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Extreme Value, Seminar

Statistical seminar at Belo Horizonte

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Talk at the statistical seminar at the university of Belo Horizonte, Wednesday, on “multivariate extremes“. Slides can be downloaded here.

The talk will give a detailed introduction on multivariate extremes and related concepts. Then the case of Archimedean copula will be fully described (following the paper with Johan Segers).

Many thanks to Renato Martins Assunção (here) for inviting me for a couple of days in Belo Horizonte ! Thanks also for your interest in my blog… and since I understood that some people who do not speak French might be interested in my blog, I started to write my blog in English (or at least a langage that should not be too far away from English). There is a nice discussion about langage on this blog (here, unfortunately in French…)

Statistics

Qui veut des statistiques ethniques ?

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ETHNIQUE, adj.

A.− Vx, RELIG. CATH. Qui appartient au paganisme. Nations, croyances, superstitions ethniques. Attesté ds Ac. 1798-1878, Littré, DG, Rob., Lar. Lang. fr.

B.− Spécifique d’une ethnie et, par extension, d’une race. Caractère, coutume, type, unité ethnique; origines ethniques. L’impossibilité vingt fois démontrée par de cruelles expériences de dissocier par des transferts de population des éléments ethniques étroitement imbriqués (Philos., Relig., 1957, p. 4616). −Spéc., LING., empl. adj. et subst. (p. ell. du déterminé). (Mot) ethnique.Mot dérivé d’un nom de pays ou de région et indiquant l’appartenance à ce pays, à cette région. Israël, du moins c’est le nom que portent ces gens, qui me semble un terme générique, ethnique, plutôt qu’un nom propre (Proust, J. filles en fleurs,1918, p. 764). Le nom, avec le patronyme et l’ethnique, du personnage honoré par un décret (L’Hist. et ses méth., 1961, p. 480).
Prononc. et Orth. : [εtnik]. Ds Ac. 1762-1932. Étymol. et Hist. 1. a) Subst. xiiie s. [ms.] etnique « païen » (Bible, Maz. 684, fo 235e ds Gdf.); de nouv. 1541ethnique (Cl. Marot, Psaume de David, 14 ds Œuvres, éd. P. Jannet, t. 4, p. 88);b) adj. 1549 ethnicque « païen » (Id., Deux Colloques d’Erasme traduits en françois, II, ibid., p. 38); 2. a) adj. 1752 mot ethnique » (mot) qui sert à désigner une population » (Trév.) ; b) subst. 1864 « dénomination d’un peuple » (Littré); 3.adj. 1871 « relatif à la race ou à l’ethnie » (Renan, Réf. intellect., p. 140). Empr. au gr.ἐθνικός proprement « de la nation, de la race », d’où « ethnique » terme de gramm. (d’où 2, 3); ayant servi dans la lang. néotestamentaire à désigner les Gentils [groupe d’hommes ayant les mêmes coutumes (païennes)] par opposition aux Hébreux, est passé dans cet emploi au lat. chrét. ethnicus, d’où 1. Fréq. abs. littér. : 71. Bbg. Cassagnau (M.). Considérations sur les ethniques. Vie Lang.1967, pp. 281-286.

Je tenais à faire un billet sur les statistiques “éthniques“, puisqu’il s’agissait d’un sujet d’actualité. Non pas pour apporter une contribution personnelle et innovante (je n’ai toujours pas compris ce que signifait “éthnique“), mais juste pour revenir sur le premier paragraphe d’un billet sur un blog de Libé (mentionné sur la page d’ouverture de Libé).

Cette première phrase a retenu mon attention pendant de longues minutes….1. tout d’abord la déclaration  “55% des Français” (puis par la suite “96% des Français”) montre que le questionnaire devait inclure une question sur la nationalité, ou au moins “êtes-vous Français(e) ?”. Selon la définition du dictionnaire, ce genre de question semble bien être une question “éthnique“. Peut-on d’ailleurs savoir ce qu’ont répondu les “non-Français” ? Pour revenir d’ailleurs sur ce qu’est un “Français”, je renvoie à un papier d’un collègue rennais,ici.

2. les “statistiques” ont-elles pour finalité de lutter contre le racisme (de manière “efficace“) ? La semaine dernière, Alain Desrosières était sur Rennes pour faire une exposé (Gouverner par les nombres), où il expliquait que bien que les statistiques soient étroitement liées à une gouvernance (pour reprendre mon dicitonnaire “statistique” fut emprunté à l’allemand Statistik, forgé par l’économiste allemand G. Achenwall (1719-1772), qui l’a dérobé de l’italienstatista « homme d’État », la statistique représentant pour lui l’ensemble des connaissances que doit posséder un homme d’État (Brockhaus Enzykl.)), il convient de distinger les statistiques collectées de l’utilisation qui en est faite.

3. il faudrait rapeler que certaines statistiques éthniques sont autorisées. La loi de 1978 (qui a fondé la CNIL) dit qu’on ne peut pas conserver ce type de données dans les fichiers de façon générale, sauf s’il y a des travaux de recherche menés par la statistique publique, c’est-à-dire l’Insee, certains ministères et des organismes de recherche comme l’INED. Cette loi a d’ailleurs été allégée par des directives européennes. Par exemple, l’INED pose des questions sur les lieux de naissance des personnes, les lieux de naissance de leurs parents, les changements de nationalité. Elle peut également poser des questions sur la couleur de la peau, à condition que les personnes donnent le “consentement exprès“, c’est-à-dire écrit (et encore, selon une directive européenne, le consentement exprès n’est plus nécessaire quand on pose ce genre de questions si le questionnaire a été au préalable soumis à un examen spécial de la CNIL). Il est possible d’aller voir ici par exemple pour plus d’information sur les données personnelles. Bref, il me semble qu’il y a une belle hypocrisie sur le sujet…

4. enfin, le point qui m’a le plus choqué est qu’on demande par sondage aux “Français” de trancher. Cela me fait constament penser à ce mémorable épisode de Qui veut gagner des millions,

Sous prétexte que 56% des “Français” pensent que le soleil tourne autour de la terre, ne faudrait-il pas déposer un recours à l’Académie des Sciences pour changer les livres de physique de 3ème ? Bref, j’ai toujours été sceptique sur cette utilisation des sondages*. Je renvoie d’ailleurs au chapitre de Questions de sociologie de Pierre Bourdieu, L’opinion publique n’existe pas (exposé fait en janvier 1972 et paru dans Les temps modernes, 318, janvier 1973, pp. 1292-1309, lisible ici).
“Toute enquête d’opinion suppose que tout le monde peut avoir une opinion ; ou, autrement dit, que la production d’une opinion est à la portée de tous. Quitte à heurter un sentiment naïvement démocratique, je contesterai ce premier postulat  […]  On sait que tout exercice de la force s’accompagne d’un discours visant à légitimer la force de celui qui l’exerce ; on peut même dire que le propre de tout rapport de force, c’est de n’avoir toute sa force que dans la mesure où il se dissimule comme tel. Bref, pour parler simplement, l’homme politique est celui qui dit : « Dieu est avec nous ». L’équivalent de « Dieu est avec nous », c’est aujourd’hui « l’opinion publique est avec nous ». Tel est l’effet fondamental de l’enquête d’opinion : constituer l’idée qu’il existe une opinion publique unanime, donc légitimer une politique et renforcer les rapports de force qui la fondent ou la rendent possible.  Ayant dit au commencement ce que je voulais dire à la fin, je vais essayer d’indiquer très rapidement quelles sont les opérations par lesquelles on produit cet effet de consensus. La première opération, qui a pour point de départ le postulat selon lequel tout le monde doit avoir une opinion, consiste à ignorer les non-réponses.[…] Deuxième principe à partir duquel les gens peuvent produire une opinion, ce que j’appelle l’« ethos de classe » (pour ne pas dire « éthique de classe »), c’est-à-dire un système de valeurs implicites que les gens ont intériorisées depuis l’enfance et à partir duquel ils engendrent des réponses à des problèmes extrêmement différents. […]  L’effet d’imposition de problématique, effet exercé par toute enquête d’opinion et par toute interrogation politique (à commencer par l’électorale), résulte du fait que les questions posées dans une enquête d’opinion ne sont pas des questions qui se posent réellement à toutes les personnes interrogées et que les réponses ne sont pas interprétées en fonction de la problématique par rapport à laquelle les différentes catégories de répondants ont effectivement répondu.”
En fait, on peut voir que ce que je critique, c’est surtout le résumé du sondage, à mon avis mal interprété. Quand on voit la question précise, et conclure comme titre que “les statistiques éthniques n’ont pas la côte” car une majorité de français les jugent “non-efficace“. Voici le résumé proposé dans Le Parisien, qui est à mon avis nettement plus mitigé,
Bref, je n’ai aucun avis sur les statistiques ethniques, mais je suis ravi de voir qu’une seule phrase ait pu me faire m’interroger autant !* Afin de légitimer ma critique, j’ai fait passer dans ma jeunesse (en 1996) des questionnaires dans la rue, sur une étude sur la perception qu’avaient les jeunes du système de retraite. Le questionnaire comportait des questions comme “En France, le système de retraite est un système (1) par répartition ou (2) par capitalisation“. J’ai alors découvert la méconnaissance totale qu’avaient “les Français” (ou plutôt “les gens” car je n’ai jamais demandé de nationalité) sur des aspects de base du système économique français, mais surtout le regard inquiet qu’ils me posaient après avoir répondu, du genre “j’ai bien répondu ?” Je me suis aussi rendu compte que beaucoup de monde n’osaient pas admettre qu’elles ne savaient pas, et étaient “sans opinion“, et préfèraient répondre n’importe quoi. Je pense que toute personne qui utilise des sondages devraient prendre 2 ou 3 jours pour en faire passer, dans la rue, pour comprendre comment les gens répondent avant de tirer des plans sur la comète…

[25/03/2009] Pour compléter ma critique des sondages, je voulais aussi rappeler un sondage intéressant, commandé en 2000 (aux Etats-Unis) par le magazine Time et CNN, lorsqu’il était demandé aux “gens” s’ils pensaient faire partie du 1% des Américains les plus riches: 19% répondaient que “oui“, et 20% affirmaient que “ça ne saurait tarder“. On peut retrouver une analyse plus complète par Andrew Eggers dans un  papier intitulé not so deluded after all (ici) ou dans un papier de David Brooks, superiority complex paru dans Monthly Atlantics en 2002 (ici). Sur le sondage original, Andrew Eggers explique qu’il a été mené par Yankelovich Partners fin octobre 2000 sur 2060 personnes interrogées au téléphone. Ces ordres de grandeurs ont été observés par la suite.

Actuarial science, M1-actuariat, Probability

Méthodes numériques et convolution, suite

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Pour poursuivre un ancien billet, je voulais revenir plus particulièrement sur l’algorithme de Panjer, et sur la précision de l’approximation faite en discrétisant la loi des coûts individuels. Les références sont ici

Je reprends ici un partie de l’article de wikipedia sur le sujet. Comme toujours, on souhaite approcher la loi de

 S = \sum_{i=1}^N X_i\,

On suppose ici que les coûts individuels sont discrets, et on pose

f_k = P[X_i = hk].\,

On suppose de plus que les nombres sont dans une classe un peu particulière, vérifiant

 P[N=k] = p_k=

En fait, cette condition n’est pas trop forte, la plupart des lois classiques étant de ce type.

La formule permettant d’obtenir

g_k =P[S = hk] \,.

est alors obtenue par récurrence, en posant

g_0=p_0\cdot \exp(f_0 b)\text{ if }a = 0,\,

g_0=\frac{p_0}{(1-f_0a)^{1+b/a}}\text{ for }a \ne 0,\,

et ensuite

g_k=\frac{1}{1-f_0a}\sum_{j=1}^k \left( a+\frac{b\cdot j}{k} \right) \cdot f_j \cdot g_{k-j}.\,

L’avantage c’est que tout cela a été programmé sous R… Pour la discrétisation, je reprends ici actuar qui propose plusieurs techniques. En particulier on distinguera entre une borne supérieure et une borne inférieure, une version arrondir et une version sans biais.

> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "upper", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "lower", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "rouding", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1),method = "unbiased", lev = levgamma(x, 1), from = 0, to = 17, step = 0.5)

On peut alors utiliser l’algorithme de Panjer pour calculer la loi composée basée sur ces discrétisations. Au niveau de la programmation, le code est le suivant 

>  fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), from = 0, to = 22,
+  step = 0.5, method = "unbiased", lev = levgamma(x,2, 1))
>  Fs <- aggregateDist("recursive", model.freq = "poisson",
+  model.sev = fx, lambda = 10, x.scale = 0.5)

Graphiquement, on obtient la distribution suivante pour la loi composée (fonction de répartition et fonction quantile).

Actuarial science, M1-actuariat, Probability, Ruin theory, Stochastic Processes

Simulation d’un processus de Poisson

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Le prochain cours reviendra sur la solvabilité des compagnies d’assurance, et en particulier sur la modélisation et le calcul de la probabilité de ruine. En particulier, nous passerons pas mal de temps sur le “processus de Poisson“.

Nous verrons en cours les notions de base sur les processus de Poisson$ \{N_t\}$. En particulier, nous verrons qu’ils se caractérisent soit par le processus d’arrivées $ \{T_i\}$, correspondant aux dates d’arrivée des sinistres, ou bien par$ W_i=, correspondants aux durées intersinistres. En effet, on peut obtenir des expressions de la forme $ N_t=.

Dans sa forme la plus simple, on s’intéresse aux processus homogènes. $ \{N_t: t \ge 0 \}$ sera un processus de Poisson homogène d’intensité $ \lambda > 0$ si les durées entre arrivées, $ W_i$ i.i.d. de loi exponentielle de paramètre $ \lambda $. L’algorithme naturel pour simuler les dates d’arrivées de sinistre $ T_1,T_2,\ldots,T_n$ est alors

  1. poser $ T_0 =
  2. pour $ i = on génère$ E$ suivant une loi exponentielle de paramètre $ \lambda $, puis on pose $ T_i =

Les choses vont se compliquer si on suppose que le processus de Poisson n’est plus homogène. Cette hypothèse est peut être davantage réaliste pour l’assurance. Par exemple, les assureurs savent qu’il y a plus d’accidents automobiles les jours de brouillard, ou de pluie, ou de verglas. On peut donc supposer qu’il existe un cycle lié au climat.

On suppose ici que le processus de Poisson est d’intensité $ \lambda(t)$. La première idée pour simuler un tel processus est de supposer qu’il existe $ \overline{\lambda}$ tel que $ \lambda(t)\leq\overline{\lambda}$ pour tout $ t$. On note $ T_1^* ,T_2^* , T_3^* ,\ldots$ des arrivées successives d’un processus de Poisson de paramètre $ \overline{\lambda}$. On met alors en place une stratégie acceptation/rejet, telle que l’on garde le $ i$ème sinistre $ T_i^*$ avec probabilité $ \lambda(T_i^* )/\overline{\lambda}$. La suite $ T_1, T_2, \ldots$ ainsi construite suit un processus de Poisson nonhomogène d’intensité $ \lambda(t)$. D’où l’algorithme

  1. On pose $ T_0 = et $ T^* = 0$
  2. on génère une variable exponentielle$ E$ d’intensité $ \overline{\lambda}$.
  3. On pose alors$ T^* = T^* + E$.
  4. On génère une variable $ U$ uniforme sur $ (0,1)$: si $ U>\lambda(T^*)/\overline{\lambda}$ on rejette (et on retourne en 2.), et sinon on pose $ T_i = .

Une autre méthode consiste à noter que l’incrément

$ N_t-N_s$, $ 0 < s < t$, suit une loi de Poisson d’intensité$ \widetilde{\lambda} = \int_s^t \lambda(u)du$. Aussi, la fonction de répartition $ F_s$ du temps d’attente $ W_s$ est qui vaut

On peut utiliser la méthode suivante pour simuler le processus de Poisson

  1. Poser $ T_0 =
  2. Générer $ U$ suivant une loi uniforme sur $ (0,1)$
  3. Poser $ T_i =

Pour aller plus loin, je renvoie à des bouquins sur la simulation de processus, ou pour les applications assurantielles au Statistical Tools for Finance and Insurance, chez Springer.

Copulas

Pariwise and global dependence

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I was just contacted by some researchers willing to test if a multivariate copula is – or not – Gaussian. They use a test proposed in an unpublished paper by Malevergne and Sornette, stating that one should simply test for pairwise normality. In this paper, the following result is mentioned

In other words, it is stated that (or at least something closed to this)

Unfortunately, this result is (probably) not correct (and if it is valid, it is nontrivial). It should be possible to construct a counterexample (thanks to Roger Nelsen (web) for the idea) by letting the correlation in each pair be close to -1 (i.e. global pairwise contercomonotonicity). Then the correlation matrix of the triplet would fail to be positive definite (which is a requierment for Gaussian vectors). This idea can be related to the “compatibility” condition in Joe (1997).

My colleague Mihai Gradinaru (web) mentioned the book by Wlodzimierz Bryc, Normal distribution: characterizations with applications, but I did not find any result in it (I looked very quickly). Anyway, I am still working on this… any comment is welcome !

Bayesian, Inference, Statistics, Tests

Intervalle de confiance pour une proportion

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Je voulais poster un petit billet puisque c’est la deuxième fois que l’on me pose une question similaire. Pour déterminer un intervalle de confiance pour une proportion, on connaît tous la formule

La question qui m’avait été posée est simple: que se passe-t-il si n est petit, et si – empiriquement – on a trouvé une proportion de 100% ? Dit autrement: “on fait 5 lancers de “pile” ou “face” et que on obtient 5 fois “pile”: que peut-on dire sur p, la probabilité de tomber sur “pile” ?”

On utilisant la formule précédente, on est un peu bloqué…

  • La première réponse pourrait être fréquentiste, et consiste à proposer une lecture duale de l’intervalle de confiance, et des abaques.

Le graphique de droite montre, en trait violet, l’intervalle de confiance approché, c’est à dire avec l’intervalle de confiance indiqué ci-dessus. La courbe bleue, encadrant la zone verte correspond à l’intervalle de confiance calculé à partir des quantiles d’une loi binomiale de paramètre la fréquence empirique observée. Ici, on aurait envie de dire que p a 95% de chance d’être supérieure à 47.8%.

En fait, cette “lecture duale” des abaques revient à construire – me semble-t-il – l’intervalle de confiance de Clopper-Pearson. L’intervalle de confiance a ici la forme suivante

Notons que c’est cette technique qui est utilisée sous R, via la fonction binom.test du package de base. Ici, on obtient

> binom.test(x, n, p = 0.5,conf.level = 0.95)
Exact binomial test
data: x and n
number of successes = 5, number of trials = 5, p-value = 0.0625
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.4781762 1.0000000
sample estimates:
probability of success
1

…. ce qui correspond exactement à l’intervalle de confiance calculé précédemment. On retrouve d’ailleurs cette fonction dans binconf i.e.

> binconf(x = 5, n = 5, alpha = .05, method = "exact")
PointEst Lower Upper
1 0.4781762 1

qui donne (c’est rassurant) toujours la même chose. On peut aussi programme l’intervalle de confiance proposé par Heldge Blacker, qui donne ici un intervalle de confiance de la forme [50%; 100%]. Pour aller plus loin, je pourrais renvoyer au papier de Lawrence Brown, Tony Cai et Anirban DasGupta, dans Statistical Science sur ce sujet.

  • Une seconde réponse pourrait être une approche bayésienne, qui d’ailleurs correspond exactement à l’expérience de Bayes (1763) ou Laplace (1786).

On suppose que p est une variable aléatoire. On se donne une information a priori, et on peut se demander ce que devient la loi a posteriori de p, sachant que 5 “piles” ont été observés. On suppose que les tirages sont indépendants, et donc la probabilité d’avoir k fois “piles” sur n tirages suit une loi binomiale, conditionnellement à p, i.e.

Le plus simple est de considérer comme loi a priori la loi conjuguée de la loi binomiale, à savoir une loi beta. Dans ce cas, si p suit a priori une loi B(a,b), alors la loi a posteriori de p, sachant que x “pile” ont été observés est une loi B(a+x,b+n-x).

expérience décrite

La courbe en rouge est la densité de la loi a priori (uniforme ou beta de paramètres 2 et 2), et la courbe bleue, la loi a posteriori, avec un intervalle de confiance à 95%. Sur l’exemple de droite, par exemple, on a 95% de chance que p soit compris entre 47,3% et 96,8%.

Computer, Publications, Statistics

Estimation de quantile par noyau beta

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Le papier sur l’estimation de quantile par noyau beta, coécrit avec Abder Oulidi, est accepté pour publication dans Statistics and Computing, http://link.springer.com/…

In this paper we propose several nonparametric estimators of quantiles based on Beta kernel and applied to transformed data by the generalized Champernowne distribution initially fitted to the data. A Monte-Carlo based study will show that those estimators improve the efficiency of a traditional ones, not only for light tailed distributions, but also heavy tails, when the probability level is close to 1. We also compare these estimators with the Extreme Value Theory Quantile applying to Danish data on large fire insurance losses.

Probability, Statistics, Training

Formation administrateur de l’insee

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Il y a quelques années, j’ai animé les sessions de probabilité & statistiques de la  “préparation au concours interne” pour devenir administrateur de l’INSEE. Comme je suis régulièrement contacté à ce sujet, j’ai décidé de mettre en ligne quelques pages d’annales des années passées. Certaines sont très anciennes, et l’esprit du concours a sensiblement changé (me semble-t-il). J’ai retrouvé des scans et j’ai tout mis ensemble (ce qui explique la taille du fichier, 21Mo). Il y a sûrement des incohérences, et des questions qui manquent, mais c’est l’essentiel doit être là. Pour les examens des années plus récentes, le service concours met les annales à disposition, je crois.

Sinon oui, j’ai effectivement rédigé une “bible corrigée”, reprenant l’essentiel des annales, et proposant des corrections d’exercices données à l’oral. Le document fait 200 pages et doit être truffé de coquillettes (de petite coquilles), et je ne préfère donc pas le laisser en ligne… mais il suffit de me le demander. On peut également utiliser les “commentaires” de ce billet pour proposer des éléments de correction pour ceux qui le souhaitent.

Sinon je met aussi un lien vers le site http://www.sauvonslastatistiquepublique.org/, qui propose (enfin) de parler un peu de statistique publique (qui d’ailleurs est au programme du concours d’administrateur interne). Un lien aussi vers le papier de Pierre Yves Geoffard sur le même sujet, dans Libé.

Copulas, Publications

Dynamic dependence ordering for Archimedean copulas and distorted copulas

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The paper on Dynamic dependence ordering for Archimedean copulas and distorted copulas should appear soon in Kybernetika.

This paper proposes a general framework to compare the strength of the dependence in survival models, as time changes, i.e. given remaining lifetimes X, to compare the dependence of X given X>t, and X given X>s, where s>t. More precisely, analytical results will be obtained in the case the survival copula of X is either Archimedean or a distorted copula. The case of a frailty based model will also be discussed in details.

Actuarial science, Bayesian, Publications, Ratemaking

Article (de vulgarisation) sur la crédibilité

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Parution d’un court article sur la Théorie de la Crédibilité dans la revue Risques.

La théorie de la crédibilité est une jolie application de l’approche bayésienne de la statistique, puisque l’on cherche à déterminer la probabilité d’appartenir à une classe de risque conditionnellement à une expérience de sinistralité observée. La théorie développée par Hans Bühlmann propose d’ailleurs de jolies applications, en particulier sur les jeux de fléchettes, où l’on compare la moyenne sur un sous-groupe homogène (ou supposé l’être) avec la moyenne de la population totale. En faisant intervenir des variance intra et des variances inter, on arrive à un résultat relativement simple et élégant.

Actuarial science, Conferences, Copulas, Extreme Value

Copulas, risk dependence and applications to Solvency II

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Exposé dans le cadre de la Summer School of the Groupe Consultatif Actuariel Européen: Enterprise Risk Management (ERM) and Solvency II. Petite réflexion à partir des déclarations du rapport technique QIS3, en particulier la déclaration qui mériterait des heures de commentaires,
In view of the insufficiency of currently available data, the setting of these correlation coefficients will necessarily include a certain degree of judgement. This is also true because, when selecting correlation coefficients, allowance should be made for non-linear tail correlation, which is not captured under a “pure” linear correlation approach. To allow for this, the correlations used should be higher than simple analysis of relevant data would indicate.

Conferences, Copulas

Copules, avenir de l’actuariat ou gadget statistique?

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Exposé sur les copules cette semaine, à Paris 6. Petite réflexion sur le sujet, inspiré du papier de Thomas Mikosch sur ce sujet,

Il y a de longues années vivait un empereur qui aimait par-dessus tout les beaux habits neufs ; il dépensait tout son argent pour être bien habillé. Il ne s’intéressait nullement à ses soldats, ni à la comédie, ni à ses promenades en voiture dans les bois, si ce n’était pour faire parade de ses habits neufs. Il en avait un pour chaque heure du jour et, comme on dit d’un roi : « Il est au conseil », on disait de lui : « L’empereur est dans sa garde-robe. »

La vie s’écoulait joyeuse dans la grande ville où il habitait ; beaucoup d’étrangers la visitaient. Un jour arrivèrent deux escrocs, se faisant passer pour tisserands et se vantant de savoir tisser l’étoffe la plus splendide que l’on puisse imaginer.

Non seulement les couleurs et les dessins en étaient exceptionnellement beaux, mais encore, les vêtements cousus dans ces étoffes avaient l’étrange vertu d’être invisibles pour tous ceux qui étaient incapables dans leur emploi, ou plus simplement irrémédiablement des sots. « Ce seraient de précieux habits, pensa l’empereur, en les portant je connaîtrais aussitôt les hommes incapables de mon empire, et je distinguerais les intelligents des imbéciles. Cette étoffe, il faut au plus vite la faire tisser. »

Il donna d’avance une grosse somme d’argent aux deux escrocs pour qu’ils se mettent à l’ouvrage. Ils installèrent bien deux métiers à tisser et firent semblant de travailler, mais ils n’avaient absolument aucun fil sur le métier.

Ils s’empressèrent de réclamer les plus beaux fils de soie, les fils d’or les plus éclatants, ils les mettaient dans leur sac à eux et continuaient à travailler sur des métiers vides jusque dans la nuit. J’aimerais savoir où ils en sont de leur étoffe, se disait l’empereur, mais il se sentait très mal à l’aise à l’idée qu’elle était invisible aux sots et aux incapables.

Il pensait bien n’avoir rien à craindre pour lui-même, mais il décida d’envoyer d’abord quelqu’un pour voir ce qu’il en était. Tous les habitants de la ville étaient au courant de la vertu miraculeuse de l’étoffe et tous étaient impatients de voir combien leurs voisins étaient incapables ou sots.

Je vais envoyer mon vieux et honnête ministre, pensa l’empereur. C’est lui qui jugera de l’effet produit par l’étoffe, il est d’une grande intelligence et personne ne remplit mieux sa fonction que lui. Alors le vieux ministre honnête se rendit dans l’atelier où les deux menteurs travaillaient sur les deux métiers vides. Mon Dieu ! pensa le vieux ministre en écarquillant les yeux, je ne vois rien du tout ! Mais il se garda bien de le dire. Les deux autres le prièrent d’avoir la bonté de s’approcher et lui demandèrent si ce n’était pas là un beau dessin, de ravissantes couleurs.

Ils montraient le métier vide et le pauvre vieux ministre ouvrait des yeux de plus en plus grands, mais il ne voyait toujours rien puisqu’il n’y avait rien. « Grands dieux ! se disait-il, serais-je un sot ? Je ne l’aurais jamais cru et il faut que personne ne le sache ! Remplirais-je mal mes fonctions ? Non, il ne faut surtout pas que je dise que je ne vois pas cette étoffe. » Eh bien ! vous ne dites rien ? dit l’un des artisans. Oh ! c’est vraiment ravissant, tout ce qu’il y a de plus joli, dit le vieux ministre en admirant à travers ses lunettes. Ce dessin ! … ces couleurs ! …

Oui, je dirai à l’empereur que cela me plaît infiniment. Ah ! nous en sommes contents. Les deux tisserands disaient le nom des couleurs, détaillaient les beautés du dessin. Le ministre écoutait de toutes ses oreilles pour pouvoir répéter chaque mot à l’empereur quand il serait rentré, et c’est bien ce qu’il fit. Les escrocs réclamèrent alors encore de l’or et encore des soies et de l’or filé. Ils mettaient tout dans leurs poches, pas un fil sur le métier, où cependant ils continuaient à faire semblant de travailler.

Quelque temps après, l’empereur envoya un autre fonctionnaire important pour voir où on en était du tissage et si l’étoffe serait bientôt prête. Il arriva à cet homme la même chose qu’au ministre, il avait beau regarder, comme il n’y avait que des métiers vides, il ne voyait rien. N’est-ce pas là une belle pièce d’étoffe ? disaient les deux escrocs, et ils recommençaient leurs explications. « Je ne suis pas bête, pensait le fonctionnaire, c’est donc que je ne conviens pas à ma haute fonction. C’est assez bizarre, mais il ne faut pas que cela se sache. »

Il loua donc le tissu qu’il ne voyait pas et les assura de la joie que lui causait la vue de ces belles couleurs, de ce ravissant dessin. C’est tout ce qu’il y a de plus beau, dit-il à l’empereur. Tous les gens de la ville parlaient du merveilleux tissu. Enfin, l’empereur voulut voir par lui-même, tandis que l’étoffe était encore sur le métier.

Avec une grande suite de courtisans triés sur le volet, parmi lesquels les deux vieux excellents fonctionnaires qui y étaient déjà allés, il se rendit auprès des deux rusés compères qui tissaient de toutes leurs forces – sans le moindre fil de soie. N’est-ce pas magnifique, s’écriaient les deux vieux fonctionnaires, que Votre Majesté admire ce dessin, ces teintes. Ils montraient du doigt le métier vide, s’imaginant que les autres voyaient quelque chose.

« Comment ! pensa l’empereur, je ne vois rien ! Mais c’est épouvantable ! Suis-je un sot ? Ne suis-je pas fait pour être empereur ? Ce serait terrible ! Oh ! de toute beauté, disait-il en même temps, vous avez ma plus haute approbation. » Il faisait de la tête un signe de satisfaction et contemplait le métier vide. Il ne voulait pas dire qu’il ne voyait rien. Toute sa suite regardait et regardait sans rien voir de plus que les autres, mais ils disaient comme l’empereur : « Oh ! de toute beauté ! » Et ils lui conseillèrent d’étrenner l’habit taillé dans cette étoffe splendide à l’occasion de la grande procession qui devait avoir lieu bientôt. Magnifique ! Ravissant ! Parfait ! Ces mots volaient de bouche en bouche, tous se disaient enchantés.

L’empereur décora chacun des deux escrocs de la croix de chevalier pour mettre à leur boutonnière et leur octroya le titre de gentilshommes tisserands. Toute la nuit qui précéda le jour de la procession, les escrocs restèrent à travailler à la lueur de seize chandelles. Toute la ville pouvait ainsi se rendre compte de la peine qu’ils se donnaient pour terminer les habits neufs de l’empereur. Ils faisaient semblant d’enlever l’étoffe de sur le métier, ils taillaient en l’air avec de grands ciseaux, ils cousaient sans aiguille et sans fil, et à la fin ils s’écrièrent :

Voyez, l’habit est terminé ! L’empereur vint lui-même avec ses courtisans les plus haut placés. Les deux menteurs levaient un bras en l’air comme s’ils tenaient quelque chose : Voici le pantalon, voici l’habit ! voilà le manteau ! et ainsi de suite. C’est léger comme une toile d’araignée, on croirait n’avoir rien sur le corps, c’est là le grand avantage de l’étoffe. Oui oui, dirent les courtisans de la suite, mais ils ne voyaient rien, puisqu’il n’y avait rien.

L’empereur enleva tous ses beaux vêtements et les escrocs firent les gestes de lui en mettre. Dieu ! comme cela va bien
 ! Comme c’est bien pris, disait chacun. Quel dessin, quelles couleurs, voilà des vêtements luxueux. Les chambellans qui devaient porter la traîne du manteau de cour tâtonnaient de leurs mains le parquet et les élevaient ensuite comme s’ils ramassaient cette traîne. C’est ainsi que l’empereur marchait devant la procession sous le magnifique dais, et tous ses sujets s’écriaient :

Dieu ! que le nouvel habit de l’empereur est admirable. Personne ne voulait avouer qu’il ne voyait rien, puisque cela aurait montré qu’il était incapable dans son emploi, ou simplement un sot. Jamais un habit neuf de l’empereur n’avait connu un tel succès. Mais il n’a pas d’habit du tout ! cria un petit enfant dans la foule. Grands dieux ! entendez, c’est la voix de l’innocence, dit son père. Et chacun de chuchoter de l’un à l’autre :

Il n’a pas d’habit du tout … Il n’a pas d’habit du tout ! cria à la fin le peuple entier. L’empereur frissonna, car il lui semblait bien que tout son peuple avait raison, mais il pensait en même temps qu’il fallait tenir bon jusqu’à la fin de la procession. Il se redressa encore plus fièrement, et les chambellans continuèrent à porter le manteau de cour et la traîne qui n’existait pas.

(Andersen, les habits neufs de l’empereur)

Copulas, Publications

Convergence of Archimedean Copulas

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The paper on Convergence of Archimedean Copulas, with Johan Segers, just appeared, in Statistics and Probability Letters.

Convergence of a sequence of bivariate Archimedean copulas to another Archimedean copula or to the comonotone copula is shown to be equivalent with convergence of the corresponding sequence of Kendall distribution functions. No extra differentiability conditions on the generators are needed.