Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance

Réjouissons nous un peu, le programme des Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance, qui seront organisées à Rennes dans un peu moins de deux mois, est enfin fixé (et se trouve ici pour plus de détails) !
Jeudi matin, le 22 octobre, on commence par deux exposés sur le provisionnement et le risk-management, avec Emmanuuel Pierron du Group Risk Management d’AXA, et Klaus Schmidt de l’université de Dresde. Emmanuel parlera du calcul des provisions dans une optique Solvabilité II et Klaus de l’utilisation du modèle linéaire en provisionnement.
Ensuite, un exposé un peu transversal de Georges Dionne, de HEC Montréal, qui parlera d’économétrie de panels et d’aléa moral.
L’après midi, on attaquera avec 3 interventions sur les grands risques, avec Emmanuel Dubreuil de AON Benfield, puis Nicolas Treich de Toulouse et enfin Robert Kast de Montpellier. Emmanuel reviendra sur la titrisation des grands risques, Nicolas sur l’auto-assurance, et Robert sur la modélisation des catastrophes naturelles.
Le lendemain, le vendredi 23, on commence avec deux exposés sur l’assurance-vie et les risques de longévité/mortalité, avec Olivier Cabrignac de la SCOR et Stéphane Loisel de l’ISFA. Olivier reviendra sur l’assurabilité du risque de longévité, et Stéphane sur la modélisation de ces risques.
Ensuite, 3 interventions sont prévues autour de l’économie de l’assurance, de l’antisélection et de l’aléa moral. On commencera (avant d’aller manger) avec Pierre Picard, de l’Ecole Polytechnique, puis l’après midi, avec Renaud Legal de la Caisse d’Assurance Maladie, et enfin Pierre-Yves Geoffard de PSE. Pierre parlera des contrats avec participations, Renaud reviendra sur l’aléa moral et l’antisélection en assurance santé, et enfin Pierre-Yves conclura avec une application économétrique.
Bref, le programme est fixé, seuls les noms de présidents de session sont encore à finaliser…
Sinon je rappelle que l’inscription est certes gratuite, mais obligatoire, et elle se fait ici.

Paradoxe et enseignement des probabilités

L’été semble être propice aux billets sur les paradoxes et autres bizarreries intellectuelles (je renvoie par exemple au très bon billet de Laurent, ici). Je vais en rajouter une couche (j’avais déjà parlé du paradoxe des enveloppes, ici ou de Simpson, ). En fait, je voulais revenir sur un paradoxe que j’avais lu en Terminale (à l’époque il y avait une introduction aux probabilités). J’y repense car je suis en train de finir de préparer mon cours de rappels de probabilité, et je cherche des exercices “simples” évitant toute ambiguité afin d’être un peu éclairant… pas comme ici….

Lançons trois pièces de monnaie. Quelle est la probabilité que les 3 pièces tombent du même côté (peu importe lequel) ?

Réponse 1: facile, faisons un peu de dénombrement, il y a 8 cas possibles (PPP, FPP, PFP, PPF, FFP, FPF, PFF, FFF), qui sont équiprobables, et seuls deux nous intéressent (FFF et PPP), on a alors 1 chance sur 4.

Réponse 2: facile, raisonnons deux minutes et essayons de trouver une réponse élégante. Comme j’ai 3 pièces pour seulement deux faces, il y en a forcément deux qui sont tombées du même côté, et pour la troisième, il me reste une chance sur deux, et la réponse est alors 1 chance sur 2.

Etonnant, non?“.

Bon, c’est un exemple assez classique en théorie des probabilités, je laisse aux lecteurs le temps de la réflexion…. le but étant de montrer qu’il y a une faute dans le raisonnement de la personne ayant donné la seconde réponse… Oui, c’est toute la difficulté des TD de probas: comment expliquer qu’un raisonnement qui semble juste est falacieux…

Pourboire, des vacances à la rentrée

Oui, les vacances ça a du bon…

Comme on se ballade et comme il fait chaud, on traine davantage dans les bars…. Et à chaque fois ce pose la question du pourboire.

POURBOIRE, subst. masc.

Étymol. et Hist. 1760 (Comptes de la duchesse de Mazarin ds R. rétrospective, t. 16, 1892, p. 410). Subst. de la prop. inf. pour boire (de pour* et de boire1*) att. à partir du xviie s. (1662, Molière, École des femmes, IV, 4, éd. E. Despois, t. 3, p. 239 : voilà pour boire).

Je dois reconnaître que la pratique me surprend… Dans certains pays, on nous explique que les serveurs sont payés au pourboire, et donc on rajoute 10%, 15% ou 20% de l’addition, et ce “salaire” me paraît alors justifié.. mais en France ? Certains auteurs en économie ont tenté de justifier le principe (ici par exemple, ou encore là pour un survey) par un mécanisme incitatif, pour les serveurs, mais sur le fond, je dois avouer que j’ai du mal à comprendre la justification (ou alors si c’était justifié, pourquoi ne pas généraliser alors). Peut-être devrais-je aussi laisser un petit bol sur mon bureau, lorsque je fais cours, pour que les élèves me versent un pourboire (ou un “pourapprendre“) si le cours était bien ? C’est un peu comme Pierre Desproges qui s’interrogeait sur la pratique du “rappel” dans les spectacles.
D’un autre côté, cette pratique du pourboire dans l’enseignement peut se retrouver évoquée par exemple chez Éric Maurin (ici) dans Université, un autre financement est possible, qui mentionnait l’idée suivante “Il s’agirait de faire contribuer, non pas les étudiants à l’orée de leur scolarité universitaire, mais les anciens étudiants, une fois qu’ils sont devenus diplômés du supérieur et qu’ils se trouvent dans une période de leur vie professionnelle où le remboursement progressif de leurs études ne leur pose plus de problèmes financiers”. Envisager d’augmenter le nombre de prêts étudiants peut être dangereux, en particulier si les étudiants ne trouvent pas de travail à l’issu de la formation. En revanche, et c’est ce que j’avais entendu dans une interview d’Éric Maurin, on peut penser à un système où les frais d’inscriptions restent modestes, mais que les anciens soient davantage sollicités (via des donations). Cela permet en plus de motiver le corps enseignant qui se doit de dispenser une bonne formation, et de contourner (plus ou moins) l’effet taille1. Bref, on retrouve l’idée du pourboire…. non ?

1 la critique habituelle étant que les salaires des très grandes écoles sont bien plus élevés que ceux des élèves issus des universités; les très grands écoles forment un tout petit nombre d’étudiants par rapport aux universités. Dans ce dernier cas, les pourboires par tête seraient faibles, mais les universités bénéficient d’un effet de masse (compte tennu du nombre important d’étudiants).

Compter les burkas (ou tant d’autres choses)

Plusieurs journaux ont repris une information que j’avais entendu sur la route, en écoutant France Info (pour être honnête, seul l’état du trafic m’intéressait alors1), que l’on peut retrouver à droite par exemple.
Au delà des félicitations qui s’imposent (pour cet estimation d’un taux de l’ordre de 0,000564% de la population française portant une burka, car malgré la forme utilisée, il s’agit d’une “estimation” et pas du résultat d’un recensement exhaustif), ce comptage des burkas m’a rappelé les jeux que j’ai fais un peu avec ma fille pendant les vacances, à savoir le comptage des princesses ou des baguettes de fée2 (ou de plein d’autres choses sur une thématique relativement proche),

A un moment, elle m’avait fait une réflexion très judicieuse suite à un de mes navrants “c’est dur, hein ?” (car je peinais à trouver la troisième fée qui, pour ma défense, était un peu cachée derrière un jolie fleur). Elle m’avait alors répondu “oui, mais ça serait plus dur si l’image bougeait !”. Et effectivement, ça serait beaucoup plus dur… Fort heureusement, Christian Genest (qui est beaucoup plus fort que moi, et dont les enfants sont aussi plus âgés) a proposé une jolie application de “comptage de choses qui bougent” à savoir le comptage des cerfs dans un bois3ici. Il s’agit d’un superbe article de vulgarisation scientifique, en particulier sur l’utilisation du bootstrap…
1 France Info est une radio truculente pour ceux qui cherchent des idées pour alimenter leur blog…

J’ai, par exemple, beaucoup aimé apprendre – le lundi 3 août je crois – qu’un chauffeur de car qui avait eu un accident “avait un taux d’alcool dans le sang négatif lors du drame”. J’ai pensé à une confusion entre le taux et le test associé (le test pouvait être “négatif”, je renvoie à la terminologie de la théorie de la décision que j’avais évoquée ici ou). Mais peut-être me goure-je, et la valeur nulle est une simple référence standard, une valeur “moyenne” de taux d’alcool (c’est à dire de C2H5OH) dans le sang. Mais en l’occurrence j’ai des doutes… Sur ce dernier point d’ailleurs, toujours à propos de France Info, je note que Jacques Kessler – qui avec son délicieux accent nous donne les prévisions météo – entretient sciemment une vague confusion entre “températures normales” et”températures moyennes”: la norme serait alors d’être dans la moyenne ? C’est une idée que l’on retrouvait chez Adolphe Quételet dans sa théorie de l’homme “moyen”. Mais là aussi, je pense qu’un billet plus qu’une note de bas de page serait le bienvenu. En attendant, je peux toujours renvoyer ici ou .
2 tout comme mon voisin Laurent qui s’était senti obligé de rétablir l’équilibre, ou tout du moins une certaine parité, dans son blog (ici), je vais parler un peu de ma fille après avoir parlé de mon fils il y a quelques mois maintenant (ici).
3 j’aurais pu me contenter de cet histoire dans mon blog car sur les conseils de leur grand-père, les enfants ont espéré voir des biches au bout du jardin pendant  la première semaine de vacances, mais malgré notre vigilence, on n’en a jamais vu. Faire des statistiques sans observations est un problème délicat.

De la rationalité et de l’esprit calculateur

Sinon un cours billet qui m’a été suggéré ce matin, en écoutant un sportif s’exprimer sur les ondes radios. Quand on parle (dans un papier ou dans un cours) de modélisation du comportement des agents dans des sitations complexes (je pense à de la théorie de la décision dans un environnement incertain, ou de théorie des jeux dynamique), une critique récurrente est que les agents ne peuvent pas être aussi rationnels et calculateurs !

J’ai été très surpris ce matin en entendant ce coureur du tour de France (ou cet entraineur je ne sais plus) qui expliquait avec une certaine forme de détachement qu’il serait possible de grapiller quelques seconde aujourd’hui, mais que ce n’était pas la stratégie car le parcours ne s’y prêtait pas, etc… Cette importance de la stratégie avait été souligné il y a quelque jours avec l’histoire des oreillettes, qui permettaient aux coureurs et aux entraîneurs d’élaborer leur stratégie en temps réel.
Avant-hier soir, j’ai fini un très beau livre “le tour des géants” de Nicolas Debon (chez Dargaud, en vente chez tous les bons libraires, ici, par exemple). A priori je n’ai aucune attirance pour le vélo, mais Nicolas s’en sert de prétexte pour raconter une histoire profondément humaine (exactement comme Jirö Taniguchi dans le sommet des dieux qui raconte une histoire de dépassement de soi, comme le tour des géants, d’ailleurs, sur fond d’alpinisme). En fait, pour ceux qui préfère plus de mots et moins de dessins, cette histoire peut être vue comme la mise en image du récit d’Albert Londres sur le Tour de France*.
Quand on compare avec le tour actuel, ce matin le coureur parlait de “repérages” d’étapes la veille… en 1910, la ville de départ et la ville d’arrivée étaient connues, et entre les deux, il fallait trouver son chemin (avec des épisodes de panneaux intervertis, etc). A côté, les coureurs surmédicalisés actuelement (pour prendre un terme plus neutre) passent pour des enfants de coeur ! Et surtout, ils sont incroyablement calculateurs et rationnels aujourd’hui (un peu comme les élèves qui optimisent leur choix de cours voire leur présence en TD en fonction des notes passées).
Loin de moi l’idée de faire du “c’était mieux avant” mais c’est juste que la comparaison est troublante….

L’idée était surtout d’argumenter un peu sur le fait qu’il n’est pas illégitime de supposer les agents rationnels et très calculateurs !
* la série de reportages a été publiée sous le titre tour de France, tour de souffrance et retrace le tour de France de 1924, alors que Nicolas Debon se situe un peu plus tôt, en 1910. Pour information, en 1910, il y avait 15 étapes pour 4 737 kilomètres, en 1924 15 étapes pour 5 425 kilomètres, et en 2008 (l’an dernier) 21 étapes pour une longueur totale de 3 559,5 kilomètres. En 1910, la vitesse moyenne du vainquer a été de 28,680 km/h, 24,250 km/h en 1924, et en 2008 on était à 40,492 kms/h. Bref, un tour avec des étapes très rapides, alors qu’en 1910, ça courait encore la nuit !

Quand les assureurs souhaiteraient faire la pluie et le beau temps

Damned, je me suis fais devancé par un très très beau billet d’Anne (ici) sur l’assurance proposée par AXA et AON. Ca m’apprendra à ne plus lire régulièrement Le Monde

Tout comme Anne, je suis un peu agacé par le nom donné sur le site d’AON: un assureur ne peut pas garantir la pluie et le beau temps, de même qu’il ne peut pas garantir que vous ne tomberez pas malade ou que vous n’aurez pas d’accident de voiture dans l’année ! Ou alors c’est autre chose que de l’assurance…

Je suis également un peu sceptique car ces risques ne sont pas vraiment indépendants, surtout au niveau local (dans un même département, il y a des chances pour que tout le monde soit sinistré la même semaine). Peut être qu’au niveau national, il existe des dipôles climatiques qui font que s’il pleut dans un département, il y a de très fortes chances pour qu’il ne pleuve pas dans un autre. C’était une étude qu’on souhaitait mener avec des collègues de Paris 6, et nous n’avions riens trouvé sur le sujet. Mais les gens d’AXA et de Metnext savent ce qu’ils font, je pense… Car il faut reconnaître que les garanties (ici) excluent beaucoup de choses si on regarde en détails le contrat, en particulier quand on lit qu’il faut “3 heures consécutives” de pluie, “entre 8 heures et 20 heures“…etc.
En tous les cas AON a l’honnêteté d’annoncer clairement la couleur sur son site (ici). Tout d’abord avec de joli petit logo que j’ai reproduit ci dessous, avec cette superbe accroche (évoquée en détails ici) cette garantie est, pour les voyagistes, “une source de revenus complémentaires“…
Sinon il faut reconnaître également que les assureurs offraient déjà ce genre de garanties, mais seulement dans les grands évènements, comme des championnats du monde de football, des tournois de tennis, ou des concerts de grosses stars….pour la première fois, la garantie n’est plus pour Michael Jackson qui souhaiterait remplir des stades, mais pour Robert et Raymonde qui voudraient faire du camping au sec….

Un petit billet sur la racine carrée

En lisant le Canard l’autre jour, je suis tombé sur ce “joli” papier sur la règle de la racine carrée.

Bon, en l’occurence, c’était juste pour évoquer la jolie forme (i.e. la forme du symbole mathématique, aucunement la fonction qui se trouve derrière).
En fait, je voulais en profiter pour revenir sur la square too rule for reinsurance pour reprendre l’expression de Michael Powers. Je connaissais (plus ou moins) une loi de la racine carré en assurance, correspondant au théorème central limite (que j’ai évoqué ici via un papier d’Alain Tosetti), que l’on connait en statistique sous la forme(sous quelques hypothèses)

Mais ici le résultat est de toute autre nature. En faisant un petit modèle de théorie des jeux1, Michael Powers et Martin Shubik avaient étudié, en 2001, la concentration dans le marché de la réassurance (ici). Ils avaient alors élaboré cette square too rule for reinsurance qu’ils ont par la suite validé sur des données (ici).
En supposant que les assureurs ont des fonctions d’utilité CARA (homogènes) alors que les réassureurs sont neutres au risque, que les risques soient indépendants et que les couvertures soient proportionnelles, ils montrent que, pour éviter la saturation du marché, le nombre optimal de réassureur doit être en racine carrée du nombre d’assureurs. En fait, formellement, ce n’est pas trop une “racine carrée“, mais le résultat d’un programme d’optimisation de la forme suivante,

mais si on résout numériquement, on tombe sur une fonction racine carrée, ou presque,

(en tous les cas, la solution au programme semble unique, et asymptotiquement, on a effectivement une racine carrée du nombre d’assureurs). Venezian, Viswanathan et Juca ont testé (ici) cette relation en 2005 sur les données OCDE (que l’on retrouve dans les statistical yearbooks), c’est à dire 18 à 20 pays sur une dizaine d’années. Ils ont alors testé un modèle économétrique simple en passant au log, i.e.

et en étudiant l’évolution de la pente (correspondant à la puissance sur les nombres), les auteurs obtiennent le graphique suivant,

Sauf que derrière se cache peut être aussi des effets prix, ce qui est corrigé par la suite en prenant un modèle de la forme suivante

où le prix est obtenu en utilisant un modèle à la Madsen et Pedersen (2003, ici puis , voire ici ou pour des slides), qui a l’allure suivante

Dans ce cas en utilisant des GMM2 pour estimer les coeffiicients, Michael Powers et Martin Shubik ont obtenu un coefficient de l’ordre de 0,477, ce qui validerait l’hypothèse de loi en “racine carrée“.
Remarque: en notant que la rétrocession était un cas particulier de réassurance, ils évoquent une loi en puissance 1/4 pour le nombre de rétrocessionnaires.
1 je ferais sûrement un billet sur l’utilisation de la théorie des jeux en assurance, et en réassurance puisque je dois faire un exposé fin août à Grenoble sur ce sujet aux journées AST&Risk. A suivre donc….
2 promis, je ferais un cours billet sur les GMM…. ce n’est pas la première fois que j’en parle, mais pour plus d’information, je peux renvoyer ici, pour wikipedia, ou pour des slides de Bernard Salanié, voire enfin ici pour le chapitre dans l’incroyable livre de Russell Davidson et James G. MacKinnon (Estimation et Inférence en Économétrie).

Quantile de sommes, ou somme de quantiles ?

Je reprends ici un commentaire que j’ai longtemps entendu dans mon expérience d’actuaire dans une vie antérieure (et qu’on peut lire – entre les lignes le plus souvent – dans certaines réactions de risk managers). Les quantiles sont la base des mesures de risques, en particulier via la VaR en finance, mais quand j’étais actuaire, on calculait des 90/10 pour désigner des quantiles à 90% des pertes. Donc tout ça n’est pas spécialement nouveau. Je rappelle que la fonction quantile est simplement  où

Les quantiles sont calculés par type de risque (en gestion des risques), et forcément à la fin, on souhaite un quantile de la somme des risques, et il a longtemps été coutume de prendre la somme des quantiles. Je vais donc discuter un peu le résultat suivant,

  • L’égalité n’est pas vraie dans le cas indépendant

Suite à une espère de déformation professionnelle (à cause de la variance), beaucoup de monde pense que

mais ce résultat est faux…. Un exemple est d’ailleurs donné ci-dessous dans le cas de variables exponentielles.

  • L’égalité est vraie dans le cas comonotone…

En fait, le résultat précédant est vrai dans le cas comonotone. La comonotonie correspond au cas de dépendance parfaite positive, de corrélation maximale (si la corrélation existe), i.e.  avec  une fonction strictement croissante. Alors

  • … mais ce n’est pas un “worst case

Seconde bizarrerie, la comonotonie n’est pas le pire des cas. La comonotonie est souvent envisagée comme un worst case scenario mais il n’en est rien (cette idée se retrouve dans les QIS 3 par exemple, ici).
Formellement, si  (la classe de Fréchet), alors

et

En passant en dimension 2 (cas où la borne inférieure est effectivement une vraie fonction de répartition), si et  désignent respectivement des version anticomonotone et comonotone de , alors on peut se demander, en considérant une mesure de risque quelconque  si

En fait, Andre Tchen a montré en 1980 un résultat qui montre que la comonotonie est effectivement un worst case, mais seulement dans certains cas très limités.
Si est une fonction supermodulaire, i.e.

pour tout  et . Alors dans ce cas, pour tout ,

(la preuve se trouve ici). Je renvoie aux papiers de Michel Denuit, de Jan Dhaene ou de Marc Goovarts (ici ou ) pour des applications en tarification sur deux têtes, par exemple, ou sur les primes stop-loss en réassurance

  • Borner (numériquement) le quantile d’une somme

Commençons par un exemple, avec deux lois exponentielles, car c’est le plus simple, et surtout on peut calculer explicitement les bornes (dans le cas général, on se contentera de méthode numérique comme l’avait fait Khalil ici).
Si  et , où, pour être plus précis,

l’encadrement

est valide pour tout  quelle que soit la structure de dépendance entre et , où

Aussi, en prenant les inverses (car ces fonctions sont strictement croissante), on obtient une inégalité en terme de quantile, ou de Value-at-Risk,

pour tout .
Rappelons que dans le cas de variables indépendantes  alors que dans le cas comonotone . La figure ci-dessous montre les valeurs possible pour  la fonction de répartition de la somme, avec le cas indépendant en bleu, et le cas comotonone en rouge.

On peut aussi visualiser les valeurs possibles pour les quantiles de la somme. Dans un cas général, Ce problème a été traité par Makarov en 1981, et par Frank, Nelsen et Schweizer en 1997 (ici), tout en restant en dimension 2. En fait, ils ont travaillé sur les bornes de la fonction de répartition d’une somme mais c’est pareil, comme on l’a vu juste auparavant. Ils ont montré le résultat suivant: si  alors pour tout

désigne la copule anticomonotone (qui est une copule en dimension 2),

en posant , et

On peut retrouver des résultats plus fin en creusant dans la direction de l’arithmetic probability, par exemple avec la thèse de Williamson (ici, cette thèse est remarquable, et trop peu citée, malheureusement). Je ne parle que de la dimension 2, l’extension en dimension supérieure est délicate (je renvoie aux travaux de Paul Embrechts sur le sujet, ici ou , par exemple).

Sommer des variables binomiales négatives

Il existe trois grandes familles de lois utilisées pour modéliser les variables de comptage,

  • la loi binomiale, 
  • la loi de Poisson, 
  • la loi binomiale négative, 

Ces trois lois sont les trois dans la famille de Sundt (ici), au sens où

En plus ces trois lois sont dans la famille exponentielle (et peuvent servir en économétrie via les GLM). Pour la loi binomiale négative, il existe des dizaines de manières de l’écrire. On peut remonter à Blaise Pascal en 1679 pour sa première utilisation. Pour reprendre la présentation de Georges Polya dans le contexte des urnes, on a des boules blanches et noires dans une urne, et on fait des tirages avec remise. Il y a une proportion p de boules noires. Le nombre de boules blanches que l’on a tiré avant de tirer la ième boule noire suit une loi binomiale négative. Mais ça ne marche que si  est un entier. On pourra envisager une écriture plus générale par la suite.
On retiendra aussi l’approche de Greenwood et Yule (1920), présentant la loi binomiale négative comme un mélange de lois de Poisson. Supposons que   suive une loi de Poisson  et que  suit une loi Gamma, de densité

Alors la loin (non conditionnelle) de X est une loi binomiale négative,

L’interprétation via les lois mélanges est assez élégante (j’avais parlé de la surdispersion de la loi de Poisson en pratique ici), et notons d’ailleurs que Greenwood et Yule avaient parlé de “accident proneness” pour décrire la loi sous cette forme
Bref, la loi binomiale négative de paramètres  et  a pour loi de probabilité

.

Remarque: un cas particulier de la loi binomiale négative est la loi ditegéométrique, obtenue quand . J’ai évoqué cette loi ici, afin d’expliquer la notion de période de retour (et l’interprétation d’un probabilité en terme de durée). Feller avait d’ailleur noté que la loi binomiale négative pouvait être vue comme une convolution de lois géométriques.
Mais je m’écarte du sujet…. J’ai reçu un mail cet après midi me demandant (je vire certaines parties pour garder la question) “la loi binomiale négative est elle additive ?”. Je comprends cette question comme la stabilité de la famille de loi par sommation: la somme de variables binomiales négatives (indépendantes) est-elle encore une loi binomiale négative ?
Notons que la loi binomiale négative est indéfiniment divisible. Mais il existe un autre résultat sur l’additivité qui nous sera encore plus utile. Liiders a montré en 1934, puis Quenouille en 1949, que la loi binomiale négative est un loi Poisson composée, lorsque les sauts sont des variables logarithmiques indépendantes (ce qui a aussi été appelé processus de Arfwedson).

où  les  sont i.i.d. de loi

La fonction génératrice est alors

où  correspond à la probabilité, et la puissance est le second paramètre.
En utilisant ce résultat, on peut en déduire que si deux variables ont le même paramètre  c’est à dire la même probabilité sous jacente, alors la loi de la somme (de deux variables indépendantes) est toujours une loi binomiale négative, dont  le paramètre sera lié à la somme de deux lois de Poisson indépendantes: ça sera donc la somme des deux autres paramètres. Aussi, si

 et 

sont deux variables indépendantes, alors

Une autre solution est de faire les calculs…(si quelqu’un veut s’y coller, je suis preneur). Enfin, si on se place dans le cas où les paramètres  sont entiers, l’interprétation en terme d’urne rend ce résultat trivial.
Remarque: on doit également obtenir la stabilité par sommation en relachant l’hypothèse d’indépendance, avec des l’indépendance conditionnellement, à condition que le paramètre de mélange (permettant d’obtenir l’indépendance conditionnelle) coïncide avec le paramètre de mélange permettant d’écrire la loi binomiale négative comme un mélange Poisonnien.
Greenwood, M., and Yule, G. U. (1920). An inquiry into the nature of frequency distributions representative of multiple happenings with particular reference to the occurrence of multiple attacks of disease or of repeated accidents, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 83, 255-279.
Quenouille, M. H. (1949). A relation between the logarithmic, Poisson, and negative binomial series, Biometrics, 5, 162- 164.

“mais pourquoi tu fais ça ?”

Pour faire un billet sur mon expérience de blogueur depuis quelques mois, je pensais intituler mon billet “les blogueurs et les idiots“. Mais comme ça serait un peu long à expliquer (l’explication ne viendra qu’à la fin) j’ai préféré voler ce titre à un court texte de Gilles Stoltz dans le journal du CNRS1.

Je suis tombé un peu par hasard sur plusieurs blogs se posant des questions sur le rôle des blogs, et en particulier des blogs tenus par des chercheurs ou des scientifiques. Ayant la prétention de croire que je fais partie de ces deux catégories (au moins pour la première comme chercheur-du-dimanche comme je l’expliquais ici), j’ai été très intéressé par ces billets émanent de personnes ayant une réflexion sur le sujet, nettement plus nourrie que la mienne. En particulier, un premier billet  passionnant (ici) s’interroge sur ces chercheurs-blogueurs, “quand il blogue, le chercheur échappe aux mythes de la science livresque et froide pour se risquer à livrer en public la science en train de se faire, que Bruno Latour nomme la science chaude“.

Malheureusement (et c’est un sentiment que j’ai effectivement vécu au contact de collègues), les blogueurs sont critiqués (comme noté ici) “quelques chercheurs ont désormais pris l’habitude de bloguer régulièrement sur des sujets proches de leurs thématiques de recherche. Le phénomène parfois critiqué par une partie de la communauté scientifique, semble connaître si ce n’est un essor, un attrait du public“.

Et il est vrai que le blog n’est peut-être pas un médium classique pour un chercheur. “Le chercheur est souvent un être schizophrène. Il publie ses résultats scientifiques dans des revues à comité de lecture et réserve ses réflexions sur l’activité scientifique pour les discussions de la pause café ou la liste de diffusion de son institut. Ces deux sphères sont très peu perméables et hormis quelques publications grand public comme “Nature” ou les éditoriaux des revues, les canaux de publication formels sont rarement des espaces réflexifs“.

J’ai été tout particulièrement sensible à ce mot de Tom Round, “je m’autorise également à déborder (plus ou moins sérieusement) en donnant mon avis sur des sujets d’actualités plus généraux en essayant de garder un angle d’attaque scientifique“.

J’étais assez sceptique lorsque l’université de Rennes 1 [ce billet était initialement publié sur blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/…] nous a imposé de passer à un format de blog, avec – à terme – une suppression des pages personnelles, mais je dois avouer – une nouvelle fois – y avoir pris goût. Au delà des billets liés à des papiers publiés, des exposés faits ou des cours données, je prends un immense plaisir à entrer ainsi dans la sphère publique, et partager un savoir….Comme le notait le psychanalyste Jacques Hochman (ici) “dans l’antiquité classique, idiotes désigne la sphère privée et par extension celui qui ne participe pas à la vie publique“. C’est aussi un sens que confirme Volaire, cité dans leDictionnaire de la langue française2, d’Emile Littré (1875) “ce n’est point du tout pour faire une mauvaise plaisanterie qu’on a remarqué qu’idiot signifiait autrefois isolé, retiré du monde“. Autrement dit, les scientifiques qui ne partageraient pas avec le reste de la cité seraient – étymologiquement parlant – des idiots…. Quel dommage…

1 Gilles est Chargé de Recherche au CNRS et est en train d’écrire, avec Vincent Rivoirard un livre de stats à destination des élèves de master. Même si je n’aurais pas la prétention d’écrire des choses de la qualité de ce que fait Gilles dans ces travaux de recherche, je me retrouve assez dans son argumentation: “je leur racontais donc que j’écrivais ce manuel et ils s’étonnaient : « Mais pourquoi tu fais ca ? » Sous-entendu : cela ne sert à rien pour ta carrière et tu ferais mieux d’aligner des articles. A quoi je répliquais : « Parce que cela m’amuse et que j’ai l’impression qu’il sera utile pour les étudiants ! ». Or, j’ai longtemps pensé qu’une idée répandue dans le monde de la recherche en mathématiques (et notamment, dans les mathématiques les moins appliquées) était que notre activité avait une part prépondérante de gratuité — en somme, que nous faisions des mathématiques parce que cette activité nous plaisait, et que, ô délice suprême, un salaire venait souvent couronner le tout. Si écrire un manuel de statistiques (relativement avancé quand même !) me plaît, alors pourquoi réfréner cette envie ? Pourquoi devrais-je obligatoirement prendre plus de plaisir à écrire des articles, alors que ces derniers s’inscrivent dans une temporalité très différente et qui me plaît moins ?“.
2 en fait ma propre référence serait plutôt cité dans L’idiotie, de Jean-Yves Jouannais, dans la collection de livres de Beaux-Arts magazine.

“too big to fail” et mesures de risque

Je suis tombé ce matin sur un billet sur “too big to fail” sur le blog de rationalité limitée (ici, et plus récemment ). On retrouve cette idée sur le blog de Paul Krugman (ici) ou sur ce qui s’est passé pour AIG, l’assureur américain, ici ou dans des journaux français, ici avec une interview de Jean-Hervé Lorenzi. Bref, c’est un sujet incroyablement à la mode… et il n’y a pas besoin d’une grande culture historique pour savoir qu’il n’existe aucune entreprise ou civilisation qui soit “too big to fail”. Sur ce dernier point, je renvoie vers le très bon livre de Jared Diamond, sur la disparition des grandes civilisations du passé.Mais on s’écarte un peu du sujet…
Le billet note fort justement que “l’idée est intéressante mais comme toujours se pose la question des critères et des méthodes de mesure”. Bref, tout ça m’a fait penser à un commentaire que m’avait fait un jour la personne qui m’a tout appris sur l’assurance, à savoir Gilles Bénéplanc1. Un grand débat sur les mesures de risque, et leur axiomatique (c’est à dire leurs propriétés souhaitables), porte sur l’axiome dit desous-additivité. Formellement, une mesure de risque est sous-additive si

autrement dit, la fusion diminue le risque. On peut aisément montrer que cet axiome peut d’ailleurs s’écrire

Il est connu que la Value-at-Risk (correspondant à un quantile de la distribution des pertes) n’est pas sous-additivite, hormis certains cas particuliers.

Et la question qui a déchiré nombre d’économistes et de mathématiciens a été “est-ce vraiment génant que la VaR ne soit pas sous-additive ?”. Gilles Bénéplanc avait fait une remarque plein de bon sens à savoir que ces questions visant à comparer

et

étaient en fait stériles car on ne devraient pas fixer les mêmes seuils (les probabilités de faire faillite si on veut interpréter simplement) pour les petites entités et l’entité agrégée. On peut accepter des ruines individuels dans un marché très concurrentiel, mais pas si une entreprise est “too big to fail”…

Il serait donc temps que la réglementation (Solvabilité II pour les compagnies d’assurance) prennent en compte cette idée de “too big to fail”, ça induirait des horizon de ruine différents pour les petites entreprises et les très gros groupes.

1 Gilles Bénéplanc a été co-encadrant de mon mémoire d’actuariat, avec François Bucchini, et comme je l’avais dit lors de la remise du prix SCOR voilà un peu plus de 2 ans, c’est à eux que je dois tout ce que je sais en assurance. Gilles avait fait une jolie thèse (encadrée par Jean Charles Rochet) sur Solvabilité des Entreprises d’Assurances et Financement des Grands Risques, et est aussi éditeur de la revue Risques.

“Ce n’est pas la girouette qui tourne, c’est le vent”

(disait Edgar Faure). Allez, je n’avais jamais osé, mais l’occasion est tellement belle que je vais faire un (court) billet de macro-économie.En fait, je suis assez ” surpris” par cet emprunt national qui a été annoncé (ici ou ). Il y a quelques mois, on nous expliquait (démonstrations à l’appui) que l’endettement c’était sale et que l’état était au bord de la faillite, etc. Voilà maintenant que les mêmes personnes nous sollicitent pour aider l’état à s’endetter davantage ! Ce qui me surprendra toujours, c’est cette facilité de passer d’une conclusion à son contraire sans même s’en rendre compte (je suis un peu médisant car en occurrence, ce sont des hommes politiques, et pas des économistes), ou alors ça s’appelle de la mauvaise foi. Pourtant en Bretagne, on a parfois l’habitude de voir les girouettes tourner plusieurs fois dans la même journée !


Il y a quelques années, le Ministère de l’Économie, dans un soucis d’éducation avait édité un court livre d’une trentaine de pages sur les mécanismes de base de l’économie (ci-contre). Comme j’ignore les droits en matière de droit d’auteur, je me suis permis de mettre un lien vers la version pdf (c’est pour la bonne cause). Bref, vivement que l’on relance l’éducation économique (et scientifique), et que l’on arrête les plans de communication pour dire un truc et son contraire quelques semaines plus tard !
PS: évidemment, il existe de bien meilleurs ouvrages de vulgarisation économique, mais c’était juste pour rappeler qu’à une époque, l’éducation semblait être une valeur importante.

“on” a bien de la chance

Depuis quelques semaines, je passe un peu (trop) de temps dans les hôpitaux.

(l’image vient du blog de Lewis Trondheim, ici1). Histoire de tuer le temps, j’essaye de discuter avec “les gens” de tout et de rien2. Bref, l’autre jour j’étais avec une personne un peu âgée qui parlait des progrès de la médecine (en comparant la médecine telle qu’elle semblait l’avoir connue, et celle qu’elle vivait aujourd’hui), quand elle m’a dit cette phrase banale, “tous les ans, on gagne un trimestre d’espérance de vie” donc normalement “vous avez de la chance, vous devriez vivre plus de 100 ans“. Sur le moment, je me suis interrogé sur le sens de sa phrase3, et sur sa pertinence. Par politesse (ou peut être parce que j’évite de passer pour un nerd en public, sauf si j’y suis invité), je n’ai rien dit sur le moment. Cette phrase est un réel cliché, et je me suis demandé qui était ce “on” (qui a bien de la chance) ?

Mon prof de prépa se méfiait comme de la peste du “ça” du fameux “ça converge” (suffisamment vague pour espérer que l’examinateur trouverait – à notre place – ce qui converge). Mais ce “on” est une vraie plaie.

ON, pron. pers. indéf.

Pronom personnel de troisième personne, exprimant l’idée d’animé humain et fonctionnant toujours comme sujet. I. [Dans un cont. de généralité, souvent combiné avec un prés. gnomique révélé lui-même par une conj. de temps, désigne un suj. animé indéf.]

A. [Dans l’énoncé de vérités d’expérience, considérées comme universelles, c’est-à-dire vraies pour n’importe qui] On a souvent besoin d’un plus petit que soi. On peut éclaircir l’histoire, on ne la renouvelle pas (Bainville, Hist. Fr., t.1, 1924, p.6). On n’épuise pas le malheur, mon amour, on l’oublie. Vous ne voulez pas l’oublier (Bernanos, Dialog. ombres, 1928, p.47). Quand on vit seul, on ne sait même plus ce que c’est que raconter: le vraisemblable disparaît en même temps que les amis (Sartre, Nausée, 1938, p.21).

Étymol. et Hist. Pron. de la pers. suj. indéterminée A. 1. Employé sans art. 842 (Serments de Strasbourg ds Henry Chrestomathie, p.2, 5: Si salvarai eo cist meon fradre Karlo et in aiudha et in cadhuna cosa, si cum om per dreit son fradra salvar dift; cf. E. Koschwitz, Commentar zu den ältesten franz. Denkmälern, p.41; Moignet, Gramm. de l’a. fr., p.146 note ,,peut encore s’interpréter comme un subst.“); ca 1050 (St Alexis, éd. Chr. Storey, 235: Par nule guise ne l’em puet hom blasmer), [cf. 1647, Vaug., p.10: Si le verbe finit par une voyelle devant on, comme prie-on, alla-on, il faut prononcer et escrire un t entre deux: prie-t-on, alla-t-on pour oster la cacophonie]; ca 1100 (Roland, éd. J. Bédier, 2949: En un carner cumandez qu’hom les port);

Pour reprendre la définition du dictionnaire de l’académie française, On désigne un sujet indéterminé.

1. Les hommes en général, l’être humain. On naît, on vit, on meurt. On n’avait jamais constaté pareil phénomène. En raison de cette valeur, On s’emploie pour énoncer des vérités générales, dans des sentences, pensées, proverbes, etc. On a souvent besoin d’un plus petit que soi. À vaincre sans péril, on triomphe sans gloire, vers du Cid, de Pierre Corneille, souvent cité comme maxime.
2. Un ensemble d’individus, dont le locuteur ou la personne dont on parle peut ou non faire partie. On me le demande souvent. Comment en est-on arrivé là ? Plus on est de fous, plus on rit.
3. Un individu non différencié, anonyme ou inconnu. On frappe à la porte. On lui a volé son portefeuille (dans cet emploi, la construction avec On permet d’éviter la tournure passive).
4. Loc. On ne peut plus, extrêmement. Il est on ne peut plus doué pour la peinture. On ne peut mieux, excellemment. L’affaire a été réglée on ne peut mieux. Comme on dit, selon l’expression courante. On-dit, voir ce mot. Le qu’en dira-t-on, l’opinion des autres. Se soucier, se moquer du qu’en dira-t-on.

Bref, “on” n’est pas franchement plus avancé… Je vais essayer de revenir un peu sur cette notion d’espérance de vie, en expliquant pourquoi il convient de la prendre en compte dans une perspective dynamique (une version plus historique et détaillée peut se trouver dans un article que j’avais fait pour Risque, ici). Accessoirement, tout ça sera abordé dans le cours de Statistique de l’Actuariat en Master 2, à la rentrée. Et surtout, on va essayer de comprendre qui peut être ce “on”.

  • Modélisation de la durée de vie et diagramme de Lexis

La durée de vie résiduelle d’un individu (ou son espérance de vie résiduelle, car la durée de vie est aléatoire, sinon l’assurance décès n’aurait pas de sens) dépend de deux paramètres importants: son âge, et l’année où on se place.

D’où l’idée des tables de mortalité prospective, qui prennent en compte la fait que le taux de décès par exemple, évolue dans le temps,

(je renvoie ici ou pour un peu plus d’information).

  • Espérance de vie à la naissance

Voici le code R, à l’aide de library(demography), avec un ajustement de type Lee-Carter (basé sur un historique d’un siècle, et une projection par une série intégrée à l’ordre 1 pour le paramètre dépendant du temps),

> library(demography)
> france.LC1 <- lca(fr.mort,adjust="e0",series="female",years=c(1900,2040))
> france.fcast <- forecast(france.LC1)
> L2 <- lifetable(france.fcast)
> ex2=L2$ex
> L1=lifetable(fr.mort,series="female")
> ex1=L1$ex
> ex=c(ex1[1,],ex2[1,])
> plot(1899:2053,ex,col="blue")
> y=ex[72:102]
> x=1970:2000
> abline(lm(y~x),col="red") 

Si on regarde la pente de la droite sur les années 1970-2000, elle vaut 1/4

> lm(y~x)$coefficients:
(Intercept)            x 
  -403.3664       0.2433

1/4 d’année correspondant à un trimestre,effectivement, l’espérance de vie à la naissance augmente d’un trimestre par an.

Autrement dit, tous les ans, les bébés qui naissent (c’est le “on”) peuvent espérer vivre un trimestre de plus qu’un bébé qui serait né un an plus tôt.

  • Evolution de sa propre espérance de vie

Mais le pronom “on” laissant souvent croire que le locuteur est inclus dans le groupe4, et je voulais plutôt regarder comment “je” gagne en espérance de vie. En fait, pour que l’exercice soit marrant, on va supposer que “je” suis cette brave dame, et que j’aurais 70 ans (mille excuses si elle n’en a que 60 et qu’elle lit régulièrement mon blog, mais on va faire comme si, pour les besoins de la démonstration et de la science).

Reprenons notre base de données, et regardons l’évolution de l’espérance de vie résiduelle de cette brave personne (de manière rétrospective)

> M=ex1[,(ncol(ex1)-65):ncol(ex1)]
> plot(diag(M),col="blue")
> y=diag(M)[15:length(diag(M))]
> x=15:length(diag(M))
> abline(lm(y~x),col="red")
> abline(73,-1,col="purple")

Sans amélioration de l’espérance de vie (pas seulement dans le temps, mais aussi avec l’âge, car les deux augmentent simultanément), on devrait perdre un an tous les ans. Mais si on regarde attentivement, la décroissance est effectivement beaucoup moins forte qu’annoncé,
dessin

> lm(y~x)$coefficients
(Intercept)           x
  71.077486   -0.753065

Autrement dit, à chaque anniversaire, je perds 0,753064 année d’espérance de vie résiduelle. Cette différence de 0,25 avec l’unité peut également être interprété comme un gain d’un trimestre par an.
Aussi, tous les ans, “je” gagne un trimestre d’espérance de vie, mais par rapport à un modèle simpliste où la probabilité de décès serait une masse de Dirac sur l’âge limite (disons 110 ans): il n’y a plus d’incertitude sur la date de décès. Donc en un sens, “je” fais partie de ce “on”, mais la référence de la comparaison est un peu stupide.

En fait, la vraie comparaison aurait peut être du être les espérances de vie résiduelles qu’avait eu cette brave personne à la naissance (et qu’on pourrait interpréter comme des gains dûs aux progrès de la médecine),

> z=ex1[,(ncol(ex1)-65)]
> points(1:length(z),z,pch=19,cex=.8,col="dark green")


Le principal soucis est que cette personne est née avant guerre, et donc son espérance de vie résiduelle a explosé passé 10 ans (i.e. elle a survécu à la guerre).

> y=z[11:70]
> x=10:69
> lm(y~x)$coefficients
(Intercept)           x
 65.0226754  -0.8084443

Autrement dit, la pente des points verts est de -0,8. Bref, sans prendre en compte les progrès de la médecine, “on” gagnerait 1/5 d’espérance de vie résiduelle à chaque anniversaire (approche longitudinale de la mortalité). Les progrès de la médecine font passer la gain de 0,20 année à 0,25 (ce qui peut être interprété comme un gain de 0,05 point, ou comme un gain de 25%, soit encore 1/4, que l’on retrouve décidément partout).

Moralité, comme toujours, “on” a raison, à condition toutefois de bien expliquer comme comprendre cet adage….

1 j’avais promis à mes enfants (qui sont des fervents lecteurs de mon blog, surtout si je mets des images de cowboys, de chevalier, de princesse; de licornes, etc…) que je raconterais comment je suis tombé dans les pommes à l’hôpital, après l’opération de mon fils… Je me contenterais de cette image de Lewis afin d’expliquer la vérité: c’était une manœuvre de diversion !
2 je vais faire ici un billet sur l’utilisation délicate du pronom “on“, mais je pourrais faire une analyse similaire sur “les gens“. J’avais déjà dit (ici par exemple) tout le mal que je pensais de ce concept, et en particulier sur le fait que j’avais du mal à croire que “les gens” pouvait avoir une opinion (que l’on pourrait appeler “l’opinion publique“). Les deux sont d’ailleurs très proches si on commence à faire un peu d’analyse des discours politiques des dernières années, avec l’explosion d’expressions du genre “on sait bien que….” ou le “tout le monde sait bien que…“. Mais je sors du cadre de mon billet…
3 je ne rentrerais pas ici dans le débat de savoir si ce rallongement de la durée de vie est – ou n’est pas – une chance. Les personnes intéressées n’ont qu’à passer à l’heure de l’apéro à la maison, on a ce genre de discussion avec mon fils assez fréquemment (qui souhaite savoir si on est obligé de mourir, et comprendre pourquoi, parce que lui, il a pas envie…).
4 histoire de continuer dans les discussions familiales, ma femme avait l’habitude de me faire remarque qu’au contraire, j’avais souvent tendance à m’exclure de ce “on“, comme dans le “on devrait changer sa couche, non ?“.

Optimisation et dualité

La notion de dualité est un peu utilisée à tort et à travers en optimisation, par exemple en gestion de portefeuille. Histoire de remettre les idées au clair, je voulais faire un court billet sur le sujet,

  • cas de la programmation linéaire

Dans le cas de l’optimisation linéaire, on s’intéresse au problème d’optimisation suivant

où ici

.

On parlera alors de “problème primal“. La version duale (appelé “problème dual“) s’écrit alors tout simplement

et ici

.

Pour diverses raisons, il peut parfois être plus simple de résoudre le problème dual que le problème primal. Et l’intérêt de cette réécriture est que les deux problèmes sont étroitement liés. En particulier, sous quelques hypothèses d’existence de solution, on a alors un résultat de la forme suivante (que l’on appelle parfois théorème de Minkowski-Farkas). Une solution au problème primal est optimale si et seulement si il existe une solution au problème dual vérifiant

.

Ce théorème est parfois abordé dans les cours sur la convexité… autrement dit, ce résultat doit être très liés à des propriétés de fonctions convexes, et c’est ce qu’on va voir ensuite… Je renvoie au livre de Yadolah Dodge d’Optimisation Appliquée (chapitre 7) pour ceux qui veulent des exemples.

  • la dualité dans un cas plus général (mais convexe)

Cette dualité, qui permet de résoudre un problème d’optimisation parfois plus simple ne marche toutefois que sous certaines hypothèses. Considérons pour cela le problème relativement général suivant,

où toutes les fonctions sont supposées convexes, et on suppose de plus que est un ensemble convexe, compact. On parle alors de programme convexe (cf wiki). Ce problème est équivalent au problème suivant,

autrement dit, la résolution de ce problème se fait en passant par le Lagrangien,

Le principe de dualité consiste alors à permuter les min et les sup, et la version duale (le “problème dual“) s’écrit alors tout simplement

où on s’intéresse à maximiser la fonction dite objectif.

On peut montrer que cette fonction est alors une fonction concave. On alors le résultat suivant

  • en programmation linéaire ou pour un programme convexe,
  • pour un programme non-convexe,

Autrement dit, si l’on supprime l’hypothèse de convexité, alors les deux problèmes ne sont plus équivalents. Pour expliquer de manière heuristique l’avantage de l’optimisation sur des fonctions convexes, on peut considérer le dessin ci-dessous (emprunté sur http://convexoptimization.com/…),

où on voit clairement que minimiser f sous la contrainte de maximiser g est équivalent à permuter l’ordre de l’optimisation.

  • la dualité dans un cas plus général non convexe

En fait, on peut montrer (ce sont des résultats montrés par Jean-Pierre Aubin et Ivar Ekeland en 1976, dans Applied nonlinear analysis) quelques résultats afin de contrôler l’écart entre les deux optimums,

Sous quelques conditions techniques, on peut alors majorer l’écart entre les solutions des deux problèmes,

en introduisant la distance entre la fonction à maximiser et son enveloppe convexe. Pour aller (beaucoup) plus loin, il existe un petit livre de Tyrrell Rockafellar sur ce sujet, conjugate duality and optimization. Je peux aussi renvoyer vers le site http://meboo.convexoptimization.com/ (et le livre associé, ici). Côté applications, elles sont nombreuses, en économie mais aussi en finance. En particulier, je renvoie à un papier que l’on avait fait avec Abder Oulidi sur l’optimisation de portefeuilles sous contraintes de VaR (ici). La VaR n’étant pas convexe, l’optimisation est un problème plus compliqué (d’où l’intérêt évoqué par certains de minimiser des mesures de risques convexes).

An Open Lab-Notebook Experiment