour 100 placés, par mois (à la fin de chaque trimestre) à partir de son investissement »

On retrouve ici un problème qui pourrait être posé à un examen sur les calculs actuariels.

Conclusion

Depuis Goetzmann (2005) et la redécouverte des travaux de Léonard de Pise, beaucoup considèrent que Fibonacci a introduit le calcul actuariel en Europe, ou plutôt son formalise, avec des notations très contemporaines. Mais il convient de rappeler que l’actualisation existait depuis bien longtemps. Des traces de formalisation se retrouvent dans toutes les cultures, à commencer probablement en Chine, où Les Neuf Chapitres sur l’Art des Mathématiques, datant de 263, évoquent un problème proche de celui présenté par Fibonacci (avec là encore un voyageur qui part dépenser son argent). On retrouvera ensuite ce problème (et sa résolution) dans des textes arméniens, dans des papyrus égyptiens, mais aussi sur le Lilivati de Bhāskarācārya, écrit en Inde vers 1150, juste avant la formalisation par Léonard de Pise. Mais la lecture de Fibonacci est facilité par l’utilisation de chiffres arabes, qui rendent les calculs plus proches de ceux que nous avons l’habitude de voir, tous les jours.

Références

Charpentier, A., Devineau, L. & Nessi, J.M. (2010) Mesurer le risque lors du calcul des provisions pour sinistres à payer. Risques 83, 93-100.

Fibonacci (1202). Fibonacci’s Liber abaci, traduit par Laurence E. Sigler A translation into modern English of Leonardo Pisano’s Book of calculation, Springer-Verlag,‎ (2002).

Goetzmann, W. N. (2005) Fibonacci and the Financial Revolution. In Goetzmann and Rouwenhorst, The Origins of Value: The financial innovations that created modern capital markets, Oxford University Press.

Le Gendre, F. (1684). L’arithmétique en sa perfection.

Le Goff, J.P. (2000). Une mise en perspective historique de la quatrième proportionnelle à la fonction linéaire, in Cahiers de la Maison de la Recherche en Sciences Humaines, n° 24, L’épistémologie de la règle de trois. Caen, Presses Universitaires de Caen, déc. 2000.

Schärlig, A. (2014). Les moyens de calcul du comptable antique. Revue d’Histoire des Comptabilités, 6.

Taulane, J. (1689) Trésor d’arithmétique des marchands et des géomètres.


6 thoughts on “Fibonacci, les lapins, le nombre d’or et les calculs actuariels”

  1. Il est rare que la culture fasse appel aux mathématiques et encore plus de trouver le contraire. Ici l’équilibre est ” doté de proportions correctes réjouissent les sens” !
    En outre, la photo de D. Trump modélisé en spirale, résume la personne…
    Bravo!

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