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Can predictive models be fair?

In Nosedive the first episode of season 3 of the television series Black Mirror, we discover the dystopia of a society governed by a “personal rating”, a score, a score ranging from 0 to 5. In this world, each person rates the others, the best rated having access to better services (priority in services, better rates, better prices, etc). Will this tendency to construct scores in all sorts of fields (historically on credits but today on criminal, even civic aspects in some countries) not lead to a world that would be an endless popularity contest? And how would it be compatible with social justice, a priori desirable?

Credit scores and social networks

A credit score is, from an actuarial point of view, a quantity proportional to the probability of not honouring its commitments as a creditor. It may also be able to pay the due dates for three consecutive months, or just be late. In real life, as always, it’s a little more complicated. In the United States or Great Britain, it is not uncommon for students to go into debt for decades in order to have the opportunity to follow the courses that interest them (even if the motivation is mainly to obtain a degree at the end of the course). But above all, as soon as they reach the age of 18, credit rating companies will monitor all their movements. Often without their knowledge. And if one day, a consumer credit or mortgage is refused, the reasons are never motivated. Is it a delay in paying rent? Forgotten library fines? An unpaid water bill, years old?

Credit rating companies in the United States, but also in China, are beginning to explore the use of social media data to improve credit scores. Can’t counting the number of times a user uses the word “wasted” in what they post online reveal information about debt repayment? This is at least what the American credit analyst FICO claims: “If you look at how many times a person says’wasted’ in their profile, it has some value in predicting whether they’re going to repay their debt (…) It’s not much, but it’s more than zero” (quoted in McLannahan (2015)). In China, peer-to-peer lender Jubao revealed that he was more likely to give “bonuses” to borrowers if they were Facebook friends with celebrities, as Botsman (2017) tells us.

For the moment, credit rating companies still use the data they know well (utility bills and credit cards), but they imagine that a lot of interesting information must be accessible (in one way or another) on social networks. But data are still scarce, and difficult to analyze. What about the sarcastic or humorous component in a tweet using the word “wasted”? As is often the case, the difficulty is that truly relevant data are difficult to obtain. If it is possible to have information on the payment of rent when a tenant goes through an agency, what to do for transactions between two individuals? And if that were possible, how would you handle the roommate case? Not getting credit because a former roommate didn’t pay on time becomes disturbing. All the more so if it is perhaps about a cellular telephone bill claimed abusively by the telephone company, whereas the subscription had been cancelled.

But the big “malus” in the credit score is often the fact of never having had a credit card. One might think that a person who did not need a credit card (and was satisfied with a debit card, allowing him to buy from a merchant, like most bank cards in France) is a prudent person, who does not need credit for daily expenses. But for credit institutions, this person is not reliable because we don’t know him. And it is up to it to prove that it is (we return to the recurrent practice of reversing the burden of proof mentioned in Charpentier(2016)). This is strangely what happens today when you want to enter the American soil without having a Facebook page.

In a world of widespread surveillance

What if credit institutions aren’t the only ones interested in our lives? What would a world be if, in addition to knowing if I pay my bills on time, some people wanted to know about my networks of friends, which newspapers I read, whether I prefer to buy whole milk or semi-skimmed milk? When we visit the Stasi Museum in Berlin, we discover that this world existed, that 1 person out of 63 was an agent (or indicator) of the Stasi (counting the occasional indicators, the proportion can reach one person out of 6). The museum describes a total panoptism, each being observed permanently, as described by Foucault (1975). But doesn’t this nightmare correspond to today’s world of permanent surveillance, more or less consented. Surveillance via cellular phones (geolocation for the most common function, but sometimes also audio recordings without the user’s knowledge by certain applications), via connected objects, but also surveillance cameras coupled with increasingly powerful facial recognition algorithms. At the end of 2017, 170 million cameras were installed in China, and the 300 million mark should be reached by 2020. During an experiment attempted by the BBC[1], it took 7 minutes to find the journalist John Sudworth walking in the streets.

The danger is that you never know who’s in control. More and more private security companies have partnered with governments. Email providers read our messages to detect spam, but also to resell certain information. For example, in the Privacy Policy attached to Gmail’s Terms of Use (Google) we read “Our automated systems analyze your content (including email) to provide you with custom product features, such as (…) custom advertising. Insurers are increasingly considering the installation of GPS boxes in cars, but through external service providers. Beyond the ownership of data (mentioned in Charpentier & Suire (2016)) we can wonder about their resale, and their use. Knowing that someone regularly visits a blood transfusion centre is potentially interesting information, especially coupled with others.

Since 2014, the Chinese government has been working on an evaluation system for its own citizens, scheduled to be implemented in 2020, as Trujillo (2017) tells us. This “social credit system” aims to create a “citizen score” (to use the expression of Galeon & Bergan (2017)), in order to predict and prevent potential dangers, normalizing individual behaviour through panoptic devices (e.g. video surveillance), inducing self-defence and self-control reflexes. As Foucault (1975) said, it is a question of “ensuring that surveillance is permanent in its effects, even if it is discontinuous in its action; that the perfection of power tends to make the topicality of its exercise useless” (even today, it is more and more continuous in its action). Some of these scores are used by police to find out where to patrol to reduce crime, such as PredPol. But when we look more closely, the predictions say, in substance, that the crimes will take place (in majority) in the (historically) most criminogenic areas of the city. The boundary between banality and tautology is narrow. And the real danger is that scores often transform probabilities into near-certainties, and suspicion becomes proof, as Supiot (2015) noted.

Predictive justice and actuarial methods

In June 2010, a report from the Academy of Medicine called for “improving the practice of expert sex offender dangerousness by teaching and disseminating actuarial methods. These “actuarial methods” are quite simply scoring techniques, “profiling” as defined in the European regulation on personal data of 27 April 2016 (RGDP). Angèle Christin was interested in algorithms that estimate the probability of recidivism in the American criminal justice system. As she has shown, these techniques raise many questions, particularly discriminatory biases, the opacity that makes recourse difficult, and especially the difficulty of understanding what is actually calculated. In the State of Virginia, a score between 1 and 10 is returned, an agreement taken over by Compas (Correctional Offender Management Profiling Alternative Sanctions) which also offers a colour code that predicts the risk of violent recidivism. It is then a decision-making tool, a machine that cannot place a person in detention alone (Christin et al. (2015)).

The conclusions of a predictive score depend on two key elements: the model used, and the data. In the majority of cases in the United States, model codes remain opaque (and therefore impossible to attack), and few have seen the data used to calibrate these models. But one can ask oneself if the court decisions are not also relatively opaque? Judges must certainly give reasons for their decisions, which makes them open to criticism and attack, but if the process were so transparent, shouldn’t the outcome of a (human) trial then be more predictable? Finally, the different biases are quite simple to understand. Suppose being rich means having a good lawyer, and having a good lawyer means not having certain convictions. In this case, a wealth variable (the type of vehicle owned for example) will be positively related to not being guilty (convicted coupagle), and will lower the dangerousness score. The other danger in selection biases is that they are sometimes complex to understand, even paradoxical. A classic example is shown in Figure 1. During World War II, engineers and statisticians were asked how to reinforce bombers who were facing enemy fire.

Figure 1: Damaged locations of returned aircraft (source: McGeddon 2016)

Statistician Abraham Wald began collecting data on impacts in the cabin, as reported by Mangel & Samaniego (1984). To everyone’s surprise, he recommended shielding the areas of the aircraft that showed the least damage. Indeed, the aircraft used in the sample had a significant bias: only returned aircraft were taken into account. If they were able to return with holes at the tips of the wings, it is because these parts are sufficiently solid. And since no aircraft returned with holes in the propeller engines, these were the parts that needed to be reinforced.

Another danger is where causal relationships are reversed. What about this doctor who prescribes a powerful neuroleptic to a patient under investigation, lest justice reproach him for not having seen the dangerousness of his patient, and conversely, justice relies on this prescription to prove that the patient is dangerous? A poorly designed algorithm could misunderstand the meaning of causal relationships.

But predictive models in judicial matters are not only on the side of judges. In the event of a road traffic accident, the Badinter Act (of 5 July 1985) provides for a “right to compensation” for any victim of a traffic accident involving a land motor vehicle. When the driver’s insurance company offers compensation, the victim makes a quick cost/benefit analysis to find out if he goes to court. If it does not formally construct a predictive model, it tries to see, from some elements to its knowledge, the costs of asking a judge to decide on the amount of compensation, and its (potential) benefits.

Another important point is that lawyers call these “predictive” models “actuarial” models. The first function of actuaries was to discount, to calculate the value of time. And judicial time often has disastrous consequences. How would a human decision, imperfect, taken after 5 years of procedure be “better” than an automatic decision taken in 15 days by a machine? Many people who have known proceedings of several years, resulting in a dismissal, dream of accelerated procedures. Because “lost time” has a value, actuaries know it well.

What then of this efficiency of algorithmic models? Justice must be effective, but this constraint must not make us forget the central objective, which is to render justice. What happens if efficiency becomes an objective, not to say the main objective? This is the question posed by predictive models: what is the objective that we are trying to maximize? And how is it formulated in a simple way?

Decision support, or justification for decision making?

In the United States, many judges have been accused of motivating a judgment using decision support tools, which leaves some doubt as to the real function of these tools. The original idea was to help. Recently, several systems put in place in the past years have been questioned. For example, in Australia, the STMP (Suspect Targeting Management Plan) proposed to identify whether or not pre-adolescents should be monitored. This model is similar to any actuarial model, i.e. a risk assessment and prediction tool, focusing either on repeat offenders or on those suspected of committing a future crime. However, a recent report showed that its use had “no observable impact on crime prevention” [2]. At the same time in the United States, Compas (Correctional Offender Management Profiling Alternative Sanctions) has been criticized in Dressel & Farid (2017) : “Advocates of these systems argue that data and advanced automated learning make these analyses more accurate and less biased than those of humans. However, we show that the widely used Compas risk assessment software is no more accurate or fair than predictions made by people with little or no criminal justice expertise. By questioning people recruited on the Internet, without legal skills, it was a question of predicting whether or not people would commit another crime within the next two years. Compas was wrong in 34.8% of cases, and Internet users in 33% of cases. That said, one may wonder here what “to be wrong” means. In this case, recidivism is not measured here, but conviction for recidivism. What if the models (or the people) hadn’t been wrong, but the judges, on the other hand, had?

Predict and make mistakes

And if one of the worries did not come in what one asks a predictive tool? To predict is (basically) to establish a probability for a future fact. As was pointed out in a debate on polls and elections, can we say that we are wrong if we announce that an event can happen with a 5% chance, and that it actually happens? To know if a forecasting technique is good, you need to collect a forecast set, and compare them to observations. This is what meteorologists have been doing for about fifteen years, and which has been formalised by Gneiting et al. (2007). Their idea is that a set of predictive distributions is obtained by a \{\hat F_t,\hat F_{t+1},..,\hat F_{t+h}\} model and it is appropriate to compare these distributions to \{y_t,y_{t+1},..,y_{t+h}\} – and not \{\hat y_t,\hat y_{t+1},..,\hat y_{t+h}\}. It is then necessary to introduce a distance between the predictive distributions, and the observations. In a physical system, it is possible to imagine understanding the different causal relationships, and thus to predict. But in human relations (and justice is a perfect example), nothing is as simple, as automatic as the laws of fluid mechanics that make it possible to model meteorological phenomena.


Binet, Jacques-Louis, 2010, La prévention médicale de la récidive chez les délinquants sexuels. Académie de Médecine.

Botsman, Rachel. 2017. Who Can You Trust?: How Technology Brought Us Together – and Why It Could Drive Us Apart. Portfolio Penguin

Charpentier, Arthur & Suire, Raphaël 2016. Données et santé: valeurs, acteurs et santé. Risques, 107

Charpentier, Arthur. 2016. Les dérives du principe de précaution. Risques. 108

Christin, Agnèle, Rosenblat, Alex & Boyd, Danah 2015. Courts and Predictive Algorithms. Datacivilrights

Dressel, Julie & Farid, Hany 2018. The accuracy, fairness, and limits of predicting recidivism. Science Adavances

Foucault, Michel 1975 Surveiller et punir, naissance de la prison. Gallimard

Galeon, Dom & Bergan, Brad 2017. China’s “Social Credit System” Will Rate How Valuable You Are as a Human. Futurism

Gneiting, Balabdaoui & Raftery 2007. Probabilistic forecasts, calibration and sharpness. JRRS-B, 69, 243–268.

Mangel, Marc & Samaniego, Francisco 1984.  Abraham Wald’s work on aircraft survivability , Journal of the American Statistical Association, vol. 79, no 386,‎ 259–267

McLannahan, 2015 Being ‘wasted’ on Facebook may damage your credit score (Octobre 2015, Financial Times)

Supiot, Alain 2015. La gouvernance par les nombres : cours au Collège de France, 2012-2014. Fayard.

Trujillo, Elsa 2017. La Chine met en place un système de notation de ses citoyens pour 2020. Le Figaro, décembre 2017

[1] In « In Your Face: China’s all-seeing state » http://www.bbc.com/news/av/world-asia-china-42248056/in-your-face-china-s-all-seeing-state

[2] https://www.numerama.com/politique/300907-un-algorithme-teste-par-la-police-pour-anticiper-les-crimes-des-jeunes-inquiete-laustralie.html



Les machines, les procédures, et la fuite de la responsabilité

On essaye de nous faire croire que l’intelligence artificielle est une « révolution ». Et s’il n’en était rien ? Ne peut-on pas voir tout simplement la logique d’un processus qui remonte au moins aux cinquante dernières années ? La bureaucratie nous a poussés à mettre en place dans tous les domaines de la vie de tous les jours des procédures simples, permettant à tout-à-chacun de se dégager de toute responsabilité, de ne plus avoir à faire preuve d’intelligence. Les algorithmes font peur, on se demande où se trouve l’ « humain » dans ces procédures décisionnelles… Et s’il avait déjà disparu depuis bien longtemps ?

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Les modèles prédictifs peuvent-il être justes ?

Dans Nosedive (traduit par le titre Chute Libre en France), le premier épisode de la saison 3 de la série télévisée Black Mirror, on découvre la dystopie d’une une société régie par une « cote personnelle », une note, un score allant de 0 à 5. Dans ce monde, chaque personne note les autres, les mieux notés ayant accès à de meilleurs services (priorité dans les services, meilleurs taux, meilleurs prix, etc). Cette tendance à construire des scores dans toutes sortes de domaines (historiquement sur les crédits mais aujourd’hui sur des aspects criminels, voire civiques dans certains pays) ne va-t-elle pas déboucher sur un monde qui serait un concours de popularité sans fin ? Et comment serait-elle conciliable avec une justice sociale, a priori souhaitable ?

Les scores de crédit et les réseaux sociaux

Un score de crédit est, d’un point de vue actuariel, une grandeur proportionnelle à la probabilité de ne pas honorer ses engagements en tant que créditeur. Ça peut être de plus pouvoir payer les échéances trois mois consécutifs, ou juste d’avoir un retard. Dans la vraie vie, comme toujours, c’est un peu plus compliqué. Aux Etats-Unis ou en Grande Bretagne, il n’est pas rare que les étudiants s’endettent sur des dizaines d’années pour avoir l’opportunité de suivre les cours qui les intéressent (même si la motivation est surtout d’obtenir un diplôme en fin de parcours). Mais surtout, dès qu’ils atteignent d’âge de 18 ans, des sociétés de notation de crédit vont surveiller tous leurs déplacements. Souvent à leur insu. Et si un jour, un crédit consommation ou hypothécaire est refusé, les raisons ne sont jamais motivées. Est-ce un retard dans un paiement de loyer ? Des amendes de bibliothèques oubliées ? Une facture d’eau impayée, vieille de plusieurs années ?

Les sociétés de notation de crédit aux États-Unis, mais aussi en Chine, commencent à étudier la possibilité d’utiliser des données provenant de médias sociaux pour améliorer le score de crédit. Compter le nombre de fois où un utilisateur utilise le mot « gaspillé » (« wasted » en anglais) dans ce qu’il poste en ligne ne peut-il pas révéler une information quant au remboursement de dettes ? C’est en tout cas ce que prétend l’analyste de crédit américain FICO: « If you look at how many times a person says ‘wasted’ in their profile, it has some value in predicting whether they’re going to repay their debt (…) It’s not much, but it’s more than zero » (cité dans McLannahan (2015)). En Chine, le prêteur peer-to-peer Jubao a révélé qu’il était plus susceptible de donner des « bonus » aux emprunteurs s’ils étaient des amis Facebook avec des célébrités, tel que le raconte Botsman (2017).

Pour l’instant, les sociétés de notation de crédit utilisent encore les données qu’elles connaissent bien (factures de services publics et cartes de crédit), mais elles imaginent que bien des informations intéressantes doivent être accessibles (d’une manière ou une autre) sur les réseaux sociaux. Mais les données sont encore rares, et difficiles à analyser. Quid de la composante sarcastique ou humoristique dans un tweet utilisant le mot « wasted » ? Comme souvent, la difficulté est que les données réellement pertinentes sont difficiles à obtenir. S’il est possible d’avoir des informations sur le payement du loyer quand un locataire passe par une agence, que faire pour les transactions entre deux particuliers ? Et si c’était possible, comment traiter le cas de colocataires ? Ne pas obtenir de crédit parce qu’un ancien colocataire n’a pas payé dans les temps devient dérangeant. D’autant plus s’il s’agit peut-être d’une facture de téléphone cellulaire réclamée abusivement par la compagnie de téléphonie, alors que l’abonnement avait été résilié.

Mais le gros « malus » dans le score de crédit est bien souvent le fait de ne jamais avoir eu de carte de crédit. On pourrait penser qu’une personne qui n’a pas eu besoin d’une carte de crédit (et se contentait d’une carte de débit, permettant d’acheter chez un commerçant, comme la majorité des cartes bancaires en France) est le propre d’une personne prudente, qui n’a pas besoin de crédit pour des dépenses quotidiennes. Mais pour les établissements de crédit, cette personne n’est pas fiable car on ne la connait pas. Et c’est à elle de prouver qu’elle l’est (on revient à la pratique récurrente d’inversion de la charge de la preuve évoqué dans Charpentier(2016)). C’est étrangement ce qui se passe aujourd’hui quand on veut entrer sur le sol américain sans avoir de page Facebook.

Dans un monde de surveillance généralisée

Et si les établissements de crédit n’étaient pas les seuls intéressés par notre vie ? Que serait un monde si, en plus de savoir si je paye mes factures à temps, certains cherchaient à connaître mes réseaux d’amis, à savoir quels journaux je lis, si je préfère acheter du lait entier ou du lait demi-écrémé ? Quand on visite le musée de la Stasi à Berlin, on découvre ce monde a existé, que 1 personne sur 63 était agent (ou indicateur) de la Stasi (en comptant les indicateurs occasionnels, la proportion peut atteindre une personne sur 6). Le musée décrit un panoptisme total, chacun étant observé en permanence, comme le décrit Foucault (1975). Mais ce cauchemar ne correspond-il pas à monde actuel, de surveillance permanente, plus ou moins consentie. Surveillance via les téléphones cellulaires (géolocalisation pour la fonction la plus courante, mais parfois aussi des enregistrements audio à l’insu de l’utilisateur par certaines applications), via les objets connectés, mais aussi les caméras de surveillance couplées à des algorithmes de reconnaissance faciale de plus en plus performant. Fin 2017, en Chine 170 millions de caméra étaient installées, et le cap des 300 millions devrait être atteint d’ici 2020. Lors d’une expérience tentée par la BBC[1], il a fallu 7 minutes pour retrouver le journaliste John Sudworth qui se promenait dans les rues.

Le danger est que l’on ne sait jamais trop qui contrôle. De plus en plus de compagnies privées de sécurité se sont associées aux gouvernements. Les fournisseurs de messageries électroniques lisent nos messages pour détecter du spam, mais aussi pour revendre certaines informations. Par exemple, dans les règles de confidentialité annexées aux conditions générales d’utilisation de Gmail (Google) on lit « Nos systèmes automatisés analysent vos contenus (y compris les e-mails) afin de vous proposer des fonctionnalités personnalisées sur les produits, telles que (…) des publicités sur mesure ». Les assureurs envisagent de plus de plus l’installation de boitiers GPS dans les voitures, mais en passant par des prestataires externes. Au-delà de la propriété des données (évoqué dans Charpentier & Suire (2016)) on peut s’interroger sur leur revente, et leur utilisation. Savoir que quelqu’un se rend régulièrement dans un centre de transfusion sanguine est une information potentiellement intéressante, surtout couplée à d’autres.

Depuis 2014, le gouvernement chinois travaille sur un système d’évaluation de ses propres citoyens, programmé pour être mis en place en 2020, comme le raconte Trujillo (2017). Ce « système de crédit social » vise à créer un « score citoyen » (pour reprendre l’expression de Galeon & Bergan (2017)), afin de prédire, et prévenir, les dangers potentiels, normalisant les conduites individuelles par des dispositifs panoptiques (par exemple la vidésurveillance), induisant des réflexes d’autodéfense et d’autocontrôle.  Comme le disait Foucault (1975), il s’agit de « faire que la surveillance soit permanente dans ses effets, même si elle est discontinue dans son action; que la perfection du pouvoir tende à rendre inutile l’actualité de son exercice » (même souvent, aujourd’hui, elle est en plus continue dans son action). Certains de ces scores sont utilisés par la police pour savoir où patrouiller pour faire baisser la criminalité, comme PredPol. Mais quand on y regarde de plus près, les prédictions disent, en substance, que les crimes auront lieu (en majorité) dans les zones (historiquement) les plus criminogènes de la ville. La frontière entre la banalité et la tautologie est étroite. Et le réel danger est que bien souvent, les scores transforment les probabilités en quasi-certitudes, et le soupçon devient une preuve, comme le notait Supiot (2015).

Justice prédictive et méthodes actuarielles

En juin 2010, un rapport de l’Académie de médecine préconisait d”« améliorer la pratique des expertises de dangerosité des criminels sexuels en enseignant et en diffusant les méthodes actuarielles ». Ces « méthodes actuarielles » sont tout simplement les techniques de scoring, de « profilage » tel que le défini le règlement européen relatif aux données personnelles du 27 avril 2016 (RGDP). Angèle Christin s’est intéressée aux algorithmes qui estiment la probabilité de récidive dans la justice pénale américaine. Comme elle l’a montré, ces techniques posent nombre de questions, en particulier des biais discriminatoires, l’opacité qui rend difficile les recours, et surtout la difficulté de comprendre ce qui est réellement calculé. Dans l’État de Virginie, un score entre 1 et 10 est renvoyé, convention reprise par Compas (Correctional Offender Management Profiling Alternative Sanctions ) qui offre en plus un code couleur qui prédit le risque de récidive violent. Il s’agit alors d’un outil d’aide à la décision, une machine ne pouvant placer une personne en détention seule (Christin et al. (2015)).

Les conclusions d’un score prédictif dépendent de deux éléments clés : le modèle utilisé, et les données. Dans la majorité des cas aux Etats Unis, les codes des modèles restent opaques (et donc impossible à attaquer), et rares sont ceux qui ont vu les données utilisées pour calibrer ces modèles. Mais on peut se demander si les décisions de justice ne sont pas eux aussi relativement opaques ? Certes, les juges doivent motiver leurs décisions, ce qui les rend critiquables et attaquables, mais si le processus était si transparent, les issues d’un procès (humains) ne devraient-elles pas être alors davantage prévisibles ? Enfin, les différents biais sont assez simples à comprendre. Supposons qu’être riche permet d’avoir un bon avocat, et avoir un bon avocat permet de ne pas avoir certaines condamnations. Dans ce cas, une variable liée à la richesse (le type de véhicule possédé par exemple) sera liée positivement avec le fait de ne pas être coupable (reconnu coupagle), et fera baisser le score de dangerosité. L’autre danger dans les biais de sélection est qu’ils sont parfois complexes à comprendre, voire paradoxaux. Un exemple classique est celui illustré sur la Figure 1. Pendant la seconde guerre mondiale, il a été demandé à des ingénieurs et des statisticiens comment renforcer les bombardiers qui faisaient face au feu ennemi.

Figure1 : Endroits endommagés des avions revenus (source : McGeddon 2016)

Le statisticien Abraham Wald a commencé à collecter des données sur les impacts dans la carlingue, comme le raconte Mangel & Samaniego (1984). A la surprise générale, il a recommandé de blinder les endroits des appareils qui présentaient le moins de dommages. En effet, les avions utilisés dans l’échantillon présentait un biais important : seuls les avions revenus ont été pris en compte. S’ils ont pu revenir avec des trous au bout des ailes, c’est que ces parties sont suffisamment solides. Et comme aucun avion n’est revenu avec des trous au niveau des moteurs des hélices, ce sont ces parties qu’il convenait de renforcer.

Un autre danger est celui où les relations causales sont inversées. Que penser de ce médecin qui prescrit un puissant neuroleptique à un patient mis en examen, de peur que la justice lui reproche de ne pas avoir vu la dangerosité de son patient, et qu’inversement, la justice s’appuie sur cette prescription pour prouver que le patient est dangereux ? Un algorithme mal conçu pourrait comprendre de travers le sens des relations causales.

Mais les modèles prédictifs en matière judiciaire ne sont pas que du côté des juges. Lors d’un accident corporel sur la route, la loi Badinter  (du 5 juillet 1985) prévoit un « droit à indemnisation » pour toute victime d’un accident de la circulation dans lequel est impliqué un véhicule terrestre à moteur. Lorsque la compagnie d’assurance du conducteur propose une indemnité, la victime fait une rapide analyse coût/bénéfice pour savoir s’il va au tribunal. Si elle ne construit pas formellement un modèle prédictif, elle tente de voir, à partir de quelques éléments à sa connaissance, les coûts de demander à un juge de trancher sur le montant de l’indemnité, et ses bénéfices (potentiels).

Autre point important, les juristes appellent ces modèles « prédictifs » des modèles « actuariels ». Or la première fonction des actuaires était d’actualiser, de calculer la valeur du temps. Et le temps judiciaire a des conséquences souvent désastreuses. En quoi une décision humaine, imparfaite, prise au bout de 5 ans de procédure serait « meilleure » qu’une décision automatique prise en 15 jours par une machine ? Nombre de personnes qui ont connu des procédures de plusieurs années, aboutissant à un non-lieu, rêvent de procédures accélérées. Car le « temps perdu » a une valeur, les actuaires le savent bien.

Que penser alors de cette efficacité des modèles algorithmiques ? La justice se doit d’être efficace, mais cette contrainte ne doit pas faire oublier l’objectif central qui est celui de rendre la justice. Que se passe-t-il si l’efficacité devient un objectif, pour ne pas dire le principal objectif ? Car c’est bien la question que posent les modèles prédictifs : quel est l’objectif que l’on cherche à maximiser ? Et comment le formule-t-on de manière simple ?

Aide à la décision, ou justification d’une prise de décision

Aux Etats-Unis, nombre de juges se sont vu reproché de motiver un jugement à l’aide d’outils d’aide à la décision, ce qui laisse planer un doute sur la fonction réelle de ces outils. L’idée était initialement d’apporter une aide. Récemment, plusieurs systèmes mis en place dans les années passées ont été questionnés. Par exemple en Australie, le STMP (Suspect Targeting Management Plan) proposait d’identifier si des préadolescents doivent être surveillés, ou pas. Ce modèle ressemble à s’y méprendre à n’importe quel modèle actuariel, c’est à dire un outil d’évaluation et prédiction des risques, en se concentrant soit sur les récidivistes, soit sur les personnes suspectées de commettre un futur crime. Or un rapport récent montrait que son utilisation n’a eu « aucun impact observable sur la prévention du crime »[2]. Parallèlement aux Etats-Unis, l’outil Compas (Correctional Offender Management Profiling Alternative Sanctions) a été critiqué dans Dressel & Farid (2017) : « Les défenseurs de ces systèmes soutiennent que les données et l’apprentissage automatique avancé rendent ces analyses plus précises et moins biaisées que celles des humains. Cependant, nous montrons que le logiciel d’évaluation des risques Compas, largement utilisé, n’est pas plus précis ou juste que des prédictions faites par des personnes qui ont peu ou pas du tout d’expertise en matière de justice pénale ». En questionnant des personnes recrutées sur Internet, sans compétences en droit, il s’agissait de prévoir si des personnes allaient, ou pas commettre un autre crime dans les deux ans à venir. Compas s’est trompé dans 34.8% des cas, et les internautes dans 33% des cas. Cela dit, on peut se demander ici ce que “se tromper” signifie. En l’occurrence, on ne mesure pas ici la récidive des personnes, mais la condamnation pour récidive des personnes. Et si les modèles (ou les gens) ne s’étaient pas trompés, mais que les juges, en revanche, oui ?

Prévoir, et se tromper

Et si un des soucis ne venait pas dans ce que l’on demande à un outil prédictif ? Prévoir, c’est (fondamentalement) établir une probabilité pour un fait futur. Comme cela avait été rappelé dans un débat sur les sondages et les élections, est-ce qu’on peut dire qu’on se trompe si on annonce qu’un événement peut se produire avec 5% de chances, et qu’il se produit effectivement ? Pour savoir si une technique de prévision est bonne, il faut collecter un ensemble de prévision, et les comparer aux observations. C’est ce que font les météorologues depuis une quinzaine d’années, et qui a été formalisé par Gneiting et al. (2007). Leur idée est qu’un ensemble de distributions prédictives est obtenu par un modèle \{\hat F_t,\hat F_{t+1},..,\hat F_{t+h}\} et il convient de comparer ces distributions aux observations \{y_t,y_{t+1},..,y_{t+h}\} – et non pas \{\hat y_t,\hat y_{t+1},..,\hat y_{t+h}\}. Il faut alors introduire une distance entre les distributions prédictives, et les observations. Dans un système physique, il est possible d’imaginer comprendre les différentes relations causales, et donc de prévoir. Mais dans les relations humaines (et la justice en est un exemple parfait), rien n’est aussi simple, aussi automatique que les lois de mécanique des fluides qui permettent de modéliser des phénomènes météorologiques.


Binet, Jacques-Louis, 2010, La prévention médicale de la récidive chez les délinquants sexuels. Académie de Médecine.

Botsman, Rachel. 2017. Who Can You Trust?: How Technology Brought Us Together – and Why It Could Drive Us Apart. Portfolio Penguin

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[1] Décrit dans « In Your Face: China’s all-seeing state » http://www.bbc.com/news/av/world-asia-china-42248056/in-your-face-china-s-all-seeing-state

[2] https://www.numerama.com/politique/300907-un-algorithme-teste-par-la-police-pour-anticiper-les-crimes-des-jeunes-inquiete-laustralie.html

Les marchés prédictifs comme technique de prévision

Les dernières élections présidentielles ont remis en avant l’importance des soudages, utilisés comme outils de prévision, même si les sondeurs s’en défendent. Comme l’ont dit Niels Bohr et Pierre Dac, « la prévision est difficile surtout lorsqu’elle concerne l’avenir », et des solutions alternatives ont été envisagées. Comme c’est la mode, le « big data » a été mentionné (deviner les intentions de vote à partir des tweets ou des informations publiées sur une page Facebook), mais les marchés prédictifs (et les sites de paris) ont aussi été largement utilisés. Mais est-il si simple d’utiliser les prix (ou les cotes) sur ces marchés prédictifs pour en déduire des probabilités ? Et peut-on vraiment les utiliser ?

Sur quoi parie-t-on ?

Comme le rappelle Rhode & Strumpf (2008) utiliser les paris pour connaître les croyances et donc les probabilités qu’un évènement se réalise n’est pas nouveau. Par exemple lors des élections papales au Vatican. En 1549, Matteo Dandolo c(ambassadeur de Vénitie) notait (raconté dans Baumgartner (2003)) que « it is therefore more than clear that the merchants are very well informed about the state of the poll, and that the Cardinals’ attendants in Conclave (i conclavisti) go partners with them in the wagers, which thus causes many tens of thousands of crowns to change hands ». Et les marchés de paris lors des élections ont été populaires aux Etats-Unis, jusqu’à la seconde guerre mondiale. Rhode & Strumpf (2008) avance plusieurs raisons pour la perte d’intérêt au cours de la seconde moitié du XXème siècle : les améliorations des techniques de sondages et la légalisation des paris sur chevaux (avec pour conséquence la disparition du marché illégal des paris).

Plus récemment, avec le développement des sites et donc d’un marché des paris, on a vu apparaître des paris (contrats vendus sur le marché en ligne intrade.com, liquidé en 2015) sur la survenance de tremblement de terre de magnitude dévastatrice (plus de 9 sur l’échelle de Richter), le vainqueur de la cérémonie des Oscars, la diminution de la couverture de la glace en Arctique entre deux années, ou encore l’observation du boson de Higgs. Polgreen et al. (2007) évoquent des paris sur la survenance d’épidémies de grippe. Un autre exemple – que l’on va détailler un peu – est celui du passage d’une loi sur l’énergie (et l’instauration de mesures contraignantes de limitation des émissions de gaz à effet de serre) aux Etats-Unis. Le titre permettant de toucher 1USD en cas d’adoption du projet de loi a été lancé en mai 2009. Le 26 juin 2009, la Chambre des Représentants a adopté (à une courte majorité) le projet de loi (avec pour objectif de réduire de 17 % d’ici à 2020 par rapport à 2005 et de 80 % d’ici à 2050 les émissions de CO2). A ce moment, le titre était échangé pour 50¢, comme le montre le Graphique 1. Il restait à faire approuver la loi par le Sénat. Six mois plus tard, en signant l’accord de la conférence de Copenhague en décembre 2009, les Etats-Unis s’étaient davantage engagés, et un an plus tard (début 2011), le Sénat serait renouvelé lors des élections de mi-mandat. Le gouvernement de Barack Obama espérait faire approuver la session “lame duck” du congrès, les élections de mi-mandat devant probablement renforcer la majorité Républicaine. Mais le jeudi 22 juillet, le chef de file Démocrate au Sénat Harry Reid a annoncé le retrait du projet de loi, faute de majorité pour l’approuver. Ce jour-là, le titre s’échangeait pour 10¢.

Figure 1 : Evolution du prix du passage du contrat sur le passage du ‘American Clean Energy and Security Act’ devant le Sénat (2009-2010)

Source : auteur, données Meng (2017)

Voir un prix comme une probabilité

Avant toutes choses, rappelons qu’une propriété fondamentale des probabilités est la somme des probabilités d’un évènement et de son complémentaire doivent sommer à un. C’est assez logique si les probabilités sont vues comme des « fréquences », correspondant au nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Cette interprétation devient plus délicate quand on imagine le cas de variables aléatoires continues, et un passage par la théorie de la mesure s’impose (en particulier pour admettre qu’un « évènement de probabilité nulle » puisse malgré tout survenir). Mais historiquement, d’autres définitions des probabilités avaient été proposées, en particulier par Jacques Bernoulli, qui avait introduit une notion de « probabilité morale » (comme le rappelle Johnson (2017)) que l’on verra réapparaître dans les travaux de de Finetti sous le nom de « probabilité subjective », ou à la même époque, dans les travaux de Frank Ramsey. Pour ce dernier, une probabilité mesure un degré de croyance – « a degree of belief », qui pouvait se mesurer au travers de paris – « through betting odds » – et les prix que les joueurs sont disposés à payer donnent une information quant à ces croyances. Il devient alors possible de déduire des probabilités à partir de prix.

L’idée n’était pas nouvelle, puisqu’elle avait été émise par dans Van Rekeningh in Spelen van Gelucken publié par Christiaan Huyghens en 1655 (en latin sous le titre ‘De Ratiociniis in Aleæ Ludo‘), et utilisée quelques années plus tard, en 1671 par Wilhelmina de Witt dans le contexte d’annuités. Le prix d’un contrat versant une rente jusqu’au décès pouvant être vu à comme une moyenne pondérée d’annuités (à maturité fixe), en observant les prix des différents contrats d’assurance, on pouvait extraire des probabilités interprétées comme des probabilités de survie. Ces mesures de probabilités n’étaient plus construites à partir de fréquences observées, mais construites à partir de prix historiques observés. On retrouvera cette idée en mathématique financière presque trois siècles plus tard, avec le théorème fondamental de valorisation, et les prix d’Arrow-Debreu. Cette littérature est riche et abondante (on peut renvoyer à Charpentier (2014)), mais il existe également des résultats moins connus, sur la création d’un consensus à partir de probabilités, et les applications pour les paris.

Travaillant sur le marché de pari hippique, Eisenberg & Gale (1959) ont obtenu des résultats relativement généraux, qui peuvent se formaliser ainsi : considérons un individu i\in\{1,2,\cdots,I\} qui a la possibilité de parier sur un cheval j\in\{1,2,\cdots,J\} lors d’une course. Chaque joueur possède une somme totale b_i (que l’on normalise de telle sorte que b_1+b_2+\cdots+b_I=1, et qu’il place la somme \beta_{i,j} sur le cheval . Ces montants vérifient la contrainte \beta_{i,1}+\cdots+\beta_{i,J}=b_i , et on note \pi_j la somme total placée sur le cheval j, de telle sorte que \beta_{1,j}+\cdots+\beta_{I,j}=\pi_j. Compte tenu de la contrainte de budget, notons que \pi_1+\cdots+\pi_J=1, de telle sorte que les montants \pi_j peuvent être interprétés comme des probabilités. Supposons maintenant que chaque joueur ait des croyances (que chaque cheval gagne) matérialisées par un vecteur de probabilités \mathbf{p}_i=(p_{i,1},\cdots,p_{i,J}). Eisenberg Gale (1959) définissent alors une situation d’équilibre, dès lors que si \beta_{i,j}>0 alors on doit avoir

p_{i,j}=\pi_j \cdot \max_s\left\{\frac{p_{i,s}}{\pi_s} \right\}" Il montre qu’un tel équilibre existe, et qu’il est unique. On retrouve ici un résultat connu en mathématique financières sous le nom de loi du prix unique, même si les croyances ne sont pas explicitement mentionnées. Et c’est ce résultat qui permet d’interpréter les prix sur un marché prédictif comme des probabilités.

En s’inspirant du modèle de Eisenberg Gale (1959), Manski (2005) obtient une interprétation sur un marché prédictif. Dans ces marchés, on ne peut pas parier sur un cheval dans une course, mais sur la survenance d’un évènement. Considérons un contrat offrant 1$ si un évènement A survient (élection d’un nouveau pape, départ d’un pays de la zone euro, etc), proposé au prix \pi_A. S’il existe un contrat sur l’évènement complémentaire \bar A (on va supposer ici que c’est le cas), il devrait être proposé au prix \pi_{\bar A}=1-\pi_A, sinon un arbitrage serait possible[i]. Considérons maintenant un agent i croyant avec probabilité [lap_i>\pi_A, cette personne a intérêt à investir tout son argent pour acheter son titre, sinon, il a intérêt à investir dans l’autre titre, associé à \bar A. Au niveau agrégé la demande pour les titres de type A et \bar A sera respectivement

\frac{1}{\pi_A}\sum_i b_i P(p_i>\pi_A) et
<br /> \frac{1}{\pi_{\bar A}}\sum_i b_i P[p_i<\pi_A] et on aura un équilibre si \sum_i b_i=\frac{1}{\pi_A}\sum_i b_iP[p_i>\pi_A]=\frac{1}{\pi_{\bar A}}\sum_i b_iP[p_i<\pi_A]Si on suppose que les croyances (p_i) et les richesses (b_i) sont indépendantes, on peut interpréter les prix \pi_A et \pi_{\bar A} comme des probabilités, \pi_{A}=P[p_i>\pi_A] et \pi_{\bar A}=P[p_i<\pi_A] si les agents sont homogènes. Wolfers & Zitzewitz (2007) propose une interprétation différente, plus économique, dans le contexte d’agents ayant une utilité logarithmique.

Marché et pari en ligne

La situation que nous venons de décrire est celle d’un marché parfait, où un équilibre se fait entre les parieurs, et cet équilibre donne des prix interprétables comme des probabilités de gain (on parle éventuellement de « pari mutuel »). Mais la pratique des paris en ligne est souvent différente, car les prix sont proposés par un bookmaker. Comme le nom l’indique, ces personnes – à la base – enregistrent les paiements, mais en pratique, ce sont aussi eux qui fixent les prix. Par exemple lors des dernières élections présidentielles en France, plusieurs sites proposaient de parier sur l’issue du second tour.

Tableau 1 : côtes lors des élections présidentielles de 2017

côtes (sites de paris en ligne) Intention de votes (instituts de sondage)
bet365 comeon betsafe FT Bloomberg BBC
Macron 1/8 1/8 1/7 64% 60.5% 61%
Le Pen 5/1 9/2 9/2 36% 39.5% 39%

Source : http://www.onlinebettingsites.com/2017-french-election/ (données fin avril 2017)

Comme le montre le Tableau 1, les côtes offertes par les bookmakers sont différentes entre les sites de paris. Une cote de 1/8 signifie qu’en pariant 8€, mon gain net sera de 1€ si le candidat l’emporte le jour de l’élection (et je perds ma mise si le candidat perd). La « probabilité » associée est ici \pi_{A}=8/9\sim88.89\% pour E. Macron (mon gain brut étant de 9/8€ pour 1€ misé) et \pi_{\bar A}=1/6\sim16.67\%. Le soucis – on retrouve ici la discussion initié par Jacques Bernoulli – est que ces « probabilités » ne somment pas à 1, puisque 8/9+1/6\sim1.055\%. La différence vient du fait qu’il ne s’agit pas un « juste » prix, le bookmaker s’assurant un rendement certain (de l’ordre de 5,5% de la mise initiale, quel que soit le site choisi). Les vraies probabilités induites par ces cotes sont ici respectivement \pi_A=16/19\sim 84.2\% et \pi_{\bar A}=3/19\sim 15.8\%. Les sites de paris en ligne donneraient une probabilité de gain pour Emmanuel Macron de 84%, alors que les sondages indiquent une intention de vote de 62%, pour les instituts de sondage.

A-t-on réellement une probabilité, ou une fourchette ?

On le voit, les grandeurs données ne sont pas identiques, l’une indiquant une croyance sur une probabilité de gagner, et l’autre une proportion de votes que devrait avoir un candidat. Dans le modèle de Manski, les probabilités induites par la moyenne des croyances et les prix coïncident si on suppose que les agents ont une utilité logarithmique. Comme le montre Wolfers & Zitzewitz (2006), si on suppose que les agents ont une aversion au risque, ça ne sera plus le cas. En particulier, l’article suggère de considérer des bornes pour \pi_A de la forme [\pi_{A}^2,2\pi_A-\pi_A^2, représentées sur la Figure 2, où est appelé « prix de marché » pour reprendre une notation proche de la Figure 1.

Figure 2 : Bornes sur les croyances moyennes

Faut-il utiliser les prédictions des marchés prédictifs ?

On l’a vu lors de la dernière élection en France, beaucoup s’interrogent sur la place pris par les sondages, en particulier en notant qu’il ne s’agissait pas d’une photographie neutre, mais que les électeurs pouvaient choisir leur candidat précisément à la lecture des sondages (la fameuse théorie du « vote utile » en particulier). Le danger à utiliser les marchés prédictifs comme outils de prévision est que ces dangers sont manipulables, comme l’a montré Schröder (2008). Un autre danger – et cela a été noté lors de la dernière élection présidentielle aux Etats-Unis – les côtes sur les sites en ligne de pari reflètent les croyances d’une certaine « élite » (disons les personnes souvent relativement éduquées, et la classe supérieure, suivant la politique), contrairement aux sondages, qui sont supposés être conduits sur un échantillon représentatif des électeurs, et sont supposer refléter les choix du « peuple » (et non pas une opinion ou une croyance). Si les parieurs tiennent comptent de ces sondages, les prix reflètent leurs croyances. Une dernière critique que l’on peut faire est que la majorité des marchés prédictifs représentent des volumes de transactions très faibles.

Les sondages traditionnels font face aujourd’hui à une défiance croissante. Il devient difficile de constituer un échantillon représentatif, le taux de non-réponse atteint des proportions jamais atteint (et nul ne sait si cette non-réponse est corrélée avec des choix électoraux). Et la confusion règne, entre les sondages classiques, et les « sondages en lignes » hébergés sur divers sites d’information. Mais pour reprendre l’anecdote raconté par Scott Armstrong dans Knowledge@Wharton en 2004, si dans une réunion du conseil exécutif d’une grande entreprise on demande à tous les participants de faire des prévisions quant aux résultats pour l’année prochaine, ou si on demande aux participants de parier sur les résultats de l’année prochaine, quels prévisions seront les plus crédibles ?


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[i] Comme l’a montré Franck et al. (2012), comme il existe aujourd’hui plusieurs sites de paris (plusieurs marchés), il peut exister des arbitrages entre les marchés, rarement au sein d’un marché.

La guerre des étoiles : distinguer le signal du bruit

La grande difficulté dans la modélisation et la construction de modèles prédictifs est de réussir à distinguer le signal et le bruit (pour reprendre le titre du classique de Nate Silver). La réponse statistique est la notion de significativité, et la recherche des ‘étoiles’ dans les sorties de régression. Avec l’explosion du nombre de données, il est devenu crucial de faire cette distinction, de savoir quelles sont les interactions qui sont significatives.

Approches historiques de cette notion de « significativité »

Le débat sur la significativité est ancien, même si sa formulation s’est faite historiquement dans des termes assez vagues. Par exemple, dès 1710, le médecin et mathématicien John Arbuthnot s’était interrogé sur le ratio du nombre de naissance de garçons et de filles, se demandant si la différence était « statistiquement significative ». Pour être plus précis, en utilisant des statistiques sur près de 90 ans, il avait noté “There seems no more probable Cause to be assigned in Physics for this Equality of the Births, than that in our ’first Parents Seed there were at first formed an equal Number of both Sexes.John Arbuthnot pose le premier la question en terme probabilistes. Un siècle plus tard, Pierre-Simon de Laplace a présenté ce que l’on peut interpréter comme un « test de significativité », (là encore avec notre terminologie actuelle). Il avait en effet noté, en prenant des mesures sur des baromètres que les observations à 9 heures du matin et 4 heures de l’après-midi était différentes. Significativement différentes. Et là encore posé la question en terme probabiliste, en se demandant s’il est « extrêmement probable » qu’il y ait une différence entre les deux mesures. Il avait alors introduit, le premier, un test de comparaison entre des valeurs moyennes : ayant noté que la différence excédait plusieurs écart-types, ce qu’il jugeait alors significativement important, il en conclue que les séries sont significativement différentes. En 1885, Francis Edgeworth avait repris ces idées, en comparant la taille des criminels, et la taille des gens ordinaires. Mais il faudra attendre les travaux de William Gosset (plus connu sous le nom Student), de Karl Pearson et surtout de Ronald Fisher pour avoir une définition plus rigoureuse de la significativité.

La notion de significativité est cruciale dans la construction de modèles prédictifs. En assurance automobile, l’âge du conducteur est une variable « significative » quand il s’agit d’expliquer la fréquence de sinistres. Formellement, cela signifie que l’âge et la fréquence de sinistre sont corrélées, et que cette corrélation, notée R, est « significativement non-nulle ». En 1921, Ronald Fisher, en proposant la construction d’un intervalle de confiance, propose ainsi un test de significativité. Comme il l’écrit, « from these values, we obtain the difference 0.0471 ± [0.0142] which might well be regarded as significant ». Sur la Figure 1, la figure de droite correspond au cas où la valeur est significativement non nulle (car l’intervalle de confiance à 95% ne contient pas 0) alors que la figure de gauche correspond au cas où la valeur est non-significative (car l’intervalle de confiance à 95% contient 0). Ronald Fisher passera alors plusieurs années à formaliser et expliquer cette idée de significativité statistique.

Figure 1 : distribution théorique de l’estimateur de la corrélation, R, et intervalle de confiance.

Tests, prise de décision et erreurs

Une des contributions majeures de la statistique des années 1920 a été de formaliser la prise de décision. La Figure 2 montre ainsi le mécanisme binaire de la prise de décision, et les deux types d’erreur : rejeter à tort une hypothèse, ou accepter à tort une hypothèse.

Figure 2 : schéma de la prise de décision.

Déclarer qu’une variable, ou une différence, est significative peut conduire à deux types d’erreur : la déclarer comme non-significative, alors qu’elle l’était (prendre un signal pour du bruit) ; et la déclarer comme significative, alors qu’elle ne l’était (prendre du bruit pour un signal). Quand on construit un test, on va essayer de contrôler la probabilité de commettre de telles erreurs.

Mais de faibles taux d’erreur ne veulent pas forcément dire qu’un test est efficace, et le principal danger des tests médicaux est lié à une mauvaise interprétation de ces taux d’erreur. Supposons qu’une maladie touche une personne sur mille, dans une population (selon le test, i.e. 1 personne sur 1000 est ‘positive’). Supposons aussi qu’il soit relative « efficace » au sens où 90% des cas ‘positifs’ sont effectivement atteints, et le test est négatif dans 99% des cas quand est n’est pas touché par la maladie. Ces chiffres sont bien au-dessus de la plupart des principaux tests couramment utilisés. Si le test est effectué sur 10000 personnes, le test sera positif sur 10 personnes (en moyenne), parmi lesquelles 9 sont effectivement malade, mais 1 est saine. A côté, le test sera négatif pour 9990 personnes. Et parmi ces 9990 négatifs, 9890 sont effectivement saines, et une centaine est pourtant malade. Donc au final, sur les 109 personnes malades, 9 ont été détectées, mais 100 sont passés inaperçues, soit un peu plus de 90% des malades ! Ce test supposé efficace ne l’est peut-être pas tant que ça.

Figure 3 : calculs des taux d’erreurs

Le concept de « p-value » et le mythe des 5%

Le concept de p-value est lié justement à l’erreur de rejeter, à tort une hypothèse. Si Ronald Fisher en parle abondement, il faut toutefois attribuer la paternité du concept à son collègue, Karl Pearson. Ce dernier, pour définir la notion de « significativité », utilise la formulation suivante : «  P=.1227 or the odds are now only 8 to 1 against a system of deviations as improbable as or more improbable than this one ». Pour reprendre l’exemple de la corrélation, Pearson nous dit qu’il y a une chance sur 8 pour obtenir une valeur aussi improbable. Comme l’illustre la Figure 4, la p-value est la probabilité d’avoir une statistique aussi grande ou aussi petite que celle obtenue sur l’échantillon, si effectivement la corrélation était nulle. Ou encore p=P{|R| > r | H0],

Figure 4 : distribution théorique de l’estimateur de la corrélation sous l’hypothèse où cette dernière serait nulle et probabilité que |R| dépasse la valeur empirique, observée.

Sur la figure de gauche, la p-value correspondant à l’aire rouge est de l’ordre de 10% alors que sur la figure de droite l’aire est de 0.1%. En fait, si la p-value est inférieur à 5%, alors 0 n’est pas dans l’intervalle de confiance à 95% de l’estimateur de corrélation. Donner la p-value est alors suffisant pour juger de la significativité d’une statistique.

C’est dans le chapitre 4 de son livre que Ronald Fisher pose les bases de la pratique (toujours en vigueur aujourd’hui) des tests statistiques : « if p is between 10% and 90% there is certainly no reason to suspect the hypothesis tested. If it is below 2% it is strongly indicated that the hypothesis fails to account for the whole of facts ». Autrement dit, avec une p-value supérieure à 10%, on peut accepter notre hypothèse (souvent que la variable n’est pas significative) et avec une p-value inférieure à 2%, on va la rejeter (la variable sera alors significative, si on fait un test de nullité d’une corrélation). Mais entre les deux ? Ronald Fisher clôt sans vraiment s’en rendre compte le débat, en affirmant « we whall not often be astray if we draw a conventional line at 5% ». Le choix – aujourd’hui dogmatique – d’un seuil à 5% repose sur l’idée de rejeter à tort une hypothèse avec une chance sur 20, ou bien correspond au fait de s’éloigner de 2 écart-types de la moyenne d’une loi normale centrée-réduite (ce qui arrive avec une chance sur 22).

Cette règle des 5% – une chance sur 20 – est encore en vigueur aujourd’hui. C’est elle que l’on utilise dans tous les modèles économétrique, en regardant les « étoiles » associées à chaque des variables explicatives (3 étoiles si la p-value est inférieure à 0.1%, 1 étoile si elle est inférieure à 5%, et rien au-delà de 10%). Si la -value est une mesure continue de la distance entre l’hypothèse que l’on cherche à tester et les données, ces étoiles ont instauré des seuils, malheureusement supposé infranchissables. Avec cette méthode, comme le notait Guelman (2015), «it seems impressive to see multiple independent findings that are statistically significant but with enough effort it is possible to find statistical significance anywhere. »

Pour illustrer la difficulté de la prise de décision, Power (2014) prend un exemple tiré de la survie à des séances de chimiothérapie, pour guérir un cancer.

Figure 5: chimiothérapie, données Williams et al. (1987).

Dans un “research hospital” le taux de survie est de 86%, alors qu’il est de 81% dans un “non-research hospital”. Un test du chi-deux, mesurant l’indépendance entre le choix de l’hôpital et la survie, donne une statistique de test de 0.5635, correspondant à une p-value de 45.29%. Autrement dit, on devrait être indifférent à l’endroit où on va se faire traiter, puisque l’hôpital est non significativement corrélé à la survie. Mais lorsque la vie est en jeu, est-on prêt à dire qu’une différence de 5 points (86% vs. 81%) n’est pas “statistiquement significative” ? Même avec une p-value proche de 50% !

Le problème des tests multiples

Si cette méthode pour juger de la significativité d’une variable dans un modèle prédictif a eu beaucoup de succès, il convient d’insister sur ses limites quand on se retrouver face à des données massives. Si on cherche à expliquer une variable (comme la sinistralité) par 100 variables, possiblement indépendantes de notre variable d’intérêt, l’analyse précédant devrait nous pousser à retenir 5 variables comme « significativement » corrélées avec la sinistralité.

Figure 6 : Exemple de séries significativement (très) corrélées, données Vigen (2015)

Le problème des tests multiples est d’autant plus important en imagerie médicale. Sur la Figure 7, 100 échantillons Gaussiens sont simulés, de moyenne nulle, et on teste la nullité des moyennes (seules les p-values sont présentées). Imaginons des tests sur des pixels d’une image d’IRM par exemple. Sur une image obtenue sur un individu sain, si des tests sont effectués, pixel par pixel, 10% des points présenteront une p-value inférieure à 10%, 5% une p-value inférieure à 5%, etc.

Figure 7 : 100 tests de nullité de moyenne, sur 100 échantillons simulés (de moyenne nulle).

En l’occurrence, la vision Bayésienne de la prise de décision (décrite dans Greenland & Poole (2013)) peut s’avérer plus juste, en plus d’offrir une interprétation plus claire.

Les alternatives pour juger de la significativité

Les p-values sont un outil important, central, dans la construction de modèles prédictifs. Et la pratique des tests est souvent un exercice intéressant : si la p-value est petite, on se sent conforté dans l’idée que la variable est significative. Mais si elle est grande (disons excède 10%), on ose parfois se dire qu’on n’a pas eu de chance… Dans certains cas, on peut même s’offrir la chance de faire le test sur un autre échantillon et – avec un peu de chance – la p-value sera plus faible.

Comme le note Briggs (2013), les p-value “encourage magical thinking […] they focus attention on the unobservable“. Même avec un regard critique, l’utilisation des p-value est dangereuse. Et l’utiliser de manière automatique, dans un algorithme d’apprentissage, l’est encore plus. Sans bon sens, on verra des variables extrinsèques exotiques utilisées dans les modèles prédictifs (pour reprendre la terminologie de Cass & Shell (1983). A quand un assureur qui utiliserait la pointure de pieds, les résultats au brevet des collèges ou la couleur de la boite à lettres dans son tarif d’assurance auto ?


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Vigen, T (2015). Spurious Correlations http://tylervigen.com/…

Mutualisation et Segmentation en Assurance

L’article Segmentation et Mutualisation, les deux faces d’une même pièce, coécrit avec Michel Denuit et Romuald Elie paraîtra dans les jours à venir, dans un numéro autour du big data en assurance, avec des articles de Patrick Thourot, sur la tarification du pay as you drive, de Lucie Taleyson, sur la tarification dans les assurances collectives, et tout plein d’articles passionnants, signés François-Xavier Hay ou encore Arnaud Chaput.

L’article (disponible en pdf) présente l’impact de la segmentation dans un environnement concurrentiel. Il d’un exemple simple, pour ne pas dire simpliste. Il sera perfectionné avec le pricing game organisé mi novembre. A suivre donc…

De la difficulté de faire des prévisions (quand on a peu de données)

Depuis plusieurs mois, on observe un engouement (probablement légitime) pour le big data. Si beaucoup peut être fait pour utiliser les volumes énormes de données à la disposition des assureurs, il convient de garder en mémoire que dans beaucoup de cas, les données sont rares et que la technologie ne devrait pas pouvoir changer grand chose. Le manque de données (fiables) crée une variabilité importante.

  • Loi des grands nombres, approximations et statistique asymptotique

Tout comme les assureurs, les statisticiens aiment les gros volumes de données. Pour les assureurs, les gros portefeuilles sont considérés comme moins incertains, et pour les mêmes raisons, les statisticiens disposent, avec des grosses bases de données, d’estimateurs moins volatiles (on parle d’ailleurs du risque associé à un estimateur). Supposons que l’on suive un portefeuille de 1047 assurés, pendant un an, et que 159 ait réclamé un sinistre auprès de la compagnie. La probabilité qu’un assuré ait un sinistre est

Si on admet que l’ont dispose d’assez d’observations, on peut utiliser une approximation Gaussienne du taux de réclamation, et obtenir un intervalle de confiance à 95%, de telle sorte qu’il y a 95 chances sur 100 que le taux de réclamation appartienne à l’intervalle1

On utilise ici l’approximation2 de la loi binomiale (le nombre de personnes qui réclame suit une loi binomiale) par une loi Gaussienne, comme sur la Figure ci-dessous,

Avec cette approximation, on peut valoriser des contrats de réassurance. On peut ainsi approcher les probabilités d’avoir des dérives de la sinistralité dans notre portefeuille. Dans cet exemple, on notera que la probabilité d’avoir un taux de réclamation excédant 20% est de l’ordre de 0.0014%.

  • Prédire des “cygnes noirs”

Supposons qu’un assureur décide de vendre à des collectivités locales des contrats d’assurance en cas de marée noire. Dans un modèle actuariel standard, la prime à payer devrait être , où  est la probabilité qu’une marée noire survienne par kilomètre de côte,  la longueur de la côte de la région assurée, et  le montant de l’indemnité versée. Après 5 ans d’expérience, l’assureur souhaite faire le bilan de son produit. Sauf qu’aucune marée noire n’a été observée. Que peut-il dire sur son tarif ?

Cet exemple (à peine) fictif est a rapprocher d’une question posée dans les années 1950 à l’actuaire L.H. Longley-Cook: est-il possible de prédire (ou d’estimer) la probabilité d’observer, une année donnée, une collision en plein vol, entre deux avions ? Il n’y avait jamais eu de (grave) collision d’avions commerciaux lorsque la question avait été posée. Et sans aucune expérience passée, les statisticiens ne savaient trop quoi répondre. Pourtant, Longley-Cook avait prédit ” anything from 0 to 4 […] collisions over the next ten years“, comme le raconte McGrayne (2012). Deux ans plus tard, 128 personnes perdirent la vie au dessus de Grand Canyon lors d’une telle collision, et quatre an plus tard, ce sont 133 personnes qui périrent au dessus de New York.

  • La réponse Bayésienne

L’idée de Longley-Cook était d’utiliser des techniques bayésienne en actuariat. Comme le notait Liu et al. (1996)Statistical methods with a Bayesian flavor […] have long been used in the insurance industry”. Dans Charpentier (2007), nous avions vu l’apport des techniques de crédibilité et les liens avec la statistique bayésienne. Et comme le raconte McGrayne (2012), Arthur Bailey a joué un rôle essentiel, précisément en proposant des techniques dans le cas d’évènements (très) rares.

[Arthur] Bailey spent his first year in New York [in 1918] trying to prove to himself that ‘all of the fancy actuarial [Bayesian] procedures of the casualty business were mathematically unsound.’ After a year of intense mental struggle, however, he realized to his consternation that actuarial sledgehammering worked. He even preferred it to the elegance of frequentism. He positively liked formulae that described ‘actual data . . . I realized that the hard-shelled underwriters were recognizing certain facts of life neglected by the statistical theorists.’ He wanted to give more weight to a large volume of data than to the frequentists small sample; doing so felt surprisingly ’logical and reasonable.’ He concluded that only a ‘suicidal’ actuary would use Fishers method of maximum likelihood, which assigned a zero probability to nonevents. Since many businesses file no insurance claims at all, Fishers method would produce premiums too low to cover future losses.

Pour rappel, le théorème de Bayes permet d’écrire

Si on suppose disposer d’un échantillon d’observations  de loi , où, classiquement  est vu comme un paramètre inconnu que l’on cherche à estimer. Ici, on va supposer qu’il s’agit d’une variable aléatoire dont on va pouvoir obtenir une distribution (dite à posteriori) compte tenu des observations dont on dispose. On écrit alors

où le premier terme est une loi a priori que l’on se donne sur le paramètre , et le second est la vraisemblance de l’échantillon.

Afin d’illustrer un peu, reprenons notre exemple initial, où on dispose de 5 assurés, et qu’aucun n’ai réclamé de sinistre. Que peut-on dire sur la probabilité qu’un assuré ait un sinistre. Avec les approches classiques, la probabilité estimée serait nulle. Ce qui est gênant pour calculer ensuite une prime convenable. La réponse Bayésienne consiste à suppose que la probabilité de réclamer un sinistre est une variable aléatoire, dont on peut calculer la loi a posteriori, compte tenu du fait que l’on observé – pour l’instant – cinq observations nulle. En utilisant la relation précédente, la densité a posteriori est ici

où le second terme est la probabilité d’avoir cinq fois 0 avec une loi de Bernoulli, ce qui vaut , et où le premier terme est une loi que l’on se donne, a priori pour .

Une loi qui pourrait sembler naturelle serait la loi uniforme, pouvant être perçu comme non informative. Dans ce cas, la densité de , a posteriori, est proportionnelle à . Comme le montre la Figure ci-dessous, on a ici beaucoup de chance que  prenne une valeur proche de 0 (ce qui a du sens, car on n’a jamais observé de réclamation, jusqu’à présent). A priori, il a avait 95 chances sur 100 que la probabilité soit inférieure à 95% (c’est l’idée de la loi uniforme comme loi a priori). Après cinq expériences sans sinistre, a posteriori, il y a 95 chances sur 100 que la probabilité de réclamer soit inférieure à 40%. Si nous avions observé dix fois la valeur nulle, il y aurait, a posteriori, 95 chances sur 100 que la probabilité de ne pas réclamer soit inférieure à 25%.

La Figure ci-dessous montre la déformation de la loi a posteriori, au fur et à mesure de la mise à jour, avec la loi a priori à gauche, puis a posteriori sachant qu’une observation est arrivée (nulle), puis une seconde, puis une troisième, etc.

Sur la figure ci-dessous, il s’agit à nouveau de la déformation de la loi a posteriori, avec une loi a priori différente (en l’occurrence, la loi dite non-informative de Jeffreys)

  • Les outils statistiques pour le small data

De même que le big data pose des problèmes aux techniques statistiques classiques, et permet de découvrir les techniques d’apprentissage, le small data pose des problèmes à laquelle la statistique classique n’apporte aucune réponse. Les actuaires redécouvrent les techniques bayésiennes, mais aussi d’autres outils qui permettent malgré tout d’apporter des réponses quantitatives pertinentes. Pour quantifier l’incertitude lors du calcul des provisions pour sinistres à payer, les actuaires utilisent des techniques de rééchantillonage (bootstrap) depuis une vingtaine d’années (rappelé dans Charpentier, Devineau & Nessi (2010)) pour tenir compte du peu de données dans les triangles de liquidation. Si le big data ouvre des perspectives fascinantes à explorer pour les actuaires (en particulier en souscription), il convient de garder en mémoire que dans beaucoup de cas, les actuaires doivent quantifier des risques avec très peu de données. L’avenir n’est aucunement au big data ! L’avenir est au contraire dans la connaissance de techniques permettant de traiter à la fois des gros volumes de données, mais aussi de faire face à un insuffisance de données.

1 Dans le cas des événements (très) rares, l’approximation par une loi de Poisson sera nettement meilleure, mais ici, la probabilité est de l’ordre de 15%, ce qui est trop élevé.

2 On retrouve ici les intervalles de confiance mentionnés désormais dans les sondages.

La Loi des Petits Nombres

Comme nous l’avions vu dans Charpentier (2010), la loi des grands nombres est souvent évoquée pour justifier la mutualisation des risques indépendants : plus la mutualité sera grande, plus petite sera la variabilité. A condition que les risques ne soient pas trop grands. Un cas problématique sont les risques catastrophiques : ils sont rares, et parfois tellement (potentiellement) coûteux que l’hypothèse d’existence de la variance doit être remise en cause. La modélisation de ces événements rares repose sur la loi des petits nombres, pour reprendre le nom de l’ouvrage de Ladislaus Bortkiewicz. Comme nous allons le voir, la loi de Poisson est à la loi des petits nombres ce que la loi normale est à la loi des grands nombres. Nous verrons donc en détails l’importance de la loi de Poisson pour modéliser les événements rares. Et nous verrons pourquoi la probabilité qu’un événement ne survienne pas est toujours de 37%. Ou presque.

  • La loi de Siméon-Denis Poisson

Siméon-Denis Poisson a travaillé sur les calculs des probabilités pendant presque 20 ans, de 1820 à 1840. Comme pour beaucoup de ses contemporains, ses premiers travaux portèrent sur des problèmes de jeux, avec une communication à l’Académie des Sciences sur l’avantage du banquier au jeu de trente et quarante. Mais son premier travail conséquent a porté sur un problème longuement étudié par Laplace (qui a été un de ses professeurs) sur la proportion des naissances des filles et des garçons (problème classique de statistique) publié en 1830. Il y présente en particulier une démonstration de la loi des grands nombres pour une loi de Bernoulli, qu’il modifiera par la suite. Dans ce mémoire, il y présente une loi, qui sera appelée plus tard la loi de Poisson : « la probabilité qu’une événement dont la chance à chaque épreuve est la fraction très petite x/mu n’arrive pas plus de n fois dans un très grand nombre d’épreuve mu d’épreuve (pour reprendre la terminologie utilisée en 1837, ce qui correspond à la fonction de répartition avec une terminologie plus contemporaine) est »

P=\left(1+x+\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\cdots+\frac{x^n}{1\cdot 2\cdots n}\right)e^{-x }

On verra réapparaître cette loi dans son fameux traité, paru en 1837, Recherches sur la probabilité des jugements. En particulier, dans le chapitre 8, il obtient sa loi comme limite de la loi binomiale B(T,\lambda /T) lorsque T devient grand, mais passe assez rapidement à d’autres considérations. Il n’étudie pas cette loi limite, et ne propose pas vraiment de l’utiliser. Il faudra attendre les travaux de Ladislaus Bortkiewicz, presque un siècle plus tard, pour voir des applications, dans Das Gesetz der kleinen Zahlen (la loi des petits nombres). Et comme toujours en mathématiques, lui attribuer tout le crédit est un peu excessif, puisqu’un siècle auparavant, en 1718, de Moivre avait obtenu la loi même loi, toujours comme limite de la loi Binomiale. Si le nom de Poisson est resté à la postérité, c’est essentiellement parce que Boltzmann le cite, en 1868, ainsi que Seidel en 1876, et surtout Tchebychev. Cela dit, Poisson était loin d’être un inconnu, en tant que scientifique. Ses travaux l’ont amené à travailler sur des problèmes d’électrostatique (la fameuse équation de Poisson), à l’équation de la chaleur avec Fourier, il s’est opposé à Fresnel sur des problèmes d’optique, et il a présidé à deux reprises l’Académie des Sciences.

La distribution d’un nombre d’événements obtenu comme somme de variables de Bernoulli, dans une grande population, peut s’approcher par la loi de Poisson. Ou lorsque la probabilité de survenance est faible, par rapport à la taille de l’échantillon. Formellement, si N suit une loi binomiale B(n,p), avec p\sim\lambda/n, alors

P[N=k]=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\sim e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}

On parlera de loi des petits nombres car on compte ici des évènements rares (la probabilité de survenance d’un évènement étant inversement proportionnelle à n.

Ce résultat se traduit de la manière suivante: si on se donne un échiquier, 10\times 10 si on lance 100 pièces et si on compte le nombre de pièces par case, la distribution suivra une loi de Poisson de moyenne 1 (le ratio entre le nombre de pièces et de cases). Une illustration est évoquée sur la Figure suivante

Nombre de pièces par case


Loi de Poisson
















5 et plus



  • L’utilisation de la loi de Poisson, et les mélanges Poissonniens

A la fin du XIXème siècle, à l’université de Göttingen, Wilhelm Lexis (connu en démographie pour les diagrammes qui portent aujourd’hui son nom) avait envie d’étudier les applications de cette loi. Alors qu’il étudiait l’utilisation de la loi de Poisson dans un contexte démographique, un de ces étudiants, Ladislaus Bortkiewicz, proposa de l’utiliser pour modéliser des nombres d’accidents. Dans l’exemple fameux de Bortkiewicz, datant de 1898, il avait étudié le nombre de cavaliers morts par ruade de cheval, entre 1875 et 1894, dans 10 corps (soit 200 corps annuels). Il avait obtenu la distribution donnée dans la table suivante. La colonne de droite donne le nombre de décès donné par une loi de Poisson de même moyenne. On note que l’ajustement est très bon, et on comprend vite la fascination de Bortkiewicz pour cette loi.

Nombre de décès, par corps


Loi de Poisson
















5 et plus



Maintenant, pour être tout à fait honnête, la loi que nous avons énoncée comme une loi des petits nombres est très différente de celle proposée par Bortkiewicz (celle qu’il a énoncé dans son ouvrage lui a valu un cinglant commentaire de Corrado Gini, qui écrivait en 1907, de manière provocatrice que « the law of small numbers does not exist »). Mais l’utilisation de la loi de Poisson pour modéliser les accidents, et plus généralement les petits nombres venait de débuter.

Dans les années 1930, Filip Lunderg avait noté l’intérêt (théorique) du processus de Poisson pour modéliser l’arrivée des sinistres, ainsi que plusieurs actuaires de l’école scandinave (Esscher en 1932, Sgerdahl en 1939, Lüders en 1934, etc). Depuis, tous les actuaires ont utilisé cette loi pour modéliser toute sorte d’évènements “rares“, comme la survenance annuelle d’ouragans, aux États-Unis (Figure ci-dessous).

Nombre d’ouragans


Loi de Poisson

























8 et plus



  • De la loi de Poisson à la période de retour

Un concept fondamental en gestion des risques extrêmes a été introduit par Emil Gumbel en 1958, liant le temps qui s’écoule (en années) entre deux événements consécutifs et la probabilité (annuelle) de survenance. Pour des événements se produisant avec une probabilité annuelle T, indépendamment les uns des autres, le temps moyen d’attente entre deux événements est T, appelé période de retour, et la probabilité qu’aucun événement ne survienne pendant n années (consécutives) est alors


On peut résumer ceci dans le tableau ci-dessous, où on étudie probabilité qu’un événement ne survienne pas pendant n années (en ligne) en fonction de la période de retour T. Pour un événement centenaire, il y a 36,60% chance pour qu’il ne survienne pas en cent ans.

Période de retour (en années)

Nombre d’années
sans catastrophe




































  • La probabilité qu’un événement ne survienne pas est… 37%

Comme on le voit dans le tableau ci-dessus, sur la diagonale, la probabilité qu’un événement ne survienne pas pendant T années quand sa période de retour est T est de l’ordre de 37%. D’ailleurs, si on revient un instant sur notre échiquier 10\times 10 évoqué auparavant, la probabilité de n’avoir aucune pièce sur une case était de… 37%

Reprenons ici un exemple qui avait fait polémique il y a quelques années, sur le risque nucléaire. Dans un article (Laponche et Dessus, 2011), on apprenait que la probabilité d’avoir un incident majeur sur réacteur nucléaire, pour une année, était de l’ordre de 0,0003 (3 chances sur 10,000). Or comme il y a 143 réacteurs nucléaires, sur 30, la probabilité d’avoir un incident majeur est (selon le calcul des auteurs)

\underbrace{143\times30}_n\times\underbrace{0,0003}_p\sim 129\%

D’où la conclusion savoureuse, « la probabilité d’occurrence d’un accident majeur sur ces parcs serait donc […] de plus de 100% pour l’Union européenne ». Comme on l’a noté, la probabilité d’avoir un incident majeur sur une période n lorsque la probabilité annuelle est p s’écrit

P[N\leq n]=1-(1-p)^n \sim np

en utilisant un développement limité non justifié ici ! Il convient ici d’utiliser le modèle de Poisson. La probabilité d’avoir au moins un incident majeur est

P[N\leq n]=1-(1-p)^n \sim 1-e^{-np}

soit ici 72,47%. Si la probabilité était traduite en terme de durée



T=\frac{1}{0,0003\times143}\sim 23,31

on voit qu’ici, le temps moyen d’attente entre deux incidents majeurs en Europe est de 23 ans. Ce qui fait que sur 23 ans, la probabilité de n’avoir aucun incident majeur est de l’ordre de 37%.

  • Conclusion

La loi de Poisson est présente partout en assurance, car c’est la loi centrale pour modéliser le comptage d’événements rares. Le nombre de décès dans un portefeuille d’assurance-vie suit une loi de Poisson, tout comme le nombre d’accidents par unité de temps en assurance automobile. On retrouve même l’estimateur Chain Ladder du montant de provisions pour sinistres a payer quand on utilise une régression de Poisson sur les incréments de paiements.

Efficience des marchés: hypothèse de modèle ou fait stylisé ?

Certains pensent que les crises boursières et les bulles sont une preuve flagrante de l’inefficience des marchés. Pourtant, comme le notait Michael Jensen en 1978, “I believe there is no other proposition in economics which has more solid empirical evidence supporting it than the Efficient Market Hypothesis”. Il était donc normal que décerner le prix Nobel d’économie à Eugène Fama suscite autant de passion. Cela dit, la notion d’efficience des marchés est  une notion clé de la finance (pour ne pas dire de l’économie de manière plus générale) car elle pose la question de la constitution des prix.

On peut remonter très loin dans le temps pour définir un concept de prix, par exemple en 1202, dans son Liber Abbaci, Leonardo Fibonacci parle de troc de marchandises et évoque le prix de choses semblables. Cette idée sera traduite en langage plus contemporain dans la notion de prix de réplication et de prix unique. On retrouvera cette idée chez l’actuaire Jan de Witt en 1671, lorsqu’il cherche le prix de rentes viagères, et qu’il parle de prix de rachat, et d’une notion de prix équitable. Quelques années auparavant, Christiaan Huygens avait publié ‘Van Rekeningh in Spelen van Geluck‘ (traduction en latin sous le titre ‘De Ratiociniis in Aleæ Ludo‘) évoquant le prix des jeux[1]. L’idée du prix unique, et l’importance de l’espérance mathématique en finance, sera formalisée entre 1955 et 1965, par Kenneth Arrow et Gérard Debreu (qui ont déjà eu le prix Nobel d’économie). Pour faire un résumé rapide, Eugène Fama aura eu son prix Nobel pour avoir exploité des propriétés de martingale.

Nous allons revenir sur cette histoire d’efficience de marché, et de prix martingales, en se demandant s’il s’agit d’un axiome permettant de définir un concept de prix, ou s’il s’agit plutôt d’un fait stylisé. Et pour cela, si nous allons évoquer le dernier prix Nobel d’économie, nous allons aussi revenir sur un texte fondamental publié voila exactement 150 ans.

  • Marche aléatoire, martingales et prix d’actifs

D’un point de vue mathématique (en tant que propriété des processus stochastiques), il faut remonter aux travaux de Joseph Bernstein, Paul Lévy, Émile Borel, et surtout Joseph Doob, au milieu au XXième siècle pour voir apparaître une théorie des martinagles. Cela dit, le mot est plus ancien: il entre dans le dictionnaire de l’Académie Française en 1762. ‘Jouer à la martingale‘, c’est jouer toujours tout ce que l’on a perdu.  Mais quelques années plus tot, on pouvait déjà trouver le mot sous la plume de l’Abbé Prévost (le jeu qu’il décrit en 1750 comme variante du jeu du pharaon est aussi appelé martingale d’Alembert) Cela dit, l’origine que je préfère est de relier le mot martingale à l’expression provençale “jouga a la martegalo” qui signifierait ‘jouer de manière incompréhensible, absurde’ comme l’évoque Frédéric Mistral dans Lou Tresor dòu Felibrige (ou dictionnaire provençal-français). On retrouve une origine proche dans le Dictionarie of the French and English tongues de Randle Cotgrave, datant de 1611, qui mentionne l’expression “à la martingale” avec le sens absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner. Il cite même l’usage de l’expression “philosopher à la martingale“.

Cowles & Jones (1937)[2], Cootner (1964) et surtout Samuelson (1965) ont montré que les prix des actifs pouvaient être modélisé par des marches aléatoire. Comme le dit Paul Samuelson “there is no way of making an expected profit by extrapolating past changes in the future price, by chart or any other esoteric devices of magic or mathematics“. Et il souhaite attribuer le crédit de cette utilisation de la marche aléatoire aux les travaux de Louis Bachelier dans les années 1950, qu’il relie aux travaux d’Albert Einstein sur le mouvement brownien. Mais il oublie de rappeler que les travaux de Louis Bachelier se site dans une tradition (actuarielle) française utilisant la marche aléatoire pour modéliser les prix des actifs boursiers, parmi lesquelles on citera Emmanuel-Étienne Duvillard, Recherches sur les rentes et les emprunts, en 1787, Lefèvre de Châteaudun,Traité des valeurs mobilières et des opérations de bourse, en 1870, mais surtout Jules Regnault, Calcul des chances et philosophie de la bourse, en 1863 (on pourra consulter à ce sujet les travaux passionnant de Franck Jovanovic). Le mythe autour de Louis Bachelier repose essentiellement sur deux faits: tout d’abord Louis Bachelier ne cite pas les travaux antérieurs, laissant penser à Paul Samuelson qu’il avait, seul, accouché d’une nouvelle théorie; mais également, Louis Bachelier a longtemps vécu sur le mythe sur savant incompris (suite essentiellement à un rapport de Paul Lévy qui lui reprochait une ‘erreur grave’, portant sur le rayonnement de la probabilité, ‘erreur’ qui reposait plutôt sur une imprécision et un manque de rigueur, qui fut éclairé par la suite par les travaux de Andreï Kolmogorov).

On retrouve beaucoup d’autres résultats connus dans cet ouvrage. Par exemple, Jules Regnault note que “les écarts vont en diminuant pour des temps plies rapprochés, en augmentant pour des temps plus éloignés“, avec ce résultat, dans le paragraphe qui suit “il existe donc une loi mathématique qui règle les variations et l’écart moyen des cours de la Bourse, et cette loi, qui ne paraît pas avoir jamais été soupçonnée jusqu’à présent, nous la formulons ici pour la première fois :


(c’est Jules Regnault qui écrit en majuscules cette loi). Cela dit, la grande différence entre Jules Regnault et Louis Bachelier est que le premier tire cette propriété d’observations de cours de bourse, alors que le second construit un modèle de marche aléatoire (en temps continu) qui vérifie cette propriété.

  • Des marches aléatoires a l’efficience

Si les économistes ont compris que les prix des actifs devaient suivre une marche aléatoire, restait a comprendre sous quelle probabilité. Comme le notait  Jules Regnault, les agents investissent en tenant compte du “degré de probabilité qu’il(s) attribue(nt) aux événements“. En ce sens, il est le premier a comprendre l’importance de l’information dans la constitution des prix : “si tout le monde avait les mêmes idées et appréciait également les mêmes causes, il n’y aurait plus de contrepartie possible“. De manière très moderne, il note ainsi que “le cours n’est pas toujours uniquement déterminé par les circonstances présentes ; il comprend encore toutes les espérances légitimes qui peuvent être renfermées dans cette situation.”

Mais l’analyse de Jules Regnault manque de formalisme, et ce sont Eugène Fama en 1965 et Benoit Mandelbrot en 1966 qui vont poser les bases mathématiques de la notion d’efficience[3]. Pour reprendre la définition donnée par Eugène Fama, “A market in which prices at any time “fully reflect” available information is called “efficient”“. En 1970, il propose trois modèles, caractérisant trois formes d’efficience, dans trois parties distinctes, (1) Expected Returns or “Fair Game” Models, (2) Submartingale Models et (3) Random Walk Model. A cette classification, on préférera (bien que le lien ne soit pas évident)

  1. une notion faible d’efficience: l’information consiste a connaître les prix passés des différents titres,
  2. une notion semi-forte (semi-faible) d’efficience: l’information inclus également de l’information publiquement disponible concernant les titres, comme des rapports annuels, ou des analyses techniques sectorielles
  3. une notion forte d’efficience: ici l’information inclue une possible information privilégiée, possédée par des insiders.

Il existe plusieurs informations possible, et il n’est pas nécessaire que tout le monde ait la même : il suffit que certains investisseurs aient une information privilégiée pour qu’elle soit assimilée par tout le monde (car il n’y aura alors plus d’information non-exploitée). Plusieurs auteurs ont noté que ces hypothèses pouvait mener a des paradoxes, ou des anomalies.

Pour résumer, Eugène Fama dit que les prix contiennent toute l’information accessible. En ce sens, il rejoint ce que disait Frank Ramsey, en 1926, lorsqu’il disait que les probabilités étaient des ‘degrés de croyance’ (idée qui existait chez Savage ou de Finetti) que l’on retrouvait dans les côtes des paris. Et s’il n’existe pas de mesure martingale, alors des arbitrages sont possibles.

On notera toutefois que si ces modèles parlent des croyances des agents, ils ne parlent pas de l’utilité des agents, de leur aversion pour le risque, ou de leur préférence pour le présent.

  • Les tests empiriques de l’efficience

Insistons ici sur le fait que si les marchés sont efficients, les cours des actions pourront être interprétés comme des prévisions de dividende, alors que les taux des obligations comme des prévisions des taux d’intérêt futur (de plus courte maturité). C’est ce que note Stephen LeRoy en écrivant “for the most part, in the empirical literature market efficiency is in practice equated with rational expectations plus the martingale model, and we will follow this convention“. Les tests d’efficience sont donc étroitement liés aux tests de marche aléatoire sur ces différents prix.

Les tests de la forme faible d’efficience sont les plus nombreux (et les plus simples) puisqu’ils ont été couramment associés tests de racine unitaire, aux tests d’autocorrélation ou tests des runs (pour une approche nonparamétrique).

Pour les tests de la forme semi-forte, il faut étudier en détails les annonces faites : si le marché est efficient au sens semi-fort, une annonce par une entreprise ne devrait pas avoir d’influence sur son cours. En effet, le marché devrait avoir correctement (pour ne pas dire rationnellement) anticipé l’annonce, et le prix devrait refléter l’information, avant même la publication[4]. Il convient de noter que la plupart des tests ont rejeté cette hypothèse. Mais conclure a une inefficience est dangereux, comme on l’a noté: l’efficience est un modèle d’actualisation des dividendes futurs. Ne faudrait-il pas voir ici une mauvaise spécification du modèle de formation des prix par exemple ? Fama (1991) préfère remettre en cause de son côté l’hypothèse de rationnalité (parfaite) des agents. Robert Shiller (également lauréat cette année) a observé que les prix des actions fluctuaient beaucoup trop, en particulier si on les compare aux bénéfices des entreprises et des dividendes versés. C’est ce que Robert Shiller interprétera comme une sur-réaction instantanée, une “exubérance irrationnelle” pour reprendre le titre d’un de ses livres. On y retrouve davantage un questionnement sur la rationalité que sur l’efficience.

Pour la troisième forme d’efficience (la plus forte) plusieurs études ont montré qu’il existe, effectivement, des insiders. Les tests les plus simples ont alors été la capacité de ces investisseurs à “battre le marché”. Michael Jensen, en 1968, a montré que sur 115 fonds, seuls 2 avaient (significativement) battu le marché. Et Eugène Fama fut le premier a critiquer l’idée d’une forme forte d’efficience[5]. Tous les deux ont tenté de confronter cette théorie aux données. Les tests les plus récents sont des tests de volatilité, qui concluent globalement à une volatilité excessive des cours des actions (relativement aux fondamentaux). Mais cela met-il en avant une notion d’inefficience ? Ce n’est pas l’avis de Shiller. Et on notera que c’est grâce aux travaux de Lars Peter Hansen (entre autres) que des modèles économétriques ont permis de questionner cette hypothèse.

La question de l’efficience des marchés pose la question fondamentale et importante de la constitution des prix. Pour Eugène Fama, le caractère aléatoire et imprévisible des variations de prix sur les marchés financiers est synonyme d’équilibre dynamique (dans un marché en libre concurrence), ce que disait Jules Regnault il y a tout juste 150 ans. Cette hypothèse d’efficience de marché a été un concept clé de la théorie financière des 50 dernières années, et un questionnement important pour les économètres. Mais ce modèle n’est-il pas trop simple ? Ne pourrait-on pas essayer de prendre en compte les mécanismes d’apprentissage et d’adaptation des marchés. Qui doit-on croire quand on cherche de l’information ? Comment distinguer les insiders des noise traders ? Certains traders disparaissent, d’autres arrivent, comme un écosystème en évolution.

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Lo, A. & MacKinlay , C. 2001. A Non-Random Walk Down Wall Street. Princeton University Press.

Malkiel, B.G. 2007. A Random Walk Down Wall Street. Norton & Company

Mandelbrot, B. 1966. Forecasts of future prices, unbiased markets and “martingale” models. Journal of Business, 39, p. 242-255

Mansuy, R. 2005. Histoire de martingales. Mathématiques & Sciences Humaines, 169, p. 105-113.

Regnault, J. 1863. Calcul des chances et philosophie de la bourse. Mallet-Bachelier & Castel.

Sinon, voici la conférence d’Eugène Fama, la fameuse Nobel lectures (avec Lars Peter Hansen et Robert Schiller)


1. on retiendra l’histoire racontée par Ian Hacking dans Emergence de la Probabilité, ou l’on apprend que dans la traduction en latin (pour que le texte soit diffusé), Christiaan Huygens avait hésité a utiliser le mot latin ‘spes’, que l’on retrouve dans espoir, et espérance. Christiaan Huygens avait compris que le prix était lié a une espérance (qui deviendra mathématique, plus tard).

2. Alfred Cowles, mais aussi Holbrook Working, se sont beaucoup questionné suite a la crise de 1929, et le fait que personne n’avait pu prédire une telle crise. C’est cette crise qui les a poussé a postuler que les variations boursières étaient en grande partie imprévisibles. En 1933, Alfred Cowles commença a comparer les résultats (ex post) de professionnels, avec les indices boursiers, et a montrer qu’il était difficile (ou improbable) de battre le marché.

3. en ce sens, le prix Nobel d’économie est effectivement devenu un prix Nobel de mathématiques…

4. plus récemment, des analyses fines (sur des données haute-fréquence) ont étudié plus en détail l’impact des annonces, comme Market efficiency in real time, où les auteurs ont étudié durant 20 semaines les émissions “Morning Call” et “Midday Call” (diffusées sur CNBC), et les recommandations d’achat ou de vente faites en direct par un analyste financier.

5. en fait, dans des articles récent d’Eugène Fama, répondant a nombre de critiques, on voit qu’il n’est plus question de marche aléatoire et de martingales dans les tests d’efficience. Ce que certains voient comme un échec dans l’idée de tester l’efficience.

Loi des grands nombres et théorème central limite en assurance

Dans le dernier numéro de la revue Risques figure un petit article sur la loi des grands nombres et le théorème central limite en assurance (ici) Le but était de remettre un peu les pendules à l’heure sur la différence entre les implications de ces deux résultats, et surtout d’amorcer une discussion sur l’importance des hypothèses (en particulier celle de risques indépendants).

Course on risk measures (in French)

The course on risk measure, in Luminy, starts at 16.00 on Monday (here). The slides can be found here,

Note that additional references can be downloaded on the internet, e.g. the short course on risk measures by Freddy Delbaen (here) or the article from the Encyclopedia of quantitative finance, by Hans Föllmer and Alexander Schied (there). See also here for the paper by Jean Marc Tallon, Johanna Etner and Meglena Jeleva, on decision theory under uncertainty.

Foot, probabilité, et assurance, partie 2

Continuons le billet commencé ici, où j’essayais noté que les enseignes qui se sont engagé à faire des cadeaux en cas de victoire de l’équipe de France s’étaient couvertes via des contrats d’assurance. En fait, elles peuvent également se couvrir sur les marchés (en l’occurrence les sites de paris en ligne). Il existe plusieurs façons de faire des paris. La première est de faire (ou d’acheter) un pari sur un événement (la France ira en finale de la coupe du monde, par exemple). Ce pari est assorti d’une cote que défini le bookmaker. A une cote de 20 contre 1, si je paris 1 euro, je gagne 20 euros en cas de qualification pour la finale.
Dans ce cas particulier, le bookmaker est un agent important dans le marché, car il fixe le prix. Le site oddschecker.com (ici) permet de voir les cotes offertes par différents bookmakers.

Mais il existe aussi des marchés de paris, sans bookmakers. Il s’agit réellement d’un marché, où les parieurs prennent des positions les uns contre les autres, le bookmaker ne servant que d’intermédiaire et d’animateur sur ce marché. C’est le cas sur betfair.com () qui est un site d’échange de paris.

Pour commencer simplement, imaginons que nous sommes quelques jours avant une finale opposant la Corée du Sud aux Etats-Unis. Comme il ne peut y avoir qu’un vainqueur il existe des contratssymétrique, où l’on peut gagner 20 euros si la Corée gagner (et rien si elle perd) et un autre où l’on peut gagner 20 euros si la Corée perd. Bref, soit je suis acheter sur la Corée, soit je suis vendeur. Le prix de ces contrats indiquent la probabilité qu’a la Corée de gagner. On parle aussi de back or lay, deux évènements étant possibles.

  • Lecture d’une cote

Regardons maintenant le match d’ouverture, opposant l’Afrique du Sud au Mexique. Les cotes sont les suivantes, “Mexique 6/4, Afrique du Sud 15/8 et Draw (match nul) 11/5” sur un des sites. Le premier nombre indique ce que l’on gagne (net) en misant le second, si mon pari est gagnant. Autrement dit, si je paris 5 euros sur un match nul, et que match nul il y a, alors mon bénéfice sera de 11 (que je touche en plus de ma mise). La cote est alors de 1+11/5, soit 16/5 (j’avais fait ici un billet sur le lien entre cote et probabilité). Elle indique non plus le bénéfice, mais le gain: en misant 5 euros, j’empoche 16 euros. On parlera de paris 1X2.

Pour aller plus loin, on peut aussi parier sur le nombre de buts marqués. On parlera de paris over/under.

Chez le même bookmaker, si je paris 1 euro que la France gagne la coupe du monde, je fais un bénéfice de 18 euros.

  • Cote ou probabilité ?

Lorsque j’avais essayé d’expliquer l’origine de la loi logistique (ici), j’avais expliqué qu’il existait un lien simple entre probabilité et cote, la cote étant la probabilité que l’évènement se réalise, divisé par la probabilité qu’il ne se réaliste pas. Malheureusement, les choses sont un peu plus complexes dans les paris…
Zoomons un peu sur le match d’ouverture,

La cote est la valeur offerte la par le bookmarker, à laquelle on ajoute 1. La “probabilité” est alors l’inverse de cette cote.

résultat Bookie Offers Cote “probabilités”
Mexico 11/8 2.375 42.10%
South Africa 13/8 2.623 38.09%
Draw 11/5 3.200 31.25%
total 111.45%

A-t-on raté quelquechose ? car visiblement la “probabilité” n’est pas une vraie probabilité… En fait, supposer que l’on puisse construire une mesure de probabilité à partir des cotes doit pouvoir être relié au “théorème fondamental d’asset pricing” (et de probabilités risques neutres mentionnés tout à l’heure)

  • Relecture des cotes à l’aide du théorème fondamental

Autrement dit, on suppose qu’il existe une mesure http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-01.png telle que
http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-02.pnghttp://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-03.png est l’ensemble des gains possibles, et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-04.png un équivalent certain.
On suppose qu’il existe un ensemble d’évènements http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-05.png (mutuellement exclusif comme on dit, formant une partition de http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-06.png), un seul pouvant survenir (en l’occurrence l’équipe qui reçoit gagne, ou l’équipe qui reçoit perd, ou il y a match nul). On considère un bookmaker qui accepte de payer http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-08.png si l’évènement i survient à un joueur qui aura parié 1 euro. On pourra légitimement pense que http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-09.png. Notre souhait est de relier ces http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-08.png et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-10.png, si un lien quelconque pouvait exister. Ce problème avait été soulevé par Ramsey ou de Finetti.

En notant http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-11.png le montant total placé sur l’évènement http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-12.png. On pourra dire que l’on est à l’équilibre si http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-13.png est constant. Autrement dit, le ratio des cotes doit être l’inverse des ratios de montants placés,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-15.pngOn peut ainsi s’intéresser à


qui est la fraction de l’argent qui sera effectivement rétribuée aux parieurs, ou http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-17.png sera la part gardée par le bookmaker. On peut penser qu’un bookmaker fixe http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-18.png, et alors


En fait, k peut être vu comme un taux d’actualisation (l’équivalent d’un http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-22.pngen mathématique financière). On peut d’ailleurs noter que si on note http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-25.png le produit


alors la stratégie consistant à parier


sur l’évènement http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-12.png, pour tout les évènements, aura un coût unitaire (j’ai ici constitué mon portefeuille si on revient à la théorie de l’arbitrage). Aussi


En l’occurrence, sur le match d’ouverture de la coupe du monde, on obtient http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-18.png de l’ordre de 90% (l’inverse de la somme de la dernière colonne). Autrement dit, le bookmaker prend de l’ordre de 10%.
A partir de là, on peut en déduire de ces prix d’Arrow Debreu une “probabilité implicite” qui est la probabilité risque neutre, ou la croyance des investisseurs dans la survenance des évènements. Pour cela, on pourrait poser


sauf que dans ce cas, compte tenu de la dernière relation, http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-34.png. On définie alors la probabilité implicite des parieurs sous la forme


On a réussit à construire une mesure de probabilité http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-01.png, qui correspond à l’intuition des parieurs… mais qui n’a rien à voir avec la probabilité réelle. Si l’on compare les bookmakers, on note que les probabilités induites sont très proches,

et si on compare la part prise par le bookmaker sur ce match, on est là aussi sur des ordres de grandeurs comparables,

Justin Wolfers et Eric Zitzewitz, dans Prediction Markets paru dans le Journal of Economic Perspectives de 2004 (ici) expliquent d’ailleurs tout cela très clairement. Je peux aussi renvoyer à un document de travail datant de novembre dernier de Egon Franck, Erwin Verbeek, et Stephan Nüesch (en ligne ici).
J’ai parlé tout à l’heure de probabilité risque neutre, mais cela sous-entend que l’on puisse supposer les marchés efficients, et qu’il n’y ait absence d’opportunité d’arbitrage. C’est précisément ce qu’avait regardé Steven Levitt et Richard Gillici, dans un vieux papier, évoqué également . Pour résumer les conclusions, il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage sur ces marchés, et il existe des “market makers”, c’est à dire des parieurs misant énormément, ce qui accroît considérablement la liquidité de ces marchés. Mais cette conclusion sur l’absence d’opportunité d’arbitrage a été largement remise en cause en pratique. Pour aller plus loin, on peut aussi regarder un article de Moris Eaton et David Freedman, Dutch Book against some ‘Objective’ Prior, paru dansBernoulli en 2004, en ligne . C’est marrant car cette relecture Bayésienne des jeux de pari peut être étudier en pratique, pour la coupe du monde de foot surworldcup.bayesialab.com (, merci Avner pour le lien). Je vais continuer de suivre ça lorsque les matchs commençerons, afin de voir les mises à jour des paris au fur et à mesure de l’évolution des matchs… à suivre donc.