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STT2700, estimation, tests et coupes du monde

Mercredi, pour le dernier cours, nous allons revenir sur l’estimation, les tests, et plus gĂ©nĂ©ralement sur la modĂ©lisation statistique. Pour cela, j’avais pensĂ© travailler sur les nombres de buts marquĂ©s, par match, lors de diffĂ©rentes coupes du monde de soccer (1982, 1998 et 2010). Je ne mets pas l’intĂ©gralitĂ© du code aujourd’hui, l’idĂ©e est pour l’instant de mettre en ligne des donnĂ©es qui serviront Ă  rĂ©pondre aux questions qui seront posĂ©es mercredi. Le code (accompagnĂ© – Ă©ventuellement – d’explications thĂ©oriques) sera postĂ© par la suite.

soccer1982=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1982")
S82=(soccer1982$V1+soccer1982$V2)
soccer1998=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1998")
S98=(soccer1998$V1+soccer1998$V2)
soccer2010=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer2010")
S10=(soccer2010$V1+soccer2010$V3)

Les boxplot associés à ces trois échantillons sont les suivants,

On va se poser des questions autour de ces donnĂ©es, par exemple voir s’il est vraisemblance (ou pas) que le nombre moyen de but dans un match (avant prolongation, s’il y en a eu). On peut commencĂ© par essayer de se demander quel modèle utiliser. Classiquement, la loi de Poisson est la plus utilisĂ©e (en plus, c’est la seule loi qui est autorisĂ©e lorsqu’on publie un billet le 1er avril). Les histogrammes sont les suivants

boxplot(S82,S98,S10,col=c("red","yellow","blue"),
label=("1982","1998","2010"))
hist(S82,breaks=0:11,col="red")
hist(S98,breaks=0:11,col="yellow")
hist(S10,breaks=0:11,col="blue")

Si on compare les fonctions de répartition empiriques à celles de lois de Poisson ajustées par maximum de vraisemblance, on obtient, pour la coupe du monde de 1982

et pour celle de 2010,

Visuellement, l’ajustement semble relativement bon, surtout en 2010. On peut aussi faire un test du chi-deux,

> library(vcd)
> (GF=goodfit(S10,type="poisson"))

Observed and fitted values for poisson distribution
with parameters estimated by ML

 count observed     fitted
     0        7  6.6409703
     1       17 15.0459484
     2       13 17.0442384
     3       14 12.8719508
     4        7  7.2907534
     5        5  3.3036226
     6        0  1.2474617
     7        1  0.4037543

> summary(GF)

	 Goodness-of-fit test for poisson distribution

                      X^2 df  P(> X^2)
Likelihood Ratio 5.586765  5 0.3485255

On voit que l’on accepte l’ajustement par une loi de Poisson. Pour ceux qui veulent une visualisation, sur la figure ci-dessous, on a la densitĂ© d’une loi du chi-deux. Le premier trait vertical est la valeur observĂ©e, et l’aire jaune est alors la p-value (qui excède largement 5%). En rouge on a 5%, donc le second trait vertical est la borne de la rĂ©gion critique associĂ© au test pour une erreur de première espèce valant 5%,

On peut ensuite faire plein de tests.  On suppose que . On va pouvoir tester

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-04.gif

contre une hypothèse alternative

http://freakonometrics.free.fr/test-<br /><br /> soccer-06.gif

Comme on a une hypothèse sur la loi des observations qui semble robuste, on peut utiliser un test de type rapport de vraisemblance.
On peut aussi faire un test de la forme

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-09.gif

contre

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-10.gif

(histoire de tester des hypothèses simples – qui ont une interprĂ©tation). Sinon, comme ce qui nous intĂ©resse, c’est de savoir si on a plus de trois buts par matchs, on peut dĂ©finir la variable binomiale http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-03.gif, en notant que

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-02.gif

est une proportion – donc facile Ă  tester – qui nous intĂ©resse ici compte tenu du problème que l’on cherchera Ă  rĂ©soudre. On pourra alors tester, par exemple

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-08.gif

contre

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-07.gif

Ces derniers tests sont alors facile Ă  mettre en Ĺ“uvre,

> Z=(S10>=3)*1
> prop.test(sum(Z),length(Z),p=1/2,alternative="less")

	1-sample proportions test with continuity correction

data:  sum(Z) out of length(Z), null probability 1/2 
X-squared = 1.2656, df = 1, p-value = 0.1303
alternative hypothesis: true p is less than 0.5 
95 percent confidence interval:
 0.0000000 0.5322764 
sample estimates:
       p 
0.421875

On peut aussi faire des tests de moyenne sur

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-11.gif

Un test de l’hypothèse

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-04.gif

contre une hypothèse alternative

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-06.gif

s’Ă©crit alors
> t.test(S10,mu=3,alternative ="less")

	One Sample t-test

data:  S10 
t = -3.7763, df = 63, p-value = 0.0001775
alternative hypothesis: true mean is less than 3 
95 percent confidence interval:
     -Inf 2.590273 
sample estimates:
mean of x 
 2.265625
Mais on l’aura l’occasion de revoir tous les points du cours, y compris aller peut ĂŞtre un peu plus loin, par exemple sur la comparaison de moyenne entre Ă©chantillons,
> t.test(S82,S98,var.equal=FALSE)

	Welch Two Sample t-test

data:  S82 and S98 
t = 0.427, df = 85.266, p-value = 0.6704
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 -0.5503669  0.8514658 
sample estimates:
mean of x mean of y 
 2.807692  2.657143