Grippe, cravate et (ré)assureurs

Entendu sur France Info, dans la revue de presse de Jean Christophe Martin, ce matin, ici, “parmi ces conseils, une bonne nouvelle pour les allergiques à la cravate : en plus des recommandations classiques, se laver les mains et se dire bonjour sans bisous, le Parisien signale que le groupe Scor, 5ème société mondiale de réassurance, demande aussi à ses salariés d’éviter de porter une cravate. Une consigne qui a eu un gros succès dans les bureaux de la Défense, au siège du groupe. Et oui, contrairement aux chemises, on ne fait pas souvent nettoyer sa cravate, qui peut se transformer en boîte à postillons et en bouillon de culture… Le nouveau mot d’ordre dans les bureaux : à bas la cravate, vive la grippe A...”. Chez AXA, on apprend que c’est la bise, qui est interdite (ici).

Statistiques en vacances, ou que faire avec ses clés de voiture

Petit souvenir de vacances, avant la rentrée… lorsque nous sommes arrivés à la campagne, j’ai eu le réflexe (que je croyais avoir perdu depuis que j’ai quitté Paris) de fermer à clé les portes de la voiture après avoir vidé le coffre. Et comme toujours, les réflexions n’ont pas tardé, avec un classique “eh, ici c’est pas la ville ! tu peux laisser ta voiture ouverte !“. Ne souhaitant froisser mon hôte, j’ai laissé la voiture ouverte, mais je me suis promis que je poserais la question à Laurent Mucchielli (ici, qui a également lancé son blog), en rentrant. A savoir y-a-t-il vraiment moins de délinquance à la campagne, si on corrige de l’effet population. Et sans tarder, Laurent m’a renvoyé vers les rapports disponibles à la Documentation Française (téléchargeable ici par exemple), en me mettant en garde sur l’interprétation, à savoir ce sont des statistiques de police (“qui ne sont pas des statistiques d’enquête en population générale et dépendent de plusieurs logiques d’enregistrement, à prendre avec beaucoup de précaution“). Bref, si on regarde les statistiques de 2008, il y a un “classement par tranche de population suivant le taux de criminalité globale pour 1 000 habitants“, dont j’ai fait le résumé un peu simpliste suivant, qui semble effectivement confirmer l’intuition de notre hôte….

délits1 population taux de délits
Paris 236,527 2,154,000 10,981 %
plus de 250,000 hab. 536,067 5,685,191 9,298 %
de 100,000 à 250,000 579,949 7,598,189 7,633 %
de 50,000 à 100,000 690,007 9,441,848 7,308 %
de 25,000 à 50,000 336,444 4,819,803 6,980 %
moins de 25,000 103,272 1,574,266 6,560 %

Bref, pour ceux qui ne sont pas convaincus, j’ai fait ce petit dessin avec le taux de délits (pour 100 habitants) en fonction de la population, la base de données étant téléchargeable ici.

Le même dessin ci-dessous en échelle logarithmique pour la population,

En y regardant de plus près, la conclusion est un peu moins claire qu’auparavant, car il semble que pour les “petites” villes, la délinquance puisse être relativement importante…

en particulier dans les villes qui, l’été, voient augmenter fortement leur population (la population au sens de l’insee n’étant pas un bon proxi de la population fréquentant les villes l’été). En effet, si l’on écarte les villes chaudes de la banlieue parisienne, on retrouve dans le top des villes ayant le plus fort taux de délinquance Le Touquet, Agde, Dives sur Mer, Deauville, Cavaillon, Lourdes (bref, des villes dont la population explose l’été).

En fait, étrangement, si je compare par rapport à Rennes (6,615%), où que je parte en vacances, le taux de délinquance semble plus élevé… il semblerait logique que j’inverse mes habitudes, à savoir laisser ma voiture ouverte à Rennes, et la fermer en vacances…

1 selon la terminologie du ministère de l’intérieur, “le total des crimes et délits

Théorème de l’enveloppe

Un tout petit complément sur l’utilité inverse, et l’exercice 2 de la PC de jeudi après midi.
Tout  d’abord un petit rappel sur le théorème de l’enveloppe. Supposons que l’on cherche à maximiser une fonction (dite objectif) f(bold x,bold r) qui dépend de paramètres bold r, i.e. on cherche

f^*(bold r) = max_{bold x} f(bold x,bold r),

La fonction f^*(bold r) est alors la fonction optimale pour les paramètres bold r donnés. Soit  bold x^*(bold r) la valeur optimale en bold x, fonction du paramètre bold r , de telle sorte que

f^*(bold r) = f(bold x^*(bold r), bold r)

Le théorème de l’enveloppe nous permet de voir comment f^*(bold r) varie lorsque le paramètre change, et plus particulièrement, on a

frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial f(bold x,bold r)}{ partial r_i} Bigg|_{bold x =

Autrement dit, la dérivée de f^*(bold x,bold r) suivant  ri est donnée par la dérivée partielle de f(bold x,bold r)suivant ri, lorsqu’on l’évalue en bold x =.

Notons qu’il existe aussi une version un peu plus générale qui autorise un programme d’optimisation avec contrainte.
Supposons que l’on s’intéresse à

max_{bold x} f(bold x,bold r) ;; s.t. ;; bold g(bold x,bold r) = bold 0

dont le Lagrangien s’écrit

mathcal{L}(bold x,bold r) = f(bold x,bold r) - boldsymbol{lambda} cdot bold g(bold x,bold r)

où de manière classique boldsymbol{lambda} = (lambda_{1},dots,lambda_{n}) est l’ensemble de multiplicateurs de Lagrange où

bold g(bold x,bold r) = (g_{1}(bold x,bold r),dots,g_{n}(bold x,bold r))

Le théorème de l’enveloppe permet d’écrire

frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial mathcal{L}(bold x,bold r)}{partial r_i} Bigg|_{ bold x =

L’autre point important de la PC était le principe de dualité dans les programme d’optimisation, que j’avais abordé ici.
Bref, tout ça permet d’introduire la notion d’utilité inverse et de demande Hicksienne. Pour reprendre calmement cette partie (en s’inspirant d’une page de wikiversité sur le sujet), le programme classique visait à chercher

 max_{mathbf{x}in Bleft(mathbf{p},y<br />
ight)}uleft(mathbf{x}<br />
ight)

où la contrainte budgétaire s’écrit classiquement

B=left{mathbf{x}in X|mathbf{p}mathbf{x}=sum_{i=1}^Np_ix_i le y<br />
ight}

La solution est alors notée mathbf{x}^mleft(mathbf{p},y<br />
ight) (on parle de demande Marshalienne). Je passe rapidement sur le programme d’optimisation de l’agent, mais nous avions vu que le taux marginal de substitution était égal au rapport des prix. En effet, le Lagrangien s’écrit

 mathcal{L}equiv u(mathbf{x})-lambda(mathbf{p}mathbf{x}-y)

ce qui donne de conditions du premier ordre de la forme

 frac{partial u(mathbf{x}^m)}{partial x_i}=u'_i=lambda p_i forall i.
L’idée maintenant est d’injecter les fonction de demande dans la fonction d’utilité, ce qui permet d’obtenir la fonction d’utilité inverse

 v(mathbf{p},y)=u(mathbf{x}^m(mathbf{p},y))

Une manière alternative d’étudier ce problème est de regarder le programme dual (on a supposé la fonction d’utilité convexe), i.e on cherche à trouver le panier de bien le moins cher possible nous procurant une utilité au moins égale à une utilité minimale, i.e. on cherche à résoudre

 min_{mathbf{x}|u(mathbf{x})gebar u}mathbf{p}mathbf{x}

La solution de ce programme d’optimisation mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u) est appelée demande hicksienne. On peut alors considérer la fonction de dépense minimale,

e(mathbf{p},bar u)=mathbf{p}mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)

Le lemme de Shepard permet d’écrire

: x^h_i(mathbf{p},bar u)=frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_i}

Ce résultat se montre finalement assez simplement: en effet, par construction

e(mathbf{p},bar u)=sum_{i=1}^Np_ix_i^h(mathbf{p},bar u)

dont un calcul de dérivée rapide permet d’écrite

 frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}={color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}+x_k^h(mathbf{p},bar u)

Rappelons que la condition de premier ordre s’écrit

u'_i=frac{p_i}{lambda}

Comme en u(mathbf{x})=bar u, nous sommes à un optimum, on en déduit

 sum_{i=1}^Nu'_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}=0

et donc

frac{1}{lambda}{color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}=0

et comme lambda e 0 c’est que  la somme rouge est nulle. D’où le lemme dit de Shepard.
Les théorèmes de dualité permettent d’obtenir un certain nombre de résultats, parmi lesquels

  • e[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]equiv y
  • v[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]equivbar u
  • x^m_i(mathbf{p},y)equiv x^h_i[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]
  • x^h_i(mathbf{p},bar u)equiv x^m_i[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]

Enfin, en appliquant le théorème de Slutsky, on écrit

ce qui s’écrit encore

frac{partial x_k^m}{partial p_j}=frac{partial x_k^h}{partial p_j}-frac{partial x_k^m}{partial y}{color{Red}frac{partial e}{partial p_j}}

Bref, on retrouve ici ce qu’on avait fait en PC.
Mais si ça n’est toujours pas plus clair, il y a des notes de cours de Michael Manove, à Boston University, sur “indirect utility” et “duality“, dont les slides sont ici. Il y a également des compléments mathématiques, dont le théorème de l’enveloppe (Prop. 21.2) ou le théorème de Kuhn-Tucker (Prop.21.13), ici.
On pourra aussi trouver en ligne l’article de Lawrence Blume sur la dualité pour le dictionnaire Palgrave d’économie, ici. Larry a aussi écrit l’article sur la programmation convexe, diponible .
Sinon je mets ici les exercices des deux prochaines PC.

Jeux noncoopératifs et assurance des catastrophes

Présentation d’un papier (pas encore complètement fini) lors de la réunion AST&Risk à Grenoble1, sur l’assurance des catastrophes naturelles. Les slides seront mis en ligne dès lors que le papier sera finalisé (encore quelques jours)…

En théorie de la décision, les agents prennent des décisions en fonction de leurs croyances, et de leur utilité. Un jeu est un cadre (formel) où les décisions des agents sont interdépendantes: la décision que je prends dépend de ce que font les autres. On parle alors de stratégie.
La notion d’équilibre dans les jeux à somme nulle découle du théorème minimax de John von Neumann (en 1926). Mais c’est John Nash qui a proposé la notion la plus générale en 1950 (je l’avais mentionné ici). Ce résultat est fondamentalement un théorème de point fixe.  Pour comprendre la notion d’équilibre de Nash, prenons l’exemple suivant (que j’ai trouvé ici): considérons un jeu avec deux joueurs (A et B) qui doivent choisir entre deux stratégies S1 et S2. Les gains des 2 joueurs (connus) sont représentés dans le tableau suivant sous la forme (Gain de A ; Gain de B).

On se demande simplement comment les agents doivent prendre une décision. Pour résoudre ce problème, on étudie toutes les stratégies possibles

  1. est-ce que (S1 ; S1) est une situation stable ? Non, car le joueur A aura plutôt intérêt à choisir S2 (afin d’augmenter son gain de 3 à 4), tandis que le joueur B voudra dévier en S2 (pour avoir un gain de 4 plutôt que de 3). Bref, les deux joueurs chercheront à dévier: ce n’est pas un équilibre.
  2. en (S1 ; S2), A aura intérêt à choisir la stratégie S2 afin de faire passer son gain de 0 à 1. B n’a pas intérêt à dévier dans cette situation. Si l’un des agents a intérêt à dévier, on se doute qu’on ne restera pas sur cette stratégie: ce n’est pas un équilibre.
  3. en (S2 ; S1), A n’a pas intérêt à dévier, mais B va préférer la stratégie S2 qui lui donne un gain de 2 plutôt que de 1.
  4. en (S2 ; S2), aucun des joueurs n’a intérêt à dévier, il s’agit d’un Équilibre de Nash. Aucun des joueurs ne peut faire mieux en modifiant unilatéralement sa stratégie.

On parle de jeux non-coopératif car les décisions sont prises unilatéralement. On peut alors schématiquement représenter ces déviations sur le schéma suivant

Notons également que l’on a un équilibre de Nash, mais aucunement une situation optimale: les joueurs gagnent respectivement 1 et 2, alors qu’ils pourraient gagner 3 (tous les deux) avec la stratégie (S1 ; S1)

1 Le groupe organise d’ailleurs un workshop Modélisation spatiale et temporelle de la dépendance & Applications au risque, qui se tiendra à Luminy du 26 au 30 avril 2010, ici.

Economie, et optimisation sous contraintes

Premier cours de microéconomie à l’X. Pour les PC (salle PC10), la liste des exercices est disponible ici, avec au programme la consommation des ménages. Je mets ici les exos de la prochaine PC (et une autre feuille d’exercices – que nous ne traiterons pas).

Petit complément sur la résolution du programme d’optimisation avec contrainte, via le Lagrangien. Comme je l’ai évoqué (très) rapidement, c’est lié à des résultats connus sous le nom de théorème (ou condition) de Kuhn et Tucker. De manière assez générale, le but est de trouver X^* in mathbb{R}^n qui maximise f(X) , sous contrainte g(X) ge 0, c’est-à-dire résoudre le programme
X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X) sous contrainte g(X) ge 0g(X)=(g_i(X))_{1 le i le m} (correspondant à un ensemble de m contraintes).

Comme précisé en cours, l’idée de la résolution du problème (sous des hypothèses – fortes – de concavité des fonctions) est d’introduire des multiplicateurs de Lagrange (autant que de contraintes) lambda = (lambda_i)_{1 le i le m} in mathbb{R}_+^m , et on définit le Lagrangien comme la fonction 
L(X, lambda) = f(X) + sum_{i=1}^m lambda_i g_i(X)

On considère alors le problème d’optimisation (sans contrainte) du Lagrangien. Les conditions du premier ordre donne n premières conditions, à savoir

frac{partial f}{partial X}(X) + sum_{i=1}^m lambda_i frac{partial g_i}{partial X}(X)=0

et les m dernières correspondent à une saturation des contraintes (en fait  g_i(X)>0 Rightarrow lambda_i = 0, donc si la contrainte n’est pas saturée, le multiplicateur de Lagrange est nul). Ces n+m conditions sont appelées “conditions de Kuhn-Tucker“. L’intérêt de cette formalisation est que l’on a le résultat suivant:

X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X) sous les contraintes g(X) ge 0 si et seulement si (X^*, lambda^*) , est solution des conditions de Kuhn-Tucker.

Pour plus plus d’information, je peux renvoyer aux slides de Christophe Gonzales àParis 6, ici, ou aux notes de Julien Grenet, de l’ENS, . Sinon j’avais fait un billet il y a quelque temps sur un sujet connexe (et qu’on verra apparaître dans les cours suivants normalement), i.e. le principe de dualité en optimisation (ici).

Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance

Réjouissons nous un peu, le programme des Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance, qui seront organisées à Rennes dans un peu moins de deux mois, est enfin fixé (et se trouve ici pour plus de détails) !
Jeudi matin, le 22 octobre, on commence par deux exposés sur le provisionnement et le risk-management, avec Emmanuuel Pierron du Group Risk Management d’AXA, et Klaus Schmidt de l’université de Dresde. Emmanuel parlera du calcul des provisions dans une optique Solvabilité II et Klaus de l’utilisation du modèle linéaire en provisionnement.
Ensuite, un exposé un peu transversal de Georges Dionne, de HEC Montréal, qui parlera d’économétrie de panels et d’aléa moral.
L’après midi, on attaquera avec 3 interventions sur les grands risques, avec Emmanuel Dubreuil de AON Benfield, puis Nicolas Treich de Toulouse et enfin Robert Kast de Montpellier. Emmanuel reviendra sur la titrisation des grands risques, Nicolas sur l’auto-assurance, et Robert sur la modélisation des catastrophes naturelles.
Le lendemain, le vendredi 23, on commence avec deux exposés sur l’assurance-vie et les risques de longévité/mortalité, avec Olivier Cabrignac de la SCOR et Stéphane Loisel de l’ISFA. Olivier reviendra sur l’assurabilité du risque de longévité, et Stéphane sur la modélisation de ces risques.
Ensuite, 3 interventions sont prévues autour de l’économie de l’assurance, de l’antisélection et de l’aléa moral. On commencera (avant d’aller manger) avec Pierre Picard, de l’Ecole Polytechnique, puis l’après midi, avec Renaud Legal de la Caisse d’Assurance Maladie, et enfin Pierre-Yves Geoffard de PSE. Pierre parlera des contrats avec participations, Renaud reviendra sur l’aléa moral et l’antisélection en assurance santé, et enfin Pierre-Yves conclura avec une application économétrique.
Bref, le programme est fixé, seuls les noms de présidents de session sont encore à finaliser…
Sinon je rappelle que l’inscription est certes gratuite, mais obligatoire, et elle se fait ici.

Paradoxe et enseignement des probabilités

L’été semble être propice aux billets sur les paradoxes et autres bizarreries intellectuelles (je renvoie par exemple au très bon billet de Laurent, ici). Je vais en rajouter une couche (j’avais déjà parlé du paradoxe des enveloppes, ici ou de Simpson, ). En fait, je voulais revenir sur un paradoxe que j’avais lu en Terminale (à l’époque il y avait une introduction aux probabilités). J’y repense car je suis en train de finir de préparer mon cours de rappels de probabilité, et je cherche des exercices “simples” évitant toute ambiguité afin d’être un peu éclairant… pas comme ici….

Lançons trois pièces de monnaie. Quelle est la probabilité que les 3 pièces tombent du même côté (peu importe lequel) ?

Réponse 1: facile, faisons un peu de dénombrement, il y a 8 cas possibles (PPP, FPP, PFP, PPF, FFP, FPF, PFF, FFF), qui sont équiprobables, et seuls deux nous intéressent (FFF et PPP), on a alors 1 chance sur 4.

Réponse 2: facile, raisonnons deux minutes et essayons de trouver une réponse élégante. Comme j’ai 3 pièces pour seulement deux faces, il y en a forcément deux qui sont tombées du même côté, et pour la troisième, il me reste une chance sur deux, et la réponse est alors 1 chance sur 2.

Etonnant, non?“.

Bon, c’est un exemple assez classique en théorie des probabilités, je laisse aux lecteurs le temps de la réflexion…. le but étant de montrer qu’il y a une faute dans le raisonnement de la personne ayant donné la seconde réponse… Oui, c’est toute la difficulté des TD de probas: comment expliquer qu’un raisonnement qui semble juste est falacieux…

Pourboire, des vacances à la rentrée

Oui, les vacances ça a du bon…

Comme on se ballade et comme il fait chaud, on traine davantage dans les bars…. Et à chaque fois ce pose la question du pourboire.

POURBOIRE, subst. masc.

Étymol. et Hist. 1760 (Comptes de la duchesse de Mazarin ds R. rétrospective, t. 16, 1892, p. 410). Subst. de la prop. inf. pour boire (de pour* et de boire1*) att. à partir du xviie s. (1662, Molière, École des femmes, IV, 4, éd. E. Despois, t. 3, p. 239 : voilà pour boire).

Je dois reconnaître que la pratique me surprend… Dans certains pays, on nous explique que les serveurs sont payés au pourboire, et donc on rajoute 10%, 15% ou 20% de l’addition, et ce “salaire” me paraît alors justifié.. mais en France ? Certains auteurs en économie ont tenté de justifier le principe (ici par exemple, ou encore là pour un survey) par un mécanisme incitatif, pour les serveurs, mais sur le fond, je dois avouer que j’ai du mal à comprendre la justification (ou alors si c’était justifié, pourquoi ne pas généraliser alors). Peut-être devrais-je aussi laisser un petit bol sur mon bureau, lorsque je fais cours, pour que les élèves me versent un pourboire (ou un “pourapprendre“) si le cours était bien ? C’est un peu comme Pierre Desproges qui s’interrogeait sur la pratique du “rappel” dans les spectacles.
D’un autre côté, cette pratique du pourboire dans l’enseignement peut se retrouver évoquée par exemple chez Éric Maurin (ici) dans Université, un autre financement est possible, qui mentionnait l’idée suivante “Il s’agirait de faire contribuer, non pas les étudiants à l’orée de leur scolarité universitaire, mais les anciens étudiants, une fois qu’ils sont devenus diplômés du supérieur et qu’ils se trouvent dans une période de leur vie professionnelle où le remboursement progressif de leurs études ne leur pose plus de problèmes financiers”. Envisager d’augmenter le nombre de prêts étudiants peut être dangereux, en particulier si les étudiants ne trouvent pas de travail à l’issu de la formation. En revanche, et c’est ce que j’avais entendu dans une interview d’Éric Maurin, on peut penser à un système où les frais d’inscriptions restent modestes, mais que les anciens soient davantage sollicités (via des donations). Cela permet en plus de motiver le corps enseignant qui se doit de dispenser une bonne formation, et de contourner (plus ou moins) l’effet taille1. Bref, on retrouve l’idée du pourboire…. non ?

1 la critique habituelle étant que les salaires des très grandes écoles sont bien plus élevés que ceux des élèves issus des universités; les très grands écoles forment un tout petit nombre d’étudiants par rapport aux universités. Dans ce dernier cas, les pourboires par tête seraient faibles, mais les universités bénéficient d’un effet de masse (compte tennu du nombre important d’étudiants).

Compter les burkas (ou tant d’autres choses)

Plusieurs journaux ont repris une information que j’avais entendu sur la route, en écoutant France Info (pour être honnête, seul l’état du trafic m’intéressait alors1), que l’on peut retrouver à droite par exemple.
Au delà des félicitations qui s’imposent (pour cet estimation d’un taux de l’ordre de 0,000564% de la population française portant une burka, car malgré la forme utilisée, il s’agit d’une “estimation” et pas du résultat d’un recensement exhaustif), ce comptage des burkas m’a rappelé les jeux que j’ai fais un peu avec ma fille pendant les vacances, à savoir le comptage des princesses ou des baguettes de fée2 (ou de plein d’autres choses sur une thématique relativement proche),

A un moment, elle m’avait fait une réflexion très judicieuse suite à un de mes navrants “c’est dur, hein ?” (car je peinais à trouver la troisième fée qui, pour ma défense, était un peu cachée derrière un jolie fleur). Elle m’avait alors répondu “oui, mais ça serait plus dur si l’image bougeait !”. Et effectivement, ça serait beaucoup plus dur… Fort heureusement, Christian Genest (qui est beaucoup plus fort que moi, et dont les enfants sont aussi plus âgés) a proposé une jolie application de “comptage de choses qui bougent” à savoir le comptage des cerfs dans un bois3ici. Il s’agit d’un superbe article de vulgarisation scientifique, en particulier sur l’utilisation du bootstrap…
1 France Info est une radio truculente pour ceux qui cherchent des idées pour alimenter leur blog…

J’ai, par exemple, beaucoup aimé apprendre – le lundi 3 août je crois – qu’un chauffeur de car qui avait eu un accident “avait un taux d’alcool dans le sang négatif lors du drame”. J’ai pensé à une confusion entre le taux et le test associé (le test pouvait être “négatif”, je renvoie à la terminologie de la théorie de la décision que j’avais évoquée ici ou). Mais peut-être me goure-je, et la valeur nulle est une simple référence standard, une valeur “moyenne” de taux d’alcool (c’est à dire de C2H5OH) dans le sang. Mais en l’occurrence j’ai des doutes… Sur ce dernier point d’ailleurs, toujours à propos de France Info, je note que Jacques Kessler – qui avec son délicieux accent nous donne les prévisions météo – entretient sciemment une vague confusion entre “températures normales” et”températures moyennes”: la norme serait alors d’être dans la moyenne ? C’est une idée que l’on retrouvait chez Adolphe Quételet dans sa théorie de l’homme “moyen”. Mais là aussi, je pense qu’un billet plus qu’une note de bas de page serait le bienvenu. En attendant, je peux toujours renvoyer ici ou .
2 tout comme mon voisin Laurent qui s’était senti obligé de rétablir l’équilibre, ou tout du moins une certaine parité, dans son blog (ici), je vais parler un peu de ma fille après avoir parlé de mon fils il y a quelques mois maintenant (ici).
3 j’aurais pu me contenter de cet histoire dans mon blog car sur les conseils de leur grand-père, les enfants ont espéré voir des biches au bout du jardin pendant  la première semaine de vacances, mais malgré notre vigilence, on n’en a jamais vu. Faire des statistiques sans observations est un problème délicat.

De la rationalité et de l’esprit calculateur

Sinon un cours billet qui m’a été suggéré ce matin, en écoutant un sportif s’exprimer sur les ondes radios. Quand on parle (dans un papier ou dans un cours) de modélisation du comportement des agents dans des sitations complexes (je pense à de la théorie de la décision dans un environnement incertain, ou de théorie des jeux dynamique), une critique récurrente est que les agents ne peuvent pas être aussi rationnels et calculateurs !

J’ai été très surpris ce matin en entendant ce coureur du tour de France (ou cet entraineur je ne sais plus) qui expliquait avec une certaine forme de détachement qu’il serait possible de grapiller quelques seconde aujourd’hui, mais que ce n’était pas la stratégie car le parcours ne s’y prêtait pas, etc… Cette importance de la stratégie avait été souligné il y a quelque jours avec l’histoire des oreillettes, qui permettaient aux coureurs et aux entraîneurs d’élaborer leur stratégie en temps réel.
Avant-hier soir, j’ai fini un très beau livre “le tour des géants” de Nicolas Debon (chez Dargaud, en vente chez tous les bons libraires, ici, par exemple). A priori je n’ai aucune attirance pour le vélo, mais Nicolas s’en sert de prétexte pour raconter une histoire profondément humaine (exactement comme Jirö Taniguchi dans le sommet des dieux qui raconte une histoire de dépassement de soi, comme le tour des géants, d’ailleurs, sur fond d’alpinisme). En fait, pour ceux qui préfère plus de mots et moins de dessins, cette histoire peut être vue comme la mise en image du récit d’Albert Londres sur le Tour de France*.
Quand on compare avec le tour actuel, ce matin le coureur parlait de “repérages” d’étapes la veille… en 1910, la ville de départ et la ville d’arrivée étaient connues, et entre les deux, il fallait trouver son chemin (avec des épisodes de panneaux intervertis, etc). A côté, les coureurs surmédicalisés actuelement (pour prendre un terme plus neutre) passent pour des enfants de coeur ! Et surtout, ils sont incroyablement calculateurs et rationnels aujourd’hui (un peu comme les élèves qui optimisent leur choix de cours voire leur présence en TD en fonction des notes passées).
Loin de moi l’idée de faire du “c’était mieux avant” mais c’est juste que la comparaison est troublante….

L’idée était surtout d’argumenter un peu sur le fait qu’il n’est pas illégitime de supposer les agents rationnels et très calculateurs !
* la série de reportages a été publiée sous le titre tour de France, tour de souffrance et retrace le tour de France de 1924, alors que Nicolas Debon se situe un peu plus tôt, en 1910. Pour information, en 1910, il y avait 15 étapes pour 4 737 kilomètres, en 1924 15 étapes pour 5 425 kilomètres, et en 2008 (l’an dernier) 21 étapes pour une longueur totale de 3 559,5 kilomètres. En 1910, la vitesse moyenne du vainquer a été de 28,680 km/h, 24,250 km/h en 1924, et en 2008 on était à 40,492 kms/h. Bref, un tour avec des étapes très rapides, alors qu’en 1910, ça courait encore la nuit !

Quand les assureurs souhaiteraient faire la pluie et le beau temps

Damned, je me suis fais devancé par un très très beau billet d’Anne (ici) sur l’assurance proposée par AXA et AON. Ca m’apprendra à ne plus lire régulièrement Le Monde

Tout comme Anne, je suis un peu agacé par le nom donné sur le site d’AON: un assureur ne peut pas garantir la pluie et le beau temps, de même qu’il ne peut pas garantir que vous ne tomberez pas malade ou que vous n’aurez pas d’accident de voiture dans l’année ! Ou alors c’est autre chose que de l’assurance…

Je suis également un peu sceptique car ces risques ne sont pas vraiment indépendants, surtout au niveau local (dans un même département, il y a des chances pour que tout le monde soit sinistré la même semaine). Peut être qu’au niveau national, il existe des dipôles climatiques qui font que s’il pleut dans un département, il y a de très fortes chances pour qu’il ne pleuve pas dans un autre. C’était une étude qu’on souhaitait mener avec des collègues de Paris 6, et nous n’avions riens trouvé sur le sujet. Mais les gens d’AXA et de Metnext savent ce qu’ils font, je pense… Car il faut reconnaître que les garanties (ici) excluent beaucoup de choses si on regarde en détails le contrat, en particulier quand on lit qu’il faut “3 heures consécutives” de pluie, “entre 8 heures et 20 heures“…etc.
En tous les cas AON a l’honnêteté d’annoncer clairement la couleur sur son site (ici). Tout d’abord avec de joli petit logo que j’ai reproduit ci dessous, avec cette superbe accroche (évoquée en détails ici) cette garantie est, pour les voyagistes, “une source de revenus complémentaires“…
Sinon il faut reconnaître également que les assureurs offraient déjà ce genre de garanties, mais seulement dans les grands évènements, comme des championnats du monde de football, des tournois de tennis, ou des concerts de grosses stars….pour la première fois, la garantie n’est plus pour Michael Jackson qui souhaiterait remplir des stades, mais pour Robert et Raymonde qui voudraient faire du camping au sec….

Un petit billet sur la racine carrée

En lisant le Canard l’autre jour, je suis tombé sur ce “joli” papier sur la règle de la racine carrée.

Bon, en l’occurence, c’était juste pour évoquer la jolie forme (i.e. la forme du symbole mathématique, aucunement la fonction qui se trouve derrière).
En fait, je voulais en profiter pour revenir sur la square too rule for reinsurance pour reprendre l’expression de Michael Powers. Je connaissais (plus ou moins) une loi de la racine carré en assurance, correspondant au théorème central limite (que j’ai évoqué ici via un papier d’Alain Tosetti), que l’on connait en statistique sous la forme(sous quelques hypothèses)

Mais ici le résultat est de toute autre nature. En faisant un petit modèle de théorie des jeux1, Michael Powers et Martin Shubik avaient étudié, en 2001, la concentration dans le marché de la réassurance (ici). Ils avaient alors élaboré cette square too rule for reinsurance qu’ils ont par la suite validé sur des données (ici).
En supposant que les assureurs ont des fonctions d’utilité CARA (homogènes) alors que les réassureurs sont neutres au risque, que les risques soient indépendants et que les couvertures soient proportionnelles, ils montrent que, pour éviter la saturation du marché, le nombre optimal de réassureur doit être en racine carrée du nombre d’assureurs. En fait, formellement, ce n’est pas trop une “racine carrée“, mais le résultat d’un programme d’optimisation de la forme suivante,

mais si on résout numériquement, on tombe sur une fonction racine carrée, ou presque,

(en tous les cas, la solution au programme semble unique, et asymptotiquement, on a effectivement une racine carrée du nombre d’assureurs). Venezian, Viswanathan et Juca ont testé (ici) cette relation en 2005 sur les données OCDE (que l’on retrouve dans les statistical yearbooks), c’est à dire 18 à 20 pays sur une dizaine d’années. Ils ont alors testé un modèle économétrique simple en passant au log, i.e.

et en étudiant l’évolution de la pente (correspondant à la puissance sur les nombres), les auteurs obtiennent le graphique suivant,

Sauf que derrière se cache peut être aussi des effets prix, ce qui est corrigé par la suite en prenant un modèle de la forme suivante

où le prix est obtenu en utilisant un modèle à la Madsen et Pedersen (2003, ici puis , voire ici ou pour des slides), qui a l’allure suivante

Dans ce cas en utilisant des GMM2 pour estimer les coeffiicients, Michael Powers et Martin Shubik ont obtenu un coefficient de l’ordre de 0,477, ce qui validerait l’hypothèse de loi en “racine carrée“.
Remarque: en notant que la rétrocession était un cas particulier de réassurance, ils évoquent une loi en puissance 1/4 pour le nombre de rétrocessionnaires.
1 je ferais sûrement un billet sur l’utilisation de la théorie des jeux en assurance, et en réassurance puisque je dois faire un exposé fin août à Grenoble sur ce sujet aux journées AST&Risk. A suivre donc….
2 promis, je ferais un cours billet sur les GMM…. ce n’est pas la première fois que j’en parle, mais pour plus d’information, je peux renvoyer ici, pour wikipedia, ou pour des slides de Bernard Salanié, voire enfin ici pour le chapitre dans l’incroyable livre de Russell Davidson et James G. MacKinnon (Estimation et Inférence en Économétrie).

Quantile de sommes, ou somme de quantiles ?

Je reprends ici un commentaire que j’ai longtemps entendu dans mon expérience d’actuaire dans une vie antérieure (et qu’on peut lire – entre les lignes le plus souvent – dans certaines réactions de risk managers). Les quantiles sont la base des mesures de risques, en particulier via la VaR en finance, mais quand j’étais actuaire, on calculait des 90/10 pour désigner des quantiles à 90% des pertes. Donc tout ça n’est pas spécialement nouveau. Je rappelle que la fonction quantile est simplement  où

Les quantiles sont calculés par type de risque (en gestion des risques), et forcément à la fin, on souhaite un quantile de la somme des risques, et il a longtemps été coutume de prendre la somme des quantiles. Je vais donc discuter un peu le résultat suivant,

  • L’égalité n’est pas vraie dans le cas indépendant

Suite à une espère de déformation professionnelle (à cause de la variance), beaucoup de monde pense que

mais ce résultat est faux…. Un exemple est d’ailleurs donné ci-dessous dans le cas de variables exponentielles.

  • L’égalité est vraie dans le cas comonotone…

En fait, le résultat précédant est vrai dans le cas comonotone. La comonotonie correspond au cas de dépendance parfaite positive, de corrélation maximale (si la corrélation existe), i.e.  avec  une fonction strictement croissante. Alors

  • … mais ce n’est pas un “worst case

Seconde bizarrerie, la comonotonie n’est pas le pire des cas. La comonotonie est souvent envisagée comme un worst case scenario mais il n’en est rien (cette idée se retrouve dans les QIS 3 par exemple, ici).
Formellement, si  (la classe de Fréchet), alors

et

En passant en dimension 2 (cas où la borne inférieure est effectivement une vraie fonction de répartition), si et  désignent respectivement des version anticomonotone et comonotone de , alors on peut se demander, en considérant une mesure de risque quelconque  si

En fait, Andre Tchen a montré en 1980 un résultat qui montre que la comonotonie est effectivement un worst case, mais seulement dans certains cas très limités.
Si est une fonction supermodulaire, i.e.

pour tout  et . Alors dans ce cas, pour tout ,

(la preuve se trouve ici). Je renvoie aux papiers de Michel Denuit, de Jan Dhaene ou de Marc Goovarts (ici ou ) pour des applications en tarification sur deux têtes, par exemple, ou sur les primes stop-loss en réassurance

  • Borner (numériquement) le quantile d’une somme

Commençons par un exemple, avec deux lois exponentielles, car c’est le plus simple, et surtout on peut calculer explicitement les bornes (dans le cas général, on se contentera de méthode numérique comme l’avait fait Khalil ici).
Si  et , où, pour être plus précis,

l’encadrement

est valide pour tout  quelle que soit la structure de dépendance entre et , où

Aussi, en prenant les inverses (car ces fonctions sont strictement croissante), on obtient une inégalité en terme de quantile, ou de Value-at-Risk,

pour tout .
Rappelons que dans le cas de variables indépendantes  alors que dans le cas comonotone . La figure ci-dessous montre les valeurs possible pour  la fonction de répartition de la somme, avec le cas indépendant en bleu, et le cas comotonone en rouge.

On peut aussi visualiser les valeurs possibles pour les quantiles de la somme. Dans un cas général, Ce problème a été traité par Makarov en 1981, et par Frank, Nelsen et Schweizer en 1997 (ici), tout en restant en dimension 2. En fait, ils ont travaillé sur les bornes de la fonction de répartition d’une somme mais c’est pareil, comme on l’a vu juste auparavant. Ils ont montré le résultat suivant: si  alors pour tout

désigne la copule anticomonotone (qui est une copule en dimension 2),

en posant , et

On peut retrouver des résultats plus fin en creusant dans la direction de l’arithmetic probability, par exemple avec la thèse de Williamson (ici, cette thèse est remarquable, et trop peu citée, malheureusement). Je ne parle que de la dimension 2, l’extension en dimension supérieure est délicate (je renvoie aux travaux de Paul Embrechts sur le sujet, ici ou , par exemple).

Sommer des variables binomiales négatives

Il existe trois grandes familles de lois utilisées pour modéliser les variables de comptage,

  • la loi binomiale, 
  • la loi de Poisson, 
  • la loi binomiale négative, 

Ces trois lois sont les trois dans la famille de Sundt (ici), au sens où

En plus ces trois lois sont dans la famille exponentielle (et peuvent servir en économétrie via les GLM). Pour la loi binomiale négative, il existe des dizaines de manières de l’écrire. On peut remonter à Blaise Pascal en 1679 pour sa première utilisation. Pour reprendre la présentation de Georges Polya dans le contexte des urnes, on a des boules blanches et noires dans une urne, et on fait des tirages avec remise. Il y a une proportion p de boules noires. Le nombre de boules blanches que l’on a tiré avant de tirer la ième boule noire suit une loi binomiale négative. Mais ça ne marche que si  est un entier. On pourra envisager une écriture plus générale par la suite.
On retiendra aussi l’approche de Greenwood et Yule (1920), présentant la loi binomiale négative comme un mélange de lois de Poisson. Supposons que   suive une loi de Poisson  et que  suit une loi Gamma, de densité

Alors la loin (non conditionnelle) de X est une loi binomiale négative,

L’interprétation via les lois mélanges est assez élégante (j’avais parlé de la surdispersion de la loi de Poisson en pratique ici), et notons d’ailleurs que Greenwood et Yule avaient parlé de “accident proneness” pour décrire la loi sous cette forme
Bref, la loi binomiale négative de paramètres  et  a pour loi de probabilité

.

Remarque: un cas particulier de la loi binomiale négative est la loi ditegéométrique, obtenue quand . J’ai évoqué cette loi ici, afin d’expliquer la notion de période de retour (et l’interprétation d’un probabilité en terme de durée). Feller avait d’ailleur noté que la loi binomiale négative pouvait être vue comme une convolution de lois géométriques.
Mais je m’écarte du sujet…. J’ai reçu un mail cet après midi me demandant (je vire certaines parties pour garder la question) “la loi binomiale négative est elle additive ?”. Je comprends cette question comme la stabilité de la famille de loi par sommation: la somme de variables binomiales négatives (indépendantes) est-elle encore une loi binomiale négative ?
Notons que la loi binomiale négative est indéfiniment divisible. Mais il existe un autre résultat sur l’additivité qui nous sera encore plus utile. Liiders a montré en 1934, puis Quenouille en 1949, que la loi binomiale négative est un loi Poisson composée, lorsque les sauts sont des variables logarithmiques indépendantes (ce qui a aussi été appelé processus de Arfwedson).

où  les  sont i.i.d. de loi

La fonction génératrice est alors

où  correspond à la probabilité, et la puissance est le second paramètre.
En utilisant ce résultat, on peut en déduire que si deux variables ont le même paramètre  c’est à dire la même probabilité sous jacente, alors la loi de la somme (de deux variables indépendantes) est toujours une loi binomiale négative, dont  le paramètre sera lié à la somme de deux lois de Poisson indépendantes: ça sera donc la somme des deux autres paramètres. Aussi, si

 et 

sont deux variables indépendantes, alors

Une autre solution est de faire les calculs…(si quelqu’un veut s’y coller, je suis preneur). Enfin, si on se place dans le cas où les paramètres  sont entiers, l’interprétation en terme d’urne rend ce résultat trivial.
Remarque: on doit également obtenir la stabilité par sommation en relachant l’hypothèse d’indépendance, avec des l’indépendance conditionnellement, à condition que le paramètre de mélange (permettant d’obtenir l’indépendance conditionnelle) coïncide avec le paramètre de mélange permettant d’écrire la loi binomiale négative comme un mélange Poisonnien.
Greenwood, M., and Yule, G. U. (1920). An inquiry into the nature of frequency distributions representative of multiple happenings with particular reference to the occurrence of multiple attacks of disease or of repeated accidents, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 83, 255-279.
Quenouille, M. H. (1949). A relation between the logarithmic, Poisson, and negative binomial series, Biometrics, 5, 162- 164.

“mais pourquoi tu fais ça ?”

Pour faire un billet sur mon expérience de blogueur depuis quelques mois, je pensais intituler mon billet “les blogueurs et les idiots“. Mais comme ça serait un peu long à expliquer (l’explication ne viendra qu’à la fin) j’ai préféré voler ce titre à un court texte de Gilles Stoltz dans le journal du CNRS1.

Je suis tombé un peu par hasard sur plusieurs blogs se posant des questions sur le rôle des blogs, et en particulier des blogs tenus par des chercheurs ou des scientifiques. Ayant la prétention de croire que je fais partie de ces deux catégories (au moins pour la première comme chercheur-du-dimanche comme je l’expliquais ici), j’ai été très intéressé par ces billets émanent de personnes ayant une réflexion sur le sujet, nettement plus nourrie que la mienne. En particulier, un premier billet  passionnant (ici) s’interroge sur ces chercheurs-blogueurs, “quand il blogue, le chercheur échappe aux mythes de la science livresque et froide pour se risquer à livrer en public la science en train de se faire, que Bruno Latour nomme la science chaude“.

Malheureusement (et c’est un sentiment que j’ai effectivement vécu au contact de collègues), les blogueurs sont critiqués (comme noté ici) “quelques chercheurs ont désormais pris l’habitude de bloguer régulièrement sur des sujets proches de leurs thématiques de recherche. Le phénomène parfois critiqué par une partie de la communauté scientifique, semble connaître si ce n’est un essor, un attrait du public“.

Et il est vrai que le blog n’est peut-être pas un médium classique pour un chercheur. “Le chercheur est souvent un être schizophrène. Il publie ses résultats scientifiques dans des revues à comité de lecture et réserve ses réflexions sur l’activité scientifique pour les discussions de la pause café ou la liste de diffusion de son institut. Ces deux sphères sont très peu perméables et hormis quelques publications grand public comme “Nature” ou les éditoriaux des revues, les canaux de publication formels sont rarement des espaces réflexifs“.

J’ai été tout particulièrement sensible à ce mot de Tom Round, “je m’autorise également à déborder (plus ou moins sérieusement) en donnant mon avis sur des sujets d’actualités plus généraux en essayant de garder un angle d’attaque scientifique“.

J’étais assez sceptique lorsque l’université de Rennes 1 [ce billet était initialement publié sur blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/…] nous a imposé de passer à un format de blog, avec – à terme – une suppression des pages personnelles, mais je dois avouer – une nouvelle fois – y avoir pris goût. Au delà des billets liés à des papiers publiés, des exposés faits ou des cours données, je prends un immense plaisir à entrer ainsi dans la sphère publique, et partager un savoir….Comme le notait le psychanalyste Jacques Hochman (ici) “dans l’antiquité classique, idiotes désigne la sphère privée et par extension celui qui ne participe pas à la vie publique“. C’est aussi un sens que confirme Volaire, cité dans leDictionnaire de la langue française2, d’Emile Littré (1875) “ce n’est point du tout pour faire une mauvaise plaisanterie qu’on a remarqué qu’idiot signifiait autrefois isolé, retiré du monde“. Autrement dit, les scientifiques qui ne partageraient pas avec le reste de la cité seraient – étymologiquement parlant – des idiots…. Quel dommage…

1 Gilles est Chargé de Recherche au CNRS et est en train d’écrire, avec Vincent Rivoirard un livre de stats à destination des élèves de master. Même si je n’aurais pas la prétention d’écrire des choses de la qualité de ce que fait Gilles dans ces travaux de recherche, je me retrouve assez dans son argumentation: “je leur racontais donc que j’écrivais ce manuel et ils s’étonnaient : « Mais pourquoi tu fais ca ? » Sous-entendu : cela ne sert à rien pour ta carrière et tu ferais mieux d’aligner des articles. A quoi je répliquais : « Parce que cela m’amuse et que j’ai l’impression qu’il sera utile pour les étudiants ! ». Or, j’ai longtemps pensé qu’une idée répandue dans le monde de la recherche en mathématiques (et notamment, dans les mathématiques les moins appliquées) était que notre activité avait une part prépondérante de gratuité — en somme, que nous faisions des mathématiques parce que cette activité nous plaisait, et que, ô délice suprême, un salaire venait souvent couronner le tout. Si écrire un manuel de statistiques (relativement avancé quand même !) me plaît, alors pourquoi réfréner cette envie ? Pourquoi devrais-je obligatoirement prendre plus de plaisir à écrire des articles, alors que ces derniers s’inscrivent dans une temporalité très différente et qui me plaît moins ?“.
2 en fait ma propre référence serait plutôt cité dans L’idiotie, de Jean-Yves Jouannais, dans la collection de livres de Beaux-Arts magazine.

An Open Lab-Notebook Experiment