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Convergences de variables aléatoires

Le schéma – ou diagramme – des relations entre les modes convergences ressemble à ce qui est présenté sur la droite. C’est grosso modo ce que j’ai dit en cours (sans le représenter explicitement).

Je ne vais pas démontrer ces implications car ce sont des théorèmes (qui peuvent donc se trouver dans n’importe quel textbook de probabilité).

En revanche, un étudiant m’avait demandé si les réciproques étaient vraies. Comme toujours en maths, si les réciproques étaient toujours vraies, on le mettrait. Donc ici les réciproques sont généralement fausses. On peut toutefois se demander quand ces réciproques peuvent être vraies…et quand elles sont fausses.

  • de la convergence en proba à la convergence en moyenne

Commençons par le plus simple (à mon avis). Il existe un cas particulier où cette réciproque est vraie: le cas de variables aléatoires bornées. Autrement dit, si http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv20.png et que l’on a http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv22.png pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn10.png, alors http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvvv23.png pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv24.png.
Bon, en fait la condition est un peu trop forte, et il suffit que la suite http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv1.png soit uniformément intégrable.
Maintenant, il existe aussi des cas où cette réciproque sera fausse (et on se doute qu’en construisant une suite non bornée, on devrait y arriver). Par exemple, supposons que pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn10.png,
http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv5.png
On peut montrer que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv7.png, car en effet
http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv6.png
Toutefois, certes la suite converge dans L1, mais vers une limite différente, étant donné que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv9.png pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn10.png. De plus, http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv10.png et donc la suite ne converge pas dans L2.

  • de la convergence en loi à la convergence en proba

Un exemple simple ici: si http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv1.png converge en loi vers une constante, alors on aura convergence en probabilité (vers la même constante).
Maintenant la réciproque est relativement simple, l’idée étant que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvv555.png n’implique en rien http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv5666.png, au sens où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvvv56666.png, pour tout http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv56565.png. Supposons maintenant que l’on ait à la fois http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvv4646.png et http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv20.png, où on va supposer que http://freakonometrics.free.fr/wesp30.png est une loi symétrique. La symétrie signifie que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvv5656655.png. Notons que l’on a alors forcément http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvcv_56.png. Supposons que la réciproque soit toujours vraie, alors on devrait avoir http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cv65464565645vv.png, et donc on aurait que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvwgfrwegr656.png, ce qui n’arrive que si http://freakonometrics.free.fr/wesp30.png est la constante http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv4.png.

  • de la convergence en proba vers la convergence presque sûre

Je ne vais pas m’étendre sur la construction d’exemples pour lesquels la réciproque est fausse (formellement, il suffit de changer d’espace de probabilité sous-jacent, je peux renvoyer vers les notes de cours de Philippe Briand (ici) et Hélène m’a suggéré également les exercices en ligne ). Par contre, il existe des cas importants où la réciproque est vraie.
Considérons une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv1.png. Posons alors http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv30.png On peut alors montrer que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvvv26.png si et seulement si http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv35.png (ça doit être du Borel-Cantelli).

  • de la convergence en loi à la convergence presque sûre

Je ne vais pas non plus m’étendre davantage, mais on a un résultat qui ressemble à ce que je disais auparavant. En fait, il existe un théorème (dit de Skorohod) qui permet de dire que si on a une convergence en loi, alors on peut construite une suite de variables aléatoires qui
convergera presque sûrement. Formellement on a que si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvv4646.png, alors il existe une suite http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv11.png et une variable http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv13.png, telles que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv16.png et http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv15.png telles que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv17.png. Mais de manière générale, si la suite n’est pas construite comme il faut (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv56565.png par http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv56565.png en quelques sortes) alors il est assez rare d’avoir la réciproque.

Statistiques, rappels de probas

Avant de commencer les travaux pratiques de vendredi, quelques rappels sur les notions de convergence.

  • Convergence en loi

Soit http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png une suite de variables aléatoires, de telle sorte que http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver62.png soit la fonction de répartition de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/conv99.png. On dira que la suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en loi vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png de loi http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6%c3%b4.png

en tout point de continuité de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png. On notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6.png

La convergence en loi est la forme la plus faible de convergence: en général, elle n’implique pas les autres formes de convergence que nous verrons, alors que ces autres formes de convergence impliquent la convergence en loi.

De manière équivalente, on aura convergence en loi si et seulement si, pour toute fonction bornée

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver54.png

En particulier, on aura convergence en loi si et seulement si on a convergence des fonctions génératrice en tout point.

  • Convergence en probabilité

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en probabilité vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conv50.png

que l’on notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver4.png

Parmi les résultats classiques, on a aussi que si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver40.png

et

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver31.png

alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver30.png. C’est ce mode de convergence qui intervient dans la loi faible des grands nombres.
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver26.png est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d’espérance http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver27.png et de variance http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver28.png et que l’on considére la moyenne empirique

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver24.png

alors  http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver22.png et

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver21.png

Donc http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/conv98.png.

  • Convergence presque sure

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en probabilité vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver13.png

ou encore

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver12.png

que l’on notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver2.png

La convergence presque sûre implique une convergence en probabilité.
La convergence presque sûre est utilisée dans la loi forte des grands nombres.

  • Convergences L1 et L2

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en norme L1 vers la variable aléatoire X si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver11.png

et on parlera de convergence en moyenne quadratique, ou L2, si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver10.png
  • Convergences et transformations

Comme nous le (re)verrons vendredi matin, la transformation des variables aléatoires est un point fondamental en statistique. Soit http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver7.png une fonction continue en tout point d’un ensemble http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver9.png tel que http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver8.png, alors
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver5.png
si http://freakonometrics.free.fr<br />
/blog/latex/conver4.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver3.png
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver2.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/converg1.png
Pour aller plus loin sur les notions de convergence, je renvois au livre de Adrianus Willem van der Vaart, Asymptotic Statistics, paru chez Cambridge University Press.

  • Transformations

Sinon sur les transformations, je devrais présenter (en cours) la formule classique de transformation d’une variable à densité par une fonction bijective et dérivable, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar999.png. La formule est de la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changementvar1.png

En fait, si on se souvient que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar3.png, ou http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar4.png, on peut aussi écrire

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar2.png

L’intérêt de cette relation est qu’elle peut se généraliser en dimension quelconque. Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar99.png (toujours avec une transformation bijective possédant un Jacobien http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changecar8.png strictement positif), on a

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar5.png

avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar7.png. Je peux renvoyer ici pour quelques compléments (et exemples). Mais nous reviendrons plus tard sur le cas multivarié…