On Cochran Theorem (and Orthogonal Projections)

Cochran Theorem – from The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance published in 1934 – is probably the most import one in a regression course. It is an application of a nice result on quadratic forms of Gaussian vectors. More precisely, we can prove that if \boldsymbol{Y}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0},\mathbb{I}_d) is a random vector with d \mathcal{N}(0,1) variable then (i) if A is a (squared) idempotent matrix \boldsymbol{Y}^\top A\boldsymbol{Y}\sim\chi^2_r where r is the rank of matrix A, and (ii) conversely, if \boldsymbol{Y}^\top A\boldsymbol{Y}\sim\chi^2_r then A is an idempotent matrix of rank r. And just in case, A is an idempotent matrix means that A^2=A, and a lot of results can be derived (for instance on the eigenvalues). The prof of that result (at least the (i) part) is nice: we diagonlize matrix A, so that A=P\Delta P^\top, with P orthonormal. Since A is an idempotent matrix observe thatA^2=P\Delta P^\top=P\Delta P^\top=P\Delta^2 P^\topwhere \Delta is some diagonal matrix such that \Delta^2=\Delta, so terms on the diagonal of \Delta are either 0 or 1‘s. And because the rank of A (and \Delta) is r then there should be r 1‘s and d-r 1‘s. Now write\boldsymbol{Y}^\top A\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{Y}^\top P\Delta P^\top\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{Z}^\top \Delta\boldsymbol{Z}where \boldsymbol{Z}=P^\top\boldsymbol{Y} that satisfies\boldsymbol{Z}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0},PP^\top) i.e. \boldsymbol{Z}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0},\mathbb{I}_d). Thus \boldsymbol{Z}^\top \Delta\boldsymbol{Z}=\sum_{i:\Delta_{i,i}-1}Z_i^2\sim\chi^2_rNice, isn’t it. And there is more (that will be strongly connected actually to Cochran theorem). Let A=A_1+\dots+A_k, then the two following statements are equivalent (i) A is idempotent and \text{rank}(A)=\text{rank}(A_1)+\dots+\text{rank}(A_k) (ii) A_i‘s are idempotents, A_iA_j=0 for all i\neq j.

Now, let us talk about projections. Let \boldsymbol{y} be a vector in \mathbb{R}^n. Its projection on the space \mathcal V(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_p) (generated by those p vectors) is the vector \hat{\boldsymbol{y}}=\boldsymbol{V} \hat{\boldsymbol{a}} that minimizes \|\boldsymbol{y} -\boldsymbol{V} \boldsymbol{a}\| (in \boldsymbol{a}). The solution is\hat{\boldsymbol{a}}=( \boldsymbol{V}^\top \boldsymbol{V})^{-1} \boldsymbol{V}^\top \boldsymbol{y} \text{ and } \hat{\boldsymbol{y}} = \boldsymbol{V} \hat{\boldsymbol{a}}
Matrix P=\boldsymbol{V} ( \boldsymbol{V}^\top \boldsymbol{V})^{-1} \boldsymbol{V}^\top is the orthogonal projection on \{\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_p\} and \hat{\boldsymbol{y}} = P\boldsymbol{y}.

Now we can recall Cochran theorem. Let \boldsymbol{Y}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu},\sigma^2\mathbb{I}_d) for some \sigma>0 and \boldsymbol{\mu}. Consider sub-vector orthogonal spaces F_1,\dots,F_m, with dimension d_i. Let P_{F_i} be the orthogonal projection matrix on F_i, then (i) vectors P_{F_1}\boldsymbol{X},\dots,P_{F_m}\boldsymbol{X} are independent, with respective distribution \mathcal{N}(P_{F_i}\boldsymbol{\mu},\sigma^2\mathbb{I}_{d_i}) and (ii) random variables \|P_{F_i}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})\|^2/\sigma^2 are independent and \chi^2_{d_i} distributed.

We can try to visualize those results. For instance, the orthogonal projection of a random vector has a Gaussian distribution. Consider a two-dimensional Gaussian vector

r = .7
s1 = 1
s2 = 1
Sig = matrix(c(s1^2,r*s1*s2,r*s1*s2,s2^2),2,2)
Y = rmnorm(n = 1000,mean=c(0,0),varcov = Sig)
vu = seq(-4,4,length=101)
vz = outer(vu,vu,function (x,y) dmnorm(cbind(x,y),
mean=c(0,0), varcov = Sig))

Consider now the projection of points \boldsymbol{y}=(y_1,y_2) on the straight linear with directional vector \overrightarrow{\boldsymbol{u}} with slope a (say a=2). To get the projected point \boldsymbol{x}=(x_1,x_2) recall that x_2=ay_1 and \overrightarrow{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}}\perp\overrightarrow{\boldsymbol{u}}. Hence, the following code will give us the orthogonal projections

p = function(a){


P = p(2)
for(i in 1:20) segments(Y[i,1],Y[i,2],P[i,1],P[i,2],lwd=4,col="red")

Now, if we look at the distribution of points on that line, we get… a Gaussian distribution, as expected,

z = sqrt(P[,1]^2+P[,2]^2)*c(-1,+1)[(P[,1]>0)*1+1]
vu = seq(-6,6,length=601)
vv = dnorm(vu,mean(z),sd(z))
hist(z,probability = TRUE,breaks = seq(-4,4,by=.25))

Or course, we can use the matrix representation to get the projection on \overrightarrow{\boldsymbol{u}}, or a normalized version of that vector actually

U = c(1,a)/sqrt(a^2+1)
[1] 0.4472136 0.8944272
matP = U %*% solve(t(U) %*% U) %*% t(U)
matP %*% Y[1,]
[1,] -0.1120555
[2,] -0.2241110
x0 y0
-0.1120555 -0.2241110

(which is consistent with our manual computation). Now, in Cochran theorem, we start with independent random variables,

Y = rmnorm(n = 1000,mean=c(0,0),varcov = diag(c(1,1)))

Then we consider the projection on \overrightarrow{\boldsymbol{u}} and \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=\overrightarrow{\boldsymbol{u}}^\perp

U = c(1,a)/sqrt(a^2+1)
matP1 = U %*% solve(t(U) %*% U) %*% t(U)
P1 = Y %*% matP1
z1 = sqrt(P1[,1]^2+P1[,2]^2)*c(-1,+1)[(P1[,1]>0)*1+1]
V = c(a,-1)/sqrt(a^2+1)
matP2 = V %*% solve(t(V) %*% V) %*% t(V)
P2 = Y %*% matP2
z2 = sqrt(P2[,1]^2+P2[,2]^2)*c(-1,+1)[(P2[,1]>0)*1+1]

We can plot those two projections


and observe that the two are indeed, independent Gaussian variables. And (of course) there squared norms are \chi^2_{1} distributed.

On the conjugate function

In the MAT7381 course (graduate course on regression models), we will talk about optimization, and a classical tool is the so-called conjugate. Given a function f:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R} its conjugate is function f^{\star}:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R} such that f^{\star}(\boldsymbol{y})=\max_{\boldsymbol{x}}\lbrace\boldsymbol{x}^\top\boldsymbol{y}-f(\boldsymbol{x})\rbraceso, long story short, f^{\star}(\boldsymbol{y}) is the maximum gap between the linear function \boldsymbol{x}^\top\boldsymbol{y} and f(\boldsymbol{x}).

Just to visualize, consider a simple parabolic function (in dimension 1) f(x)=x^2/2, then f^{\star}(\color{blue}{2}) is the maximum gap between the line x\mapsto\color{blue}{2}x and function f(x).

x = seq(-100,100,length=6001)
f = function(x) x^2/2
vf = Vectorize(f)(x)
fstar = function(y) max(y*x-vf)
vfstar = Vectorize(fstar)(x)

We can see it on the figure below.

viz = function(x0=1,YL=NA){
idx=which(abs(x)<=3) par(mfrow=c(1,2)) plot(x[idx],vf[idx],type="l",xlab="",ylab="",col="blue",lwd=2) abline(h=0,col="grey") abline(v=0,col="grey") idx2=which(x0*x>=vf)
if(is.na(YL)) YL=range(vfstar[idx])



In that case, we can actually compute f^{\star}, since f^{\star}(y)=\max_{x}\lbrace xy-f(x)\rbrace=\max_{x}\lbrace xy-x^2/2\rbraceThe first order condition is here x^{\star}=y and thusf^{\star}(y)=\max_{x}\lbrace xy-x^2/2\rbrace=\lbrace x^{\star}y-(x^{\star})^2/2\rbrace=\lbrace y^2-y^2/2\rbrace=y^2/2And actually, that can be related to two results. The first one is to observe that f(\boldsymbol{x})=\|\boldsymbol{x}\|_2^2/2 and in that case f^{\star}(\boldsymbol{y})=\|\boldsymbol{y}\|_2^2/2 from the following general result : if f(\boldsymbol{x})=\|\boldsymbol{x}\|_p^p/p with p>1, where \|\cdot\|_p denotes the standard \ell_p norm, then f^{\star}(\boldsymbol{y})=\|\boldsymbol{y}\|_q^q/q where\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1The second one is the conjugate of a quadratic function. More specifically if f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{x}/2 for some definite positive matrix \boldsymbol{Q}f^{\star}(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^{\top}\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{y}/2. In our case, it was a univariate problem with \boldsymbol{Q}=1.

For the conjugate of the \ell_p norm, we can use the following code to visualize it

p = 3
f = function(x) abs(x)^p/p
vf = Vectorize(f)(x)
fstar = function(y) max(y*x-vf)
vfstar = Vectorize(fstar)(x)


p = 1.1
f = function(x) abs(x)^p/p
vf = Vectorize(f)(x)
fstar = function(y) max(y*x-vf)
vfstar = Vectorize(fstar)(x)
viz(1, YL=c(0,10))

Actually, in that case, we almost visualize that if f(x)=|x| then\displaystyle{f^{\star}\left(y\right)={\begin{cases}0,&\left|y\right|\leq 1\\\infty ,&\left|y\right|>1.\end{cases}}}

To conclude, another popular case, f(x)=\exp(x) then{\displaystyle f^{\star}\left(y\right)={\begin{cases}y\log(y)-y,&y>0\\0,&y=0\\\infty ,&y<0.\end{cases}}}We can visualize that case below

f = function(x) exp(x)
vf = Vectorize(f)(x)
fstar = function(y) max(y*x-vf)
vfstar = Vectorize(fstar)(x)

Pareto models for risk management

Our paper, with Emmanuel Flachaire, “Pareto models for risk management” is now online…

The Pareto model is very popular in risk management, since simple analytical formulas can be derived for financial downside risk measures (Value-at-Risk, Expected Shortfall) or reinsurance premiums and related quantities (Large Claim Index, Return Period). Nevertheless, in practice, distributions are (strictly) Pareto only in the tails, above (possible very) large threshold. Therefore, it could be interesting to take into account second order behavior to provide a better fit. In this article, we present how to go from a strict Pareto model to Pareto-type distributions. We discuss inference, and derive formulas for various measures and indices, and finally provide applications on insurance losses and financial risks.

Personalization as a Promise: Can Big Data Change the Practice of Insurance?

Our recent article, “Personalization as a Promise: Can Big Data Change the Practice of Insurance?” with Larence Barry is now online, as a Working Paper of the PARI chair.

The purpose of this paper is to measure the impact of technologies from the Big Bang. data on thehe pricing ofhe products car insurance. The first part describes how the aggregated view buildsuit by statistics enables highlighting invisible regularities at the individual level. Despite a very granular segmentations in automobile insurance, the approach remained classificatory, hypothesizing the risk identity of individuals from the same class. The second part highlights the reversal of big data-induced perspective in the’analysis ofgiven ; awith theur volume and the new algorithms, the aggregate viewpoint is questioned.. The hypothesis of class homogeneity is becoming increasingly difficult to test. maintain, especially since predictive analysis boasts the ability to predict the rs results at the individual level. The third part is studying the’influence of telematics boxes able to import the new pinsurance aradigm automobile. However, a reading of the most recent research articles on a pricing automobile including this new monter that the epistemological leap, at least for now, has not taken place.

Repenser la responsabilité, et la causalité

Ce billet a été écrit avec Rodolphe Bigot, maître de conférences à l’Université de Picardie Jules Verne.

En 150 ans, le concept de responsabilité a beaucoup évolué, sans jamais disparaître. Et aujourd’hui, on le retrouve dans des contextes variés, allant des catastrophes écologiques ou industrielles – on évoquera un « principe de précaution » qui a rendu floue la notion même de causalité – aux « machines intelligentes » – qui quittent le rôle d’aide pour finalement prendre des décisions à notre place.

De la responsabilité pour faute …

Bien que gravée dans le marbre plus que bicentenaire du Code civil, la responsabilité civile est manifestement une institution juridique régulièrement repensée. La doctrine a mis en lumière le renouveau de son droit. L’image qui nous vient à l’esprit est celle d’un arbre à idées, soumis aux variations des saisons, avec ses heures de floraison, d’incandescence, des feuilles mortes et de dormance. Depuis quelques années, les projets de réforme se suivent et sortent la responsabilité civile d’une période d’hibernation. Incessamment, elle s’apprête à muer, encore et encore. Mais de longue date, elle est généralement définie, pour reprendre Tunc (2019) comme « l’institution par laquelle une personne est tenue de réparer un dommage causé par autrui ». Elle se trouve depuis plusieurs décennies dans une situation paradoxale. Comme le rappelle Ewald (1986), l’assurance s’est développée alors que l’on cherchait à socialiser (dans le sens transférer de l’individuel au collectif) le risque de responsabilité. Il a été remarqué par Viney (1965) que « sécurité sociale et responsabilité produisaient un déclin de la responsabilité individuelle et une socialisation des risques, la charge de ceux-ci étant répartie sur une collectivité : la communauté nationale ou une mutualité d’assurés gérée par un assureur ».

Avec la révolution industrielle, et en particulier l’explosion de machines à vapeur, on voit apparaître la notion de « cause inconnue ». Depuis 1804, où seule la responsabilité pour faute existait, le droit de la responsabilité a beaucoup évolué, institutionnalisant un système d’indemnisation qui n’est plus centré sur la sanction de l’auteur d’un dommage, mais la réparation, individuelle ou sociale. Les victimes et leur entourage, face aux coups du sort, n’ont plus la même résignation. La psychologie de la réclamation a aussi évolué. On peut remonter, comme le fait Ewald (1986), à la loi du 9 avril 1898 sur les accidents du travail, qui inspirera la législation des assurances sociales à venir. Cette loi force à repenser la notion de responsabilité individuelle, et le contrat social qui unit les membres d’une collectivité. À l’époque, d’un point de vue juridique, le juge partait d’un accident, d’un dommage, pour inférer l’existence de cause, et d’une faute : sans faute, il n’y aurait pas d’accident. Plus précisément sans faute, il n’y avait pas de responsabilité civile, ni de compensation donc, ce qui peut conduire à penser qu’en définitive, on niait l’accident : aujourd’hui il existe des régimes de responsabilité pour faute (c’est à la victime de la prouver), de responsabilité pour faute présumée (c’est à l’auteur de prouver qu’il n’a pas commis de faute), ou de responsabilité sans faute ou de plein droit (qui repose sur d’autres fondements : l’autorité ou la cohabitation de l’enfant avec ses parents ; la responsabilité du fait des choses que l’on a sous sa garde).

Les jugements de responsabilité sont alors des jugements portés sur la causalité d’un évènement. On retrouve l’idée que quiconque cause un dommage à autrui ait à le réparer. Cette vision est très éloignée de celle de l’actuaire qui calcule les probabilités de survenance d’un accident indépendamment de toute volonté. Mais un rapprochement est parfois opéré, et la volonté n’a plus d’influence. A ce titre, pendant longtemps, il était requis que l’auteur de la faute ait eu conscience de son acte. Le responsable devait pour cela avoir la « capacité de discernement », en quelque sorte (dans une tradition judéo-chrétienne) la capacité de distinguer le bien du mal. Cette condition était nommée l’imputabilité de la faute à son auteur. Deux types de personnes n’avaient pas cette faculté de discernement : les enfants en bas âge et les personnes mentalement déficientes (que cela soit durable ou que la personne ait été prise d’une crise passagère de folie au moment de l’acte). Progressivement, la loi et la jurisprudence ont supprimé cette exigence. L’article 489-2 du Code civil (issu d’une loi du 30 janvier 1968) dispose désormais que « celui qui a causé un dommage à autrui alors qu’il était sous l’empire d’un trouble mental, n’en est pas moins obligé à réparation ». La jurisprudence a ensuite posé le même principe concernant les enfants privés de discernement en 1984. La faute est donc désormais une faute objective, privée de son élément moral et volontaire, avec quelques nuances ou résistances de la jurisprudence. La doctrine a initié cette solution. Un certain nombre d’auteurs, dont Paul Esmein, les frères Mazeaud (Henri, Léon, Jean) et ensuite François Chabas[i], ont plaidé en faveur de l’élargissement de la notion de faute, qui n’implique aucun élément subjectif et qui, en quelque sorte, se réduit à une erreur de conduite que n’aurait pas commise un bon père de famille, une personne raisonnable, placée dans les mêmes circonstances que le défendeur. La faute perd son contenu psychologique. A ainsi pu être admise, à partir de cette conception objective de la faute qui n’implique pas de jugement moral sur le comportement, la responsabilité civile des incapables majeurs et des enfants en bas âge qui ont en commun de ne pas être doués de discernement.

En définitive, la responsabilité civile – du fait des choses, puis du fait d’autrui – et la faute ont subi une objectivation donnant naissance, selon Ewald (1998), à un droit de la responsabilité qui « n’est plus qu’un droit de l’indemnisation où la notion de faute (et de culpabilité) à travers laquelle on se reconnaît traditionnellement responsable a de moins en moins cours ». Pour le juge, si une personne n’avait pas commis telle ou telle faute, ou n’avait pas été à l’origine de tel fait générateur (de responsabilité), « le monde serait harmonieux » alors que pour l’assureur, quel que soit la volonté de chacun, les accidents se produisent avec une forte régularité statistique. On retrouve ici les réflexions de Durkheim (1897), lorsqu’il voit le suicide comme un phénomène social normal. Mais cette vision ne s’est pas imposée en un jour.

… à la gestion des risques

Si on évoque souvent les freins à la naissance de l’assurance-vie, avec en France l’ordonnance de Colbert de 1681 qui considère que les assurances sur la vie en cas de décès sont « réprouvées et contre les bonnes mœurs » car elles font souhaiter la mort de celui sur la tête duquel le souscripteur la prend, en d’autres termes le risque de votum mortis. Comme le rappelle Zelizer (1979), la naissance de l’« assurance pour faute » a aussi été difficile, plus tardive encore. Alors qu’en 1840 les assurances de responsabilité civile dans le cadre des accidents de la circulation (à cheval) sont toujours perçues comme une « incitation à l’incurie et à la négligence », dix ans plus tard l’assurance de responsabilité est enfin admise (« le fait de circuler à notre époque et en plein Paris [sans assurance] constitue indiscutablement une faute lourde »). Il faudra attendre 1876 pour que la Cour de cassation se prononce à son sujet et reconnaisse sa licéité, comme le rappelle Profit (2020). Plusieurs questionnements persistaient. Est-il moral et juste de déplacer le poids des conséquences des actes d’un individu sur l’ensemble de la mutualité, le dédouanant ainsi de sa responsabilité ? Comment légitimer de faire payer les négligences par la collectivité ? N’est-ce pas en contradiction avec l’idée d’inciter à la prévention (formalisée par les économistes – en commençant par Adam Smith – par la notion d’aléa moral) ? Cette assurance de responsabilité semble contredire la vision juridique, à tout le moins certaines fonctions qui lui sont assignées, comme la fonction normative et sanctionnatrice.

L’assurance a toutefois pu se développer car la réalisation d’un dommage ne profite en théorie (presque) jamais à l’assuré, et elle garantit surtout le tiers, victime du dommage. Conçue comme un mécanisme de protection d’une dette de réparation de l’assuré responsable, l’évolution a assigné à la responsabilité civile un second rôle, sans doute prédominant aujourd’hui, de protection de la créance d’indemnisation de la victime. Ce n’est donc plus tant la faute de l’assuré qui importe mais ses conséquences sur la victime, « l’assurance acquiert ici, outre la fonction économique, une fonction sociale, elle pallie l’insolvabilité du responsable pour garantir la réparation du dommage », comme le souligne Profit (2020). C’est dans cet esprit que sera pensée la loi du 5 juillet 1985 (loi dite Badinter) relative à l’indemnisation des accidents de la circulation. Pour éviter qu’une victime ne puisse pas être indemnisée, faute pour elle de démontrer l’existence d’une faute, la doctrine avait élaboré la théorie du risque. Celle-ci admettait l’idée d’une responsabilité sans faute, dite objective. Cette théorie est apparue dès la fin du 19ème siècle avec Raymond Saleilles et Louis Josserand à propos surtout des dommages causés par des choses (machines, locomotives, voitures…). Elle a eu aussi des influences considérables en jurisprudence et en législation, avec la loi du 9 avril 1898 sur les accidents du travail. Ce texte a attribué de plein droit la responsabilité à l’employeur, par la mise en place de leur indemnisation automatique sans avoir à démontrer une faute de l’employeur.

Dans le contexte des accidents du travail, si le patron a tout fait pour prévenir les accidents, il ne peut être tenu pour responsable, mais, malgré tout, des accidents surviennent. Des mutuelles professionnelles vont alors naître, garantissant (et limitant) la responsabilité civile des patrons. Cette couverture du risque professionnel introduit une mutualisation. Elle se transformera en solidarité avec la loi du 30 octobre 1946 qui abroge celle du 9 avril 1898 et rattache la réparation des accidents du travail à la sécurité sociale, laquelle se substitue aux assurances privées[ii]. On assiste ainsi au déplacement de la charge de ces accidents sur la société, quittant la vision juridique de la responsabilité fondée sur l’idée de recherche de cause – la faute conservant un rôle secondaire dès lors qu’elle est intentionnelle ou inexcusable –, puis de distribution des charges. Cette solidarité donnera naissance à une notion de responsabilité vue comme une répartition des risques, éloignée de l’idée de faute. Il ne s’agit plus de déterminer qui a commis une faute, mais qui devra supporter la perte causée par un dommage. On quitte l’éthique et la morale pour définir une équité économique. Si les accidents touchent des individus, c’est la société qui doit répartir convenablement leur charge. En allant un peu plus loin, comme l’ont montré plusieurs procès en responsabilité médicale[iii], on peut commettre une faute et être déchargé de sa responsabilité. Comme le relève Ewald (1986), l’assurance force à quitter la notion juridique de responsabilité pour « un projet de régulation sociale », en gérant une responsabilité collective. Du risque industriel au risque technologique, la responsabilité collective s’élargit, passant de l’entreprise à l’État, voire à plusieurs États.

Responsabilité et principe de précaution

Les risques écologiques ont mis en défaut la notion juridique classique de responsabilité, avec une causalité parfois floue, et une dimension temporelle inédite. Un dommage écologique s’étend sur plusieurs générations, et la perte ou le dommage n’est pas toujours perceptible immédiatement. Les causes multiples, croisées, imbriquées, rendent l’idée de responsabilité individuelle bien souvent caduque, du moins inadaptée.


Habituellement, pour que la responsabilité civile soit engagée, trois conditions cumulatives sont exigées : un préjudice, un fait générateur, et un lien de causalité entre celui-ci et celui-là. La mise en œuvre de la responsabilité suppose tout d’abord d’imputer matériellement le dommage à un fait générateur de la responsabilité. En conséquence, il faut démontrer un rapport de causalité entre la survenance du dommage et le fait générateur. Vient ensuite le moment de désigner un responsable qui varie selon le régime et le fondement de la responsabilité. Le responsable est compris comme celui qui répond du dommage. Il n’est pas nécessairement son auteur. Qu’il doive être prouvé ou qu’il soit présumé, le lien de causalité reste intangible en tant que condition de la responsabilité. A contrario, le fait générateur de responsabilité peut, selon les circonstances, consister tantôt en une faute, parfois prouvée, parfois présumée, tantôt en un simple fait, autrement dit un fait générateur non fautif, mais dommageable.

De plus, il convient qu’une personne soit affectée, ce qui pose soucis dans de nombreux dommages environnementaux, touchant des écosystèmes, des animaux ou des plantes. La loi du 8 août 2016 pour la reconquête de la biodiversité, de la nature et des paysages a permis d’élargir la responsabilité. L’article 1247 du Code civil dispose qu’« est réparable le préjudice écologique consistant en une atteinte non négligeable aux éléments ou aux fonctions des écosystèmes ou aux bénéfices collectifs tirés par l’homme de l’environnement ». Une conception repensée de la responsabilité a donc permis de prendre en compte ce préjudice écologique pur. Dans certains pays, la solution a été de reconnaître la personnalité juridique à la nature, ou l’un de ses éléments, tel qu’un fleuve (comme le Gange, en Inde) par exemple. Mais il convient de repenser la notion de « réparation », invoquant l’idée que la responsabilité a vocation non seulement à réparer les dommages mais aussi à prévenir leur survenance. En particulier, la responsabilité civile peut avoir une dimension prophylactique à partir du moment où on met en place un certain nombre de mesures pour éviter qu’un dommage survienne ou qu’il produise des conséquences trop importantes.

Le principe de précaution a été consacré dans l’ordre juridique par étapes. Il s’agit de l’un des fondements de la politique de l’Union européenne dans le domaine de l’environnement. Il est rappelé par la Charte française de l’environnement de 2004, mentionnée dans le préambule de la Constitution Française – « lorsque la réalisation d’un dommage, bien qu’incertaine en l’état des connaissances scientifiques, pourrait affecter de manière grave et irréversible l’environnement, les autorités publiques veillent, par application du principe de précaution et dans leurs domaines d’attributions, à la mise en œuvre de procédures d’évaluation des risques et à l’adoption de mesures provisoires et proportionnées afin de parer à la réalisation du dommage ». Ce principe de droit trouve sa source dans les adages selon lesquels « mieux vaut prévenir que guérir », et « dans le doute, abstiens-toi ». Les philosophes s’étaient penchés sur ce principe avant les juristes, à commencer par Nietzche (1887) : afin que l’homme puisse « répondre de lui-même en tant qu’avenir […] ne doit-il pas avoir appris à séparer le nécessaire de l’accidentel, à penser le rapport causal, à voir le lointain comme s’il était présent et à l’anticiper, à établir avec certitude quel est le but et le moyen convenable ».

Puisque la responsabilité de précaution serait fondée sur la causalité potentielle, elle imposerait un examen anticipatif de la causalité. Bien qu’il ait été suggéré d’ajuster à son égard la théorie la causalité adéquate, applicable en présence de connaissances scientifiques suffisantes pour prévoir le lendemain, le principe de précaution s’applique au contraire lorsque ces connaissances sont incertaines, comme le rappelle Boutonnet (2005). Cela conduit la doctrine à distinguer la « responsabilité-réparation » d’une « responsabilité-caution ».

En définitive, le fondement de la faute, dans la sphère individuelle, pérennise une logique ancienne de culpabilité et porte l’impératif sous-jacent de ne pas nuire à autrui. Puis le fondement du risque, soumis à une logique d’indemnisation, a ouvert la responsabilité sur la sphère sociale. Le nouveau fondement de la précaution, ayant le mérite d’être déjà un principe international, européen et interne, dans des champs variés mais reliés, s’étend à la sphère planétaire. On ne sait plus vraiment ce qu’est la responsabilité civile, ni la solidarité d’ailleurs, avec le foisonnement des fonds de garantie et d’indemnisation qui viennent en relais de la responsabilité, et s’entremêlent avec elle. Au terme de cette hybridation de la responsabilité et de la solidarité, ces centaures pourraient être renommés « responlidarité » ou « solidabilité ». Dans ses fonctions repensées, le projet de réforme de la responsabilité civile est susceptible de procéder à un nouveau métissage, voire confusion, avec celles de la responsabilité pénale.

Des écosystèmes victimes aux machines responsables

Les nouvelles technologies, avec des machines enrichies d’une intelligence dite artificielle, en premier lieu pour les véhicules autonomes, suscitent de nombreux inquiétudes et interrogations ces derniers temps. Noguéro & Vingiano-Viricel (2019) ont dernièrement recommandé qu’« il faut patiemment recueillir les enseignements de l’expérience et éviter la précipitation pour, si nécessaire, bâtir un droit qui serait spécifique pour appréhender la responsabilité du (ou du fait du) « véhicule autonome ». Dans l’intervalle, le principe de précaution devrait s’imposer : ne pas mettre la charrue avant les bœufs ».  À suivre donc…

Boutonnet, Mathilde (2005) Le principe de précaution en droit de la responsabilité civile. LGDJ.

Ewald, François (1986) L’Etat Providence. Grasset.

Ewald, François (1998) L’expérience de la responsabilité. in De quoi sommes-nous responsables ?, 8e Forum, Le Monde, Le Monde éditions

Mill, John Stuart (1843) A System of Logic. Harper & Brothers Publishers.

Nietzsche, Frederich (1887) Généalogie de la morale. Mercure de France.

Noguéro, David & Vingiano-Viricel , Iolande (2019) Intelligence artificielle et véhicules autonomes, in Droit de l’intelligence artificielle, Loiseau & Bensemoun Eds, LGDJ.

Profit, Alix (2020) Droit des assurances, Bigot & Cayol Eds, Ellipses.

Quézel-Ambrunaz, Christophe (2010) Essai sur la causalité en droit de la responsabilité civile, Dalloz, Nouvelle Bibliothèque de Thèses.

Thibierge, Catherine, Libres propos sur l’évolution du droit de la responsabilité (vers un élargissement de la fonction de la responsabilité civile ?), RTD Civ. 1999, p. 561 et s.

Tunc, André (2019) Responsabilité Civile in Encyclopædia Universalis. https://bit.ly/36tf0xL ; La responsabilité civile, Economica, 2e éd., 1989.

Viney, Geneviève (1965) Le déclin de la responsabilité individuelle. LGDJ

Zelizer, Viviana (1979). Morals and Markets: The Development of Life Insurance in the United States, Columbia University Press

[i] En lien avec leurs travaux sur la notion d’obligation en droit.

[ii] Avec la loi de 1898, la faute ne conditionne plus la réparation d’un accident du travail. Le risque professionnel la remplace. Mais la notion de faute n’y est pas complètement abandonnée. Elle joue désormais un rôle accessoire. Elle permet ainsi de sanctionner les comportements les plus graves, en particulier en cas de faute intentionnelle du salarié où aucune indemnité ne lui est attribuée.

[iii] Depuis l’arrêt Mercier du 20 mai 1936, les médecins doivent soigner « conformément aux données acquises de la science », et non pas en considération de mises en garde de collègues si elles n’ont pas été scientifiquement corroborées. Le cœur du contrat médical réside dans l’obligation de soins qui pèse sur le médecin.

Des modeles prédictifs en assurance

Cet post est aussi en ligne sur https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02350006, il a été coécrit avec Laurence Barry et Ewen Gallic.

Les compagnies d’assurance émettent des contrats qui prévoient des paiements d’indemnités en cas de survenance d’évènements aléatoires (accident, maladie, décès, etc.). En contrepartie, l’assuré doit s’acquitter d’une prime, dont le montant est déterminé ex-ante, avant le début de la période de couverture. Cette prime se décompose en deux termes : une prime pure (destinée à couvrir les pertes anticipées) et un chargement (incluant des commissions à des agents, divers frais, mais aussi couvrant contre le risque de variabilité des pertes). La prime pure est souvent calculée par classe de risque, et une classification est alors nécessaire.

Assurer une population hétérogène, ou l’importance de la classification

Le regroupement des risques selon diverses informations telles l’âge de l’assuré, son état de santé ou encore sa profession constitue ce que l’on appelle la classification des risques. Cette pratique de segmentation se justifie (à des fins d’admissibilité mais aussi de tarification) par la supposition que les risques sont placés dans des groupes relativement homogènes, au sein desquels les probabilités de survenance sont similaires. Pour Schauer (2006), cette « généralisation », qui vise à voir l’individu sous le prisme de sa classe de risque, de généraliser son comportement à partir de quelques variables explicatives, est probablement la raison d’être de l’actuaire : « to be an actuary is to be a specialist  in  generalization,  and  actuaries  engage  in  a form of decision-making that is sometimes called actuarial ». Statistiquement on cherche une méthode de classification aussi « discriminatoire » que possible[1], en gardant en mémoire que la discrimination est interdite, ce qui rend l’exercice périlleux, et souvent critiqué (nous y reviendrons plus loin).

Les assureurs évoquent souvent deux arguments pour justifier une segmentation. Le premier est qu’elle serait rendue économiquement nécessaire par la concurrence ; ne pas classifier conduit à une anti-sélection, les risques importants restant seuls chez les assureurs qui ne segmentent pas. Dans une telle situation, l’équilibre de marché ne serait pas possible puisque les risques faibles seraient chez un concurrent ayant segmenté. Si le facteur de risque était observable, tant par les assurés que les assureurs, il y aurait un phénomène d’auto-sélection, les assurés à risque faible ayant les polices les moins chères. Cette situation constitue un équilibre séparant de Nash. Mais si le facteur de risque n’est pas observable, un équilibre sous-optimal peut être atteint, résultant d’une externalité négative de cette information non-accessible, à la manière de Wilson (1977), tel que décrit dans Cummins et al. (1982) dans le cas des contrats d’assurance-vie. Cela dit, Kleindorfer & Kunreuther (1980) montrent qu’accéder à davantage d’information ne conduit pas nécessairement à une amélioration du bien-être des consommateurs. De plus si la classification n’est pas autorisée, l’équilibre est maintenu, les risques faibles subventionnant les risques élevés.

Le second argument avancé pour justifier une segmentation est que cette dernière (et le fait, par conséquent, d’ajuster les primes au risque) serait juste et équitable. Mais cette vision de l’équité n’a pas toujours été de mise et semble portée par les développements techniques. Ainsi la classification est devenue de plus en plus fine, multipliant les classes de risque et conduisant à des tarifs « personnalisés ». En plus des avancées statistiques, des facteurs économiques pourraient justifier cette sophistication : la concurrence de plus en plus forte sur certaines branches.

Incertitude en assurance

Il y a plusieurs manières de caractériser l’incertitude en assurance. Comme bien souvent quand on fait des prévisions, il convient de distinguer l’incertitude associée à l’estimation des probabilités et l’incertitude réelle sur le résultat (aléa de l’évènement). Pour la seconde notion, Hacking (1975) parle de probabilité structurelle, et c’est celle qui est souvent utilisée pour introduire les concepts de probabilité, par exemple avec des dés ou des jeux de cartes : les probabilités sont connues, seule l’issue du jeu est incertaine. Par exemple je sais que la probabilité d’avoir 6 en lançant un dé est 1/6 (compte tenu de la géométrie du cube).

D’un point de vue statistique, la probabilité se mesure quand on peut observer une fréquence, c’est-à-dire une répétition de risques semblables. Les statisticiens ont ainsi défini une notion de probabilité empirique, basée sur la répétition[2]. Si, en lançant mille dés j’obtiens 173 fois la face 6, la probabilité empirique d’avoir 6 est de 17,3%. La loi des grands nombres nous assure que cette fréquence va tendre vers la vraie valeur en répétant l’expérience, et le théorème central limite permet d’en contrôler les fluctuations. C’est la première incertitude dont nous parlions au début de cette section, que nous appellerions l’erreur d’estimation.

On peut enfin mentionner deux notions supplémentaires ; tout d’abord, les probabilités conditionnelles. Cette idée est introduite en assurance par de Moivre, ou de Witt, lorsqu’ils notaient que pour estimer une probabilité de décès, il fallait considérer des personnes de même âge. C’est cette idée que l’on retrouve quand on considère une classification : on veut des risques homogènes, similaires, sans être pour autant identiques. La probabilité que l’on obtient est alors conditionnelle à ce facteur commun qui caractérise la classe observée. Dans notre exemple des dés, cela revient à dire qu’il ne faut pas lancer mille dés, mais mille fois le même dé – ou à défaut des dés semblables.

Enfin, les probabilités subjectives ont été formalisées par Bruno de Finetti et Leonard Savage (ainsi que plus philosophiquement par Frank P. Ramsey) pour comprendre et modéliser la prise de décision. Elles sont relativement populaires en économie de l’incertain, mais difficile à mettre en œuvre dans un contexte de valorisation de contrats d’assurance automobile ou habitation. Il s’agit d’un jugement, qui ne peut être confronté à la réalité, mais envisageable pour l’assurance de risques encore mal connus (McGrayne (2012) évoque ainsi les premiers contrats d’assurance aviation). Une approche bayésienne consiste alors à combiner cette probabilité subjective avec la probabilité comme fréquence observée d’un phénomène : partant d’une croyance a priori, on affine l’estimation par une mise à jour progressive en répétant les expériences. Classiquement, la probabilité d’avoir la face 6 sera une moyenne entre notre croyance (1 chance sur 6) et une probabilité dite historique, obtenue en faisant quelques lancés (3 sur 20 lancers, par exemple). Les poids attribués aux deux dépendant du nombre d’expériences effectuées : on donnera plus de crédit à l’expérience si on fait mille lancés que si on en fait soixante.

Incertitude sur le résultat, ou aléa fondamental

Les probabilités prédictives, utilisées pour calculer la prime d’un contrat d’assurance, sont la première étape d’un problème de classification. Un outil classique pour juger de la pertinence d’un classifieur est la courbe ROC, décrite dans Kuhn (2018)) : on compare la probabilité individuelle (a priori, telle que résultant du modèle de classification) à un seuil, compris entre 0 et 1; si la probabilité est inférieure au seuil, l’estimation est que la personne survit, sinon qu’elle décède.

On compare ensuite cette estimation aux réalisations (ex-post) de survie et de décès. Pour chaque seuil, on peut considérer la matrice classique dite matrice de confusion de théorie de la décision : elle consiste à répartir les observations suivant le résultat observé (en colonne) et l’estimation résultant du modèle en ligne (en fonction de la probabilité estimée pour l’individu et le seuil que l’on s’est fixé). On peut ainsi partager la population entre les classements corrects, et les erreurs (dont les « faux positifs » si la personne a survécu malgré une probabilité estimée de décès supérieure au seuil, et les « faux négatifs » si la personne décède malgré une probabilité estimée inférieure au seuil).

Figure 1: Courbe ROC et classification pour un seuil de probabilité valant 1.5%.

La courbe ROC est obtenue en faisant varier le seuil. Chaque seuil correspond à un point de la courbe, rapportant graphiquement les taux de faux positifs (en abscisse) et de vrais positifs (en ordonnée), comme sur la Figure 1.

Considérons un groupe de 1000 assurés, où 20 personnes sont décédées l’an passé. Supposons un modèle dans lequel on admet que la population est parfaitement homogène, la probabilité estimée de décès est de 2% pour tout le monde. Dans ce cas pour tout seuil supérieur à 2%, on estimera que la totalité de la population survit : on aura un taux de faux positifs de 0% et un taux de vrais positifs de 0%, d’où un point (0,0) sur le graphe. A l’inverse pour tout seuil inférieur à 2%, on estimera que la totalité de la population décède : on aura un taux de faux positifs de 100% et un taux de vrais positifs de 100%, d’où un point (1,1) sur le graphe. La courbe de ROC de ce modèle uniforme à 2% est donc la diagonale du carré sur la figure 1.

Mais on peut aussi imaginer qu’il existe un peu d’hétérogénéité avec, par exemple, une probabilité de décès de 1% pour une moitié de la population et de 3% pour l’autre moitié, ou encore que le modèle produit des probabilités comprises entre 1% et 3% de façon non dichotomique. Les données simulées pour construire la courbe noire sur la Figure 1 suppose que la population a des probabilités de décès variables, comprises entre 1% et 3%, obtenues par une régression logistique. Comme le montre le tableau de droite, on commet des erreurs, et comme le montre celle de gauche, la nature de celle-ci varie en fonction du seuil choisi, qui modifie les taux de faux positifs et de faux négatifs.

Le cas extrême serait celui où le modèle aurait correctement attribué une probabilité de 100% aux 20 personnes qui sont effectivement décédées. C’est la courbe rouge sur la Figure 1. Ce partage est possible ex-post, une fois réalisation de l’aléa : a posteriori, il y a une certitude de décès pour ceux qui sont effectivement morts. Mais cela n’a cependant pas grande réalité dans l’assurance, à moins d’imaginer que l’actuaire serait un oracle, qui saurait avec certitude qui va mourir, et qui va survivre. La réalité est plutôt celle de la situation intermédiaire entre la courbe rouge et la diagonale, avant d’arriver dans la région hachurée, où le taux d’erreur est faible, mais pas nul : on ne peut pas prédire, avec certitude, qui va décéder. L’assurance n’est possible que si cette borne supérieure n’est pas trop élevée.

Incertitude statistique, données et modèles

Une question fondamentale pour la survie de l’assurance est de savoir où se situe cette borne supérieure : jusqu’où peut-on aller, entre les deux cas extrêmes (population homogène avec une probabilité de 2% pour tous, et une population très discriminée, avec 2% de la population ayant 100% de chances de mourir, et l’autre 0%) ? Et de quoi cette borne dépend-elle ? En particulier, des modèles plus complexes, tels que les réseaux de neurones très profonds permettent-ils vraiment d’améliorer la prévision ? Et l’enrichissement de données, tel qu’on l’observe grâce aux objets connectés et la fusion avec toutes sortes d’informations externes, va-t-il déplacer la borne supérieure vers le haut ?

Si l’apprentissage profond – voir Goodfellow et al. (2018) – permet d’avoir des classifieurs d’images avec un taux d’erreur proche de 0%, il est difficile d’imaginer qu’il sera possible de prévoir, presque un an à l’avance (à la signature du contrat), qui décèdera dans l’année, qui aura la grippe, qui aura un dégât des eaux, etc. Les modèles plus complexes permettent d’améliorer les prévisions, en tenant compte de non-linéarités, d’effets croisés entre les variables tarifaires, mais pas au point de faire disparaître l’aléa. Et tant que l’assurance est envisagée ex-ante (la prime est fixée au début de la période de couverture), il est difficile d’imaginer que rajouter de l’information fera aussi disparaître l’aléa. C’est d’ailleurs le cas pour les tests génétiques qui n’expliquent qu’une (petite) partie du risque de cancer, par exemple. Et rajouter des données revient souvent à rajouter du bruit, ce qui rend le travail d’analyse plus complexe. Cependant, force est de constater que des modèles plus complexes et des données plus riches tendent effectivement à « améliorer » la prévision, en remontant la courbe ROC vers le haut. Mais se pose-t-on les bonnes questions ? Que signifie vraiment une borne très éloignée du cas homogène, sur la diagonale ?

Homogénéité, équité et causalité

Comme nous l’avons vu, la tarification en assurance repose sur une répartition des risques (des contrats) en catégories, au sein desquelles la distribution des pertes peut être estimée, afin de fixer un niveau de primes. La répartition se fait à partir des caractéristiques de l’assuré, et du bien assuré. En retraçant l’histoire de l’assurance, Ewald (1986) montre que les mécanismes de prévoyance se sont mis en place en déplaçant la charge des accidents du travail sur la société : on abandonne l’idée d’une responsabilité individuelle de l’accident en faveur de la solidarité. L’assurance distingue « entre le dommage que subit tel ou tel individu — c’est affaire de chance ou de malchance — et la perte liée au dommage dont l’attribution est, quant à elle, toujours collective et sociale ». Ce principe de solidarité sociale, de mutualisation des risques, fait que le risque (en assurance) est toujours pensé collectivement.

Aujourd’hui, les tarifs sont considérés comme « justes », ou « actuariellement équitables » si chaque prime correspond à la perte attendue (pour ne pas dire « espérée », au sens mathématique) pour chaque assuré. Dans cette perception de l’équité, une hypothèse essentielle est que les classes soient « homogènes ». En effet, dans l’hypothèse inverse, les personnes les moins risquées subventionnent les personnes les plus risquées, ce qui est perçu comme socialement injuste.

On peut décrire cette version de l’équité actuarielle à l’aide de la formule de décomposition de la variance. La variance globale se décompose en effet en deux termes, la variance inter-classes et la variance intra-classes : l’ « équité actuarielle » vise à ce que  les classes de risque soient relativement distinctes les unes des autres, donc une variance inter-classes forte, accompagnée d’une homogénéité des classes, donc une variance intra-classes faible. D’un point de vue statistique, chercher à augmenter l’une est équivalente à faire diminuer l’autre. Cette mécanique n’est pas toujours claire pour des observateurs non avertis ; ainsi dans l’affaire Manhart, un des cas les plus documentés sur la discrimination par le genre en assurance, le juge Stevens affirme : « we focus on fairness to individuals rather than on fairness to classes […] even a true generalization about a class is an insufficient reason for disqualifying an individual to whom the generalization does not apply» (cité dans Anzalone (2016)). Autrement dit, pour la justice, un critère statistique de type « true generalization » ne peut être opposable à un individu.

Une autre critique importante, que l’on retrouve dans la « gender directive », est le lien entre discrimination et causalité. En effet, statistiquement, les actuaires vont chercher des facteurs de classification fortement corrélés avec la sinistralité. Mais il est possible que ces facteurs ne soient qu’un proxy de la vraie variable causale, restée elle inobservée, conduisant à une mauvaise estimation du risque pour certains. Comme le notent Antonio et Charpentier (2017), le genre a ainsi été longtemps utilisé en assurance automobile car très corrélé avec des variables associées au style de conduite et à d’autres variables historiquement non observables (mais qui le sont aujourd’hui grâce aux objets connectés, comme le kilométrage, les heures de conduites, les types de routes utilisés, etc).

Ce lien avec les mécanismes causaux est d’ailleurs relativement profond, et Hacking (1975) y voit une connexion avec la « révolution probabiliste » : on peut assez facilement mettre en évidence des corrélations, mais les causes, si elles existent, nous restent plus opaques. Laplace au début du 19e siècle déclare ainsi que « la probabilité est relative en partie à nos connaissances, en partie à notre ignorance », liant les probabilités à la fois à une vision newtonienne déterministe du monde et à notre incapacité à le connaitre parfaitement. Cette dernière composante fait que l’on ne peut pas annoncer la date exacte du décès d’un individu, mais statistiquement, dans un groupe homogène, on peut prédire le nombre de décès au cours d’une année. Et pour revenir à la relation causale, le tabagisme par exemple ne cause pas forcément une mort prématurée mais fumer sera vu comme dangereux car il augmente la probabilité de décès pendant une période donnée. Ainsi nous montre Hacking (1975), la causalité est pensée aujourd’hui dans un contexte probabiliste, et non plus déterministe.

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[1] Au sens statistique du mot, dans le sens introduit par Fisher (1936).

[2] Dans cette approche fréquentiste, et notamment pour Ronald Fisher et Richard von Mises, la probabilité d’un évènement unique (dit « one shot ») n’a pas de sens.

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