# Heuristics on Correspondance Analysis

This week, in the course on non-supervised techniques for data science, we’ve been using a dataset, with candidate for the presidential elections in 2002 (per row) and newpapers (per column). In order to visualize that dataset, consider three candidates, and three newspapers

> sb=base[,c(2,3,4)]
> sb=sb[c(4,12,7),]
> (N=sb)
LeFigaro Liberation LeMonde
Jospin        7         41      26
Chirac       35          9      18
Mamere        1         10       7

The first part is based on a description of rows. Consider here rows are conditional probabilities, in the set of newspapers,

> (L=N/apply(N,1,sum))
LeFigaro Liberation   LeMonde
Jospin 0.09459459  0.5540541 0.3513514
Chirac 0.56451613  0.1451613 0.2903226
Mamere 0.05555556  0.5555556 0.3888889

The “average row” is the marginal distribution of newspapers

> (Lbar=apply(N,2,sum)/sum(N))
LeFigaro Liberation    LeMonde
0.2792208  0.3896104  0.3311688

If we visualize those individuals, in the set of newpapers (in the simplexe in the newspapers space), we have

Here it is,

But actually, we will not stay in the simplexe. A PCA is considered, with weights on individuals, that take into account the importance of the different candidates, and weights for the scalar product (in order to have a distance related to the chi-square distance, and not a standard Euclidean distance)

> matL0=t(t(L)-Lbar)
> library(FactoMineR)
> acpL=PCA(matL0,scale.unit=FALSE,
+   row.w=(apply(N,1,sum)),
+   col.w=1/(apply(N,2,sum)))
> plot.PCA(acpL,choix="ind",ylim=c(-.02,.02))

The second part is based on a description of columns. Here Columns are conditional probabilities, in the set of candidates,

> (C=t(t(N)/apply(N,2,sum)))
LeFigaro Liberation   LeMonde
Jospin 0.16279070  0.6833333 0.5098039
Chirac 0.81395349  0.1500000 0.3529412
Mamere 0.02325581  0.1666667 0.1372549

Here again, we can compute the “average column”

> (Cbar=apply(N,1,sum)/sum(N))
Jospin    Chirac    Mamere
0.4805195 0.4025974 0.1168831

In the simplex, points are

i.e.

But here again, we won’t use that simplexe. We consider a PCA, with two vectors of weights, some to take into account the weights of the newspapers, and some to get a chi-square distance

> Cbar=apply(N,1,sum)/sum(N)
> matC0=C-Cbar
> acpC=PCA(t(matC0),scale.unit=FALSE,
+          row.w=(apply(N,2,sum)),
+          col.w=1/(apply(N,1,sum)))

Now, we can almost overlap the two projections. Almost because we might, sometime switch right and left, top and bottom. Because if $\boldsymbol{u}$ is a (unit) eigenvector, so is $-\boldsymbol{u}$. Here, for instance, we should swich them

> CA(N)

# Analyse des Correspondances et ACP

Considérons les données suivantes, correspondant à des professions au sein d’un couple. On dispose du tableau de contingence suivant

> rownames(base)=base$Nom Classiquement, avec ce genre de données, on est habitué à utiliser la distance du chi-deux, et les contributions au chi-deux pour voir les modalités qui correspondent fortement > M=base[1:9,2:10] > CT=chisq.test(M) On peut le visualiser de la manière suivante, > mosaicplot(t(M),main="",las=2,shade=TRUE) avec les maris en ligne, et les épouses en colonnes. Les contribution importantes sont en bleu ou rouge foncé, les couleurs correspondant respectivement à un lien ‘positif’ (probabilité jointe plus importante que le cas indépendant) ou un lien ‘négatif’ (probabilité jointe moins importante que le cas indépendant) ou dans l’autre sens > mosaicplot(M,main="",las=2,shade=TRUE) mais avec la même conclusion que précédemment: il y a de fortes valeurs bleues sur la diagonale. Autrement dit, les couples sont relativement homogènes en terme de professions. En analyse des correspondance, on va regarder notre tableau de contingence, en ligne ou en colonne. Par exemple, on peut définir les profils lignes, qui sont des vecteurs de probabilité $\boldsymbol{L}_i=\left(\frac{p_{i1}}{p_{i\cdot}},\cdots,\frac{p_{iJ}}{p_{i\cdot}}\right)\in\mathbb{R}^J$ > N=M > L=N/apply(N,1,sum) En notant $\boldsymbol{D}_I=\text{diag}(p_{1\cdot},\cdots,p_{I\cdot})$, on peut écrire $\boldsymbol{L}=\boldsymbol{D}_I^{-1}\boldsymbol{N}$ Le barycentre de nos vecteurs de lignes est ici $\overline{\boldsymbol{L}}=\left(p_{\cdot 1},\cdots,p_{\cdot J}\right)\in\mathbb{R}^J$ Là encore, en notant $\boldsymbol{D}_J=\text{diag}(p_{\cdot 1},\cdots,p_{\cdot J})$, on peut écrire ce barycentre de manière matricielle, $\overline{\boldsymbol{L}}=\mathbb{I}_{IJ}\boldsymbol{D}_J$. $\boldsymbol{L}_{0,i}=\boldsymbol{L}_i-\overline{\boldsymbol{L}}$ > Lbar=apply(N,2,sum)/sum(N) > matL0=t(t(L)-Lbar) A chaque point, on a associé la fréquence (relative) comme poids, $p_{i\cdot}$, ce qui correspond à utiliser la matrice $\boldsymbol{D}_I$. Pour mesurer la distance entre deux points, on va pondérer la distance euclidienne par l’inverse des des probabilités, $p_{\cdot j}$, ce qui revient à utiliser la matrice $\boldsymbol{D}_J^{-1}$. La distance entre deux lignes est $d(\boldsymbol{L}_{i_1},\boldsymbol{L}_{i_2})=\sum_{j=1}^J \frac{1}{p_{\cdot j}} \left(\frac{p_{i_1j}}{p_{i_1\cdot}}-\frac{p_{i_2j}}{p_{i_2\cdot}}\right)^2$ On va alors faire une analyse en composantes principales avec ces différents poids. D’un point de vue matriciel, on va alors l’analyse spectrale de $\boldsymbol{H}=\boldsymbol{D}_J^{-1/2}\boldsymbol{L}_0^{\text{\sffamily T}} \boldsymbol{D}_I \boldsymbol{L}_0 \boldsymbol{D}_J^{-1/2}$ En particulier, on note $\boldsymbol{U}_1,\cdots,\boldsymbol{U}_k$ les vecteurs propres, et on défini les composantes principales $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{L}_0\boldsymbol{D}_J ^{-1/2}\boldsymbol{U}$ La projection sur les deux premières composantes des lignes donne ici > library(FactoMineR) > acpL=PCA(matL0,scale.unit=FALSE, + row.w=(apply(N,1,sum)), + col.w=1/(apply(N,2,sum))) L’idée est de visualiser le nuage des individus correspondants aux lignes. Dans un second temps, on va faire exactement pareil, mais sur les colonnes $\boldsymbol{C}_j=\left(\frac{p_{1j}}{p_{\cdot j}},\cdots,\frac{p_{jI}}{p_{\cdot j}}\right)\in\mathbb{R}^I$ > C=t(t(N)/apply(N,2,sum)) Le barycentre est ici $\overline{\boldsymbol{C}}=\left(p_{1\cdot},\cdots,p_{I\cdot}\right)\in\mathbb{R}^I$ > Cbar=apply(N,1,sum)/sum(N) > matC0=C-Cbar et on peut alors faire une analyse en composante principale > acpC=PCA(t(matC0),scale.unit=FALSE, + row.w=(apply(N,2,sum)), + col.w=1/(apply(N,1,sum))) ce qui donne, en regardant le nuage des individus, La magie de l’analyse des correspondances est qu’on ‘peut’ représenter les deux projections des individus sur le même plan, > matC=acpC$ind$coord > matL=acpL$ind\$coord