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Hypothèse d’indépendance en assurance

Il y a deux semaines, j’ai reçu un mail dans ma boite à l’ensae (que je consulte rarement) qui posait une vraie question. “Pour le modèle de risque collectif : S=X1+X2+…+XN. On suppose que les Xi et N sont indépendants (montant de sinistres et nombre de sinistres). Question : Dans la pratique (par exemple : assurance automobile), comment peut-on expliquer cette indépendance.

Sur la forme de la question, on mélange un peu théorie et pratique: c’est la théorie qui impose cette hypothèse, et effectivement, il convient de la confronter à la pratique afin d’utiliser les résultats qui découlent du modèle collectif (en particulier en terme de solvabilité, j’en parlerai à la fin). Mais cela pose toutefois une question très intéressante.

Pour rappels, cette hypothèse a été faite par Filip Lundberg quand il a proposé les premiers résultats  en 1903 (voire plus tôt), à l’époque où l’étude des processus était assez peu développée… Charles Spearman n’a introduit sa mesure de corrélation qu’en 1904, par exemple (même si on peut trouver des choses chez Francis Galton en 1888, puis chez Karl Pearson en 18921). Autrement dit, le premier modèle reposait sur les hypothèses les plus simples possibles (pour l’époque). Depuis, l’étude des processus ponctuels s’est beaucoup développée, et énormément de résultats ont été obtenus. Autrement dit, il existe des résultats théoriques permettant de s’affranchir de cette indépendance.

Petite remarque en passant, dans les livres avec Michel Denuit, on avait insisté longuement sur cette hypothèse d’indépendance… et c’est précisément sur ce point que Claude Bébéar avait ouvert la préface (ici) et qu’Hans Bühlmann avait clôturé la postface (). C’est d’ailleurs Hans Bühlmann qui notait en 1963 que “the independence hypothesis is so common to be made that many authors forget to mention it“.
Pour être un peu complet, il y a trois indépendances distinctes dans les hypothèses du modèle collectif:

  • d’indépendance entre les arrivées des sinistres, on parle plus proprement d’hypothèse d’un processus de Poisson homogène (les durées entre survenances suivent des lois exponentielles indépendantes),
  • d’indépendance entre les coûts (individuels) des sinistres,
  • d’indépendance entre les coûts de sinistres, et les arrivées.

C’est surtout la première hypothèse qui a été relâchée. On retrouvera des exemples dans les papiers suivants

  • Malinovskii, V.K. (1998). Non-Poissonian claims’ arrivals and calculation of the probability of ruin. Insurance: Mathematics and Economics, 22, 2, 123-138.
  • Gyllenberg, M. & Silvestrov, D.S. (2000). Cramer-Lundberg approximation for nonlinearly perturbed risk processes. Insurance: Mathematics and Economics, 26, 1, 75-90.

Sur les aspects pratiques, on peut retrouver ce phénomène en particulier sur les catastrophes naturelles qui sont très cycliques. L’exemple le plus connu et le plus étudié est les ouragans,

  • Parisi, F. & Lund, R. (2000). Seasonality and return periods of landfalling Atlantic basin hurricanes. Australian and New Zealand Journal of Statistics, 42, 3, 271-282.

Mais on a la même chose en assurance auto, à cause de la pluie et du brouillard (en France en tous cas2).
Pour la seconde, on peut trouver des choses dans les derniers papiers de Stéphane Loisel (ici).
Mais c’est le dernier point qui était évoqué, et seulement celui là… Avec la même dichotomie que tout à l’heure, on trouve des résultats théoriques, en particulier dans les papiers d’Hansjorg Albrecher

  • Albrecher, H. & Boxma, O.J. (2004). A ruin model with dependence between claim sizes and claim intervals. Insurance: Mathematics and Economics, 35, 2, 245-254.

Sur les aspects pratiques, l’exemple le plus classique et le plus étudié est celui des tremblements de terre. Pour faire très simple, un tremblement de terre est causé par une accumulation d’énergie: plus on attend, plus le tremblement de terre risque d’être important. Bref, d’un point de vue pratique, cette hypothèse peut être délicate à supposer. On avait utilisé un modèle ACD avec un processus marqué dans le cas des crues de rivières par exemple, dans un papier avec David Sibaï (ici). On modélisait un processus joint prenant en compte les durées des crues, les durées entre crue, et les importances des crues. Là aussi, intensités et durées ne sont pas indépendant.

Mais au delà de l’explication, il faut aussi – peut être – essayer de tester cette indépendance. Si quelqu’un a des données ou des résultats sur ce sujet, je suis preneur.

Pour conclure, je dirais que cette hypothèse d’indépendance est fondamentale. Si on la supprime, on peut perdre beaucoup de résultats classiques, sur la solvabilité par exemple. Pour reprendre une idée commune partagée par beaucoup de monde, dans l’Encyclopaedia of Financial Engineering and Risk Management, (ici) on apprend que “reinsurance is able to offer additional underwriting capacity for cedants, but also to reduce the probability of a direct insurer’s ruin“. En fait, ce résultat devient faux si l’on supprime cette hypothèse d’indépendance: on peut augmenter la probabilité de ruine en se réassurance ! La réassurance diminue alors la solvabilité de la compagnie d’assurance (ou tout du moins peut le faire). C’est dans un papier que j’ai soumis récemment, je garde donc tout ça pour un billet dans les mois à venir… à suivre donc.

1 Sur la corrélation de Pearson – que j’ai beaucoup critiqué sur ce blog – je renvoie à un très beau papier que je viens (seulement) de découvrir, de Joseph Rodgers et Alan Nicewander, intitulé Thirteen Ways to Look at the Correlation Coefficient (ici)
2 Si quelqu’un a des données pour illustrer ce point, je suis preneur !

Article (de vulgarisation) sur les mesures de risque

Parution d’un article sur l’histoire des mesures de risques, dans la revue Risques, en partant des débats suite à la vaccination, jusqu’à l’adoption de la VaR (Value-at-Risk, i.e un quantile statistique) sous la pression de JP Morgan. En particulier, je voulais rappeler dans ce débat le lien avec la “probabilité de ruine“, étudiée en actuariat depuis plus d’un siècle correspondant à la principale mesure de risque car explicitement liée à la solvabilité d’une compagnie d’assurance.

Article (de vulgarisation) sur les tables de mortalité

Parution d’un article sur l’histoire des tables de mortalité. Le but était d’expliquer la problématique de la construction des nouvelles tables, i.e. des tables prospectives, faites en prenant en compte la dynamique des taux de mortalité, avec les améliorations observées depuis une cinquantaine d’années (si ce n’est plus).

Les tables de mortalité sont un élément essentiel en actuariat puisque légalement, le seul rôle reconnu aux actuaires est précisément dans la certification des tables. Mais de plus, historiquement, les tables de mortalité sont intéressantes puisqu’elle ont permis aux actuaires de participer au développement de la théorie des probabilités. Sur un exemple simple, on peut ainsi voir une élégante application des calculs de lois conditionnelles.

Article (de vulgarisation) sur la crédibilité

Parution d’un court article sur la Théorie de la Crédibilité dans la revue Risques.

La théorie de la crédibilité est une jolie application de l’approche bayésienne de la statistique, puisque l’on cherche à déterminer la probabilité d’appartenir à une classe de risque conditionnellement à une expérience de sinistralité observée. La théorie développée par Hans Bühlmann propose d’ailleurs de jolies applications, en particulier sur les jeux de fléchettes, où l’on compare la moyenne sur un sous-groupe homogène (ou supposé l’être) avec la moyenne de la population totale. En faisant intervenir des variance intra et des variances inter, on arrive à un résultat relativement simple et élégant.