Peut-on diversifier des risques extrêmes ?

Dans un contexte financier, diversifier les risques signifie investir dans une variété d’actifs, secteurs ou régions géographiques pour éviter que la mauvaise performance d’un investissement n’affecte trop l’ensemble du portefeuille. La diversification permet de réduire le risque, ou, dans sa formulation mathématique, de réduire la variance. Mais que se passe-t-il quand on est en présence de grands risques, de variance infinie ? Ou pire encore, d’espérance infinie ?

Risques extrêmes, et espérance infinie ?

Formaliser des grandeurs en lien avec des quantités aléatoires et incertaines est un exercice compliqué. Les probabilités, au sens où le mot est souvent entendu, sont définies comme des limites de fréquences observées par répétitions d’événements. La probabilité d’avoir 3 en lançant un dé est ⅙ car en lançant un dé un million de fois [1]., un milliard de fois, la probabilité sera aussi proche qu’on veut de ⅙. C’est ce que dit la loi des grands nombres, dans sa version la plus faible. Dire que la probabilité qu’il pleuvra aujourd’hui est de ⅙ est totalement différent, car c’est un évènement unique. Si je me fais tremper par une averse aujourd’hui, cela ne permettra aucunement de dire que la probabilité n’était pas, a priori, de ⅙, et que le modèle météorologie. Tout ça pour rappeler que lorsqu’on fait de la modélisation, on va essayer d’imaginer les valeurs petites d’évènements rares, et qu’il est malheureusement très difficile de les valider.

Et quand on modélise les grands risques, les très grands risques, il n’est pas rare d’avancer l’idée que les risques sont de variance ou d’espérance infinie. Or la notion d’espérance infinie est un à la fois étrange, et probablement contre-intuitive [2].. Si on considère une variable aléatoire X positive (pour simplifier), et si on note S(x)=\mathbb{P}(X>x) la fonction de survie, et f(x) la densité (correspondant à la dérivée de S), on peut montrer que la moyenne empirique d’un million ou d’un milliards de tirage de cette variable va s’approcher autant qu’on veut d’une grandeur, appelée l’espérance mathématique\mathbb{E}(X) =\int_0^\infty S(x)dx= \int_0^\infty xf(x)dxRien de bien étonnant ici, c’est encore la loi des grands nombres, énoncée dès 1713 par Jacob Bernoulli (le “golden theorem” de Raper (2018)) et surtout Pierre-Simon Laplace, en 1814. A condition toutefois que cette intégrale soit finie. Ce qui n’est pas garanti. Par exemple, la loi de Pareto d’indice a vérifie S(x)=\mathbb{P}(X>x)=x^{-a}. Dès 1925, Karl-Gustaf Hagstroem avait noté que cette loi semblait particulièrement adaptée à la modélisation des grands risques, et donc en réassurance [3]. Et pour une variable qui suit une loi de Pareto d’indice 1, son espérance est, mathématiquement, infinie.

Que signifie cette espérance infinie ? Formellement, même s’il est toujours possible de calculer une moyenne empirique sur n observations, cette dernière tend… vers l’infini quand n croit, c’est-à-dire qu’on peut être certain que la moyenne va toujours dépasser n’importe quelle valeur aussi grande qu’on puisse l’imaginer. On peut le visualiser en haut de la Figure 1 avec 10 simulations de 100,000 valeurs. À gauche, le cas où la variance et l’espérance sont finies; au centre, la variance est infinie, et l’espérance finie; à droite, les deux sont infinies.

Figure 1: Évolution de la moyenne n\mapsto (x_1+\cdots+x_n)/n avec une loi d’espérance finie et de variance infinie à gauche, et une loi d’espérance infinie à droite.

Une autre grandeur intéressante est le ratio du maximum sur n observations sur la somme. Pour des variables d’espérance infinie, ce ratio ne tend pas vers 0. Il est alors possible, si les variables x désignent les coûts de sinistres, avec 100,000 sinistres d’espérance infinie, il est possible que le plus gros des sinistres représente plus de 90% de la charge totale.

Figure 2 : Évolution du ratio n\mapsto \max\{x_1,\cdots,x_n\}/(x_1+\cdots+x_n) avec une loi d’espérance finie et de variance infinie à gauche, et une loi d’espérance infinie à droite.

On le voit, cette propriété est importante, mais elle est difficile à identifier car il s’agit d’une propriété fondamentale du modèle sous-jacent, en lien avec la distribution des observations, puisqu’il est toujours possible de calculer la moyenne. Par exemple, la suite suivante correspond à huit valeurs obtenues en tirant au hasard une loi de Pareto d’indice 1 (et donc théoriquement d’espérance infinie)

1.657442 || 4.138543 || 15.592108 || 1.429090

1.684843 || 1.186745 || 1.341435 || 3.308316

Comment savoir si un ensemble de coûts de sinistres suit un loi d’espérance finie, ou pas ? L’approche classique, présentée par exemple dans Zajdenweber (1996, 2000), consiste à utiliser le graphique dit de Pareto, avec le logarithme des coûts sur l’axe des abscisses, et le logarithme de la probabilité de survie en ordonnées. Si les points sont alignés suivant une droite de pente -a, alors la loi de Pareto de paramètre a est parfaitement adaptée. En effet, si \mathbb{P}(X>x)=x^{-a}, alors, en prenant le logarithme des deux grandeurs, et si on ordonne l’échantillon (x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n), alors \log\left(\frac{n-i}{n}\right)=-a\cdot \log(x_i)Et si la pente est trop modérée, plus grande que -1, alors les coûts sont d’espérance infinie.

Figure 3: Graphique de Pareto, avec \log((n-i)/n) sur l’axe des ordonnées et \log(x_i) sur l’axe des abscisses. Les points sont alignés suivant une droite, de pente -a, correspondant à une loi de Pareto d’indice a. a\leq 1 signifie que les risques sont d’espérance infinie.

Cette hypothèse d’indice de Pareto proche de 1 n’est pas irréaliste quand on parle de catastrophes naturelles, ou industrielles,

  • ouragans, Hsieh (1999), a\sim1.5
  • incendies entreprises, Biffis et al. (2014), a\sim1.25
  • tremblement de terre, Sornette et al. (1996), a\sim1
  • tsunamis, Embrechts et al. (2024), a\sim1
  • risque opérationnel, Moscadelli (2004) et Chavez-Demoulin et al. (2006) a\sim1
  • risque cyber, Eling et al. (2019) a\sim1
  • risque nucléaires, Hofert et al. (2012), a\in(0.6;0.7)

De la diversification des grands risques

Au lieu de travailler par type de risque, on peut envisager l’agrégation de ces risques, tous ensemble. Heuristiquement, avoir des portefeuilles avec des risques d’inondation, de tremblement de terre, ou de sécheresse pourrait offrir un peu de “diversification”. Le concept de “diversification” peut être introduit avec la loi des grands nombres, dont on parlait auparavant, et il sera très proche de l’idée même d’assurance, de mutualisation des risques. Smith & Kane (1994), par exemple, rappellent que la contribution d’un n+1-ième risque, indépendant, dans un groupe de n risques, tarifés de manière actuariellement juste, permet généralement de faire marginalement diminuer le risque, ce qui renforce la mutualisation des risques par l’assureur. Cet effet de diversification marche encore, même si les risques sont corrélés (mais pas parfaitement corrélés, et les gains de diversification diminuent avec la corrélation, comme le rappelait Charpentier (2011)).

Mais bien souvent, quand on parle de “diversification” on pense aux travaux d’Harry Markowitz ou d’Arthur Roy en finance dans les années 1950, comme base de la théorie du portefeuille. Cette théorie montre comment des investisseurs rationnels peuvent utiliser la diversification, correspondant à la corrélation entre actifs, afin d’optimiser leur portefeuille financier. Dans cette approche, on suppose généralement que la préférence des investisseurs pour un couple risque / rendement peut être décrite par une fonction d’utilité quadratique. Autrement dit, seuls le rendement attendu (l’espérance de gain) et la volatilité (l’écart type) ou la variance, sont les paramètres considérés par l’investisseur. Ce que montre cette littérature, c’est qu’un investisseur peut réduire le risque de son portefeuille simplement en détenant des actifs qui ne sont pas (ou peu) corrélés, donc en diversifiant ses placements. Il peut alors obtenir la même espérance de rendement en diminuant la variabilité de son portefeuille.

Mais que se passe-t-il si la variance n’existe plus ? Dans ce cas, il est possible d’utiliser une mesure de risque plus générale, et heuristiquement, la “diversification” est liée à la sous-additivité de la mesure de risque : un portefeuille contenant la moyenne des avoirs de deux autres portefeuilles a un risque plus faible de la moyenne des risques des deux autres portefeuilles. Daníelsson et al. (2013) rappellent qu’en présence de grands risques (d’espérance infinie), la diversification ne fonctionne plus. Cette propriété avait été décrite et discutée par Paul Samuelson dès 1967, Stephen Ross en 1976, ou plus récemment Rustam Ibragimov,  Dwight Jaffee, Johan Walden, Paul Embrech ou Ruodo Wang, entre autres. L’introduction de Ibragimov et al. (2015) l’explique bien, “there are limitations to diversification with such risk distributions [heavy-tailed distribution]. Specifically, whereas diversification is preferred by risk-averse agents when risks are thin-tailed (the traditional case that has been extensively studied), it may actually be hurtful for agents to diversify when risks are heavy-tailed […] nondiversification traps may arise when risk distributions have heavy left tails and insurance providers have limited liability ”. Ces propriétés, largement discutées d’un point de vue mathématiques, sont compliquées à faire admettre car elles sont théoriques, et contre-intuitives. De plus, il est souvent difficile de savoir pour qui la diversification devient dangereuse, puisqu’il y a plusieurs acteurs, les assurés, les assureurs, les réassureurs, l’état. Ibragimov et al. (2011) donnent des éléments de réponse, “when these risks are thin-tailed, risk-sharing is always optimal for both individual intermediaries and society. But, with moderately heavy-tailed risks, risk-sharing may be suboptimal for society, although individual intermediaries still benefit from it […]. and it is well-known that diversification may be suboptimal in the extremely heavy-tailed case”.

Depuis une vingtaine d’années, les exemples où la diversification ne fonctionne pas sont nombreux, et connus des praticiens. Fabozzi et al. (2014), évoquant la crise financière le rappellent “The financial crisis has clearly shown that when you need diversification most, it may not work.” Quand on s’intéresse aux risques liés aux catastrophes climatiques, on voit que ces risques sont extrêmes, potentiellement inassurables car d’espérance potentiellement infinie. L’inassurabilité signifie surtout qu’un mécanisme de marché n’a pas de sens, sans intervention de l’État. On pourrait aussi penser qu’il pourrait être intéressant de diversifier les risques, en offrant une couverture multi-périls (comme le propose le mécanisme cat-nat actuel), ou bien en envisageant une diversification géographique, par exemple au niveau européen, comme le suggérait récemment Carlo Cimbri, Thierry Derez et Philippe Lallemand. Mais la littérature scientifique nous rappelle que cette diversification est dangereuse, en tous cas inenvisageable sans une intervention forte et claire des États.

Références

Biffis, E., & Chavez, E. (2014). Tail risk in commercial property insurance. Risks, 2(4), 393–410.

Charpentier, A. (2011). La loi des grands nombres et le théorème central limite comme base de l’assurabilité ? Risques, 86.

Chavez-Demoulin, V., Embrechts, P., & Nešlehová, J. (2006). Quantitative models for operational risk: extremes, dependence and aggregation. Journal of Banking & Finance, 30(10), 2635-2658.

Chen, Y., Embrechts, P., & Wang, R. (2024). An unexpected stochastic dominance: Pareto distributions, dependence, and diversification. Operations Research.

Cimbri, C., Derez, T. & Lallemand, P. (2024). Mutualisons l’assurance pour offrir aux Européens une protection à la hauteur des risques actuels ! La Tribune, 23 mai.

Daníelsson, J., Jorgensen, B. N., Samorodnitsky, G., Sarma, M., & de Vries, C. G. (2013). Fat tails, VaR and subadditivity. Journal of econometrics, 172(2), 283-291

Eling, M., & Wirfs, J. (2019). What are the actual costs of cyber risk events? European Journal of Operational Research, 272(3), 1109–1119.

Embrechts, P., Hofert, M., & Chavez-Demoulin, V. (2024). Risk Revealed: Cautionary Tales, Understanding and Communication. Cambridge University Press.

Fabozzi, F. J., Focardi, S. M., Jonas, C.: Investment Management: A Science to Teach or an Art to Learn?. CFA Institute Research Foundation (2014)

Fama, E. F. (1965). Portfolio analysis in a stable Paretian market. Management science, 11(3), 404-419.

Hagstroem, K.-G. (1925). Pareto and reinsurance. Scandinavian Actuarial Journal, 216–248

Hofert, M., & Wüthrich, M. V. (2012). Statistical review of nuclear power accidents. Asia-Pacific Journal of Risk and Insurance, 7(1).

Hsieh, P.-H. (1999). Robustness of tail index estimation. Journal of Computational and Graphical Statistics, 8(2), 318–332.

Ibragimov, R., & Walden, J. (2007). The limits of diversification when losses may be large. Journal of banking & finance, 31(8), 2551-2569.

Ibragimov, R., Jaffee, D., & Walden, J. (2011). Diversification disasters. Journal of financial economics, 99(2), 333-348.

Ibragimov, M., Ibragimov, R., & Walden, J. (2015). Heavy-tailed distributions and robustness in economics and finance (Vol. 214). Springer.

Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection, Journal of Finance, 7 (1), 77-91.

Markowitz, H. (1971). Portfolio selection : efficient diversification of investments. Yale University Press.

Moscadelli, M. (2004). The modelling of operational risk: experience with the analysis of the data collected by the Basel committee. Technical Report 517, Banca d’Italia

Raper, S. (2018). Turning points: Bernoulli’s golden theorem. Significance, 15(4), 26-29.

Ross, S. A. (1976). A note on a paradox in portfolio theory. Unpublished Mimeo, University of Pennsylvania.

Roy, A. D. (1952). Safety first and the holding of assets. Econometrica, 431-449.

Samuelson, P. A. (1967). Efficient portfolio selection for Pareto-Lévy investments. Journal of financial and quantitative analysis, 2(2), 107-122.

Sornette, D., Knopoff, L., Kagan, Y. Y., & Vanneste, C. (1996). Rank‐ordering statistics of extreme events: Application to the distribution of large earthquakes. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 101(B6), 13883-13893.

Smith, M. L., & Kane, S. A. (1994). The law of large numbers and the strength of insurance. In Insurance, Risk Management, and Public Policy: Essays in Memory of Robert I. Mehr (pp. 1-27). Dordrecht: Springer Netherlands.

Zajdenweber, D. (1996). Extreme values in business interruption insurance. Journal of Risk and Insurance, 95-110.

Zajdenweber, D. (2000). Économie des extrêmes. Flammarion.

1. Le cas des dés est un peu particulier car la géométrie du cube, en particularité sa régularité (on parle d’hexaèdre régulier, à 6 faces), permet d’inférer la probabilité sans faire la moindre expérience

2. La littérature théorique des probabilités s’est largement construite sur l’idée de variables d’espérances finies, et il est très dur de s’en passer (tout raisonnement “en moyenne” devenant impossible)

3. Il faudra attendre les années 1970, et les travaux de Guus Balkema ou Laurens de Haan, pour avoir une preuve mathématique de ce résultat. L’école néerlandais de statistique a fait des avancées majeures sur l’analyse des évènements extrêmes suite au raz-de-marée de 1953 en mer du Nord, qui a eu des conséquences majeures et désastreuses aux Pays-Bas, comme le rappellent Embrechts et al. (2024)

IDSC’24, Insurance Data Science Conference, in Stockholm

Great time at the IDSC’24, Insurance Data Science Conference, in Stockholm, those two days…

I am glad to see so many people using the datasets of the CASdatasets package… good news, we are working with Christophe Dutang, Julien Siharath and Ewen Gallic this summer to enrich it, with fresh and new data, and with vignettes ! more about it this Fall !

Talk in Stockholm, Sweden, at the Insurance Data Science Conference

This week, I will attend the Insurance Data Science conference in Sweeden. It has been a while… I was a keynote speaker at the one in London, ten years ago (to give a talk I still have feedbacks about – Getting into Bayesian Wizardry… (with the eyes of a muggle actuary) – by that time, the conference was “R in Insurance”), and then, we organized the one in Paris, back in 2017. Then we had the online events, but it was… different.

This time, I will get back to our recent paper A Sequentially Fair Mechanism for Multiple Sensitive Attributes, with François Hu and Philipp Ratz, and the equipy package, wrote with Agathe Fernandes-Machado and Suzie Grondin. The slides are available online.

Talk in København

Tomorrow, I will give a talk at København Universiteit, on Using optimal transport to quantify and mitigate unfair insurance predictions. It is based on recent work with François Hu and Philipp Ratz (2310.20508, 2309.06627, 2306.12912 and 2306.10155).

The insurance industry is heavily reliant on predictions of risks based on characteristics of potential customers. Although the use of said models is common, researchers have long pointed out that such practices perpetuate discrimination based on sensitive features such as gender or race. Given that such discrimination can often be attributed to historical data biases, an elimination or at least mitigation is desirable. With the shift from more traditional models to machine-learning based predictions, calls for greater mitigation have grown anew, as simply excluding sensitive variables in the pricing process can be shown to be ineffective. In this talk, we first investigate why predictions are a necessity within the industry and why correcting biases is not as straightforward as simply identifying a sensitive variable. We then propose to ease the biases through the use of Wasserstein barycenters instead of simple scaling. To demonstrate the effects and effectiveness of the approach we employ it on real data and discuss its implications. The talk will be based on a recent textbook (978-3-031-49782-7) as well as work with François Hu and Philipp Ratz (2310.20508, 2309.06627, 2306.12912 and 2306.10155).

From Contemplative to Predictive Modeling

As mentioned yesterday, I gave a talk, this afternoon, entitled From Contemplative to Predictive Modeling (in actuarial science and risk management). Slides are available online, but maybe I can take some time to explain what I talked about…

It is usually claimed that actuaries build ‘predictive models’ but most of the time, what they consider would be simply ‘contemplative modeling’, in the sense that they use past information and hope that the future will be more or less the same (corresponding to the idea of generalization in machine learning). In the context of climate change (but also when modeling insurance market competition) it is not the case, data used to train models do not have the same distribution as the one we will have in the future.

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SCOR Foundation – Scope and limits of Artificial intelligence

On May 15, 2024, the SCOR Foundation for Science hosted a webinar titled “Scope and limits of Artificial intelligence”, delivered by Arthur Charpentier. A professor in the Department of Mathematics at the University of Quebec in Montreal and a member of the Institute of Actuaries, Arthur Charpentier is an internationally recognized expert in actuarial science and the author of numerous academic articles published in the best actuarial academic journals worldwide.

During the webinar, Arthur Charpentier discussed the research project “Fairness of predictive models: an application to insurance markets”, which is supported by the SCOR Foundation for Science. This project addresses biases within the automatic artificial intelligence algorithms utilized to determine optimal pricing in individual policies. Its aim is to mitigate or eliminate such biases, which could lead to inequities or discriminatory practices based on factors such as gender, race, religion, or origin in the coverage provided by insurers or reinsurers to policyholders.

Trip in (Northern) Europe

The next two weeks, in will be in (Northern) Europe, with a first stop in Brussels (to visit colleagues), then in Leuven (I will give a talk on Monday at KU Leuven), then in København (I will give a talk on Friday at Københavns Universitet), and finally in Stockholm (at Stockholm University, for the Insurance Data Science conference).

In the Fall, I will be in Europe, with Lisbon (European Actuarial Journal conference), in France (Cerisy Colloques) and in Warsaw in Poland. In Poland, I will give a two day cours on Insurance, Biases, Discrimination and Fairness

More to come soon…

Quantifying Fairness and Discrimination in Predictive Models

The article Quantifying Fairness and Discrimination in Predictive Models was just published in Machine Learning for Econometrics and Related Topics, Springer.

The analysis of discrimination has long interested economists and lawyers. In recent years, the literature in computer science and machine learning has become interested in the subject, offering an interesting re-reading of the topic. These questions are the consequences of numerous criticisms of algorithms used to translate texts or to identify people in images. With the arrival of massive data, and the use of increasingly opaque algorithms, it is not surprising to have discriminatory algorithms, because it has become easy to have a proxy of a sensitive variable, by enriching the data indefinitely. According to [69], “technology is neither good nor bad, nor is it neutral”, and therefore, “machine learning won’t give you anything like gender neutrality ‘for free’ that you didn’t explicitely ask for”, as claimed by [61]. In this article, we will come back to the general context, for predictive models in classification. We will present the main concepts of fairness, called group fairness, based on independence between the sensitive variable and the prediction, possibly conditioned on this or that information. We will finish by going further, by presenting the concepts of individual fairness. Finally, we will see how to correct a potential discrimination, in order to guarantee that a model is more ethical.

Assurabilité, vers de nouveaux partages de risque, Congrès des Actuaires

Jeudi, je vais participer, à distance, au 23e congrès de l’Institut des Actuaires, en France, avec Florence Picard et Laurence Barry.

Notre exposé a pour titre “assurabilité : vers de nouveaux partages de risques?”. Je parlerais un peu des catastrophes naturelles… et du risque de sécheresse, ou plutôt du risque “RGA“.

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Workshop on Trustworthy AI, in Montreal

This Monday, a Workshop on Trustworthy AI will be held May 27, 2024 in Montreal.

We will be there with Agathe and Olivier, to chat with people who might have some interest

Here are our posters. I wil talk about discrimination and insurance

Agathe will explain why callibration of scores is important,

and finally, Olivier will talk about building (causal) graphs for fairness

 

Présentation à Bordeaux, Journées de Statistique

Cette semaine, Sam – Samuel Stocksieker – sera à Bordeaux, aux journées de statistiques, pour parler “smoothed bootstrap” et génération de données synthétiques pour la modélisation des extrêmes (papier co-écrit avec Denys Pommeret).

En apprentissage supervisé, il est assez fréquent de se retrouver confronté à des données présentant des distributions déséquilibrées. Cette situation entraîne souvent une difficulté d’apprentissage pour les algorithmes standards. La recherche et les solutions en matière d’apprentissage à partir de distributions déséquilibrées se sont principalement concentrées sur les tâches de classification. Malgré son importance, très peu de solutions existent pour la régression déséquilibrée (Imbalanced Regression). Dans cet article, nous proposons une procédure d’augmentation de données, nommée DENIS, basée sur des estimations à noyau de densité. Cette approche fournit une expression des densités conditionnelles des générateurs. Nous appliquons DENIS en régression déséquilibrée et proposons de le combiner à une nouveau type de générateur de type wild-boostrap pour simuler la variable cible, conditionnellement aux nouvelles données synthétiques. Nous évaluons les performances de l’algorithme DENIS dans des situations de régression déséquilibrée. Nous évaluons empiriquement et comparons notre approche et démontrons une amélioration significative par rapport aux techniques existantes.

"sendo l'intento mio scrivere cosa utile a chi la intende…"

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