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La Loi des Petits Nombres

Comme nous l’avions vu dans Charpentier (2010), la loi des grands nombres est souvent évoquée pour justifier la mutualisation des risques indépendants : plus la mutualité sera grande, plus petite sera la variabilité. A condition que les risques ne soient pas trop grands. Un cas problématique sont les risques catastrophiques : ils sont rares, et parfois tellement (potentiellement) coûteux que l’hypothèse d’existence de la variance doit être remise en cause. La modélisation de ces événements rares repose sur la loi des petits nombres, pour reprendre le nom de l’ouvrage de Ladislaus Bortkiewicz. Comme nous allons le voir, la loi de Poisson est à la loi des petits nombres ce que la loi normale est à la loi des grands nombres. Nous verrons donc en détails l’importance de la loi de Poisson pour modéliser les événements rares. Et nous verrons pourquoi la probabilité qu’un événement ne survienne pas est toujours de 37%. Ou presque.

  • La loi de Siméon-Denis Poisson

Siméon-Denis Poisson a travaillé sur les calculs des probabilités pendant presque 20 ans, de 1820 à 1840. Comme pour beaucoup de ses contemporains, ses premiers travaux portèrent sur des problèmes de jeux, avec une communication à l’Académie des Sciences sur l’avantage du banquier au jeu de trente et quarante. Mais son premier travail conséquent a porté sur un problème longuement étudié par Laplace (qui a été un de ses professeurs) sur la proportion des naissances des filles et des garçons (problème classique de statistique) publié en 1830. Il y présente en particulier une démonstration de la loi des grands nombres pour une loi de Bernoulli, qu’il modifiera par la suite. Dans ce mémoire, il y présente une loi, qui sera appelée plus tard la loi de Poisson : « la probabilité qu’une événement dont la chance à chaque épreuve est la fraction très petite x/mu n’arrive pas plus de  fois dans un très grand nombre d’épreuve mu d’épreuve (pour reprendre la terminologie utilisée en 1837, ce qui correspond à la fonction de répartition avec une terminologie plus contemporaine) est »

https://latex.codecogs.com/gif.latex?P=\left(1+x+\frac{x^2}{1\cdot%202}+\frac{x^3}{1\cdot%202\cdot%203}+\cdots+\frac{x^n}{1\cdot%202\cdots%20n}\right)e^{-x%20}

On verra réapparaître cette loi dans son fameux traité, paru en 1837, Recherches sur la probabilité des jugements. En particulier, dans le chapitre 8, il obtient sa loi comme limite de la loi binomiale https://latex.codecogs.com/gif.latex?B(T,\lambda%20/T) lorsque https://latex.codecogs.com/gif.latex?T devient grand, mais passe assez rapidement à d’autres considérations. Il n’étudie pas cette loi limite, et ne propose pas vraiment de l’utiliser. Il faudra attendre les travaux de Ladislaus Bortkiewicz, presque un siècle plus tard, pour voir des applications, dans Das Gesetz der kleinen Zahlen (la loi des petits nombres). Et comme toujours en mathématiques, lui attribuer tout le crédit est un peu excessif, puisqu’un siècle auparavant, en 1718, de Moivre avait obtenu la loi même loi, toujours comme limite de la loi Binomiale. Si le nom de Poisson est resté à la postérité, c’est essentiellement parce que Boltzmann le cite, en 1868, ainsi que Seidel en 1876, et surtout Tchebychev. Cela dit, Poisson était loin d’être un inconnu, en tant que scientifique. Ses travaux l’ont amené à travailler sur des problèmes d’électrostatique (la fameuse équation de Poisson), à l’équation de la chaleur avec Fourier, il s’est opposé à Fresnel sur des problèmes d’optique, et il a présidé à deux reprises l’Académie des Sciences.

La distribution d’un nombre d’événements obtenu comme somme de variables de Bernoulli, dans une grande population, peut s’approcher par la loi de Poisson. Ou lorsque la probabilité de survenance est faible, par rapport à la taille de l’échantillon. Formellement, si https://latex.codecogs.com/gif.latex?N suit une loi binomiale https://latex.codecogs.com/gif.latex?B(n,p), avec , alors

https://latex.codecogs.com/gif.latex?P[N=k]=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\sim%20e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}

On parlera de loi des petits nombres car on compte ici des évènements rares (la probabilité de survenance d’un évènement étant inversement proportionnelle à ).

Ce résultat se traduit de la manière suivante: si on se donne un échiquier, si on lance 100 pièces et si on compte le nombre de pièces par case, la distribution suivra une loi de Poisson de moyenne 1 (le ratio entre le nombre de pièces et de cases). Une illustration est évoquée sur la Figure suivante

Nombre de pièces par case

Fréquence

Loi de Poisson

0

36

36,78

1

39

36,78

2

16

18,39

3

7

6,13

4

2

1,53

5 et plus

0

0,37

  • L’utilisation de la loi de Poisson, et les mélanges Poissonniens

A la fin du XIXème siècle, à l’université de Göttingen, Wilhelm Lexis (connu en démographie pour les diagrammes qui portent aujourd’hui son nom) avait envie d’étudier les applications de cette loi. Alors qu’il étudiait l’utilisation de la loi de Poisson dans un contexte démographique, un de ces étudiants, Ladislaus Bortkiewicz, proposa de l’utiliser pour modéliser des nombres d’accidents. Dans l’exemple fameux de Bortkiewicz, datant de 1898, il avait étudié le nombre de soldats de cavaliers morts par ruade de cheval, entre 1875 et 1894, dans 10 corps (soit 200 corps annuels). Il avait obtenu la distribution donnée dans la table suivante. La colonne de droite donne le nombre de décès donné par une loi de Poisson de même moyenne. On note que l’ajustement est très bon, et on comprend vite la fascination de Bortkiewicz pour cette loi.

Nombre de décès, par corps

Fréquence

Loi de Poisson

0

109

108,67

1

65

66,21

2

22

20,22

3

3

4,11

4

1

0,63

5 et plus

0

0,08

Maintenant, pour être tout à fait honnête, la loi que nous avons énoncée comme une loi des petits nombres est très différente de celle proposée par Bortkiewicz (celle qu’il a énoncé dans son ouvrage lui a valu un cinglant commentaire de Corrado Gini, qui écrivait en 1907, de manière provocatrice que « the law of small numbers does not exist »). Mais l’utilisation de la loi de Poisson pour modéliser les accidents, et plus généralement les petits nombres venait de débuter.

Dans les années 1930, Filip Lunderg avait noté l’intérêt (théorique) du processus de Poisson pour modéliser l’arrivée des sinistres, ainsi que plusieurs actuaires de l’école scandinave (Esscher en 1932, Sgerdahl en 1939, Lüders en 1934, etc). Depuis, tous les actuaires ont utilisé cette loi pour modéliser toute sorte d’évènements “rares“, comme la survenance annuelle d’ouragans, aux États-Unis (Figure ci-dessous).

Nombre d’ouragans

Fréquence

Loi de Poisson

0

30

27,16

1

48

47,99

2

37

42,41

3

29

24,98

4

8

11,03

5

3

3,90

6

3

1,15

7

1

0,29

8 et plus

0

0,08

  • De la loi de Poisson à la période de retour

Un concept fondamental en gestion des risques extrêmes a été introduit par Emil Gumbel en 1958, liant le temps qui s’écoule (en années) entre deux événements consécutifs et la probabilité (annuelle) de survenance. Pour des événements se produisant avec une probabilité annuelle , indépendamment les uns des autres, le temps moyen d’attente entre deux événements est , appelé période de retour, et la probabilité qu’aucun événement ne survienne pendant années (consécutives) est alors

On peut résumer ceci dans le tableau ci-dessous, où on étudie probabilité qu’un événement ne survienne pas pendant n années (en ligne) en fonction de la période de retour . Pour un événement centenaire, il y a 36,60% chance pour qu’il ne survienne pas en cent ans.

Période de retour (en années)

Nombre d’années
sans catastrophe

10

20

50

100

200

10

34,86%

59,87%

90,43%

90,43%

95,11%

20

12,15%

35,84%

66,76%

81,79%

90,46%

50

0,51%

7,69%

36,41%

60,50%

77,83%

100

0,00%

0,59%

13,26%

36,60%

60,57%

200

0,00%

0,00%

1,75%

13,39%

36,69%

  • La probabilité qu’un événement ne survienne pas est… 37%

Comme on le voit dans le tableau ci-dessus, sur la diagonale, la probabilité qu’un événement ne survienne pas pendant années quand sa période de retour est est de l’ordre de 37%. D’ailleurs, si on revient un instant sur notre échiquier évoqué auparavant, la probabilité de n’avoir aucune pièce sur une case était de… 37%

Reprenons ici un exemple qui avait fait polémique il y a quelques années, sur le risque nucléaire. Dans un article (Laponche et Dessus, 2011), on apprenait que la probabilité d’avoir un incident majeur sur réacteur nucléaire, pour une année, était de l’ordre de 0,0003 (3 chances sur 10,000). Or comme il y a 143 réacteurs nucléaires, sur 30, la probabilité d’avoir un incident majeur est (selon le calcul des auteurs)

D’où la conclusion savoureuse, « la probabilité d’occurrence d’un accident majeur sur ces parcs serait donc […] de plus de 100% pour l’Union européenne ». Comme on l’a noté, la probabilité d’avoir un incident majeur sur une période lorsque la probabilité annuelle est https://latex.codecogs.com/gif.latex?p s’écrit

https://latex.codecogs.com/gif.latex?P[N\leq%20n]=1-(1-p)^n%20\sim%20np

en utilisant un développement limité non justifié ici ! Il convient ici d’utiliser le modèle de Poisson. La probabilité d’avoir au moins un incident majeur est

https://latex.codecogs.com/gif.latex?P[N\leq%20n]=1-(1-p)^n%20\sim%201-e^{-np}

soit ici 72,47%. Si la probabilité était traduite en terme de durée

https://latex.codecogs.com/gif.latex?p=\frac{1}{T}

avec

https://latex.codecogs.com/gif.latex?T=\frac{1}{0,0003\times143}\sim%2023,31

on voit qu’ici, le temps moyen d’attente entre deux incidents majeurs en Europe est de 23 ans. Ce qui fait que sur 23 ans, la probabilité de n’avoir aucun incident majeur est de l’ordre de 37%.

  • Conclusion

La loi de Poisson est présente partout en assurance, car c’est la loi centrale pour modéliser le comptage d’événements rares. Le nombre de décès dans un portefeuille d’assurance-vie suit une loi de Poisson, tout comme le nombre d’accidents par unité de temps en assurance automobile. On retrouve même l’estimateur Chain Ladder du montant de provisions pour sinistres a payer quand on utilise une régression de Poisson sur les incréments de paiements.

Loi des grands nombres et théorème central limite en assurance

Dans le dernier numéro de la revue Risques figure un petit article sur la loi des grands nombres et le théorème central limite en assurance (ici) Le but était de remettre un peu les pendules à l’heure sur la différence entre les implications de ces deux résultats, et surtout d’amorcer une discussion sur l’importance des hypothèses (en particulier celle de risques indépendants).

Test d’ajustement et lâcher de bombes

Avant les applications demain en cours, un petit billet (presque d’actualité) sur une application évoquée vendredi dernier sur le test du chi-deux: l’ajustement de lois.

Le problème est le suivant: un pays se fait bombarder. Et les dirigeants doivent se demander si certaines cibles sont visées (auquel cas il peut être légitime de les déplacer) ou au contraire si les tirs sont aléatoires. Quand je dis que des cibles sont visées, j’entends aussi par là que les pilotes savent viser. Car les pilotes ont (je pense, ou j’espère) un carnet de route à suivre, avec des cibles à viser

Ce que l’on va se demander c’est plutôt si les pilotes savent – ou arrive à – viser. Bref, le problème peut se modéliser en supposant que le lancer de bombes se fait (globalement) selon un processus de Poisson. Localement, si les tirs sont aléatoires, on devrait observer des tirages de lois de Poisson. C’est tout du moins la théorie que R. D. Clarke (alors actuaire chez Prudential Assurance Company) a utilisé pendant la seconde guerre mondiale, sur les bombardements à Londres (en ligne ici). Cette histoire (vraie) est reprise par Thomas Pynchon dans Gravity’s Rainbow (en ligne ici)

(l’exemple est même repris dans Feller). Bref, le problème n’est pas de savoir quel serait le paramètre de la loi de Poisson, mais si la loi de Poisson est adaptée, ou pas. C’est ce qu’on appelle un problème d’ajustement de loi.

  • Test du chi-deux et ajustement de lois

Jusqu’à présent, on avait supposé que les observations suivaient une certaine loi, e.g. une loi de Poisson https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-16.gif, et on cherchait à tester une hypothèse de la forme

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-13.gif

versus

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-14.gif

Ici on va cherche à utiliser un test sur une loi multinomiale, de la forme

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-01.gif

versus

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-02.gif

L’hypothèse nulle est ici une égalité vectorielle,

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-03.gif

ou encore

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-56.gif

Dans le cas d’un test d’ajustement de lois de Poisson, si on suppose que les observations suivent une loi https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-09.gif, on va utiliser un test sur une loi multinomiale, avec

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-08.gif

Le soucis est que, puisque l’on se limite à un vecteur de taille finie, le vecteur ne sera pas dans le simplexe (cf ici). Donc classiquement, pour la dernière valeur, on retient une hypothèse de la forme

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-10.gif

Le test est alors basé sur la statistique de Pearson

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-11.gif

qui va suivre (si effectivement les observations suivent une loi de Poisson https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-09.gif) une loi https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-12.gif.
Rappelons que cette statistique peut aussi s’écrire

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-21.gif

 

  • Application pour étudier la précision d’un lancer de bombes

Pendant la second guerre mondiale, R.D. Clarke étudia les impacts de bombes V1 et V2 tombées dans une zone de 144 km2 dans le sud de Londres (l’article original, publié après guerre en 1946, est en ligne ici). Il divisa cette zone en 576 zones de 0,25 km2 et compta le nombre d’impact dans chacune des zones. Il obtint plus précisément la distribution suivante

nbre impacts par zone 0 1 2 3 4 5 et plus
fréquence (nbre zones) 229 211 93 35 7 1

(en fait, on sait que le “5
et plus” correspond à 7, car sait qu’il y a eu 537 bombes sur 576 zones). Avant de se lancer tête baissée, réfléchissons un peu au type de loi que l’on pourrait utiliser. Pour cela, notons https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/Nb.gif le nombre de points tombés dans un ensemble https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/asubb.gif (ou https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/calA.gif désigne la région globale). Si on suppose qu’un nombre aléatoire https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/Npois.gif de points sont lancés aléatoirement dans https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/calA.gif, et que https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/Npois.gif suit une loi de Poisson https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lambda.gif, alors https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/Nb.gif suit une loi de Poisson de paramètre

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/ratio-aire.gif

Bref, si on regarde plusieurs plusieurs régions https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/calB.gif (de même taille, éventuellement – afin de garder toutes les observations – formant une partition de https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/calA.gif) et si on observe une loi de Poisson, c’est que dans la région https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/calA.gif, les tirs sont faits au hasard.

> (n=c(229,211,93,35,7,0,0,1))
[1] 229 211  93  35   7   0   0   1
> y=0:7
> (lambda=sum(n*y)/sum(n))
[1] 0.9322917
> prob=dpois(y,lambda)
> freq.theo=sum(n)*prob
> freq.emp =n
> cbind(y,trunc(freq.theo),freq.emp)
     y     freq.emp
[1,] 0 226      229
[2,] 1 211      211
[3,] 2  98       93
[4,] 3  30       35
[5,] 4   7        7
[6,] 5   1        0
[7,] 6   0        0
[8,] 7   0        1

On peut commencer par regarder la log-vraisemblance

> logvrais=function(L){sum(log(dpois(y,L))*n)}
> param=seq(.5,1.5,by=.025)
> LV=sapply(param,logvrais)
> plot(param,LV,type="b",col="blue")
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/logvrais1-bombes.png

La statistique du chi-deux, elle, ressemble à ça

> chi2=function(L)sum(n)*sum(((n/sum(n)-dpois(y,L))^2)/dpois(y,L))
> C2=sapply(param,chi2)
> plot(param,C2,type="b",col="red")xxx.
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-bombes.png

Bon, le soucis c’est qu’en tronquant le vecteur (on suppose que le nombre maximum d’impact est 7), la somme des probabilités ne fait pas exactement un. On peut regrouper dans une même classe les fréquences élevées (comme le fait Clarke dans le papier initial d’ailleurs).

> (n=c(229,211,93,35,7,1))
[1] 229 211  93  35   7   1
> y=0:4
> prob=c(dpois(y,lambda),1-ppois(4,lambda))
> freq.theo=sum(n)*prob
> freq.emp =n
> (Q=sum(1
[1] 1.169155
> 1-pchisq(Q,length(y)-1)
[1] 0.8831505

On retrouve les quantités évoquées dans l’article de Clarke. La  statistique de test vaut 1.16 et la p-value associée est de l’ordre de 88%. On va donc accepter l’hypothèse de loi de Poisson,

> chi2=function(L){
+ sum(n)*sum(2)^2)/
+ c(dpois(y,L),1-ppois(4,L)) )}
> C2=sapply(param,chi2)
> plot(param,C2,type="b",col="red")

La valeur de la statistique du chi-deux en fonction du paramètre de la loi de Poisson est représentée ci-dessous,

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-bombes-v2.png

et le trait horizontal est la valeur seuil de la région critique (en dessous, on accepte l’ajustement d’une loi de Poisson),

> abline(h=qchisq(.95,length(y)-1),lty=2)

Il existe plusieurs fonctions sous R permettant de faire des choses semblables,

> library(vcd)
> (n=c(229,211,93,35,7,0,0,1))
[1] 229 211  93  35   7   0   0   1
> nsim=c(rep(y[0],n[0]),rep(y[1],n[1]),
       rep(y[2],n[2]),rep(y[3],n[3]),
       rep(y[4],n[4]),rep(y[5],n[5]),
       rep(y[6],n[6]),rep(y[7],n[7]),
       rep(y[8],n[8]))
> gf=goodfit(nsim,type="poisson",method="ML")
> summary(gf)
 
 Goodness-of-fit test for poisson distribution
 
 X^2 df P(> X^2)
Likelihood Ratio 4.007784 3 0.2606249
 
> gf=goodfit(nsim,type="poisson",method="MinChisq")
> summary(gf)
 
 Goodness-of-fit test for poisson distribution
 
 X^2 df P(> X^2)
Pearson 1.275499 3 0.7349592

Bref, quelle que soit la méthode utilisée, on notera que l’on accepte toujours l’hypothèse d’une loi de Poisson. Autrement dit les bombes étaient envoyés un peu au hasard dans Londres….

Et si on y réfléchit un peu, d’un point de vue de la théorie des jeux, c’est effectivement une stratégie optimale…

  1. freq.theo-freq.emp)^2)/freq.theo []
  2. n/sum(n)-c(dpois(y,L),1-ppois(4,L []

Convergences de variables aléatoires

Le schéma – ou diagramme – des relations entre les modes convergences ressemble à ce qui est présenté sur la droite. C’est grosso modo ce que j’ai dit en cours (sans le représenter explicitement).

Je ne vais pas démontrer ces implications car ce sont des théorèmes (qui peuvent donc se trouver dans n’importe quel textbook de probabilité).

En revanche, un étudiant m’avait demandé si les réciproques étaient vraies. Comme toujours en maths, si les réciproques étaient toujours vraies, on le mettrait. Donc ici les réciproques sont généralement fausses. On peut toutefois se demander quand ces réciproques peuvent être vraies…et quand elles sont fausses.

  • de la convergence en proba à la convergence en moyenne

Commençons par le plus simple (à mon avis). Il existe un cas particulier où cette réciproque est vraie: le cas de variables aléatoires bornées. Autrement dit, si http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv20.png et que l’on a http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv22.png pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn10.png, alors http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvvv23.png pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv24.png.
Bon, en fait la condition est un peu trop forte, et il suffit que la suite http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv1.png soit uniformément intégrable.
Maintenant, il existe aussi des cas où cette réciproque sera fausse (et on se doute qu’en construisant une suite non bornée, on devrait y arriver). Par exemple, supposons que pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn10.png,
http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv5.png
On peut montrer que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv7.png, car en effet
http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv6.png
Toutefois, certes la suite converge dans L1, mais vers une limite différente, étant donné que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv9.png pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn10.png. De plus, http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv10.png et donc la suite ne converge pas dans L2.

  • de la convergence en loi à la convergence en proba

Un exemple simple ici: si http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv1.png converge en loi vers une constante, alors on aura convergence en probabilité (vers la même constante).
Maintenant la réciproque est relativement simple, l’idée étant que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvv555.png n’implique en rien http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv5666.png, au sens où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvvv56666.png, pour tout http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv56565.png. Supposons maintenant que l’on ait à la fois http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvv4646.png et http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv20.png, où on va supposer que http://freakonometrics.free.fr/wesp30.png est une loi symétrique. La symétrie signifie que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvv5656655.png. Notons que l’on a alors forcément http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvcv_56.png. Supposons que la réciproque soit toujours vraie, alors on devrait avoir http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cv65464565645vv.png, et donc on aurait que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvwgfrwegr656.png, ce qui n’arrive que si http://freakonometrics.free.fr/wesp30.png est la constante http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv4.png.

  • de la convergence en proba vers la convergence presque sûre

Je ne vais pas m’étendre sur la construction d’exemples pour lesquels la réciproque est fausse (formellement, il suffit de changer d’espace de probabilité sous-jacent, je peux renvoyer vers les notes de cours de Philippe Briand (ici) et Hélène m’a suggéré également les exercices en ligne ). Par contre, il existe des cas importants où la réciproque est vraie.
Considérons une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv1.png. Posons alors http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv30.png On peut alors montrer que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvvv26.png si et seulement si http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv35.png (ça doit être du Borel-Cantelli).

  • de la convergence en loi à la convergence presque sûre

Je ne vais pas non plus m’étendre davantage, mais on a un résultat qui ressemble à ce que je disais auparavant. En fait, il existe un théorème (dit de Skorohod) qui permet de dire que si on a une convergence en loi, alors on peut construite une suite de variables aléatoires qui
convergera presque sûrement. Formellement on a que si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvv4646.png, alors il existe une suite http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv11.png et une variable http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv13.png, telles que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv16.png et http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv15.png telles que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv17.png. Mais de manière générale, si la suite n’est pas construite comme il faut (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv56565.png par http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv56565.png en quelques sortes) alors il est assez rare d’avoir la réciproque.

Statistiques, rappels de probas

Avant de commencer les travaux pratiques de vendredi, quelques rappels sur les notions de convergence.

  • Convergence en loi

Soit http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png une suite de variables aléatoires, de telle sorte que http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver62.png soit la fonction de répartition de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/conv99.png. On dira que la suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en loi vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png de loi http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6%c3%b4.png

en tout point de continuité de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png. On notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6.png

La convergence en loi est la forme la plus faible de convergence: en général, elle n’implique pas les autres formes de convergence que nous verrons, alors que ces autres formes de convergence impliquent la convergence en loi.

De manière équivalente, on aura convergence en loi si et seulement si, pour toute fonction bornée

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver54.png

En particulier, on aura convergence en loi si et seulement si on a convergence des fonctions génératrice en tout point.

  • Convergence en probabilité

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en probabilité vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conv50.png

que l’on notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver4.png

Parmi les résultats classiques, on a aussi que si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver40.png

et

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver31.png

alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver30.png. C’est ce mode de convergence qui intervient dans la loi faible des grands nombres.
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver26.png est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d’espérance http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver27.png et de variance http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver28.png et que l’on considére la moyenne empirique

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver24.png

alors  http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver22.png et

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver21.png

Donc http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/conv98.png.

  • Convergence presque sure

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en probabilité vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver13.png

ou encore

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver12.png

que l’on notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver2.png

La convergence presque sûre implique une convergence en probabilité.
La convergence presque sûre est utilisée dans la loi forte des grands nombres.

  • Convergences L1 et L2

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en norme L1 vers la variable aléatoire X si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver11.png

et on parlera de convergence en moyenne quadratique, ou L2, si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver10.png
  • Convergences et transformations

Comme nous le (re)verrons vendredi matin, la transformation des variables aléatoires est un point fondamental en statistique. Soit http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver7.png une fonction continue en tout point d’un ensemble http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver9.png tel que http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver8.png, alors
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver5.png
si http://freakonometrics.free.fr<br />
/blog/latex/conver4.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver3.png
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver2.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/converg1.png
Pour aller plus loin sur les notions de convergence, je renvois au livre de Adrianus Willem van der Vaart, Asymptotic Statistics, paru chez Cambridge University Press.

  • Transformations

Sinon sur les transformations, je devrais présenter (en cours) la formule classique de transformation d’une variable à densité par une fonction bijective et dérivable, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar999.png. La formule est de la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changementvar1.png

En fait, si on se souvient que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar3.png, ou http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar4.png, on peut aussi écrire

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar2.png

L’intérêt de cette relation est qu’elle peut se généraliser en dimension quelconque. Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar99.png (toujours avec une transformation bijective possédant un Jacobien http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changecar8.png strictement positif), on a

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar5.png

avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar7.png. Je peux renvoyer ici pour quelques compléments (et exemples). Mais nous reviendrons plus tard sur le cas multivarié…

La loi de Goodhart

Pour conclure le cours de M2 sur les mesures de risque, je voulais revenir sur la loi de Goodhart, énoncé par Charles Goodhart, alors qu’il était chief economic advisor à la Banque d’Angleterre, en 1975 (voir ici pour une analyse détaillée de la loi). L’énoncé originelle était de la forme suivante “Once a social or economic indicator or other surrogate measure is made a target for the purpose of conducting social or economic policy, then it will lose the information content that would qualify it to play such a role.

On retrouve cette loi énoncée dans le livre Economics de John Sloman, par exemple sur le contrôle des banques “If bank advances are a good indicator of aggregate demand, the government may choose to control bank lending. But as soon as it does, bank lending will become a poor indicator.” Certaines personnes énoncent la loi sous la forme suivante, “when a measure becomes a target, it ceases to be a measure”. Autrement dit, pour les non-anglophiles, “toute mesure qui devient un objectif cesse d’être une mesure“.

Il va de soi que ce genre de remarque marche pour les mesures de risque et le contrôle, mais aussi pour des problèmes liés à l’évaluation des universités, comme les g ou h factor, ou le classement de Shanghaï.