All posts by Arthur Charpentier

Arthur Charpentier, professor in Montréal, in Actuarial Science. Former professor-assistant at ENSAE Paristech, associate professor at Ecole Polytechnique and assistant professor in Economics at Université de Rennes 1.  Graduated from ENSAE, Master in Mathematical Economics (Paris Dauphine), PhD in Mathematics (KU Leuven), and Fellow of the French Institute of Actuaries.

Category-based Tail Comovement

Christophe gave a talk at EM Lyon at the end of February at the Journées de Finance Inter-Ecoles de Commerce 2010 (here), about “Category-Based Tail Comovement“. I have uploaded Christophe’s slides here. The abstract of the joint paper (writen also with Emilios Galariotis) is the following, traditional financial theory predicts that comovement in asset returns is due to fundamentals. An alternative view is that of Barberis and Shleifer (2003) and Barberis, Shleifer and Wurgler (2005) who propose a sentiment based theory of comovement, delinking it from fundamentals. In their paper they view comovement under the prism of the standard Pearson’s correlation measure, implicitly excluding extreme market events, such as the latest financial crisis. Poon, Rockinger and Tawn (2004) have shown that under such events di¤erent types of comovement or dependence may co-exist, and make a clear distinction between the four types of dependence: perfect dependent, independent, asymptotically dependent and asymptotically independent. In this paper we extend the sentiment based theory of comovement so as to cover the whole spectrum of dependence, including extreme comovement such as the one that can be observed in …nancial crises. One of the key contributions of this paper is that it formally proves that assets belonging to the same category comove too much in the tail and reclassifying an asset into a new category raises its tail dependence with that category“.

Actuariat, calcul(s) de PM (partie 1)

Suite aux deux billets sur la modélisation des sinistres en assurance auto (ici et ), un billet pour décrire le contrat d’assurance-vie sur lequel on travaillera en salle machine mercredi.
Pour s’entraîner, on va considérer un contrat d’assurance sur deux têtes, signé par un couple d’âge 50 ans (pour l’homme) et 52 ans (pour la femme). On supposera leur durées de vies résiduelles modélisées par les tables TV88-90 et TD88-90 respectivement. On supposera dans un premier temps que les durées de vie sont indépendantes (hypothèse que l’on relâchera éventuellement par la suite). Il s’agit d’un contrat d’assurance-vie proposant simplement en garantie en cas de vie (ça n’a rien de plus compliqué si l’on rajoute une garantie décès, on utilise l’additivité des VAP). Le couple cotise (annuellement) pendant 20 ans, soit en payant une prime https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-21.png si les deux époux sont en vie, soit en payant une prime https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-22.pngsi l’un des époux décède. En contrepartie, l’assureur verse 10 000 euros si les deux époux sont en vie, et 60% de ce montant au conjoint survivant.
Comme dans le cours, le plus simple pour comprendre ce contrat est sûrement de faire un petit dessin. On met en rouge les flux positifs pour l’assureur (il encaisse de l’argent) et en vert les flux négatifs (il dépense de l’argent). Dans un premier temps, les deux conjoints décèdent pendant leur retraite,

Dans un second temps, un des conjoint décède avant le début de la période de retraite,

  • Calculs des valeurs actuelles probables

La valeur actuelle probable de l’assureur s’écrit comme l’espérance de la somme actualisée des engagements de l’assureur,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-23.png

que l’en sépare entre les engagements versés si une ou deux personnes sont en vie. Si l’on regarde les engagements de l’assuré, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-24.png

En notant que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-25.png, et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-26.png (i.e. les deux membres du couple sont en vie à la signature du contrat).
On calcule la prime annuelle pi en notant que les deux VAP doivent être égaux,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-27.png

Pour aller plus loin, il faut expliciter les probabilités jointes, en particulier https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-28.png (les autres découlant de cette dernière). Pour importer les tables de mortalité, on pourra utiliser

> Lxv=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TV8890.csv",header=TRUE,sep=";")
> Lxd=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TD8890.csv",header=TRUE,sep=";")

On poursuivra en salle machine pour calculer tous ces coefficients, mais aussi calculer les provisions mathématiques….. à suivre donc.
PS et je ferais un jour un billet sur les autres tables utilisées, car je continue à utiliser des tables qui sont dépassées (mais qui, à mon avis, m’enlève rien à la modélisation)

Les Pays-Bas inondés, février 1953

Après un week-end de trois jours en Vendée, je vais faire un rapide billet sur les inondations costales (après la catastrophe improbable du barrage de Vajont, ici), que j’aurais du mal à qualifier d’improbables….

Lorsque l’on parle des l’histoire la théorie des valeurs extrêmes (ou plutôt la second partie de l’histoire, la première avait été racontée ici), on évoque souvent la crue de février 1953 qui a inondé les Pays-Bas (je renvoie aux slides de Paul Embrechts par exemple, ici). Pour résumer, pendant la nuit du 31 janvier au 1er février 1953, une très forte tempête traversa la mer du nord. Dans des villes où la marée haute atteignait en moyenne 1 mètre au dessus de niveau de la mer à Amsterdam (ce que l’on appelle NAP, Normaal Amsterdams Peil), on atteignait presque les 4 mètres. Comme souvent (je pense par exemple à la canicule de 2003 en particulier, à laquelle je consacrerais bientôt un billet), le problème n’est pas seulement les hauteurs extrêmes, mais la persistance, i.e. le fait que l’évènement ait duré longtemps. En effet, le 1er février 1953, la marée basse n’avait pas causé de véritable baisse du niveau de l’eau, si bien que quand la marée haute arriva, l’eau avait déjà atteint un niveau très élevé. Mais comme le notait de nombreux commentaires de l’époque, les grandes marées étaient prévues 2 semaines plus tard, autrement dit la catastrophe aurait pu être pire encore si elle était survenue 15jours plus tard !

Les digues subirent plus de 400 brèches, et plus de 500 km de digues furent à reconstruire. Mais surtout, 1836 personnes trouvèrent la mort, ce qui, ramené à la population des Pays-Bas de l’époque (de l’ordre de 10 millions d’habitants, ici), correspondrait à une catastrophe causant la mort de plus de 10000 personnes en France (ou plus de 60000 aux États Unis) aujourd’hui. La carte ci-dessus montre la région qui s’est retrouvée sous l’eau soit plus de 1600 km2 (sinon je renvois ici pour des photos). Comme toujours dans les catastrophes, l’intérêt ex-post sont les leçons que l’on en a tirées. Aux Pays-Bas, la catastrophe a donné naissance au Deltawerken, qui initia (et finança) davantage de recherche sur le niveau des digues, ce que nous appellerions en gestion des risques un problème de calcul de Value-at-Risk: à quelle hauteur mettre une digue pour éviter qu’un évènement se produise dans 99,999% des cas ? Je renvoie ici ou pour plus d’information sur la catastrophe…

Provisionnement et règle de trois

Longtemps, dans les formations d’actuariat, le provisionnement était un sujet traité en 2 heures, car malgré son importance stratégique dans les résultats d’une entreprise d’assurance, il ne s’agissait que d’une “règle de trois“.

  • De l’importance des provisions en assurance

D’un point de vue comptable, les provisions pour sinistres à payer sont une quantification des engagements pris par l’assureur envers ses assurés. En reprenant des vieux tableaux dans l’Argus, avec une compagnie d’assurance spécialisée en grands risques (AXA Corporate Solutions), une mutuelle (MAIF), et une autre société anonyme (Groupama), on obtient

Pour les grands risques, on notera que le montant de provision (plus de 5 milliards) est plus de 3 fois supérieur au montant des primes encaissées (1,5 milliards). Aussi, si l’on pense qu’il faut augmenter de 5% le montant des provisions (ce qui pourrait paraître acceptable à un statisticien) il faudrait augmenter le chiffre d’affaire de 15%.

  • Histoire de la “règle de trois

Le Petit Robert prétendait que l’expression « règle de trois » remontrait à 1538, même si le résultat sous-jacent est tout simplement le théorème de Thalès… Les manuels d’arithmétiques expliquaient ainsi que “la règle de trois est la méthode servant à résoudre les problèmes dans lesquels, étant données des grandeurs pouvant former les trois termes d’une proportion, on demande de trouver le quatrième terme“. On peut retrouver beaucoup plus d’infos sur le site images des mathématiques (ici) ou (), où on trouve d’ailleurs cette illustration,

La “règle de trois” est aussi le premier souvenir de raisonnement mathématique exposée par Paul Lévy dans sa biographie (“quelques aspects de la pensée d’un mathématicien“), lorsqu’il raconte qu’à 7 ans, il tenait la main d’une fille de 12 ans, il était surpris de lever la main. En effet, certes la jeune fille était plus grande que lui, mais son bras devait également être plus grand. Il compris alors le principe des règles de proportionnalité.
Bref, comme toujours, les actuaires ont inventé un nouveau mot pour la “règle de trois” (je renvoie à un vieux papier de Claude Bébéar sur la novlangue utilisée par les actuaires, ici, mais je reviendrais longuement sur le jargon une autre fois).

  • Les méthodes de provisionnement: Chain Ladder

J’avais évoqué il y a quelques temps les travaux d’Eugène Astesan (ici), précurseur de la méthode Chain Ladder, même si l’estimateur qu’il avait alors proposé n’était pas celui de variance minimale dans la classe des estimateurs. Les premiers travaux sur les modèles stochastiques de provisionnement ont chercher à justifier la règle de trois, par exemple via le papier de Thomas Mack “which stochastic model is underlying the chain ladder method” (ici).
Pour venir deux minutes sur la méthode “chain ladder“, par exemple à l’aide du triangle suivant, on peut estimer les montants à payer (dans la partie inférieure) via une simple règle de trois. Considérons le triangle suivant, tiré du livre de Partar, Lecoeur, Nessi,  Nisipasu et Reiz

Pour la seconde colonne, on fait une simple règle de trois, en calculant les sommes sur chacune des colonnes,

Aussi, ici,

i.e.

117,945 = 56,762 x 440,438 / 211,961

On peut ensuite passer à la troisième colonne, puis la quatrième, etc. La règle de trois donne ici

Voici pour la méthode dite “chain ladder“. Et Thomas Mack a été le premier à essayer de quantifier l’erreur de prédiction commise en utilisant cet estimateur. En particulier, les travaux théoriques des années 90 ont essayer d’étudier l’incertitude associée à l’estimation de la charge ultime, calculée aujourd’hui. Comme le notait un article paru dans l’Argus, les compagnies d’assurance qui utilisaient ces techniques étaient encore rares il y a 5 ans (et celles qui le faisaient cherchaient également à le faire savoir, ici). Mais les derniers documents (ici ou ) partent sur un objectif radicalement différent, que j’exposerais d’ici quelques jours, en revenant sur la novlangue des récents papiers sur le provisionnement..

Khi de la poule ou de l’oeuf…

Samedi soir, Djalil et Florent se demandaient ce que Karl Pearson avait inventé en premier, la loi du khi (ou du chi), ou la loi du khi-deux (pensant que la loi du chi-deux était relativement naturelle, et que la loi du khi découlait de la loi du khi-deux). La loi du khi admet pour densité

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/densite-chi.png

et est aussi parfois définie à partir de la fonction Gamma incomplète, i.e. sa fonction de répartition est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chi-fdr2.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/gamma-reg-1.png

avec

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/gamma-reg-2.png
et classiquement,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/gamma-reg-3.png

Pour la loi du khi-deux, sa densité est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chi2-densite.png

dont la fonction de répartition est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chi2-fdr.png

Bref, on peut définir ces deux lois complètement indépendamment de leurs applications: si on considère des variables indépendantes https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/Xi-normaux.png, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chi2-somme.png

suit une loi du khi-deux, alors que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chi-somme.png

suit une loi du khi. Bref, intuitivement, on définit d’abord la loi du chi-deux avant d’introduire la loi du khi, si l’on part de l’interprétation. Et si l’on reprend le texte fondamental de Fisher, ici, datant de 1922, on ne retrouve que le khi-deux

Mais dans “The lady drinking tea“, David Salsburg suggère que Karl Pearson avait introduit le khi avant le khi-deux… Si l’on y regarde de plus près, Karl Pearson a proposé le “test du chi-deux” en 1900 (ici), avec l’idée que l’exposant qui apparait dans la loi normale pouvait être noté, comme on le retrouve ci-dessous

On voit aussi interprété dans ce texte le khi, et pas seulement le khi-carré.

Effectivement, si l’on regarde ici par exemple, la loi du chi-deux est reliée à l’étude du volume d’un ellipsoïde. Mais ce n’est pas la première apparition de cette variation dite du khi-deux. Si on y regarde de plus près, par exemple ici, ou , on notera que Karl Pearson avait défini, dès 1896 aussi bien la loi du khi que la loi du khi-deux, dans le cadre de ce qui s’appelle les distribution de Pearson de type III,

Autrement dit, Karl Pearson a commencé par définir les deux lois simultanément, via les fonction gamma incomplète, et autres équations d’analyse fonctionnelle, et c’est seulement plus tard que l’utilisation de la loi du khi-deux l’a emporté, de part son interprétation relativement élégante (somme de carrés de lois normales centrées réduites) et le test d’indépendance (ou d’adéquation) du khi-deux.
Mais en 1931, Karl Pearson renvoie à un papier plus ancien où l’on trouve pour la première fois la loi du khi-deux, suggérant d’ailleurs d’appeler cette loi la loi de Helmert, en mémoire à Friedrich Robert Helmert, qui avait également beaucoup travailler sur les moindres carrés (dont il est naturel d’arriver à des sommes de carrés de lois normales, ici), qui aurait trouvé cette loi en 1875. Mais on peut également remonter aux travaux d’Ernst Karl Abbe en 1863 qui avait également mentionné la loi.

Mais c’est de Karl Pearson que l’on a hérité la notation et le nom du khi-deux.

Some historical remarks on extreme values

I will start here a short post on extreme values, with some historical perspective. In a recent paper (in French), I mentioned the use of the Pareto distribution as a standard model for extremes, but if reinsurers have been using the Pareto distribution for a long time (see here e.g.), the oldest mathematical models when dealing with extreme value should be related to work on maximum values in finite samples.

  • The work of Ronald Fisher and Leonard Tippett

Leonard Henry Tippett, a former student of Karl Pearson published in Biometrika a note on extremes, in 1925. The goal was “the determination of the distribution of the range and the extremes for a large number of samples“. In 1925, everyone was looking for the Gaussian distribution everywhere, and Leonard Tippett observed that the distribution of the largest value did not have a Gaussian distribution.
A few years after, a joint work with Ronald Fisher was presented to the Cambridge Philosophical Society. The starting point was the idea of “stability” (even if the term did not appear explicitely in their work): the limiting distribution the maximum should be of the “same type” as the underlying distribution. Thus, if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-01.png stands for the cumulative distribution function, it should satisfy functional equation

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-02.png

Solutions of that functional equation will give all possible limiting distributions. Thus, Fisher and Tippett obtained three possible limits,

  • solutions of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-03.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-04.png
  • solutions of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-05.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-06.png with https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-07.png (i.e. finite lower bound for the support), i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-08.png
  • solutions of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-05.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-10.png if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-11.png (i.e. finite upper bound for the support), i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-09.png

Based on those possible limiting distributions, Fisher and Tippett wanted to derive what has been called later on the “domain of attraction” of those distributions.

  • The work of Maurice Fréchet, at the same time

In 1926, Maurice Fréchet wrote a paper on “la loi de probabilité de l’écart maximum“. That paper, as well as the one by Fisher and Tippett (wrote at the same time), investigated asymptotic limits. Both obtained functional equations, but only Maurice Fréchet understood the importance of the stability concept, pointed out by Paul Levy in the context of sums. Thus, Maurice Fréchet introduced the concept of what is called now “max-stability“. But Fréchet solve only functional equation https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-05.png. The point is that Fréchet studied absolute values of errors, i.e. strictly positive random variables. Thus, Maurice Fréchet considered distribution

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-12.png

wherehttps://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-92.png is an arbitrary positive constant. The “2” comes from the fact that Fréchet considered errors with respect to the median. But he did not introduced that new distribution function, he also proved that the distribution appears as a limit when the underlying distribution of the https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-13.png‘s has an algebraic behavior at infinity, i.e. equivalent to https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-90.png, for some https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-91.png. I.e. he proved that Pareto-type tailed distibutions where in the domain of attraction of the Fréchet distribution.

  •  Later on, the work of Emil Gumbel

In 1932, Emil Gumbel gave a talk in France on the “âge limite“. But as he wrote it “on peut donc supposer que la distribution de l’âge limite – c’est à dire la probabilité que la probabilité de cet âge ait une valeur donnée – soit Gaussienne“. But a few years after, he read about Fisher’s work, and observed also that “la distribution d’une valeur extrêmes peut être représentée pour un nombre suffisant d’observations par la formule doublement exponentielle, pourvu que la distribution initiale se comporte asymptotiquement comme une exponentielle. La formule devient rigoureuse si la distribution initiale est exponentielle“, as he wrote in 1935. Thus, as Fréchet proved that Pareto type distribution were in the max-domain of attraction of Fréchet’s distribution, Gumbel obtained that exponential type distributions were in the max-domain of attraction of Gumbel’s distribution. He also introduced the term “distribution de type exponentiel
For Emil Gumbel, it was natural to study the logarithmic derivative of the distribution, since it is the mortality rate in demography (area that Emil Gumbel studied previously). As he mentioned “d’un point de vue théorique, il est intéressant de noter que M. Fréchet a construit une distribution initiale d”une variable aléatoire pour laquelle la valeur absolue de la dérivée logarithmique diminue sans limite“. But since it was not a valuable property for practical applications, he decided that “nous nous bornerons au traitement des données de type exponentiel“. Emil Gumbel always tried to relate his work on extremes and what he did on demograpy.
For instance in 1937, he wrote a paper on “les centennaires” that can also be related to the work of Bortkiewicz on rare events. He also applied his work on radioactivity, and hydrology.
In the 30’s, hydrographs as Hazen or Graszberger introduced the concept of “yearly maximum” of
a river level. They actually proposed to look for actuarial models to study decennial or centennial floods.  But they only used the lognormal distribution to model yearly maxima. In 1936, French hydrologist Aimé Coutagne met Emil Gumbel (who was teaching at the ISFA, in Lyon). At that time, Emil Gumbel was looking for possible applications (outside demography) for his doubly exponential distribution. As as pointed out by Aimé, “sa formule devait être applicable au cas des crues; c’est à dire des plus grands débits, problème analogue à celui des plus grands âges“. Not only Gumbel’s distribution gave better empirical results, but also it came with a theoritical justification.

  • Gumbel’s distribution properties

Consider the Gumbel distribution, with location and scale parameters alpha and beta respectively, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-40.png

Note that the associated quantile function is

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-41.png

with mean

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-43.png

and variance

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-44.png
  • The work of Waloddi Weibull

Waloddi Weibull, a Swedish physict proposed a distribution in 1939, to represent the distribution of breaking strength of materials. He used it in the 50’s in reliability concept. Actually, Weibull appeared late in the story of extremes, since Fréchet, Fisher and Tippett mentioned it already in the mid-20’s.

  • From the central limit theorem (on the average) to Fisher-Tippett theorem (on the maxima)

In order to visualize those two theorem, consider the following animation, where samples of 20 exponential variables are generated. From those 20 values, we plot the maximum in blue, and the average in red, on top. Just below, be rescale those points by considering https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-16.png, and below again, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-15.png}. When then look at the position of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-14.png and the one of the mean of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-15.png. We then build an histogram to visualize the distribution of the rescaled maximum (in blue) and the rescale average (in red).

For those who might be busy, after 1000 generations of samples, we obtain the following histograms (below), including the Gaussian distribution below (i.e. the average of exponential variables looks Gaussian, even with only 20 observations, actually the Gaussian distribution is only asymptotic, i.e. we should consider samples of size 2000), and the maximum over 20 observations of exponential variables (on top) looks like a Gumbel distribution (actually, here it is the exact distribution, and it is the asymptotic distribution for exponential type variables).

  • The GEV distribution

The unified expression of those three distributions is call the GEV distribution. The generalized extreme value distribution has cumulative distribution function

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-20.png

for https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-21.png, where https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-22.png is the location parameter, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-23.png the scale parameter and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-24.png the shape parameter. Note that the expected value is
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-30.png

Le billet de la Saint Valentin

Avec une petite semaine d’avance, un billet rapide pour préparer la Saint Valentin, i.e. récupérer des conseils d’experts. Il existe un site http://www.okcupid.com/ deFree Online Dating pour reprendre le titre. Mais son grand intérêt, c’est surtout le blog associé, qui propose des analyses statistiques sur les matching,http://blog.okcupid.com/.

Par exemple, les fondateurs (qui se sont amusés à faire beaucoup de statistiques) regardent les photos, et notent que pour espérer obtenir beaucoup de messages (ou tout du moins plus que la moyenne), les femmes doivent regarder l’objectif tout en souriant, en adoptant une moue un peu dragueuse (“flirty face“) (cf Myth 1 ici). Les hommes, eux, doivent plutôt tirer la tronche et regarder ailleurs…. Mais le plus amusant, c’est – je m’adresse aux hommes qui lisent mon blog – il y a une étude sur ce qui doit apparaître sur la photo,

Les résultats sont sans ambiguité: il faut être avec un animal (je ne sais pas si c’est un animal de compagnie, genre un gentil chiot du calendrier de La Poste, ou bien avec un boa autour du cou…). Et il peut être intéressant de montrer ses muscles ! Effectivement, on peut montrer ses abdos, mais avec l’âge, il commence à être plus sage de les cacher sous un gros pull….

alors que la tendance est inversée pour les décolletés des femmes,

qui ont d’autant plus intérêt à se découvrir qu’elles sont âgées… Ils ont aussi fait des études sur les correspondances raciales, en étudiant le pourcentage de matching,

qui est assez uniforme, et en le comparant au pourcentage de réponses au messages de dragues…

On observe que la “race” a un impact sur le fait qu’on se laisse draguer ou pas, mais ensuite, on y devient indifférent. On retrouve aussi l’étude sur la religion,

De manière plus amusante, l’étude est faite aussi sur les correspondances zodiacales (ici)

Bref, enfin des statistiques amusantes et instrucives sur un sujet qui intéressent tout le monde (pour citer le mémoire de nos étudiants qui avaient fait leur projet d’économétrie sur les relations amoureuses…)

from two to three…

A short post to give more details about the final remark in the course of Financial Econometrics, and more precisely the formula that can be found in the book of Philip Jorion,

Note that this formula can be found (perhaps written with slight changes) in several papers, e.g. the following sentence (on the http://www.bis.org/website),

or the following formula, on documents from the Bank of England website,

I recently pulished (in French, here) a paper on the Value-at-Risk, including the following graph,

Usually, three times the average over 60 trading days is the larger component, but during the financial crisis, it turned out that the daily component was almost three times higher than the average value over the past the months (this fact was mention by Paul Embrechts in some conference in Paris on risk measures).
The interpreation of the multiplicative k coefficient (which is from 2 to 3 in some publications, or which exceeds 3 in others) has been proposed in a paper of Gerhard Stahl, entitled three cheers. The idea is to use the Bienaymé-Tchebychev inequality. For random variables with finite variance, then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-01.png

Recall that this inequality is simply a corrolary of Markov’s inequality

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-02.png

or for any increasing function https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-99.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-03.png

(taking function https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-04.png, applied to https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-05.png). This upper bound can be far away from the true probability, see e.g. the gaussian case below, i.e. if  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-06.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-07.png

 

> z = seq(0,3,by=.01)
> P = 2*dnorm(k)
> U = 1/z^2
> plot(z,P,type="l",lwd=2,col="red",xlab="",ylab="")

The ratio between the two is given below,

> plot(z,U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",ylab="",ylim=c(0,10))

Note that it is possible to interprete the axis values as probabilities values, taking quantiles of the gaussian distribution

> plot(pnorm(z),U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",
+ ylab="",ylim=c(0,10),xlim=c(.9,1))
> abline(h=3,lty=2)

The interpretation is that the upper bound is 3 times higher than the true probability in the Gaussian case when z is the quantile of the https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-06.png distribution associated with probability level 99%.
Note that

  • if z is the 95% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 2 (1.92)
  • if z is the 99% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 3 (3.04)
  • if z is the 99.55% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is almost 4 (3.88)
  • if z is the 99.75% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 5 (5.04)

A more formal explaination is to assume that X is symmetric, and then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-09.png

Thus, if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-10.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-11.png, we have an upper bound for the  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-12.pngValue-at-Risk,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-20.png

where the upper bound is the upper bound for the https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-12.png Value-at-Risk for any distribution with finite variance and centred.
If  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-31.png, then https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-32.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-33.png.  But since, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-33.png for a https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-36.png distribution, then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-21.png

and further

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-22.png

Les modèles en réassurance

Publication d’un papier sur les modèles en réassurance dans la revue Risques (ici), suite à un questionnement sur la pertinence des modèles classiques utilisés par les réassureurs. La question initiale était partie de la constatation – que l’on retrouve ici ou – sur l’utilisation (ou la mauvaise utilisation) de modèles sophistiques en finance de marché, en essayant d’expliquer que – d’un point de vue épistémologique au moins – les modèles des réassureurs étaient plus robustes. En particulier, on notera que les modèles les plus anciens utilisés par les réassureurs (en particulier la loi de Pareto comme je l’avais évoqué ici) ont eu une légitimité pratique durant plusieurs décennies avant d’être justifiés par la théorie des valeurs extrêmes. Je ferais d’ailleurs bientôt un billet sur l’histoire des valeurs extrêmes en statistiques, en revenant en particulier sur les travaux de Gumbel ou de Fréchet.

Sinon le code utilisé dans le papier est en ligne ici, et la base

> sinpe = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/sinpe.csv",header=TRUE,sep=";")
> head(sinpe)
      DSUR  MNTPE
1 19850206 240439
2 19851228 125674
3 19850504 488331
4 19851118 457347
5 19850220 990919
6 19851214 182939
> annee=as.numeric(substr(as.character(sinpe$DSUR),1,4))
> sinistres=sinpe$MNTPE[annee>1992]
> XS=sinistres/100000

On se limite ici aux sinistres survenus après 1992. Si l’on visualise ces montants de sinistres, on obtient

> datesur=as.Date(as.character(sinpe$DSUR),"%Y%m%d")
> jour=datesur[annee>1992]
> plot(jour,sinistres/100000,xlab="",ylab="Coût individuel",cex=.5,ylim=c(0,600))
> ded=50
> abline(h=ded)

On peut aussi faire le graphique Pareto-log-log,

> library(evir)
> n=length(X)
> plot(log(sort(X)),log((n:1)/(n+1)),
+ xlab="Coûts des sinistres (logarithme)",ylab="Fonction de survie (logarithme)",cex=.8)
> out <- gpd(XS, 15)
> XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
> x0=seq(2,8,.01)
> lines(x,-1/XI*(x-log(15)),col="red")

(l’ajustement de la loi de Pareto permettant de tracer la droite rouge) ou encore visualiser l’estimateur de Hill de l’indice de queue,

> hill(X)

Pour finir, le code suivant permet de calculer la prime pure (ou plus généralement une prime de Wang) soit de manière non-paramétrique (burning cost) ou bien en utilisant l’ajustement d’une loi de Pareto. Le papier étant un papier de vulgarisation, j’ai pris le seuil de manière arbitraire, sans aucune recherche de valeur “optimale”

> DEDUC = seq(10,50,by=5)
> lambda=0;  seuil=5
> WG1=WG2=rep(NA,length(DEDUC))
> for(k in 1:length(DEDUC)){
+ deductible=DEDUC[k]
+ out <- gpd(XS, seuil)
+ XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
+ G0=function(x){1-pgpd(x+seuil, xi = XI, mu = seuil, beta = BETA)}
+ G=function(x){(G0(x+deductible-seuil))/(G0(deductible-seuil))}
+ F=function(x){pnorm(qnorm(G(x))+lambda)}
+ (wang1=integrate(F, 0, Inf))
+ X=XS[XS>deductible]
+ n=length(X)
+ FS= function(z){
+ m=rep(NA,length(z))
+ for(i in 1:length(m)){
+ m[i]=sum(X>z[i]+deductible)/n}
+ return(m)
+ }
+ G=function(x){pnorm(qnorm(FS(x))+lambda)}
+ (wang2=sum(G(seq(0,800,.01))*.01))
+ WG1[k]=as.numeric(wang1$value)
+ WG2[k]=wang2
+ }
> plot(DEDUC,WG2-DEDUC,type='b',xlab="Niveau de la priorité ('00 000 euros)",ylab="Prime pure par sinistres réassuré",ylim=c(0,50))
> lines(DEDUC,WG1-DEDUC,type='b',col="red",pch=4)
> legend(10,50,c("Aujustement d'une loi de Pareto","'Burning cost'"),
+ col=c("red","black"),lty=1,cex=.8,pch=c(4,1))

Optimal control, part 2

In the first part (here), we introduced Bellman’s idea of backward induction. But what if we consider now infinite time horizon ? Actually, the maths will be even more simple… and we will be able to use fixed pointed theorem to derive solutions.

  • The mathematical framework

Here, consider the following value function

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-01.png

and define

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-02.png

A sequence https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-04.png is said to be an admissible solution for starting point x,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-05.png

if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-06.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-07.png. If we reformulate the dynamic programming idea, we obtain that if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-04.png is a solution to problem https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-08.png, then for all https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-09.png, sequence https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-10.png is a solution to problem https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-11.png. It comes that function v is a solution of Bellman’s equation

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-12.png

Note that is can be ssen as some fixed point resul, since

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-13.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-14.png

So far, it shouldn’t be so hard….

  • Frank Ramsey’s model (discrete version)

In 1928, Frank Ramsey wanted to understand the amount of savings in a dynamic perspective (in how much of its income should a nation save). Consider the following infinite horizon problem, where some planifier wants to maximize

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-01.png

subject to constraints https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-02.png https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-03.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-04.png.
Before looking at dynamic programming answers, we might start with standard Lagrangian optimization techniques.
Assuming concavity of utility function and production function, we should look only for interior solutions. Define the Lagrangian as

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-05.png

Thus, the first order conditions are then given by

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-06.png

and

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-088.png

Assume further some terminal condition, e.g.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-08.png

(also called transversality condition). If we combine those two conditions, and assume that the first constraint is saturated, we obtain the so-called Euler equation,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-09.png

It is also possible to use Bellman’s equation: given the dynamic of the capital

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-10.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-11.png

The first order condition states

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-12.png

But since v is unknown, so is its derivative. But from the enveloppe theroem, we obtain something like

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-13.png

where

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-14.png

We can then write

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-15.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-16.png

and finally

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-17.png

which is, Euler’s equation.

  • A specified model, with calculations

As in the previous post (here), consider a log utility function, and a power production function,https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-18.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-19.png. The dynamic is then

 https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-20.pngand https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-21.png

Note that fixed points are here

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-22.png

and

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-23.png

Recall that the value function is defined as

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-24.png

A natural idea to derive the value function can be to iterate, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-25.png

starting with a simple function, e.g the null function, at step 0. At step n=1

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-26.png

thus

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-27.png

At step n=2,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-28.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-29.png

The first order condition is then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-30.png

and thus, we obtain

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-31.png

that can be plugged in the previous equation, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-32.png

At step 3, we start from that new expression, derive the first order condition, and we get

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-33.png

and

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-34.png

and so on…
And finally, we can prove that

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-35.png

i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-36.png. Assuming that

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-37.png

actually, we can prove that

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-38.png

(and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-39.png has a form that can be explicited).

Market valuation des garanties des produits d’assurance

Pour le dernier cours d’actuariat 2, on parlera de market valuation, i.e. de valorisation financière. Je vais aussi en profiter pour éclairer Bruno (pour qui j’avais déjà commencé à poster des billets sur le contrôle optimal) sur “comment introduit-t-on la mesure risque neutre dans un passif ?” , sous-entendu en assurance-vie (en assurance non-vie c’est à mon avis plus compliqué, mais c’est la question que l’on se pose quand on valoriser des cat-bonds par exemple). Notons que ce problème s’est posé assez tôt dans la littérature économique, je renverrais par exemple au papier de Brennan et Schwartz en 1976.

  • Valorisation de produits financiers (en marché complet)

Je passerais un peu rapidement (en renvoyant ici ou là pour les grands principes), mais les techniques principales pour valoriser les actifs financiers sont les prix d’Arrow-Debreu, les probabilités risque-neutre, et les déflateurs. Mais auparavant, rappelons que le marché est composé de n actifs financiers (bien distincts) dont les prix et les payoffs sont parfaitement connus, et de n états de la natures, de telle sorte que la matrice des payoffs soit de plein rang. Introduisons le concept de portefeuillle de réplication. Compte tenu du fait que la matrice des payoffs est de plein rang, on a l’existence et l’unicité d’un tel portefeuille. Considérons un ensemble de payoff contingents aux états de la nature

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-17.png

Il est alors possible de créer un portefeuille (dit de réplication) qui permette de toucher précisément ces payoffs à la date 1. Le prix (à la date 0) d’un tel actif est alors le prix du portefeuille de réplication.
Considérons les actifs rapportant 1 dans un état de la nature, et 0 sinon, à la date 1, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-16.png

appelés actifs d’Arrow-Debreu. On note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-15.png le prix aujourd’hui d’un tel actif. Notons que le prix d’un actif sans risque, rapportant 1 demain dans tous les états du monde est https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-1.png. Aussi, si on note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-14.png le taux sans risque, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/correc.png

Le prix de l’actif rapportant https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-12.png à la date 1 est alors https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-10.png.
Posons https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-09.png tel que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-08.png soit une distribution de probabilité. Alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-09.png

où l’espérance est prix sous la mesure de probabilité https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-pst.pngappelée probabilité risque-neutre.
Je renvoie ici (par exemple) pour l’introdution de cette probabilité via les arbres binomiaux. Bref, c’est ainsi que l’on arrive au théorème fondamental de la valorisation d’actif en marché complet: le prix d’un actif contingent l’espérance sous probabilité risque neutre, des payoff actualisés.
Aussi, prenons l’exemple d’un put européen, de maturité T et de strike K. Le prix (à la date 0) du put est donné par

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-01.png

Rappelons d’ailleurs que la formule de Black et Scholes donne un prix pour un tel produit financier (un put européen),

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC01.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC02.png

et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC03.png

Voilà rapidement comment on valorise un produit financier en marché complet, en calculant la valeur d’un portefeuille de réplication.

 

  • Valorisation de produits d’assurance

Pour valoriser les produits d’assurance, classiquement, on calcule des primes pures, ou des valeurs actuelles probables. Par exemple en assurance-vie (car c’est essentiellement de ça dont on parle non ?), considérons simplement une garantie plancher, où l’on s’engage à verser 1€ au décès d’un souscripteur. La valeur actuelle probable (que l’on calcule sous la  probabilité historique) est alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-02.png

que l’on pourrra réécrire

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-03.png

(où j’adopte une convention de temps continu pour les taux pour garder une analogie avec le cas financier, mais ça n’est pas vraiment important ici). Bref, par rapport à la valorisation financière on valorise toujours des flux futurs (payoffs) actualisés, mais en prenant l’espérance sous la probabilité historique. Et c’est généralement comme ça que l’on valorise un produit d’assurance: les risques ne sont pas échangés sur des marchés liquides, on n’a donc pas vraimentt de marché complet, et les assureurs espèrent simplement que la mutualisation (via la loi des grands nombres) leur permettra d’avoir égalité entre les flux entrants et les flux sortants.
Remarque: j’avais fait l’an dernier un rapide billet sur la transformée d’Esscher (ici) qui présentait une méthode conciliant les deux approches. Mais je suis toujours à la recherche du papier original (datant de 1932) pour proposer une nouvelle discussion sur ce sujet…

  • Valorisation des garanties planchers dans les contrats d’assurance vie, une approche heuristique

Là où les choses se compliquent c’est quand on mélange des garanties d’assurance (un décès) avec des garanties financières (sur des taux ou bien un actif financier pour des contats en unité de compte). Considérons pour cela un contrat décès, où l’assureur s’engage à payer, au moment du décès à la date https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-tau.png le maximum entre la somme investie en actif risqué à la signature du contrat, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-07.png et le niveau atteint par l’actif lors du décès, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-06.png. Autrement dit, l’assureur s’engage à verser https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-05.png. De manière plus général, disons qu’il existe une valeur plancher en dessous de laquelle on ne descendra pas, que l’on notera K.
Notons que l’on peut réécrire le payoff

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-04.png

Le terme de gauche est la valeur de l’actif, et le second terme peut être interprété comme la valeur de la garantie plancher. Par la suite, on ne s’intéressera qu’à la valeur de cette garantie. Le flux versé (pour cette garantie) à la date t, pour un individu d’âge x à la souscription est alors tout simplement

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-04.png

(les dates étant supposées discrètes ici). Si l’on cherche à calculer la valeur actuelle probable de l’ensemble des flux, on voit que deux espaces de probabilités intervienne: l’espace des probabilités actuarielles (sous lesquelles on couvre le risque de décès en supposant les risques mutualisables, i.e. l’univers historique https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-05.png) et l’espace des probabilités financières (sous lesquelles on couvre le risque financiers, i.e. l’univers risque neutre https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-06.png). Autrement dit, la valeur actuelle probable s’écrit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-07.png

que l’on pourrrait réécrire

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-08.png

où le terme à droite est le prix d’un call de strike K de maturité t.
Notons que la commission de contrôle s’était penché sur le sujet il y a quelques années, via le mémoire d’actuariat de Sylvain Merlus et Olivier Pequeux (ici), et c’est ce genre de formule qui avait été proposé, à savoir de faire somme somme de prix de put. Et c’est cette approche que  la réglementation a imposé de valoriser cette garantie.
Pour aller plus loin, il avait aussi été précaunisé d’utiliser la formule de Black et Scholes pour valoriser ces puts, ce qui a donné la formule “standard

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-03.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-02.png

et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-01.png

Voilà comment on valorise une telle garantie. Je n’ai parlé de la couverture, car on voit qu’elle ne serait pas parfaite, loin de là.
Comme toutes les formules standards, elle a l’avantage de la simplicité.
Bon formellement, si on veut faire ça proprement, ça risque d’êetre plus compliqué, et il faudrait parler des mesures risques neutre forward, mais on fera ça une autre fois. Sinon tout ça est repris dans une multitude de documents que l’on peut trouver ici, , voire ici ou encore . Et pour aller plus loin, il y a eu récemment pas mal de livres qui abordent ces sujets….

En complément, je pourrais aussi mettre des vieux transparents d’un cours donné il y a plusieurs années maintenant,

Nikkei’s past experience vs. SP500 (in euros)

Following Michael’s idea (here), I wanted to go further, based on his intuition (and dataset that he kindly sent me, there). If we consider the two series of Nikkei index and SP500 index in euros, we have to following graph,

the code is simply the following (the merging function is simply here to avoid problem with different trading days: since we look at the index and not the return, it is the simplest way to deal with it).

> library(RODBC)
> base = odbcConnectExcel(
+ "https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/spx_nky_eurusd.xls", 
+ readOnly = TRUE)
> series1 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$A2:B8837]") # SPX
> series2 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$D2:E8631]") # NKY
> series3 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$G2:H8945]") # EURUSD
> odbcCloseAll()
> series4=merge(series1,series3)
> series4$SPEUR=series4$SPX/series4$EURUSD
> series5=merge(series4,series2)
> x=(as.Date(series5[,1])-as.Date("01/01/0000","%d/%m/%Y"))/365.25
> yl=range(series5[,4])
> xl=c(1975,2010)
> plot(x,series5[,4],axes=FALSE,xlab="",ylab="",type="l",
+ lwd=3,col="red",xlim=xl,ylim=yl)
> axis(1)
> axis(2, col="red")
> par(new=TRUE)
> yl=range(series5[,5])
> plot(x,series5[,5],axes=FALSE,xlab="",ylab="",type="l",
+ lwd=3,col="blue",xlim=xl,ylim=yl)
> axis(4, col="blue")
> mtext("SP500 in Euros", 2, line=2, col="red", cex=1.2)
> mtext("NKY", 4, line=2, col="blue", cex=1.2)

Those two series series seem to have a similar pattern, so an idea can be translate the SP500 on the left,

Interesting isn’t it ? Suppose that we want to forecast (or forsee ?) the SP500 in euro for the next 10 years…

People who enjoy charts would have here a nice tool…

Those two series are extremely correlated, with a correlation of 0.9572,

> X1=series5[2501:n,4]
> X2=series5[1:(n-2500),5]
> cor(X1,X2)
[1] 0.9572484

But are the two series cointegrated (see here, here or therefor material on cointegration) ? Well, using standard procedure, we first have to prove that the two series are integrated. First, let us look at the autocorrelograms,

At first sight, we confirm the economic intuition that those indices should be integrated. Standard tests confirm that intuition,

> acf(X2,lag=1000,col="light green")
> acf(X1,lag=1000,col="light green")
> library(tseries)
> adf.test(X1)
        Augmented Dickey-Fuller Test
data:  X1 
Dickey-Fuller = -1.0768, Lag order = 17, p-value = 0.9264
alternative hypothesis: stationary 
> adf.test(X2)
        Augmented Dickey-Fuller Test
data:  X2 
Dickey-Fuller = -1.2905, Lag order = 17, p-value = 0.8788
alternative hypothesis: stationary

But if we want to go further, we have to find the cointegration relationship between the two series. From an heuristic point of view, a linear regression should be a good proxy,

> reg=lm(X1~X2)
> plot(residuals(reg))

> acf(residuals(reg),lag=1000,col="light green")

> adf.test(residuals(reg))
        Augmented Dickey-Fuller Test
data:  residuals(reg) 
Dickey-Fuller = -5.176, Lag order = 17, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary 
Message d'avis :
In adf.test(residuals(reg)) : p-value smaller than printed p-value
> pp.test(residuals(reg))
        Phillips-Perron Unit Root Test
data:  residuals(reg) 
Dickey-Fuller Z(alpha) = -46.9775, Truncation lag parameter = 11,
p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary 
Message d'avis :
In pp.test(residuals(reg)) : p-value smaller than printed p-value

When we look at the autocorrelation function, it looks like we do have a stationary series.
This idea is – more or less – the idea of Engle-Granger two step procedure. But actually, we can not directly use Dickey-Fuller’s test to see if residuals are integrated. This was proved in Phillips and Ouliaris (1990), who also proposed a test (see e.g. here),

> library(tseries); po.test(cbind(X1,X2))
        Phillips-Ouliaris Cointegration Test
data:  cbind(X1, X2) 
Phillips-Ouliaris demeaned = -53.1766, Truncation lag parameter = 57,
p-value = 0.01
Message d'avis :
In po.test(cbind(X1, X2)) : p-value smaller than printed p-value
Another similar function can be found in R
> library(urca)
> summary(ca.po(cbind(X1,X2)))
######################################## 
# Phillips and Ouliaris Unit Root Test # 
######################################## 
Test of type Pu 
detrending of series none 
Call:
lm(formula = z[, 1] ~ z[, -1] - 1)
Value of test-statistic is: 45.2032 
Critical values of Pu are:
                  10pct    5pct    1pct
critical values 20.3933 25.9711 38.3413

Thus, we has to admit that those series are cointegrated.

Based on that idea, it is possible to model the stationary component, and forecast it for the next ten years, based on the assumption that we know the behavior of one time series. Hence, if we add the confidence interval due to the stationary component uncertainty, we have the following graph,

 Of course, again, only uncertainty related to the stationary process is considered here….

Julien Prévieux, ou repenser l’économie

La période est aux pronostics de tous les économistes (pour l’année, voire la décennie 2010), et parfois une relecture de citations passées du style “mais je vous l’avais bien dit“. J’ai une passion pour les personnes qui arrivent à se relire eux-mêmes (en se trouvant d’ailleurs très éclairants).
Histoire de dire du bien de quelqu’un qui fait un travail admirable, j’ai rencontré avant les vacances – en vue de préparer la prochaine biennale d’art contemporain de Rennes – Julien Prévieux (ici pour son site). Julien s’est fait connaître il y a quelques années avec ses lettres de non motivation (dont on trouvera des extraits ), et il m’a fait découvrir des choses incroyables lors de nos discussions. Comme le fait que certains fabricants d’écrans tactiles déposaient des brevets sur les mouvements des doigts,

Mais surtout, Julien s’est amusé à utiliser le “code de la bible” (ici, qu’il doit être possible de voir comme la version textuelle de l’analyse chartiste pour les financiers) pour relire les grands économistes classiques. On y retrouve ainsi la crise de 1929 annoncé par Karl Marx,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/JULIEN3.png

ou encore le scandale Enron

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/JULIEN4.png

Mais je pense que je referais des billets sur le travail que Julien qui apporte un regarde incroyablement neuf, pertinent et drôle sur l’économie !

Optimal control, part 1

Since I had recently a request (from Benoît) about optimal control, I will start here a series of posts on that topic. But first, let us start with a simple problem, with discrete timeno randomness, and with a finite horizon. This might be a too simple framework to model complex problem, but that should be interesting to derive heuristic intuitions (I will skip here the mathematical problems, that can be found in very good books… references will come soon).

  • An introduction to backward induction

Before starting seriously, let us consider the following example: we want to reach the red city on the right from the red city on the left, as fast as possible. There are some roads, and the number is the number of hours it takes. Let us prove that the optimal way is the red one,

The first idea can be to calculate all possible trajectories, but with a large number of roads, the number of possible ways can soon be extremely large. An alternative can be to look backwards (like any students facing a question where the answer is given: start from the end, and try to find a possible way to reach it).


Numbers are greens are the number of hours that we still need one we’ve reached that point. Let us move again one step backward, and consider the orange points,

In the middle, we had to chose either to go up (it will still take 9 hours) or go down (and then 14 hours are necessary). Thus, the optimal strategy, once we’ve reach that point, it to take the 9 hour road. This will be idea the idea proposed by Bellman. Let us go backward again, to the purple cities. Again, we have to chose the shorter way,

From the top, the fastest road will take 13 hours, and from the bottom, it will take 16 hours. Thus, since it takes 10 hours to reach the top city, this road is necessarily faster than taking the one below (since it takes 8 hours to reach the nearest city).
Any this is it. We now have an intuitive idea of what should be done to find optimal strategies.

  • The optimization problem, discrete with finite horizon

Let us consider the following optimization problem: we want to find the optimal strategy https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-01.png that maximizes the following function

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-02.png

with simple constraints, such as https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-03.png (a state space) and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-04.png (i.e. some dynamic constraints). Assume further that the starting point is given, i.e.
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-05.png. In economic application, note that frequently https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-06.png i.e. we consider a discounted version of the value.

  • The idea of dynamic programming

The intuitive idea of dynamic programming is that if the optimal path from A to C goes throught B, then the path is optimal from B to C. Thus, it will be natural to consider backward induction techniques.
Thus, define
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-07.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-08.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-09.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-10.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-11.png
Then Bellman’s principle can be used to link those problems: if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-12.png is a solution of the problem https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-13.png then, for all
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-14.png, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-15.png is a solution of problem https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-16.png.
Note that, so far, we assume that such an optimal sequence does exist. Thus, we get that for all x

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-17.png

and more generally,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-18.png

He
nce, from a practical point of view, we solve those equation using a backward approch. I.e. first,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-20.png

and then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-21.png

and so on

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-22.png

… etc. It can be proved that the sequence https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-23.png is solution of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-24.png if and only if for all https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-25.png,  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-15.png
is solution of

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-27.png

So far, it does not look so difficult….

  • A simple example

Let  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-30.png denote the consumption at period t, and assume consumption yields utility

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-31.png

as long as the consumer lives. Assume the consumer is impatient, or has a stronger preference for present, so that he discounts future utility by a factor https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-32.png. Let https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-33.png be capital he got at time t. Assume that his initial capital is a given amount https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-34.png, and suppose that this period’s capital and consumption determine next period’s capital as

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-35.png

where https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-36.png is a positive constant and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-37.png. Assume further that capital cannot be negative. Then the consumer’s problem is simply

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-38.png

given https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-39.png. Bellman’s equation is then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-40B.png

whih leads us to a simplier problem than the initial one, since only two variables are involved here https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-41.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-42.png. And to solve that problem, we use backwards induction techniques.
Since https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-44.png is known, we can derive easily https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-45.png,  and so on until https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-46.png. More precisely, given https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-47.png, we can get https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-49.png which is the maximum of function

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-50.png

with https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-51.png. One can see that the following function is a possible solution

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-52.png

where each https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-53.png is a constant. Further, the optimal amount to consume at time https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-54.png is

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-55.png

i.e., if we explicit those expressions

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-60.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-61.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-62.png

…etc.

  • A reformulation of the optimisation problem

Another way of expressing the optimization problem is the following: https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-70.png was the variable of interest, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpenti<br />
er/latex/control-71.png was the control variable, and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-72.png. Thus, the programm

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-73b.png

can be expressed as

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-74.png

Several extension can be considered,

  • consider an infinite sum
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-80.png
  • consider a random component
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-81.png
  • consider a continuous version
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/control-82.png

But those items will be for posts that I still have to write down….

Modeling dynamic incentives: application to basketball

La page des séminaires au CREM, à Rennes, est mise jour (ici). Je présenterais donc le février prochain le papier que nous écrivons avec Nathalie Colombier sur Modeling dynamic incentatives: application to basketball. Le résumé viendra rapidement. Pour comprendre la finalité du papier, je renvoie à cette phrase du grand philosophe Jean-Claude Dusse, “bon, dans 10 minutes je nous considère comme définitivement perdus“. Dans le contexte des matchs de baskets aux Etats-Unis, nous nous demanderons à partir de quand l’équipe pense que le match est “définitivement perdus“.