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Arthur Charpentier, professor in Montréal, in Actuarial Science. Former professor-assistant at ENSAE Paristech, associate professor at Ecole Polytechnique and assistant professor in Economics at Université de Rennes 1.  Graduated from ENSAE, Master in Mathematical Economics (Paris Dauphine), PhD in Mathematics (KU Leuven), and Fellow of the French Institute of Actuaries.

Intervalle de confiance pour une proportion

Je voulais poster un petit billet puisque c’est la deuxième fois que l’on me pose une question similaire. Pour déterminer un intervalle de confiance pour une proportion, on connaît tous la formule

La question qui m’avait été posée est simple: que se passe-t-il si n est petit, et si – empiriquement – on a trouvé une proportion de 100% ? Dit autrement: “on fait 5 lancers de “pile” ou “face” et que on obtient 5 fois “pile”: que peut-on dire sur p, la probabilité de tomber sur “pile” ?”

On utilisant la formule précédente, on est un peu bloqué…

  • La première réponse pourrait être fréquentiste, et consiste à proposer une lecture duale de l’intervalle de confiance, et des abaques.

Le graphique de droite montre, en trait violet, l’intervalle de confiance approché, c’est à dire avec l’intervalle de confiance indiqué ci-dessus. La courbe bleue, encadrant la zone verte correspond à l’intervalle de confiance calculé à partir des quantiles d’une loi binomiale de paramètre la fréquence empirique observée. Ici, on aurait envie de dire que p a 95% de chance d’être supérieure à 47.8%.

En fait, cette “lecture duale” des abaques revient à construire – me semble-t-il – l’intervalle de confiance de Clopper-Pearson. L’intervalle de confiance a ici la forme suivante

Notons que c’est cette technique qui est utilisée sous R, via la fonction binom.test du package de base. Ici, on obtient

> binom.test(x, n, p = 0.5,conf.level = 0.95)
Exact binomial test
data: x and n
number of successes = 5, number of trials = 5, p-value = 0.0625
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.4781762 1.0000000
sample estimates:
probability of success
1

…. ce qui correspond exactement à l’intervalle de confiance calculé précédemment. On retrouve d’ailleurs cette fonction dans binconf i.e.

> binconf(x = 5, n = 5, alpha = .05, method = "exact")
PointEst Lower Upper
1 0.4781762 1

qui donne (c’est rassurant) toujours la même chose. On peut aussi programme l’intervalle de confiance proposé par Heldge Blacker, qui donne ici un intervalle de confiance de la forme [50%; 100%]. Pour aller plus loin, je pourrais renvoyer au papier de Lawrence Brown, Tony Cai et Anirban DasGupta, dans Statistical Science sur ce sujet.

  • Une seconde réponse pourrait être une approche bayésienne, qui d’ailleurs correspond exactement à l’expérience de Bayes (1763) ou Laplace (1786).

On suppose que p est une variable aléatoire. On se donne une information a priori, et on peut se demander ce que devient la loi a posteriori de p, sachant que 5 “piles” ont été observés. On suppose que les tirages sont indépendants, et donc la probabilité d’avoir k fois “piles” sur n tirages suit une loi binomiale, conditionnellement à p, i.e.

Le plus simple est de considérer comme loi a priori la loi conjuguée de la loi binomiale, à savoir une loi beta. Dans ce cas, si p suit a priori une loi B(a,b), alors la loi a posteriori de p, sachant que x “pile” ont été observés est une loi B(a+x,b+n-x).

expérience décrite

La courbe en rouge est la densité de la loi a priori (uniforme ou beta de paramètres 2 et 2), et la courbe bleue, la loi a posteriori, avec un intervalle de confiance à 95%. Sur l’exemple de droite, par exemple, on a 95% de chance que p soit compris entre 47,3% et 96,8%.

Le “cercle des corrélations” en ACP

Tout au long de l’analyse en composantes principales, nous avons parlé du “cercle des corrélations“. Cette notion est fondamentale en ACP, et je voulais insister un peu sur ce point pour le démystifier,

A chaque point-variable, on associe un point dont la coordonnée sur un axe factoriel est une mesure de la corrélation entre cette variable et le facteur. Dans l’espace de dimension p la distance des points-variables à l’origine est égale à 1. Donc par projection sur un plan factoriel les points-variables s’inscrivent dans un cercle de rayon 1 – le cercle des corrélations – et sont d’autant plus proche du bord du cercle que le pointvariable est bien représenté par le plan factoriel, c’est-à-dire que la variable est bien corrélée avec les deux facteurs constituant ce plan.

L’angle entre 2 variables, mesuré par son cosinus, est égal au coefficient de corrélation linéaire entre les 2 variables: cos(angle) = r(X1,X2)

  • si les points sont très proches (angle proche de 0) : cos(angle) = r(X1,X2) = 1 donc X1 et X2 sont très fortement corrélés positivement
  • si a est égal à 90° , cos(angle) = r(X1,X2) = 0 alors pas de corrélation linéaire entre X1 et X2
  • si les points sont opposés, a vaut 180°, cos(angle) = r(X1,X2) = -1 : X1 et X2 sont très fortement corrélés négativement

Attention, on ne peut interpréter que les variables situées au bord du cercle. En effet, seuls ces points là sont “bien” projetés, comme le rappelle le dession ci-dessous,

Analyse des données, contrôle continu

Pour le contrôle continu d’analyse des données (qui ne concerne que les élèves du Master SLEB, qui concerne apparemment tout le monde *), je vous demande de travailler, au choix

  • sur l’analyse par département des votes lors de l’élection présidentielle de 2007. Vous disposez de deux feuilles xls, avec le résultat du 1er tour, et le résultat du 2nd tour. Je mets aussi à votre disposition plein de variables supplémentaires, via des données du ministère de l’intérieur (ici), en particulier les tableaux 19 et 20.
  • sur l’analyse des conditions de vie des ménages. La base est au format sas ou bien au format xls (après avoir enfin trouvé une licence SAS pour faire la conversion). Le descriptif de la base figure ci-dessous (ou ici)

En vous mettant par groupe de 2 ou 3, je vous demande un petit rapport de 15 pages (au plus), commentant ce que vous avez pu noter.

* Voilà d’ailleurs les informations dont je dispose,


AFC (ou ACM) avec XLstat

L’analyse factorielle (simple ou multiple) se fait très simplement avec XLStat. On notera juste la fonction suivante, qui permet de constituer le tableau de contingence.Il s’agit d’une étape de traitement des données. Pour les bases, on traitera en TD base1 (CSP et vacances, cf ci-dessous) et base2 (base culture). Je mets également un lien vers les bases base3 (logement étudiants), base4 (les naufragés du Titanic), ou enfin base5 (lien entre la CSP et le niveau d’étude).

Lors du TD, nous reviendrons en particulier sur l’analyse factorielle (simple) à partir de la base insee de 1967, sur le lien entre CSP et lieux de vacances,

Comsumption based CAPM


Pour le quatrième cours à l’X, sur l’équilibre et le CCAPM (consumption based), les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy. Sinon, il n’y aura ni cours ni PC la semaine prochaine (le 3 février). Pour aller un peu plus loin sur le CCAPM, je renvoie vers les slides de Gabrielle Demange. Sinon pour compléter la question 3, je citerais le papier suivant

Kahane, Y. et Nye, D.J., «A Portfolio Approach to the Property-Liability Insurance Industry»,. Journal of Risk and Insurance 42 (1975), p. 579-598

On y retrouve que les risques d’assurance (et donc les catastrophes) sont très peu corrélées avec le “marché”, et donc permettent de diversifier un portefeuille d’actions.

Analyse des Correspondances Mutiples

Les slides de la troisième partie sont en ligne sur mon blog.

Parmi les cours en ligne, je renverrais aux nombreuses notes de cours de François-Gilles Carpentier, à Brest, ou celles de Rudy Palm à Gembloux. Sur les bases présentées en cours, il y a la base des survivants du Titanic, mais aussi une étude sur le tri des déchets, inspirée de l’INSEE (Insee Premier 684, ici). Sinon, pour accéder aux bases de données, les codes R sont les suivants,

etudiants<-read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/Etudiants-ville.csv",header=TRUE,sep=";")
titanic<-read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/titanic.csv",header=TRUE,sep=",")

Enfin, les bases de données qui seront utilisées en TD sont les suivantes,

library(Hmisc);  culture=spss.get("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/Culture.sav")

ACP avec XLstat, un peu de terminologie

Pour compléter (et clarifier) le premier TD, je voulais revenir sur le type d’ACP proposé sous XLstat,

Pour l’analyse de la covariance, on travaille sur les données brutes. L’analyse de Pearson propose de travailler sur les données centrées-réduites. L’analyse de Spearman est basée sur les rangs. Enfin, l’analyse polychorique propose de travailler sur les rangs normalisés. Les quatre transformations sont proposées ci-dessous,

Les rangs normalisés correspondent à l’étude d’un facteur Gaussien sous-jacent: on retrouve le quantile normal (centré-réduit) pour des seuils de 20%, 40%, 60% et 80%, c’est à dire le rang divisés par la taille de l’échantillon+1. La “robustesse” de ces deux dernières méthodes a été vu en particulier en introduisant un point aberrant dans l’échantillon.

Markowitz et CAPM

Pour le troisième cours à l’X, sur Markowitz, l’approche moyenne-variance et le CAPM, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy.

Comme toutes les semaines maintenant, un petit complément sur un imprécision lors de la PC… j’avais pensé (espéré) que l’on pourrait avoir un résultat général sur le comportement du portefeuille tangent, lorsque la corrélation évolue. J’ai donc repris* l’exemple de l’exercice, avec 3 actifs (dont 1 sans risques), en comparant trois cas possibles. Le cas limite est celui du milieu, lorsque les trois actifs sont alignés dans le plan moyenne variance. A gauche est représenté le cas “convexe” et à droite le cas “concave“. Les points violets correspondent à l’évolution de la position du portefeuille tangent en fonction de la corrélation entre les deux actifs risqués, entre -1 et 1 (ou plutôt 0.999999). Encore une fois, le cas où la corrélation vaut 1 ne peut être traité que si les points sont alignés, i.e. l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage est vérifiée.

Dans le cas convexe“, le portefeuille tangent se rapproche d’un actif sans risque virtuel, tel que cet actif et les deux actifs sans risque seraient alignés. Dans le cas concave“, on converge vers le point de plus haut rendement (alors qu’on passait par le point de plus bas rendement dans le cas “convexe“), mais on le repasse pour partir à l’infini, avant de revenir par dessous, pour finalement atteindre – là aussi – l’actif sans risque virtuel, tel que cet actif et les deux actifs sans risque seraient alignés

Bref, je ne sais pas s’il existe un résultat général sur le comportement du portefeuille tangent, mais si un géomètre veut se lancer sur ce problème, je suis intéressé par les conclusions !

* repris numériquement seulement, sur un exemple numérique simple… avant d’avancer un résultat, je voulais voir si un résultat simple (et général) pouvait être obtenu sur des exemples numériques.

Analyse Factorielle des Correspondances

Les slides de la seconde partie sont en ligne sur mon blog.

Parmi les cours en ligne, on trouvera des notes de cours au CNAM,  ou de Jean Michel Loubes. Sinon, pour accéder aux bases de données, les codes R sont les suivants,

base1=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/Diplomes-emplois-1.csv",header=TRUE,sep=";")
base2=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/Diplomes-emplois-2.csv",header=TRUE,sep=";")
base=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/election2002.txt",header=TRUE)
base=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/csp-vac.csv",header=TRUE,sep=";")

Enfin, les bases de données qui seront utilisées en TD sont les suivantes,

base=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/election.csv",header=TRUE,sep=";")

Single crossing et TVaR

Pour le second cours à l’X, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés desexercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy.

Chose promise, chose due… sur le second exercice, sur la dominance stochastique à l’ordre 2, il existe une propriété dite de single-crossing, comme je l’avais évoqué en PC (malheureusement ce n’est qu’une condition suffisante). Autrement dit, si les fonctions de répartition soient…

On parle parfois de lemme de Ohlin, ou du critère de Karlin et Novikoff (1963). Parmi les références, je peux vous mettre le résultat donné dans le livre de Michel Denuit, Jan Dhaene, Marc Goovaerts, et Rob Kaas, dans Actuarial Theory for Dependent Risks,

Sinon pour l’interprétation en terme de dominance stochastique à l’ordre 2, il faut remonter au livre de Marc Goovaerts, et Rob Kaas, Effective Actuarial Methods.

D’ailleurs, cette notion de comparaison est très liée aux notions de “stop-loss order”, “TVaR order”, “variability order” ou de “increasing convex”. Le Chapitre 3 du livre de Moshe Shaked et George Shantikumar porte d’ailleurs exclusivement sur cette notion.

En ce qui concerne le dernier point, sur l’interprétation dans le cas Gaussien, on peut utiliser ce résultat (même s’il ne donne qu’une condition suffisante).

Cours de gestion d’actifs (partie 2)

Le second cours portera sur l’approche de Black & Litterman. En plus des slides du cours, il sera possible de consulter un document synthétique de chez GS.Les applications se feront à l’aide du package BLCOP de R (i.e. Black Litterman and copula-opinion pooling). Un très grand nombre de papiers peuvent être trouvés sur le net sur ce sujet, en particulier les papiers de Attilio Meucci, ou encore le mémoire de Charlotta Mankert. Sinon le package BLCOP s’inspire également d’un document (peu technique) de Thomas Idzorek.

Sinon sur Markowitz, on pourra trouver des notes de cours de Paulo Vanini et Luigi Vignola.

Analyse en Composantes Principales

Les slides de la première partie sont en ligne sur mon blog. Parmi les cours en ligne, à l’agro (Grignon), de Stéphane Guidon, ou plus formalisé, des notes de cours de Joseph Gergaud.

Sinon, pour accéder aux bases de données, les codes R sont les suivants,
elections<-read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/election95.csv",header=TRUE,sep=";")
insecurite<-read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/ADD-ex-villes.txt",header=TRUE)

La base de données qui seront utilisées en TD est la base departement.xls. On pourra aussi reprendre quelques exemple mentionnés en cours, en particulier l’étude de l’express sur l’insécurité, villes.xls, ou encore la base de décathlon mentionnée en cours, decathlon.xls.

Ce premier cours sera relativement technique puisque seront présentées les principales notions sur les distances, les projections, et utilisera plusieurs résultats “classiques” d’algèbre linéaire et matricielle. En particulier, sur la décomposition en valeurs singulières, je renvoie les élèves intéressés à l’article de wikipedia (svd). Je mets aussi un lien vers des slides sur la décomposition factoriel, en liaison avec la recherche de valeurs propres, et de la décomposition en valeurs singulières.

Sinon pour quelques groupes, les TD se feront sous XLStat, qui comme on le verra, permet de générer un certain nombre de graphiques (que l’on s’attachera à commenter)

Clarté et vérité sur les comptes d’une société d’assurance sur la vie

Aujourd’hui, je vais parler d’un article (très lucide) de Claude Bébéar sur l’actuariat, intitulé Clarté et vérité sur les comptes d’une société d’assurance sur la vie. Claude Bébéar n’est pas n’importe qui: fondateur du groupe AXA (à partir d’une petite mutuelle, comme le rappelle ce portrait), et président de l’Institut des Actuaires Français de 1985 à 1989. En particulier, je recommande la lecture de l’introduction de l’article, commençant par un (brillant) petit conte persan, à méditer…

Il était une fois un assureur sur la vie fort intelligent, éminent et respecté. Il était considéré par tous comme un grand technicien, voire un savant, qui n’avait pas son pareil pour estimer la prime à demander aux assurés et la valeur des engagements pris par l’assureur. Mais parfois, un doute le taraudait : sa science était-elle vraiment estimée ? Le vulgaire ne risquait-il pas de s’en saisir, montrer qu’il n’y avait là rien d’admirable et détruire une réputation bâtie à force de patience ? Vite, il fallait se protéger. Et c’est ainsi que notre assureur éminent, respecté et fort intelligent, inventa un langage ésotérique qu’il appela “actuariat”. Et grâce à lui, des générations d’actuaires heureux vécurent et vivent encore à l’abri des critiques, adulés de tous. Chaque année, aidés par des comptables pleins de respect, ils mettent au point un rapport annuel fort savant qu’assurés, actionnaires et contrôleurs en tous genres contemplent sans trop comprendre et sans oser poser de questions, de peur de passer pour des sots. Le système était parfait.

Exposé au Lameta à Montpellier

UPDATE : Suite aux intempéries dans le sud-est, mon voyage pour Montpellier est annulé, faute de moyen de transport

Exposé à Montpellier sur le lien entre finance et assurance. Il y a beaucoup de slides, mais la fin des slides ne sera a priori pas abordé lors de l’exposé (étant invité pour venir travailler avec Stéphane Mussard, je les ai laissé pour servir de base à discussion).

Au premier abord, la valorisation actuarielle (basée sur la notion de prime pure et sur la probabilité historique) et la valorisation financière (basée sur l’utilisation d’une probabilité risque neutre) n’ont rien en commun.
Les nouvelles règles comptables pour les compagnies d’assurance imposent désormais une notion de “market-consistent valuation”: les risques assurantiels doivent aujourd’hui être valorisé comme des produits financiers. Mais au delà de l’aspect comptable, des produits permettent effectivement de transférer les risques des compagnies d’assurance (ou de réassurance) vers les marchés financiers. Le risque de longévité ou de mortalité peut être couvert à l’aide de mortality/longevity bonds.
Nous verrons que dans le cas des risques extrêmes, les deux méthodes de valorisation semblent converger, avec comme socle commun les outils classiques d’économie de l’incertain. Nous verrons dans cet exposé le lien entre mesures de risques et économie de l’incertain. Et pour conclure, s’il reste du temps, nous évoquerons l’allocation de capital basé sur les mesures de risques.