Tag Archives: régularité

C’est normal ! (partie 2) et si la normalité n’existait pas?

Avec un peu de retard, je vais tenter de poursuivre le billet sur la normalité, mis en ligne en avril dernier. Mon point de départ reprenait une discussion autour de la « moyenne » comme outil central pour définir la norme, ainsi que des idées que l’on peut retrouver dans le livre de Todd Rose, The End of Averages. Pour compléter mon précédant billet, je pourrais reprendre un exemple mentionné dans ce livre, revenant sur des problèmes rencontrés par l’Armée Américaine dans les années 1950. Lors de la conception des postes de pilotage des avions de chasse, les ingénieurs avaient utilisé les dimensions de plus de 4000 pilotes pour positionner de manière optimale le siège par rapport aux pédales, le manche à balai, la hauteur du pare-brise, mais aussi la forme du siège, du casque, etc. Ces mesures ont permis de calculer les mensurations du pilote « médian » dans une dizaine de dimensions. Par exemple la taille moyenne des pilotes était de 179cm, ce qui a permis de définir la taille d’un pilote moyen entre 175 et 185cm. Si une majorité des pilotes est de taille moyenne, parmi les 4000 pilotes, aucun (parmi les 4000 !) n’était « moyen » dans toutes les dimensions. Comme l’affirmait Daniels (1952), « concevoir un poste de pilotage pour le pilote moyen revenait en fait à n’en concevoir pour aucun ». Je faisais ensuite le lien avec le concept de malédiction de la dimension. Mais je voulais revenir aujourd’hui sur le sens (plus philosophique) de la « normalité ».

De la normalité statistique à la norme, de la régularité à la règle

D’un point de vue empirique, descriptif, être dans la norme, ne signifie rien d’autre qu’être dans la moyenne, ne pas se détacher trop de cette moyenne. On aura alors tendance à définir la norme comme la fréquence de ce qui se produit le plus souvent, comme l’attitude la plus fréquemment rencontrée ou de la préférence la plus régulièrement manifestée. Mais cette normalité n’est pas la normativité, et « être dans la norme », être exemplaire, relève alors d’une dimension différente, qui se rattache cette fois non plus à une description du réel mais à une identification de ce vers quoi il doit tendre. On passe donc du registre de l’être à celui du devoir-être, du « is » au « ought » pour reprendre la terminologie de Hume (1739). Il est en effet difficile d’envisager le modèle (ou la normalité) sans glisser vers ce second sens qu’on peut trouver au concept de norme, et qui déploie quant à lui une dimension à proprement parler normative. Cette vision mène à une confusion entre normes et lois, même si toute la normativité n’est pas épuisée par les lois. Hume constate ainsi que, dans tous les systèmes de morale, les auteurs passent de constat de faits, c’est-à-dire énonciatifs de type « il y a », à des propositions qui comportent une expression normative, comme « il faut », « on doit ». Ce que Hume conteste, c’est le passage d’un type d’affirmation à un autre : pour lui, ce sont là deux types d’énoncés qui n’ont rien à voir les uns avec les autres, et qu’on ne peut donc pas enchaîner logiquement les uns avec les autres, en particulier d’une norme empirique vers une règle normative. Pour Hume, une affirmation qui ne serait pas normatives ne peut pas donner lieu à une conclusion de type normatif. Cette affirmation de Hume a suscité nombre de commentaires et d’interprétations, en particulier parce qu’énoncé telle quel, elle semble être un obstacle à toute tentative de naturalisation de la morale (comme le détaillent Mc Intyre (1959) ou Rescher (1990)). En ce sens, on trouve la distinction forte entre la norme dans la régularité (normalité) et la règle (normativité).

Les lois statistiques, du micro au macro

La loi statistique relève de ce qui est « est » parce qu’on l’a observé ainsi (par exemple « les hommes sont plus grands que les chiens »). La loi humaine (divine, ou judiciaire) relève de ce qui est « est » parce qu’on l’a décrété, et donc « doit être » (« les hommes sont libres et égaux » ou « l’homme est bon »). Enfin, la loi physique relève de ce qui « est » parce qu’on peut le montrer (« les planètes sont attirées entre eux »), souvent dans le cadre d’hypothèses. On voit que les trois concepts peuvent être liés. Par exemple la « loi de Kepler » a été établie historiquement à l’aide d’observations (et rentrait historiquement dans la première catégorie), avant d’être démontrée dans le cadre du modèle Copernicien (et de passer alors dans la troisième). On peut d’ailleurs associer un concept d’équilibre à cette loi, cette « norme ». Toutefois, comme le souligne Hilpinen (1971), les lois probabilistes posent toutefois bon nombre de questions, il suffit de penser aux lancers de dés, ou aux attentes : que signifie « il est normal d’attendre 5 minutes le bus à l’arrêt », ou plus dérangeant d’un point de vue éthique, « il est normal qu’une personne placée en détention provisoire soit emprisonnée 18 mois » ?

On peut voir la « norme » comme une régularité de cas, observée à l’aide de fréquences (ou de moyennes), par exemple, sur la taille des individus, la durée du sommeil, autrement dit des données qui constituent la description d’individus. Les données anthropométriques ont ainsi permis de définir par exemple une taille moyenne des individus dans une population donnée, en fonction de leur âge ; par rapport à cette taille moyenne, un écart de 20% en plus ou en moins détermine le gigantisme ou le nanisme. Si l’on pense aux accidents de la route, il peut être considéré comme « anormal » d’avoir un accident de la route une année donné, à un niveau individuel (micro), car la majorité des conducteurs n’ont pas d’accident. Néanmoins, du point de vue de l’assureur (macro), la norme est que 10 % des conducteurs aient un accident. Il serait donc anormal que personne n’ait d’accident. C’est l’argument que l’on retrouve dans Durkheim (1897). De l’acte singulier qu’est le suicide, s’il est considéré du point de vue de l’individu qui le commet, Durkheim tente de le voir comme un acte social, relevant alors d’une réelle régularité, au sein d’une société donnée. Dès lors, le suicide devient, selon Durkheim, un phénomène « normal ». Les statistiques permettent alors de quantifier la tendance au suicide dans une société donnée, dès lors que l’on observe non plus l’irrégularité qui apparaît dans la singularité d’une histoire individuelle, mais une « normalité sociale » du suicide.

Norme, convention et aspects éthiques

Si on prend un point de vue évolutionniste, ce qui est « normal » est ce qui est le plus capable de s’adapter, de répondre aux besoins, de fournir un modèle pour la résolution des situations (la nature faisant disparaître l’anormalité), et la normalité tend vers la normativité, et il devient difficile de faire la distinction entre les deux aspects. En fait, David Hume aborde ce point dans l’exemple bien connu des rameurs, qui montent dans le même bateau pour traverser un fleuve et qui rament en cadence (cet exemple est longuement discuté dans Mackie (1980)). Les deux rameurs ajustent peu à peu leurs coups de rame, l’un par rapport à l’autre, et il n’est pas nécessaire d’obtenir un accord explicite (qui formulerait la « norme ») qu’ils respecteraient. La loi, qui consiste à imposer une norme peut être utile en cas de conflit (si un des rameurs refuse de ramer, ou deux rameurs de capacités physiques très différentes), mais bien souvent, il n’est pas nécessaire de formuler explicitement cette norme inhérente à leur conduite. L’observateur extérieur observera une régularité (lorsque le rythme de croisière sera atteinte) qu’il pourra modéliser, mais ce rythme « normal » observé n’est pas forcément imposé par une loi. Dans le cas de rameurs, on retrouve la notion d’équilibre évoquée précédemment. Construire un modèle, c’est extraire le signal du bruit (pour reprendre la distinction de Silver (2015)), c’est chercher une norme, au sens statistique. Mais cela va plus loin s’il l’on construit un modèle prédictif, la réalité devant alors se conformer au modèle, comme l’espèrent souvent les économètres (et autre modélisateurs).

Qui ne voit pas la présence du diable dans la loi ?

Je suis de plus en plus dérouté par le mélange des genres dans l’espace médiatique, de ces prétendus spécialistes qui nous expliquent des choses qu’ils ont du découvrir 10 minutes avant de commencer à taper un article. Ce matin, des éditorialistes se sentaient autoriser à fabuler sur un sondage conduit sur internet auprès de 800 personnes, et j’avoue que cela m’a agacé… J’ignore si j’ai davantage de légitimité, mais je me suis dit que la loi 78 adoptée vendredi (au Québec) pourrait être un prétexte intéressant pour écrire sur un sujet d’actualité (chose que j’hésite d’ordinaire à faire, car ce n’est pas mon métier, loin de là). Pourquoi ne pourrais-je pas, moi aussi, faire mon malin et analyser un texte de loi ? On va donc regarder cette loi dans le détail, à partir du texte en ligne sur http://profscontrelahausse.org/ (ou pour être complètement honnête, le début seulement de la loi)

L=paste("Dans la presente loi, a moins",
"que le contexte nindique",
"un sens different, on entend par:",
"association d’etudiants}}:une",
"association ou un regroupement ",
"d’associations de niveau postsecondaire",

etc

"la qualite de l’enseignement, les ",
"services requis de façon a ",
"tenir compte des circonstances particulieres",
"resultant de l’interruption ",
"de la session d’hiver de l’annee 2012 ou ",
"de la session d’ete de l’annee 2012.")

L2=substring(toupper(L),1:nchar(L),1:nchar(L))
alphabet=c("A","B","C","D","E","F","G"
,"H","I","J","K","L","M","N","O",
"P","Q","R","S","T","U","V","W","X","Y","Z")
L2=L2[L2%in%alphabet]
ML=t(matrix(L2,nc,nl))

On peut visualiser le début du texte ci-dessous (l’idée est de ne garder que les lettres, pour faire simple, mais on peut tenter plus largement en gardant la ponctuation, et les chiffres, ça ne change rien aux algorithmes que nous allons développer)

Commencons pas des trivialités: le texte de cette loi est fondamentalement inégalitaire: ce sont toujours les mêmes qui sortent gagnants, et les mêmes qui sortent perdants,

> sort(table(L))[c(1,2,3,4,5,20,21,22,23)]
L
Y   J   X   H   F   N   A   S   E
7   8  10  24  26 355 386 402 820
On retrouve ici reproduites les inégalités observées dans presque tous les textes (sauf peut être La Disparition, mais c’est une autre histoire): N, A, S et E en tête, et toujours les mêmes petites lettres qui se trouvent honteusement oubliées…
Maintenant, si on prend le temps de regarder en détail le contenu de la loi, force est de constater qu’on y voit la présence du Malin constamment ! Pour reprendre une idée de Bahye ben Asher ibn Halawa (רבינו בחיי) on peut tenter d’utiliser le code de la ThorahJulien Prévieux avait utilisé cette technique il y a quelques temps pour retrouver toute une terminologie associée aux crashs boursiers dans une page du Capital de Karl Marx, prise au hasard, ou aux paradis fiscaux dans la Richesse des Nations d’Adam Smith. Les amateurs de la théorie de Ramsey prétendront que c’est une supercherie, et ils auront probablement raison. Mais après avoir joué l’autre jour sur la recherche de schémas graphiques dans des images (en l’occurrence des rayures rouges et blanches, afin de repérer Charlie), j’ai eu envie de jouer à chercher des mots dans une matrice de lettres.

Commençons par nous donner un mot, au hasard, e.g.`
MOT="DEMON"
Le but est de voir si ce mot figure, ou pas, dans la matrice de lettre, suivant un schéma simple (c’est l’idée du code de la Thorah). Ma stratégie est ici assez simple: il faut commencer par chercher la lettre la moins présente dans la matrice, qui figure dans le mot. En fait, dans DEMON, je vais me focaliser sur les lettres du centre (en excluant la première et la dernière), i.e. DEMON
lettrelaplusrare=function(mot=MOT){
lettres=substring(mot,2:(nchar(mot)-1),
2:(nchar(mot)-1));
fL=TL[lettres];
return(names(fL)[which.min(fL)])}
rare=lettrelaplusrare()
On trouve ainsi la lettre qui va servir de base dans notre algorithme. A la rigueur, je peux faire une petite fonction qui va colorer une lettre dans la matrice,
dessinlettre=function(ltr="A",clr="yellow"){
which(L==ltr);
CLR=rep(NA,length(ML));
CLR[which(as.vector(ML)==ltr)]=clr;
dessin(ML,CLR,plt=FALSE)}
mais pour le moment, ça ne sert à rien. Dans un second temps, on regarde les lettres qui entourent la lettre la plus rare (c’est pour ça que j’ai exclus les lettres au bord, afin d’être certain d’avoir toujours une lettre avant, et une après),
lettres=substring(MOT,1:(nchar(mot)),
1:(nchar(mot)))
avant=lettres[which(lettres==rare)-1]
apres=lettres[which(lettres==rare)+1]
avant=avant[1]
apres=apres[1]
dessinlettre(rare,"yellow")
dessinlettre(avant,"green")
dessinlettre(apres,"pink")
On a ainsi trois lettres importantes: une relativement rare au centre, en jaune, une avant, en vert, et une après en rose. C’est ce qu’on peut visualiser sur le dessin ci-dessous,
Bon, ensuite on rentre dans l’algorithme, un peu lourd à mon gout: on va étudier tous les triplets possibles de ces trois lettres, en identifiants ceux pour lesquels la lettre au centre est précisément au milieu, coincée entre les deux autres lettres. C’est le principe de ce code de la Thorah. La première étape est de récupérer les coordonnées (dans la matrice) de ces trois lettres,
lrr=which(as.vector(ML)==rare)
lav=which(as.vector(ML)==avant)
lap=which(as.vector(ML)==apres) 
LIGrr=(lrr-1)%%nrow(ML)+1
COLrr=(lrr-1)%/%nrow(ML)+1
LIGav=(lav-1)%%nrow(ML)+1
COLav=(lav-1)%/%nrow(ML)+1
LIGap=(lap-1)%%nrow(ML)+1
COLap=(lap-1)%/%nrow(ML)+1
ptrr=cbind(LIGrr,COLrr)
ptav=cbind(LIGav,COLav)
ptap=cbind(LIGap,COLap)
Ensuite, on balaye l’ensemble des triplets (et ça peut être long),
pointsalignes=function(x,y,z){
((y[1]+2*(x[1]-y[1]))==z[1])&((y[2]+
2*(x[2]-y[2]))==z[2])}
LEQUEL=rep(NA,3)
for(a in 1:length(LIGrr)){
for(b in 1:length(LIGav)){
for(c in 1:length(LIGap)){
if(pointsalignes(ptrr[a,],ptav[b,],ptap[c,])==
TRUE){LEQUEL=cbind(LEQUEL,c(a,b,c))}
}}}
Parmi les triplets, on retient seulement ceux pour lesquels la lettre du milieu est précisément au centre, entre les deux autres. Enfin arrive la dernière étape pénible: regarder suivant la suite logique ce que sont les mots que l’on obtient (une fois placées ces trois lettres, la récurrence est complètement décrite). On retient alors les quintuplets correspondant au mot DEMON,
V=LEQUEL
for(k in 2:ncol(V)){
CLR=rep(NA,length(ML));
i1=ptrr[V[1,k],];
CLR[(i1[2]-1)*ncol(ML)+i1[1]]=clr;
lettres=substring(MOT,1:(nchar(mot)),
1:(nchar(mot)))
milieu=which(lettres==rare)
obtenu=ML[i1[1],i1[2]]
for(u in 1:(milieu-1)){
i2=ptav[V[2,k],]+(u-1)*(ptav[V[2,k],]-ptrr[V[1,k],]);
indice=(i2[2]-1)*ncol(ML)+i2[1]
if((i2[2]<=ncol(ML))&(i2[1]>=1)&(i2[1]<=
nrow(ML))&(i2[1]>=1)){CLR[indice]=clr;
obtenu=paste(ML[i2[1],i2[2]],obtenu,sep="")}}
for(u in (milieu+1):nchar(MOT)){
i3=ptap[V[3,k],]+(u-milieu-1)*(ptap[V[3,k],]-
ptrr[V[1,k],]);
indice=(i3[2]-1)*ncol(ML)+i3[1]
if((i3[2]<=ncol(ML))&(i3[1]>=1)&(i3[1]<=
nrow(ML))&(i3[1]>=1)){CLR[indice]=clr;
obtenu=paste(obtenu,ML[i3[1],i3[2]],sep="")}}
if(obtenu==MOT)
{print(paste(k,"  ",obtenu))}}
Reste à faire tourner cette boucle. Et ca ne manque pas, DEMON apparaît effectivement dans le texte,
On peut aller vérifier, pour ceux qui douteraient,
Coïncidence ? Peut-être…. alors tentons un autre mot, comme MALIN, qui apparait aussi,

ou alors SATAN… ce dernier apparaît huit fois dans le début du texte !
Étonnant non…. en tous les cas, je me suis bien amusé à coder ce petit algorithme, et de voir qu’il fonctionnait aussi bien ! Les amateurs de probabilités pourront se lancer dans des calculs, ou consulter quelques articles qui évoquent cette technique, comme McKay,Bar-Natan, Bar-Hillel & Kalai (2001), et tous les articles évoqués dans les références… Quant au juge qui devra se prononcer sur ma condamnation pour blasphème et pour hérésie, il va de soi que ce billet est une blague. Le diable n’existe pas ! On n’est plus au moyen-age quand même….