Après un week-end de trois jours en Vendée, je vais faire un rapide billet sur les inondations costales (après la catastrophe improbable du barrage de Vajont, ici), que j’aurais du mal à qualifier d’improbables….
Lorsque l’on parle des l’histoire la théorie des valeurs extrêmes (ou plutôt la second partie de l’histoire, la première avait été racontée ici), on évoque souvent la crue de février 1953 qui a inondé les Pays-Bas (je renvoie aux slides de Paul Embrechts par exemple, ici). Pour résumer, pendant la nuit du 31 janvier au 1er février 1953, une très forte tempête traversa la mer du nord. Dans des villes où la marée haute atteignait en moyenne 1 mètre au dessus de niveau de la mer à Amsterdam (ce que l’on appelle NAP, Normaal Amsterdams Peil), on atteignait presque les 4 mètres. Comme souvent (je pense par exemple à la canicule de 2003 en particulier, à laquelle je consacrerais bientôt un billet), le problème n’est pas seulement les hauteurs extrêmes, mais la persistance, i.e. le fait que l’évènement ait duré longtemps. En effet, le 1er février 1953, la marée basse n’avait pas causé de véritable baisse du niveau de l’eau, si bien que quand la marée haute arriva, l’eau avait déjà atteint un niveau très élevé. Mais comme le notait de nombreux commentaires de l’époque, les grandes marées étaient prévues 2 semaines plus tard, autrement dit la catastrophe aurait pu être pire encore si elle était survenue 15jours plus tard !
Les digues subirent plus de 400 brèches, et plus de 500 km de digues furent à reconstruire. Mais surtout, 1836 personnes trouvèrent la mort, ce qui, ramené à la population des Pays-Bas de l’époque (de l’ordre de 10 millions d’habitants, ici), correspondrait à une catastrophe causant la mort de plus de 10000 personnes en France (ou plus de 60000 aux États Unis) aujourd’hui. La carte ci-dessus montre la région qui s’est retrouvée sous l’eau soit plus de 1600 km2 (sinon je renvois ici pour des photos). Comme toujours dans les catastrophes, l’intérêt ex-post sont les leçons que l’on en a tirées. Aux Pays-Bas, la catastrophe a donné naissance au Deltawerken, qui initia (et finança) davantage de recherche sur le niveau des digues, ce que nous appellerions en gestion des risques un problème de calcul de Value-at-Risk: à quelle hauteur mettre une digue pour éviter qu’un évènement se produise dans 99,999% des cas ? Je renvoie ici ou là pour plus d’information sur la catastrophe…
, alors
, comme on le retrouve ci-dessous
stands for the cumulative distribution function, it should satisfy functional equation
, i.e. 
, i.e. 
with 
(i.e. finite lower bound for the support), i.e. 
if 
(i.e. finite upper bound for the support), i.e. 
is an arbitrary positive constant. The “2” comes from the fact that Fréchet considered errors with respect to the median. But he did not introduced that new distribution function, he also proved that the distribution appears as a limit when the underlying distribution of the 
‘s has an algebraic behavior at infinity, i.e. equivalent to 
, for some 
. I.e. he proved that Pareto-type tailed distibutions where in the domain of attraction of the Fréchet distribution.
, and below again, 
}. When then look at the position of 
and the one of the mean of 
, where 
is the location parameter, 
the scale parameter and 
the shape parameter. Note that the expected value is
alors que la tendance est inversée pour les décolletés des femmes,
, applied to 
). This upper bound can be far away from the true probability, see e.g. the gaussian case below, i.e. if 
,
, i.e. 
, we have an upper bound for the 
Value-at-Risk,
, then 
, i.e. 
. But since, 
distribution, then
is said to be an admissible solution for starting point x,
and 
. If we reformulate the dynamic programming idea, we obtain that if 
, then for all 
, sequence 
is a solution to problem 
. It comes that function v is a solution of Bellman’s equation
, 
and 
.
. The dynamic is then
. Assuming that
has a form that can be explicited).
le prix aujourd’hui d’un tel actif. Notons que le prix d’un actif sans risque, rapportant 1 demain dans tous les états du monde est 
. Aussi, si on note 
le taux sans risque, alors
à la date 1 est alors 
.
tel que 
soit une distribution de probabilité. Alors
appelée 
le maximum entre la somme investie en actif risqué à la signature du contrat, 
et le niveau atteint par l’actif lors du décès, 
. Autrement dit, l’assureur s’engage à verser 
. De manière plus général, disons qu’il existe une valeur plancher en dessous de laquelle on ne descendra pas, que l’on notera K.
) et l’espace des probabilités financières (sous lesquelles on couvre le risque financiers, i.e. l’univers 
). Autrement dit, la valeur actuelle probable s’écrit
that maximizes the following function
(a state space) and 
(i.e. some dynamic constraints). Assume further that the starting point is given, i.e.
. In economic application, note that frequently 
i.e. we consider a discounted version of the value.
is a solution of the problem 
then, for all
, 
is a solution of problem 
.
is solution of 
if and only if for all 
, 
denote the consumption at period 
. Let 
be capital he got at time t. Assume that his initial capital is a given amount 
, and suppose that this period’s capital and consumption determine next period’s capital as
is a positive constant and 
. Assume further that capital cannot be negative. Then the consumer’s problem is simply
. Bellman’s equation is then
and 
. And to solve that problem, we use backwards induction techniques.
is known, we can derive easily 
, and so on until 
. More precisely, given 
, we can get 
which is the maximum of function
. One can see that the following function is a possible solution
is a constant. Further, the optimal amount to consume at time 
is
was the variable of interest, 
was the control variable, and 
. Thus, the programm
