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known knowns, known unknowns and unknown unknowns

ou l’histoire du quantitative risk management. Mercredi soir, je ferais un exposé lors de la biennale d’art contemporain, au couvent des Jacobins, ici.

L’exposé devrait commencer,  a priori, par une discussion autour de l’origine des probabilités. On commencera par se demander  pourquoi la théorie des probabilités est née aussi tard. Si les jeux de hasard dont très anciens, il a fallu attendre le XVIIIème siècle pour que naisse réellementle calcul des probabilités. Une explication simple peut toutefois être avancée. Quand on pense aux probabilités, on pense aux jeux de dés, ou aux jeux de cartes, qui sont généralement les premiers exemples que l’on introduit au lycée pour parler de probabilités. Or historiquement, les premiers dés (ou encore plus tôt les osselets, et autres astragales) sont mentionnés en Inde, en Egypte mais surtout à Rome.

Or en sciences, la recherche de “loi” signifie que l’on cherche “un rapport immuable entre plusieurs grandeurs“. Et s’il nous paraît évident qu’avec un dé, on a 1 chance sur 6 d’obtenir un “4” en le lançant, ce n’était pas vraiment le cas avec ces premiers dés, qui étaient très irréguliers.

 

Cette particularité physique fait qu’il ne pouvait exister de loi de probabilités. Une autre raison souvent invoquée est que la seule loi qui pouvait
régir le hasard était la loi divine. Bref, il a fallu attendre le XVIIème et surtout le XVIIIème siècle pour voir arriver le calcul des probabilités. Étrangement, cela correspond à la naissance des jeux de cartes. Le plus vieux jeu connu est un jeu chinois, datant de 1400, mais c’est surtout à l’époque de la révolution que les jeux de cartes se sont popularisés. Les jeux étant plus réguliers que les vieux dés, les calculs de probabilités étaient alors possibles….
https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso/galton_gauss.jpgNous aborderons ensuite la naissance des tables de mortalités, et de l’assurance vie, pour finir avec la finance. Pour pouvoir bien comprendre les problématiques du monde financier, il sera important de revenir un peu sur la loi normale. Cette loi, souvent appelée loi de Gauss, a été obtenue par de très nombreux mathématiciens, initialement comme limite d’un modèle binomial, visualisé sous la forme d’une “planche de Galton“. Nous verrons comment cette loi s’est imposée dans les modèles financiers, alors qu’elle ne semble définitivement pas y être à sa place…. en tous les cas si l’on s’intéresse à des problèmes de gestion des risques.
Enfin, l’exposé devrait se terminer sur les blacks swan, et autres unknown unknown, ou comment appréhender des risques pour lesquels on ne dispose pas de probabilités. Nous parlerons alors d’ambiguïté, de probabilités subjectives, et de “nouveaux risques“…

There are known knowns. There are things we know that we know….

Après la publication de l’opuscule ce qui vient à nous, i.e. le premier volet du catalogue de la Biennale d’Art Contemporain (ici), le second opuscule ce qui devient a été mis en ligne voilà 15 jours (ici), et finalement, le troisième – ce qui survient – vient d’être mis en ligne ce week-end (). J’en parle parce que Julien Prévieux y a repris une interview que nous avions enregistré il y a quelques semaines, où nous discutions de la gestion des risques, des catastrophes improbables, et de la prédiction du futur en environnement incertain… Une expérience géniale, d’autant plus que Julien a une culture fabuleuse sur ces sujets, et surtout un œil très différents des chercheurs académiques, des étudiants, ou des praticiens de l’assurance ! Les discussions qu’on a pu avoir ont beaucoup nourri ma réflexion sur la prédiction des catastrophes, ceux qui survolent régulièrement le blog ont du s’en rendre compte !

La suite à l’ouverture de la biennale, avec en particulier le travail de Goldin & Senneby….

PS pour les amateurs, la vidéo dont est extrait le titre est en ligne ici,

Le bagplot, comme extension du boxplot

Lundi 15, Michel Grun Rehomme avait présenté les travaux qu’il avait obtenu avec Noureddine Ben Lagha sur des problèmes d’écrêtement de coûts de sinistres, que l’on peut rapprocher de la détection de points atypiques, ou outliers. Ce matin, Alexander McNeil nous a rappelé que les bagplot pouvaient être très intéressants en gestion des risques (mentionné ici). Je ne peux pas m’empêcher de revenir un petit peu sur cette notion, en m’écartant des applications financières proposées par Alexander pour proposer des applications en démographie et en climatologie (inspiré par des travaux de Rob Hyndman).

  • Le boxplot et la régression quantile

Un outil classique (en dimension 1) est le boxplot, proposé par John Tukey en 1977. Par exemple, sur les coûts de sinistres en assurance auto, on obtient

On peut aussi faire un boxplot par classes (ou tranches) d’âge,

qui correspond, en passant à la limite (i.e. en considérant l’âge comme une variable continue), à un ensemble de régressions quantiles.

On peut aussi regarder l’impact de l’ancienneté du véhicule (à la souscription du contrat) sur le coût individuel des sinistres,

avec en rouge la régression (linéaire) du log du coût sur l’âge du véhicule. Là aussi, on peut faire des régressions quantiles,

Le code pour obtenir les régressions quantiles lissées est assez simple, une fois installé les library(quantreg) et library(splines),

> library(quantreg);  library(splines)
> fit = rq(log(cout)~bs(agecond,df=8),data=BASECOUT,tau=.5)
> xu=seq(10,110)
> yu=predict(fit,newdata=data.frame(agecond=xu))
> lines(xu,yu,col="red",lwd=2)

Cette notion a été généralisée en multivariée sous le nom de bagplot. Par exemple, pour déterminer la “médiane” en dimension 2, on va recherche un ensemble (appelé bag) contenant 50% des observations.

  • La profondeur

Cela se fait à l’aide du concept de profondeur statistique, introduite par John Tukey en 1975. En dimension 1, si

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-01.png

désigne la fonction de répartition, la “profondeur de demi-espace” s’écrit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-02.png

qui est maximal pour la médiane (on obtient alors https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-03.png). Plus généralement, pour un quantile d’ordre https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-04.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-05.png

Cette notion se généralise en dimension supérieure en posant

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-06.png

On notera que Fraiman et Muñiz ont proposé une extension en 2001. S’il n’y a pas d’ex-aequos, en dimension 1,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-07.png

qui appartient à https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-08.png, et dont la médiane est la plus profonde. Liu a proposé une profondeur dite simpliciale en 1984,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-09.png

D’un point de vue statistique, la fonction de répartition est inconnue, mais on dispose de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-10.png. On note alors https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-11.png l’équivalent empirique de la profondeur. En dimension 2, ça sera https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-12.png où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-13.png. La méthode de construction est détaillée ci-dessous,

  • Construction d’un bagplot

Pour cela, on note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-14.png le plus petit nombre d’observations contenu dans un demi plan passant par https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-15.png. On note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-16.png l’ensemble des points https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-15.png tels que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-17.png contienne au moins https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bag-18.png points. On notera qu’on peut montrer que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/b ag-20.png, et que ces régions sont convexes. Rousseeuw et Ruts ont proposé un algorithme permettant de construire un tel ensemble de région en 1998. Sur l’exemple suivant, on considère 20 points en dimension 2,

Notons qu’en changeant de méthode, on obtient des résultats qui peuvent être très changeant.

> library(mnormt)
> Z=rmnorm(20,mean=c(0,0),varcov=matrix(c(1,.6,.6,1),2,2))
> source("http://www.wiwi.uni-bielefeld.de/~wolf/software/R-wtools/bagplot/bagplot.R")
> bagplot(Z,factor=1,dkmethod=1)
> bagplot(Z,factor=1,dkmethod=2)

 

La méthodologie a été proposée par Rousseeuw, Ruts et Tukey en 1999 (ici).

  • Copules Gaussiennes, versus copules de Clayton

On peut essayer de voir si les bags changent de forme lorsque la copule sous-jacente change. L’exemple suivant montre le bagplot d’un vecteur gaussien,

alors que l’exemple suivant montre le bagplot pour une copule duale de Clayton, avec des marges Gaussiennes.

Dans le premier cas, on retrouve que les bagplots ressemblent des ellipses (ce qui correspond à ce que j’avais raconté ici sur les ellipses de confiance). On retrouve cette ellipse sur le graphique dessous, avec 5000 points (simulés) au lieu de 200,

pour la copule Gaussienne, et

pour la copule de Clayton. La petite animation ci-dessous montre l’évolution des bag en fonction de la corrélation du vecteur Gaussien,

  • Illustration sur les données Loss-ALAE

Considérons la base (célèbre) des coûts de sinistres, et des frais associés.

 

>  library(evd); data(lossalae)

La figure ci-contre montre l’échantillon de 1500 points, avec le logarithme des coûts, et le logarithme des frais. Classiquement, on s’intéresse à la loi conditionnelle des frais sachant le coût du sinistre. On peut alors tracer des boxplot conditionnels (comme pour le coût des sinistres conditionnels à l’âge du véhicule),

Mais l’idée des bagplot est sensemblement différentes. On s’intéresse véritablement au couple de variables.

  • Du bagplot fonctionnel

Rob Hyndman a également utilisé ces méthode de bagplot quand la taille devient infiniment grande, i.e. dans un cadre fonctionnel. Par exemple, on peut utiliser cette technique pour détecter des années atypiques sur des évolutions de température, ou dans un ajustement de modèle de type Lee-Carter en mortalité. Ces deux cas sont abordées par Rob Hyndman dans la library(rainbow). Pour faire simple et rapide, on peut définir une profondeur fonctionnelle,

Pour commencer, on peut regarder les température moyenne mensuelles de la température à la surface de la mer, entre 1951 et 2007, obtenue ici.

On note que 4 années se détachent des autres, 1982/1983 et 1997/1998, qui sont particulièrement élevées, mais pas seulement. Certaines semblent décallées de quelques mois. Le code est ici simplement

 

> library(rainbow)
> fboxplot(data = ElNino, plot.type = "functional", type = "bag")
> fboxplot(data = ElNino, plot.type = "bivariate", type = "bag")

Dans le cas des données démographiques, il faut bricoler un peu. Repartons des données français que nous avons étudiées plus d’une fois,

> DEATH=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/R/FR-Deaths_1x1.txt",header=TRUE)
> EXPOSURE=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/R/FR-Exposures_1x1.txt",header=TRUE)
> DEATH$Age=as.numeric(as.character(DEATH$Age))
> DEATH$Age[is.na(DEATH$Age)]=110
> EXPOSURE$Age=as.numeric(as.character(EXPOSURE$Age))
> EXPOSURE$Age[is.na(EXPOSURE$Age)]=110
> YEAR=unique(DEATH$Year);nC=length(YEAR)
> AGE =unique(DEATH$Age);nL=length(AGE)
> rownames(MUH)=AGE
> colnames(MUH)=YEAR
> rownames(MUF)=AGE
> colnames(MUF)=YEAR
> MUH=MUH[1:90,]
> MUF=MUF[1:90,]
> MUHF=fts(x = AGE[1:90], y = log(MUH), xname = "Age", 
+          yname = "Log Mortality Rate")
> MUFF=fts(x = AGE[1:90], y = log(MUF), xname = "Age", 
+          yname = "Log Mortality Rate")
> fboxplot(data = MUHF, plot.type = "functional", type = "bag")
> fboxplot(data = MUHF, plot.type = "bivariate", type = "bag")


avec un code similaire pour les femmes. Le graphique suivant montre l’évolution des taux de mortalité des hommes en fonctions de leur âge, pour différentes années,

On observe que certaines années se détachent assez nettement, en particulier sur les âges allant de 15 à 40 ans. Comme le montre le graphique à gauche, ce sont les années de guerre qui ressortent fortement (surtout la première guerre mondiale). Pour les femmes, l’évolution des taux de mortalités en fonction des âges semble en revanche beaucoup plus régulière, puisqu’aucune année atypique ne semble ressortir,

Ceci se confirme sur le graphique de droite, où, contrairement aux hommes, aucune année ne semble réellement se détacher. Notons qu’au lieu de chercher des années atypiques, on peut chercher faire une lecture duale, en cherchant les âges qui se ont eut un changement en terme d’évolution du taux de mortalité sur un siècle différent. Par exemple pour les femmes, les taux de mortalité ont l’évolution suivante au cours du siècle,

ce qui permet de repérer quelques âges un peu atypiques, i.e. les bébés, qui ont eu un gain en terme de taux de mortalité considérable, relativement aux autres âges. En revanche, pour les hommes, il n’y a pas particulièrement d’âge qui soit statistiquement différent des autres,

  • Applications en terme de stress scenarios

Nous avons vu qu’il y avait presque toujours (pour les hommes comme pour les femmes) des outliers, i.e. des courbes atypiques. Il serait donc normal de s’attendre à en trouver dans les scénarios de prédiction. Les bagplot sont alors un outils intéressant. Si on regarde les prédictions obtenues par la méthode de Lee & Carter par exemple, ou plutôt des scénarios générés par la méthode de Lee & Carter,

> LCH <- fdm(BASEH,order=10)
> LCHf=forecast(LCH,100,method="ets")
> LCHg=simulate(LCHf,1)
> LCHg1=as.matrix(LCHg[,,1])
> MUHf=LCHg1[1:90,]
> MUHF=fts(x = AGE[1:90], y = log(MUHf), xname = "Age",
+         yname = "Log Mortality Rate")
> library(rainbow)
> fboxplot(data = MUHF, plot.type = "functional", type = "bag")
> fboxplot(data = MUHF, plot.type = "bivariate", type = "bag")

On peut alors identifier clairement des années atypiques – pour un scenario donné. Bref, on a un outils pour vérifier que l’on génère effectivement des points atypiques, un peu extrêmes, mais surtout, on peut les identifier. On peut alors creuser un peu pour mieux comprendre ce qui se passe….

Pour aller plus loin sur ces histoires de bagplot et aux régressions quantiles, je renvoie ici ou (Thierry Roncalli avait remis la régression quantile au goût du jour il y a quelques années, à l’époque où je programmais encore en Gauss, je renvoie aussi ici pour des applications financières).

  • Les quantiles bivariés

En fait, le point de départ du billet était très lié d’une notion qui méritera un autre billet: comment définir des quantiles (et plus généralement des mesures de risques) dans un cadre multivarié….

Discussion on stress scenarios

Friday morning, I had the honor to discuss a presentation by Alexander McNeil, on Stress Testing and Reverse Stress Testing, at the Financial Risks International Forum on Risk Dependencies (here).

This was an opportunity to rediscover techniques I have studied briefly a few years ago, on outliers detection, namely the bagplot (I will probably upload a post on that topic soon, in French unfortunately). The slides of my discussion are available here.

http://freakonometrics.hypotheses.org/5338

On the return period of the 2003 heat wave

The paper on the 2003 heat wave has been submitted a few months ago, and now, the preprint can be downloaded (here for the preprint version, or here on Hal). The paper has a long story, that I will probably summarize here, some day…

Extremal events are difficult to model since it is difficult to characterize formally those events. The 2003 heat wave in Europe was not characterized by very high temperatures, but mainly the fact that night temperature were no cool enough for a long period of time. Hence, simulation of several models (either with heavy tailed noise or long range dependence) yielddifferent estimations for the return period of that extremal event. 

The paper has been presented in several conferences, in started a couple of days after the birth of Romane, in March 2005, in talks on dependencies in environmental series….

Category-based Tail Comovement

Christophe gave a talk at EM Lyon at the end of February at the Journées de Finance Inter-Ecoles de Commerce 2010 (here), about “Category-Based Tail Comovement“. I have uploaded Christophe’s slides here. The abstract of the joint paper (writen also with Emilios Galariotis) is the following, traditional financial theory predicts that comovement in asset returns is due to fundamentals. An alternative view is that of Barberis and Shleifer (2003) and Barberis, Shleifer and Wurgler (2005) who propose a sentiment based theory of comovement, delinking it from fundamentals. In their paper they view comovement under the prism of the standard Pearson’s correlation measure, implicitly excluding extreme market events, such as the latest financial crisis. Poon, Rockinger and Tawn (2004) have shown that under such events di¤erent types of comovement or dependence may co-exist, and make a clear distinction between the four types of dependence: perfect dependent, independent, asymptotically dependent and asymptotically independent. In this paper we extend the sentiment based theory of comovement so as to cover the whole spectrum of dependence, including extreme comovement such as the one that can be observed in …nancial crises. One of the key contributions of this paper is that it formally proves that assets belonging to the same category comove too much in the tail and reclassifying an asset into a new category raises its tail dependence with that category“.

Les modèles en réassurance

Publication d’un papier sur les modèles en réassurance dans la revue Risques (ici), suite à un questionnement sur la pertinence des modèles classiques utilisés par les réassureurs. La question initiale était partie de la constatation – que l’on retrouve ici ou – sur l’utilisation (ou la mauvaise utilisation) de modèles sophistiques en finance de marché, en essayant d’expliquer que – d’un point de vue épistémologique au moins – les modèles des réassureurs étaient plus robustes. En particulier, on notera que les modèles les plus anciens utilisés par les réassureurs (en particulier la loi de Pareto comme je l’avais évoqué ici) ont eu une légitimité pratique durant plusieurs décennies avant d’être justifiés par la théorie des valeurs extrêmes. Je ferais d’ailleurs bientôt un billet sur l’histoire des valeurs extrêmes en statistiques, en revenant en particulier sur les travaux de Gumbel ou de Fréchet.

Sinon le code utilisé dans le papier est en ligne ici, et la base

> sinpe = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/sinpe.csv",header=TRUE,sep=";")
> head(sinpe)
      DSUR  MNTPE
1 19850206 240439
2 19851228 125674
3 19850504 488331
4 19851118 457347
5 19850220 990919
6 19851214 182939
> annee=as.numeric(substr(as.character(sinpe$DSUR),1,4))
> sinistres=sinpe$MNTPE[annee>1992]
> XS=sinistres/100000

On se limite ici aux sinistres survenus après 1992. Si l’on visualise ces montants de sinistres, on obtient

> datesur=as.Date(as.character(sinpe$DSUR),"%Y%m%d")
> jour=datesur[annee>1992]
> plot(jour,sinistres/100000,xlab="",ylab="Coût individuel",cex=.5,ylim=c(0,600))
> ded=50
> abline(h=ded)

On peut aussi faire le graphique Pareto-log-log,

> library(evir)
> n=length(X)
> plot(log(sort(X)),log((n:1)/(n+1)),
+ xlab="Coûts des sinistres (logarithme)",ylab="Fonction de survie (logarithme)",cex=.8)
> out <- gpd(XS, 15)
> XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
> x0=seq(2,8,.01)
> lines(x,-1/XI*(x-log(15)),col="red")

(l’ajustement de la loi de Pareto permettant de tracer la droite rouge) ou encore visualiser l’estimateur de Hill de l’indice de queue,

> hill(X)

Pour finir, le code suivant permet de calculer la prime pure (ou plus généralement une prime de Wang) soit de manière non-paramétrique (burning cost) ou bien en utilisant l’ajustement d’une loi de Pareto. Le papier étant un papier de vulgarisation, j’ai pris le seuil de manière arbitraire, sans aucune recherche de valeur “optimale”

> DEDUC = seq(10,50,by=5)
> lambda=0;  seuil=5
> WG1=WG2=rep(NA,length(DEDUC))
> for(k in 1:length(DEDUC)){
+ deductible=DEDUC[k]
+ out <- gpd(XS, seuil)
+ XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
+ G0=function(x){1-pgpd(x+seuil, xi = XI, mu = seuil, beta = BETA)}
+ G=function(x){(G0(x+deductible-seuil))/(G0(deductible-seuil))}
+ F=function(x){pnorm(qnorm(G(x))+lambda)}
+ (wang1=integrate(F, 0, Inf))
+ X=XS[XS>deductible]
+ n=length(X)
+ FS= function(z){
+ m=rep(NA,length(z))
+ for(i in 1:length(m)){
+ m[i]=sum(X>z[i]+deductible)/n}
+ return(m)
+ }
+ G=function(x){pnorm(qnorm(FS(x))+lambda)}
+ (wang2=sum(G(seq(0,800,.01))*.01))
+ WG1[k]=as.numeric(wang1$value)
+ WG2[k]=wang2
+ }
> plot(DEDUC,WG2-DEDUC,type='b',xlab="Niveau de la priorité ('00 000 euros)",ylab="Prime pure par sinistres réassuré",ylim=c(0,50))
> lines(DEDUC,WG1-DEDUC,type='b',col="red",pch=4)
> legend(10,50,c("Aujustement d'une loi de Pareto","'Burning cost'"),
+ col=c("red","black"),lty=1,cex=.8,pch=c(4,1))

Modeling dynamic incentives: application to basketball

La page des séminaires au CREM, à Rennes, est mise jour (ici). Je présenterais donc le février prochain le papier que nous écrivons avec Nathalie Colombier sur Modeling dynamic incentatives: application to basketball. Le résumé viendra rapidement. Pour comprendre la finalité du papier, je renvoie à cette phrase du grand philosophe Jean-Claude Dusse, “bon, dans 10 minutes je nous considère comme définitivement perdus“. Dans le contexte des matchs de baskets aux Etats-Unis, nous nous demanderons à partir de quand l’équipe pense que le match est “définitivement perdus“.

Talk on tail dependence in solvency II at ESSEC

I will be giving a talk at ESSEC (in La Défense) on Thursday morning, on “extremes and dependence in the context of Solvency II for insurance companies“. Slides are already available here.

With Solvency II, insurance companies need to get a better understanding about correlations between different lines of business, especially when about extremal correlation since the interest is about solvency.
For instance, QIS3 reports explains that
“In view of the insufficiency of currently available data, the setting of these correlation coefficients will necessarily include a certain degree of judgment. This is also true because, when selecting correlation coefficients, allowance should be made for non-linear tail correlation, which is not captured under a ?pure? linear correlation approach. To allow for this, the correlations used should be higher than simple analysis of relevant data would indicate.”
In this talk will discuss tail dependence, and the link between tail dependence and risk measures of aggregate risks.

At the same time, in Rennes, Benoît le Maux will be presenting our paper on “insuring natural catastrophes: should government intervene ?“. Since the work is still in progress, and not submited, I will not upload the slides… but the paper should be finished soon.

Emerging risks, an actuarial perspective

Talk at the conference assessment and mitigation of emerging risks, at the conference organized by the AXA Chair on Large Risks in Insurance (Ecole Polytechnique, ENSAE, Paris Dauphine), through the help of Johanna Etner (Université Paris 5), Meglena Jeleva (Université du Maine), Stéphane Rossignol Université Paris 5), Jean-Marc Tallon (Paris School of Economics, Université Paris 1). The conference at the Institut Louis Bachelier, Palais Brongniart. I have uploaded my slides there.

Additional material can be found here and there: the KPMG report on asbestos can be found here, the OECD report on emerging risks there, and  the book by Joel Cohen,  Kenneth Manton and Eric Stallard can be downloaded here. Finally a lot of interesting documents can be found on the Lloyd’s website, with realistic disaster scenarios (here) or on nanotechnology (there). And to conclude on emerging risks, I let Donald say what unknown risks are,

De la pérennité des systèmes de retraites

Exposé au R.I.S.K. Symposium à la Caisse des Dépôts à Paris, sur le fonctionnement des systèmes de retraites, dans une table ronde sur “Conditions de pérennité du système des retraites”.

J’étais invité à une table ronde avec David Adam (de la Banque de France) et Frédéric Planchet (de Winter et associés). Je continue à m’interroger sur ma légitimité dans un tel débat (face à des interlocuteurs qui connaissent mille fois mieux le sujet que moi), mais il y a bien un ou deux points sur lesquels je devrais pouvoir rebondir. Enfin j’espère. En tous les cas, mes slides sont ici.

Le thème de la journée (qui s’articulera autour de quatre tables rondes) sera la “résilience” (comme le montre le flyer que j’ai reproduit en haut). Pour ceux qui ne connaissent pas ce mot (j’en faisait partie jusqu’à ce qu’on me demande de participer à des exposés sur ce sujet), il s’agit de “la capacité des sociétés, des institutions et de l’opinion à encaisser des chocs et à rétablir un fonctionnement normal de la vie courante“, pour reprendre les termes de Jean Claude Mallet dans un livre blanc sur la sécurité et la défense nationale, publié en 2008.

En fait, ce qui m’a surpris en tant qu’économiste (je ne reviendrais pas sur le débat initié sur certains blogs pour savoir si oui ou non j’étais un économiste), c’est le parallèle tellement simple que l’on peut faire entre les interrogations sur les systèmes de retraites, et le débat qui a lieu ces jours-ci sur le réchauffement climatique. Ou comment piloter sur du très long terme quand on a du mal à faire des prévisions à un tel horizon. D’ailleurs sur le climat, je renvoie en particulier vers le rapport Stern (ici ou ) sur la problématique de l’actualisation (qui se retrouve à l’identique dans la problématique du pilotage des systèmes de retraites). Bref, pour ceux qui veulent ces choses intelligentes sur le sujet, rien ne sert de venir m’écouter parler, je peux renvoyer vers Charpentier (2009). Mais je ne pourrais pas faire illusion longtemps: il s’agit d’un travail remarquable (je trouve) de François Charpentier – avec qui je ne crois pas avoir de lien de parenté (proches en tous les cas).

Peut on faire l’économie du formalisme quand on parle d’extrêmes ?

Tous les blogs économiques saluent la parution en poche du joli petit livre de Daniel Zajdenweber, Economie des Extrêmes. En particulier, beaucoup de monde salue ce livre qui explique simplement des choses complexes…. Par exemple Alexandre dès 2001 “Passé le premier chapitre, un peu ardu, et qui nécessite du lecteur des connaissances de base en statistique et probabilités (notion de lois de probabilité, d’espérance, de variance…) qui décrit en termes littéraires les caractéristiques de ces lois, l’auteur applique ces résultats à un grand nombre de phénomènes concrets, et en tire les conséquences“. Mais peut-on parler d’économie des extrêmes sans être technique ?

Histoire que mon message ne soit pas déformé, je trouve passionnant ce petit livre introductif à la problématique des risques extrêmes (qui est un de mes dadas depuis quelques années) mais j’espère qu’il servira d’encouragement à une lecture d’ouvrages plus détaillés sur le sujet. Car la vulgarisation a des limites que l’on atteint vite quand on parle de sujets aussi complexes.

L’exemple que j’ai le plus étudié est celui des sinistres de perte d’exploitation (longuement évoqué par Daniel Zajdenweber dans son livre). Il y a quelques années j’avais utilisé cette partie du livre comme base pour faire un sujet d’examen pour le cours de “réassurance et grands risques” que je donnais alors à l’ENSAE1. Et malheureusement, mes compétences littéraires sont très limitées, donc je vais faire des maths. Dans le livre, la figure suivante est présentée,

qui correspond effectivement à la fonction tracée dès 1925 par Karl Gustav Hagstroem (j’avais souligné (ici) ses travaux précurseurs où l’intérêt de la loi de Pareto pour modéliser les très grands riques apparaissait pour la première fois). C’est en effet assez naturel: si on a une loi de Pareto, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z01.png

alors on pourrait écrire, en passant au logarithme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z02.png

Si on représente la version empirique, c’est à dire le nuage de points

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z03.png

alors pour une loi de Pareto, les points devraient être alignés suivant une droite, et la pente doit correspondre au paramètre de la fonction puissance. C’est visiblement l’idée exploitée ici.

Autrement dit, les pointillés ne sont un intervalle de confiance, mais juste un outils graphique pour se demander si la pente vaut 1, ou pas. Daniel Zajdenweber affirme que la pente doit ici être -1.

Le fait que la valeur soit unitaire ou pas a en effet un impact très important en terme d’assurabilité du risque de perte d’exploitation. Rappelons que pour une variable positive (et c’est le cas ici). Et si on a une telle loi de Pareto (de puissance unitaire), alors la prime pure d’un traité de réassurance, couvrant entre m et M s’écrit

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soit

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ce qui correspond aux calculs de Daniel Zajdenweber… Mais encore une fois “l’absence d’espérance mathématique de la distribution des sinistres” est une conclusion très forte sur laquelle on peut essayer de revenir.

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aussi ici

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autrement dit, l’espérance est finie si la pente est strictement plus grande (en valeur absolue) que 1. Si la pente est inférieure (ou égale) à 1, le risque n’est pas assurable ! Ce qui est une conclusion très très forte pour les assureurs.
J’ai donc demandé à la FFSA la base de données utilisée ici, et pour éviter des problèmes d’inflation des coûts de sinistres entre 1992 et 2000. Si je prends tous les sinsitres, on obtient l’ajustement de Pareto suivant

soit une pente (en valeur absolue de 1.47). Mais encore une fois, l’ajustement de Pareto se fait sur les grands sinistres. Hill a proposé un estimateur très populaire pour estimer ce coefficient, où on ne prend en compte que les k observations les plus grandes, et on regarde l’estimation de la pente du graphique de Pareto pour ces quelques valeurs. On représente alors l’estimation en fonction du nombre de grands sinistres, ou du seuil définissant les graphs sinistres. Numériquement, en posant

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on peut écrire comme estimateur de la pente

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soit, en simplifiant le numérateur,

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tel que l’a construit Hill en 1975. Graphiquement, on a ici

Bref, la question est ce savoir si on atteint la valeur 1 pour les grands sinistres. Graphiquement, on a malgré tout envie de rejeter cette hypothèse.
Une solution peut être de faire un test statistique, basé sur de ratio de vraisemblance, comme le suggèrent Reiss & Thomas (2001) or Coles (2001). En fait, on peut même utiliser d’autres estimateurs que celui de Hill, comme celui obtenu en faisant un ajustement de loi GPD (Pareto généralisée
) sur la loi des Excès, ou une loi GEV sur des maximas par blocs (Generalized Extreme Value). On introduit alors la statistique de test suivante

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et on regarde les p-value (ainsi que la correction de Bartlett à droite),

On peut aussi, plus simplement, estimer plusieurs coefficients de pentes pour des seuils différents, et regarder la borne supérieure de l’intervalle de confiance,

Bref, même si avec un des ajustements de loi GPD on hésite à retenir une pente unitaire, la plupart des tests rejettent cette hypothèse, et donc le risque de perte d’exploitation semble être assurable, d’espérance mathématique finie. Bref, les dessins c’est très bien pour faire passer une idée, mais ne retenir que ça pour en tirer des conclusions aussi fortes me laisser sceptique….

JEEA, première journée

Les Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance (ou les “premières” journées pour reprendre un lapsus qui décidément aura marqué) ont commencé ce matin. Cette première journée comptait un peu moins d’une centaine de participants. Je mettrais en ligne les slides des exposés sur le site des JEEA (http://jeea.univ-rennes1.fr/)

La suite demain matin, toujours Amphi 2, à la faculté de Sciences Eco…

Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance

Réjouissons nous un peu, le programme des Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance, qui seront organisées à Rennes dans un peu moins de deux mois, est enfin fixé (et se trouve ici pour plus de détails) !
Jeudi matin, le 22 octobre, on commence par deux exposés sur le provisionnement et le risk-management, avec Emmanuuel Pierron du Group Risk Management d’AXA, et Klaus Schmidt de l’université de Dresde. Emmanuel parlera du calcul des provisions dans une optique Solvabilité II et Klaus de l’utilisation du modèle linéaire en provisionnement.
Ensuite, un exposé un peu transversal de Georges Dionne, de HEC Montréal, qui parlera d’économétrie de panels et d’aléa moral.
L’après midi, on attaquera avec 3 interventions sur les grands risques, avec Emmanuel Dubreuil de AON Benfield, puis Nicolas Treich de Toulouse et enfin Robert Kast de Montpellier. Emmanuel reviendra sur la titrisation des grands risques, Nicolas sur l’auto-assurance, et Robert sur la modélisation des catastrophes naturelles.
Le lendemain, le vendredi 23, on commence avec deux exposés sur l’assurance-vie et les risques de longévité/mortalité, avec Olivier Cabrignac de la SCOR et Stéphane Loisel de l’ISFA. Olivier reviendra sur l’assurabilité du risque de longévité, et Stéphane sur la modélisation de ces risques.
Ensuite, 3 interventions sont prévues autour de l’économie de l’assurance, de l’antisélection et de l’aléa moral. On commencera (avant d’aller manger) avec Pierre Picard, de l’Ecole Polytechnique, puis l’après midi, avec Renaud Legal de la Caisse d’Assurance Maladie, et enfin Pierre-Yves Geoffard de PSE. Pierre parlera des contrats avec participations, Renaud reviendra sur l’aléa moral et l’antisélection en assurance santé, et enfin Pierre-Yves conclura avec une application économétrique.
Bref, le programme est fixé, seuls les noms de présidents de session sont encore à finaliser…
Sinon je rappelle que l’inscription est certes gratuite, mais obligatoire, et elle se fait ici.