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Régression sur des variables orthogonales

Hier, on a évoqué en cours le théorème de Frisch-Waugh (évoqué sur ce blog il y a quelques mois). Derrière, il y a l’estimation de modèles sur des sous-ensembles de valeurs. Formellement, on a un modèle de la forme

https://latex.codecogs.com/gif.latex?Y=\boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta}+\varepsilon=\boldsymbol{X}_1\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{X}_2\boldsymbol{\beta}_2+\varepsilon
Les équations normales sont ici (cf transparents du cours, ou équations écrites au tableau) https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}%27\boldsymbol{X}\widehat{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{X}%27Y, que l’on peut écrire sous la forme d’un système,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{X}_1%27\boldsymbol{X}_1%20\widehat{\boldsymbol{\beta}}_1+\boldsymbol{X}_1%27\boldsymbol{X}_2%20\widehat{\boldsymbol{\beta}}_2=\boldsymbol{X}_1%27Y%20\\%20\boldsymbol{X}_2%27\boldsymbol{X}_1%20\widehat{\boldsymbol{\beta}}_1+\boldsymbol{X}_2%27\boldsymbol{X}_2%20\widehat{\boldsymbol{\beta}}_2=\boldsymbol{X}_2%27Y%20%20\end{array}\right.
Le point intéressant est que si les variables dans le premier ensemble et les variables dans le second sont orthogonales, i.e. https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}_1%27\boldsymbol{X}_2%20=\boldsymbol{0} et https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}_2%27\boldsymbol{X}_1%20=\boldsymbol{0}, alors les termes diagonaux du système disparaissent, et on retrouve les équations normales des régressions simples, i.e.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{X}_1%27\boldsymbol{X}_1%20\widehat{\boldsymbol{\beta}}_1=\boldsymbol{X}_1%27Y%20\\%20\boldsymbol{X}_2%27\boldsymbol{X}_2%20\widehat{\boldsymbol{\beta}}_2=\boldsymbol{X}_2%27Y%20%20\end{array}\right.
On a ici une conséquence du théorème de Frisch-Waugh: si les variables sont orthogonales, les estimateurs dans la régression multiple coïncident avec ceux obtenus avec des régressions simples.

Afin de mieux clarifier ce point, écrivons ce qui se passerait avec seulement deux variables. On va associer la constante à la première, i.e.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?Y=\boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta}+\varepsilon=(1%20\%20\boldsymbol{X}_1)\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_0%20\\%20\boldsymbol{\beta}_1\end{pmatrix}+\boldsymbol{X}_2\boldsymbol{\beta}_2+\varepsilon
Dans ce cas, les équations normales sont

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\left\{\begin{array}{l}\begin{pmatrix}1%20\\%20\boldsymbol{X}%27_1\end{pmatrix}(1%20\%20\boldsymbol{X}_1)\begin{pmatrix}\widehat{\boldsymbol{\beta}}_0%20\\%20\widehat{\boldsymbol{\beta}}_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1%20\\%20\boldsymbol{X}%27_1\end{pmatrix}\boldsymbol{X}_2%20\widehat{\boldsymbol{\beta}}_2=\begin{pmatrix}1%20\\%20\boldsymbol{X}%27_1\end{pmatrix}Y%20\\%20\boldsymbol{X}_2%27(1\%20\boldsymbol{X}_1)%20\begin{pmatrix}\widehat{\boldsymbol{\beta}}_0%20\\%20\widehat{\boldsymbol{\beta}}_1\end{pmatrix}+\boldsymbol{X}_2%27\boldsymbol{X}_2%20\widehat{\boldsymbol{\beta}}_2=\boldsymbol{X}_2%27Y%20%20\end{array}\right.
Bref, il faut que https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol%20X_1 et https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol%20X_2 soient orthogonales pour que le terme sur la seconde diagonale disparaisse. C’est ce qu’on retrouve dans la plupart des livres d’économétrie, il suffit de chercher le théorème de Frisch-Waugh dans l’index (même si le théorème de Frisch-Waugh va beaucoup plus loin puisqu’il explique quels ajustement faire pour lier les estimateurs dans une régression simple, et dans le cas multiple).

Mais est-ce un résultat purement théorique ou peut-on l’invoquer dans un cas pratique ? Autrement dit, si deux variables semblent orthogonales, que se passent-il numériquement ? Si je simule des variables explicatives indépendantes, les estimateurs coïncident-ils (comme le suggère la théorie) ?

Considérons un modèle linéaire avec deux variables explicative que l’on supposera indépendantes, mais ayant toutes deux un impact sur la variable explicative. Le plus simple est de considérer un triple de variables telles que

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{Z}=\begin{pmatrix}%20Y%20\\%20X_1\\X_2\end{pmatrix}\sim\mathcal{N}\left(\begin{pmatrix}%20\mu_Y%20\\%20\mu_{X_1}\\\mu_{X_2}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}%201%20&%20\star%20&%20\star%20\\%20\star%20&%201&0\\\star&0&1\end{pmatrix}\right)
où https://latex.codecogs.com/gif.latex?\star désigne des valeurs non nulles. Par exemple,

> set.seed(1)
> n=100
> S=matrix(c(1,.4,.3,.4,1,0,.3,0,1),3,3)
> S
[,1] [,2] [,3]
[1,]  1.0  0.4  0.3
[2,]  0.4  1.0  0.0
[3,]  0.3  0.0  1.0
> M=c(1,3,6)
> Z=rmnorm(n,M,varcov=S)
> Y=Z[,1]; X1=Z[,2]; X2=Z[,3]
> base=data.frame(Y,X1,X2)
> cor(base)
Y          X1          X2
Y  1.0000000  0.37796580  0.27859381
X1 0.3779658  1.00000000 -0.05060539
X2 0.2785938 -0.05060539  1.00000000

On a simulé ici deux variables indépendantes, mais toutes deux corrélées avec la variable d’intérêt. On notera que numériquement

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n%20X_{1,i}X_{2,i}%20\neq%20\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n%20X_{1,i}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n%20X_{2,i}

(autrement dit, en moyenne, on simulera des données indépendantes, mais dans ce cas précis, les données ne sont pas rigoureusement orthogonales).

> sum(X1*X2)/n
[1] 18.20194
> sum(X1)*sum(X2)/n^2
[1] 18.25097
Mais un test rapide nous pousse à accepter l’hypothèse d’indépendance entre les deux variables (sans trop d’hésitations).

> cor.test(X1,X2)

Pearsons product-moment correlation

data:  X1 and X2
t = -0.5016, df = 98, p-value = 0.6171
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.2445923  0.1472766
sample estimates:
cor
-0.05060539

Si on regarde maintenant la régression,

> R=lm(Y~X1+X2,data=base)
> summary(R)

Call:
lm(formula = Y ~ X1 + X2, data = base)

Residuals:
Min       1Q   Median       3Q      Max
-1.87885 -0.57656  0.07957  0.52719  1.77407

Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  4.71180    0.28246  16.682  < 2e-16 ***
X1           0.37232    0.08441   4.411 2.66e-05 ***
X2           0.25975    0.07755   3.350  0.00115 **
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.7954 on 97 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2317,	Adjusted R-squared: 0.2159
F-statistic: 14.63 on 2 and 97 DF,  p-value: 2.803e-06

Quel est le lien avec les régressions simples, sur chacune des variables ? Si on régresse sur la première, on obtient

> R1=lm(Y~X1,data=base)
> summary(R1)

Call:
lm(formula = Y ~ X1, data = base)

Residuals:
Min       1Q   Median       3Q      Max
-1.78973 -0.54060  0.04036  0.44138  1.94389

Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  5.03165    0.27934  18.013  < 2e-16 ***
X1           0.35802    0.08859   4.041 0.000106 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.8358 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.1429,	Adjusted R-squared: 0.1341
F-statistic: 16.33 on 1 and 98 DF,  p-value: 0.0001058

et si on régresse sur la seconde

> R2=lm(Y~X2,data=base)
> summary(R2)

Call:
lm(formula = Y ~ X2, data = base)

Residuals:
Min      1Q  Median      3Q     Max
-1.8652 -0.5507  0.1104  0.6109  2.1435

Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  5.85053    0.12495  46.824  < 2e-16 ***
X2           0.24244    0.08443   2.872  0.00501 **
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.867 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.07761,	Adjusted R-squared: 0.0682
F-statistic: 8.246 on 1 and 98 DF,  p-value: 0.005005

Si les données ne sont pas rigoureusement orthogonales, alors https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\beta}_1 dans le modèle multiple est légèrement différent de https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\beta}_1 obtenu dans le modèle simple. Si on regarde la distribution de nos estimateurs (n’oublions pas qu’il y a une marge d’erreur), ils sont proches, ou au moins statistiquement proches (avec à gauche la distribution de https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\beta}_1 et à droite celle de https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\beta}_2)

Si on génère 100 bases de données avec ce modèle (avec 500 observations à chaque fois) on obtient les estimateurs suivants (à gauche les https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\beta}_1 et à droite les https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\beta}_2, avec en abscisse le modèle multiple et en ordonnées, le modèle simple).

(la valeur centrale étant la vraie valeur, utilisée pour les simulations). On pourrait se demander si les valeurs éloignées du barycentre (ou de cette première bissectrice) correspondent à des cas où l’hypothèse d’indépendance entre les deux variables est rejetée ? On peut mettre des couleurs différentes en fonction de la https://latex.codecogs.com/gif.latex?p-value: plus la https://latex.codecogs.com/gif.latex?p-value est faible (rejet de l’hypothèse d’indépendance) plus la couleur sera vive (et rouge), et plus la https://latex.codecogs.com/gif.latex?p-value est forte (acceptation de l’hypothèse d’indépendance) plus la couleur sera terne (et jaune, voire blanche),

sur 1,000 simulations, on obtient

Le code est ici

> set.seed(1)
> library(mnormt)
> S=matrix(c(1,.4,.3,.4,1,0,.3,0,1),3,3)
> BX1=BX2=matrix(NA,1000,2)
> P=rep(NA,1000)
> for(s in 1:1000){
+   n=500
+   Z=rmnorm(n,c(6,3,1),varcov=S)
+   Y=Z[,1]; X1=Z[,2]; X2=Z[,3]
+   base=data.frame(Y,X1,X2)
+   R=lm(Y~X1+X2,data=base)
+   BX1[s,1]=coefficients(R)[2]
+   BX2[s,1]=coefficients(R)[3]
+   BX1[s,2]=coefficients(lm(Y~X1,data=base))[2]
+   BX2[s,2]=coefficients(lm(Y~X2,data=base))[2]
+   P[s]=cor.test(X1,X2)$p.value
+ }
> COL=(heat.colors(100))
> plot(BX1[,1],BX1[,2],pch=19,cex=.6,col=COL[trunc(100*P)])
> abline(a=0,b=1,lty=2)

Autrement dit le fait que l’estimation dans le modèle multiple et les modèles simples diffèrent beaucoup n’a rien a voir avec la https://latex.codecogs.com/gif.latex?p-value d’un test d’indépendance entre les deux variables… étonnant non ? En revanche, si on rajoute une observation pour rendre le modèle parfaitement non-corrélé, par exemple,

> difference=sum(X1*X2)*(n+1)/sum(X1)-sum(X2)
> X1=c(X1,0)
> X2=c(X2,difference)
> n=n+1
> sum(X1*X2)/n
[1] 18.02172
> sum(X1)*sum(X2)/n^2
[1] 18.02172
On retrouve ici une corrélation parfaitement nulle,
> Y=c(Y,0)
>  base=data.frame(Y,X1,X2)
>  cor(base)
Y            X1            X2
Y  1.0000000  3.946091e-01  2.923412e-01
X1 0.3946091  1.000000e+00 -4.817519e-16
X2 0.2923412 -4.817519e-16  1.000000e+00
Si on regarde maintenant la régression multiple
>  R=lm(Y~X1+X2,data=base)
>  coefficients(R)
(Intercept)          X1          X2
-1.5028358   0.3589776   0.2531358
et les deux régressions simples,
>  R1=lm(Y~X1,data=base)
>  coefficients(R1)
(Intercept)          X1
0.02847362  0.35897764
>  R2=lm(Y~X2,data=base)
>  coefficients(R2)
(Intercept)          X2
-0.4334011   0.2531358
on obtient exactement les mêmes coefficient.
Moralité ? l’hypothèse d’orthogonalité entre les variables explicatives n’est pas à prendre à la légère: il faut une orthogonalité stricte pour que numériquement, la régression multiple soit équivalente aux régressions simples (comme le prédit la théorie). Mais de manière un peu surprenante, si on est très proche de l’indépendance, les valeurs numériques des estimateurs peut différer. Et ce, parfois de manière non négligeable, même si statistiquement, on valide l’hypothèse d’orthogonalité entre les variables explicatives.

Sur le lissage exponentiel

Sur le lissage exponentiel, je pourrais renvoyer vers Gardner (1985), et la version remise au goût du jour, Gardner (2005). J’avais pris comme position, dans le cours, de présenter rapidement le lissage exponentiel, en notant qu’on les évoquerais à nouveau plus tard comme cas particulier des modèles ARIMA. Comme le note la dernière version, Gardner (2005), ce n’est pas forcément l’unique manière de voir, et le cours pourrait être orienté complètement autour des notions de lissage exponentiel (c’est d’ailleurs le point du vue de livre Hyndman, Koehler, Ord & Snyder (2008)), “when Gardner (2005) appeared, many believed that exponential smoothing should be disregarded because it was either a special case of ARIMA modeling or an ad hoc procedure with no statistical rationale. As McKenzie (1985) observed, this opinion was expressed in numerous references to my paper. Since 1985, the special case argument has been turned on its head, and today we know that exponential smoothing methods are optimal for a very general class of state-space models that is in fact broader than the ARIMA class.”

N’étant toujours pas convaincu, j’évoquerais à nouveau le lissage exponentiel quand on présentera les modèles ARIMA. En attendant, un peu de code pour mieux comprendre ce qui est fait quand on fait du lissage exponentiel.

Commençons par le lissage exponentiel simple, i.e.

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lex03.gif

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/le04.gif désigne un poids attribué à la nouvelle observation dans la fonction de lissage https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lex05.gif. Le code pour lisser une série est alors assez simple,

> library(datasets)
> X=as.numeric(Nile)
> Lissage=function(a){
+  T=length(X)
+  L=rep(NA,T)
+  L[1]=X[1]
+  for(t in 2:T){L[t]=a*X[t]+(1-a)*L[t-1]}
+  return(L)
+ }
> plot(X,type="b",cex=.6)
> lines(Lissage(.2),col="red")

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lissage-exp-1.gif

Sur la figure ci-dessus, non visualise l’impact de https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lisse16.gif sur le lissage. La prévision que l’on fait à la date https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lex14.gif, pour un horizon https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lisse12.gif est alors https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lisse11.gif. Il est alors possible de voir le poids comme un paramètre et on va alors chercher le poids optimal. La stratégie classique est de minimiser l’erreur de prédiction commise à un horizon de 1

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lisse14.gif

> V=function(a){
+  T=length(X)
+  L=erreur=rep(NA,T)
+  erreur[1]=0
+  L[1]=X[1]
+  for(t in 2:T){
+  L[t]=a*X[t]+(1-a)*L[t-1]
+  erreur[t]=X[t]-L[t-1] }
+ return(sum(erreur^2))
+ }

Ici, on obtient comme poids optimal

> A=seq(0,1,by=.02)
> Ax=Vectorize(V)(A)
> plot(A,Ax,ylim=c(min(Ax),min(Ax)*1.05))
> optimize(V,c(0,.5))$minimum
[1] 0.246581

On notera que c’est ce que suggère la fonction de R,

> hw=HoltWinters(X,beta=FALSE,gamma=FALSE,l.start=X[1])
> hw
Holt-Winters exponential smoothing without trend an seasonal comp.

Call:
HoltWinters(x = X, beta = FALSE, gamma = FALSE, l.start = X[1])

Smoothing parameters:
alpha:  0.2465579
beta :  FALSE
gamma:  FALSE

Coefficients:
[,1]
a 805.0389

> plot(hw)
> points(2:(length(X)+1),Vectorize(Lissage)(.2465),col="blue")

Dans le cas du lissage exponentiel double, i.e.

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lex50.gif

et

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/HW02.gif

Dans ce cas, la prédiction est https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lisse13.gif. Le code pour faire un lissage double est là encore assez simple,

> Lissage=function(a,b){
+  T=length(X)
+  L=B=rep(NA,T)
+  L[1]=X[1]; B[1]=0
+  for(t in 2:T){
+  L[t]=a*X[t]+(1-a)*(L[t-1]+B[t-1])
+  B[t]=b*(L[t]-L[t-1])+(1-b)*B[t-1] }
+ return(L)
+ }

Sur la figure suivante, on visualise l’évolution du lissage en fonction de https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lisse15.gif (https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lisse16.gif étant ici fixé),
https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lissage-exp-2.gif
(le lissage simple – avec le même poids https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lisse16.gif – apparaissant ici en trait clair).