# Using convolutions (S3) vs distributions (S4)

Usually, to illustrate the difference between S3 and S4 classes in R, I mention glm (from base) and vglm (from VGAM) that provide similar outputs, but one is based on S3 codes, while the second one is based on S4 codes. Another way to illustrate is to manipulate distributions.

Consider the case where we want to sum (independent) random variables. For instance two lognormal distribution. Let us try to compute the median of the sum.

The distribution function of the sum of two independent (positive) random variables is $F_{S_2}(x)=\int_0^x F_{X_1}(x-y)dF_{X_2}(x)$

pSum2 = function(x) integrate(function(y) plnorm(x-y,1,2)*dlnorm(y,2,1),0,x)$value Let us visualize that cumulative distribution function vx=seq(0.1,50,by=.1) vy=Vectorize(pSum2)(vx) plot(vx,vy,type="l",ylim=c(0,1)) abline(h=.5,lty=2) Let us find an upper bound to compute (in a decent time) quantiles pSum2(350) [1] 0.99195 and then use the uniroot function to inverse that function qSum = function(u) uniroot(function(x) Vectorize(pSum2)(x)-u, interval=c(0,350))$root vu=seq(.01,.99,by=.01) vv=Vectorize(qSum)(vu)

The median is here

qSum(.5) [1] 14.155

Why not consider the sum of three (independent) distributions ? Its cumulative distribution function can be writen using our previous function $F_{S_3}(x)=\int_0^x F_{S_2}(x-y)dF_{X_3}(x)$

pSum3 = function(x) integrate(function(y) pSum2(x-y)*dlnorm(y,2,2),0,x)$value If we look at some values we good pSum3(4) [1] 0.015624 pSum3(5) Error in integrate(function(y) plnorm(x - y, 1, 2) * dlnorm(y, 2, 1), : maximum number of subdivisions reached So obviously, there are computational issues here. Let us consider the following alternative expression $F_{S_3}(x)=\int_0^x F_{X_3}(x-y)dF_{S_2}(x)$. Of course, it is necessary here to compute the density of the sum of two variables dSum2 = function(x) integrate(function(y) dlnorm(x-y,1,2)*dlnorm(y,2,1),0,x)$value pSum3 = function(x) integrate(function(y) dlnorm(x-y,2,2)*dSum2(y),0,x)$value Again, let us compute some values pSum3(4) [1] 0.0090285 pSum3(5) [1] 0.01186 This one seems to work quite well. But it is just an illusion. pSum3(9) Error in integrate(function(y) dlnorm(x - y, 1, 2) * dlnorm(y, 2, 1), : maximum number of subdivisions reached Clearly, with those S3-type functions, it wlll be complicated to run computations with 3 variables, or more. Let us consider distributions in the S4-type format of the following package library(distr) X1 = Lnorm(mean=1,sd=2) X2 = Lnorm(mean=2,sd=1) S2 = X1+X2 To compute the median, we simply have to use distr::q(S2)(.5) [1] 14.719 We can also visualize it easily plot(q(S2)) which looks (very) close to what we got, manually. But here, it is also possible to work with the sum of 3 (independent) random variables X3 = Lnorm(mean=2,sd=2) S3 = X1+X2+X3 To compute the median, use distr::q(S3)(.5) [1] 33.208 The function is here plot(q(S3)) # Consommation et production électrique Une version temporaire des slides est en ligne. Pour le TP, on continuera à utiliser les données suivante url="http://freakonometrics.free.fr/elec.RData" download.file(url,"elec.RData") load("elec.RData") k=620 n=nrow(electricite) passe=1:k futur=(k+1):n y=electricite$Load[passe] plot(y,type="l")

La semaine passée, nous avions commencé de modéliser la série de température (cette dernière ayant un impact important comme déterminant de la consommation électrique)

y=electricite$Temp[passe] plot(y,type="l") Y=ts(y,start=1996,frequency=52) library(forecast) plot(y[(53:k)-52],y[53:k]) abline(lm(y[53:k]~y[(53:k)-52]),col="red") abline(a=0,b=1,lty=2) La série temporelle est relativement autocorrélée, à l’ordre 52 acf(y,lag=120) model1=auto.arima(Y) acf(residuals(model1),120) On va garder ce modèle en mémoire, et regarder par la suite ses prévisions. Tentons ici un SARIMA, à la main model2=arima(Y,order = c(0,0,0), seasonal = list(order = c(1,0,0))) summary(model2) model2=arima(Y,order = c(0,0,0), seasonal = list(order = c(2,0,0))) summary(model2) acf(residuals(model2),120) model2=arima(Y,order = c(2,0,0), seasonal = list(order = c(1,0,0))) model2=arima(Y,order = c(1,0,0), seasonal = list(order = c(1,1,0))) summary(model2) acf(residuals(model2),120) Tentons ensuite avec une racine unité saisonnière Z=diff(Y,52) model3=arima(Z,order = c(0,0,1), seasonal = list(order = c(0,0,1))) summary(model3) model3=arima(Z,order = c(0,0,2), seasonal = list(order = c(0,0,1))) summary(model3) acf(residuals(model3),120) model3=arima(Y,order = c(0,0,2), seasonal = list(order = c(0,1,1))) summary(model3) On peut ensuite tenter un modèle à la Buys-Ballot reg=lm(Temp~0+as.factor(NumWeek), data=electricite[passe,]) cycle=predict(reg,newdata=electricite[passe,]) plot(y,type="l") lines(cycle,col="red") E=residuals(reg) plot(E,type="l") acf(E,120) model4=arima(E,order = c(1,0,0)) summary(model4) horizon=n-k prev4E=predict(model4,n.ahead = horizon)$pred prev4C=predict(reg,newdata=electricite[futur,]) prev4 =prev4E+prev4C plot(y,type="l",xlim=c(0,n)) abline(v=k,col="red") lines(prev4,col="blue")

prev1=predict(model1,n.ahead = horizon)$pred plot(y,type="l",xlim=c(0,n)) abline(v=k,col="red") lines(futur,prev1,col="purple") prev2=predict(model2,n.ahead = horizon)$pred plot(y,type="l",xlim=c(0,n)) abline(v=k,col="red") lines(futur,prev2,col="green")

prev3=predict(model3,n.ahead = horizon)$pred plot(y,type="l",xlim=c(0,n)) abline(v=k,col="red") lines(futur,prev3,col="orange") MODELES = data.frame(y1=prev1, y2=prev2,y3=prev3,y4=prev4, y =electricite$Temp[futur]) plot(MODELES$y,type="l") lines(1:111,MODELES$y1,col="purple") lines(1:111,MODELES$y2,col="green") lines(1:111,MODELES$y3,col="orange") lines(1:111,MODELES$y4,col="blue") # Les modèles prédictifs peuvent-il être justes ? Dans Nosedive (traduit par le titre Chute Libre en France), le premier épisode de la saison 3 de la série télévisée Black Mirror, on découvre la dystopie d’une une société régie par une « cote personnelle », une note, un score allant de 0 à 5. Dans ce monde, chaque personne note les autres, les mieux notés ayant accès à de meilleurs services (priorité dans les services, meilleurs taux, meilleurs prix, etc). Cette tendance à construire des scores dans toutes sortes de domaines (historiquement sur les crédits mais aujourd’hui sur des aspects criminels, voire civiques dans certains pays) ne va-t-elle pas déboucher sur un monde qui serait un concours de popularité sans fin ? Et comment serait-elle conciliable avec une justice sociale, a priori souhaitable ? # Les scores de crédit et les réseaux sociaux Un score de crédit est, d’un point de vue actuariel, une grandeur proportionnelle à la probabilité de ne pas honorer ses engagements en tant que créditeur. Ça peut être de plus pouvoir payer les échéances trois mois consécutifs, ou juste d’avoir un retard. Dans la vraie vie, comme toujours, c’est un peu plus compliqué. Aux Etats-Unis ou en Grande Bretagne, il n’est pas rare que les étudiants s’endettent sur des dizaines d’années pour avoir l’opportunité de suivre les cours qui les intéressent (même si la motivation est surtout d’obtenir un diplôme en fin de parcours). Mais surtout, dès qu’ils atteignent d’âge de 18 ans, des sociétés de notation de crédit vont surveiller tous leurs déplacements. Souvent à leur insu. Et si un jour, un crédit consommation ou hypothécaire est refusé, les raisons ne sont jamais motivées. Est-ce un retard dans un paiement de loyer ? Des amendes de bibliothèques oubliées ? Une facture d’eau impayée, vieille de plusieurs années ? Les sociétés de notation de crédit aux États-Unis, mais aussi en Chine, commencent à étudier la possibilité d’utiliser des données provenant de médias sociaux pour améliorer le score de crédit. Compter le nombre de fois où un utilisateur utilise le mot « gaspillé » (« wasted » en anglais) dans ce qu’il poste en ligne ne peut-il pas révéler une information quant au remboursement de dettes ? C’est en tout cas ce que prétend l’analyste de crédit américain FICO: « If you look at how many times a person says ‘wasted’ in their profile, it has some value in predicting whether they’re going to repay their debt (…) It’s not much, but it’s more than zero » (cité dans McLannahan (2015)). En Chine, le prêteur peer-to-peer Jubao a révélé qu’il était plus susceptible de donner des « bonus » aux emprunteurs s’ils étaient des amis Facebook avec des célébrités, tel que le raconte Botsman (2017). Pour l’instant, les sociétés de notation de crédit utilisent encore les données qu’elles connaissent bien (factures de services publics et cartes de crédit), mais elles imaginent que bien des informations intéressantes doivent être accessibles (d’une manière ou une autre) sur les réseaux sociaux. Mais les données sont encore rares, et difficiles à analyser. Quid de la composante sarcastique ou humoristique dans un tweet utilisant le mot « wasted » ? Comme souvent, la difficulté est que les données réellement pertinentes sont difficiles à obtenir. S’il est possible d’avoir des informations sur le payement du loyer quand un locataire passe par une agence, que faire pour les transactions entre deux particuliers ? Et si c’était possible, comment traiter le cas de colocataires ? Ne pas obtenir de crédit parce qu’un ancien colocataire n’a pas payé dans les temps devient dérangeant. D’autant plus s’il s’agit peut-être d’une facture de téléphone cellulaire réclamée abusivement par la compagnie de téléphonie, alors que l’abonnement avait été résilié. Mais le gros « malus » dans le score de crédit est bien souvent le fait de ne jamais avoir eu de carte de crédit. On pourrait penser qu’une personne qui n’a pas eu besoin d’une carte de crédit (et se contentait d’une carte de débit, permettant d’acheter chez un commerçant, comme la majorité des cartes bancaires en France) est le propre d’une personne prudente, qui n’a pas besoin de crédit pour des dépenses quotidiennes. Mais pour les établissements de crédit, cette personne n’est pas fiable car on ne la connait pas. Et c’est à elle de prouver qu’elle l’est (on revient à la pratique récurrente d’inversion de la charge de la preuve évoqué dans Charpentier(2016)). C’est étrangement ce qui se passe aujourd’hui quand on veut entrer sur le sol américain sans avoir de page Facebook. # Dans un monde de surveillance généralisée Et si les établissements de crédit n’étaient pas les seuls intéressés par notre vie ? Que serait un monde si, en plus de savoir si je paye mes factures à temps, certains cherchaient à connaître mes réseaux d’amis, à savoir quels journaux je lis, si je préfère acheter du lait entier ou du lait demi-écrémé ? Quand on visite le musée de la Stasi à Berlin, on découvre ce monde a existé, que 1 personne sur 63 était agent (ou indicateur) de la Stasi (en comptant les indicateurs occasionnels, la proportion peut atteindre une personne sur 6). Le musée décrit un panoptisme total, chacun étant observé en permanence, comme le décrit Foucault (1975). Mais ce cauchemar ne correspond-il pas à monde actuel, de surveillance permanente, plus ou moins consentie. Surveillance via les téléphones cellulaires (géolocalisation pour la fonction la plus courante, mais parfois aussi des enregistrements audio à l’insu de l’utilisateur par certaines applications), via les objets connectés, mais aussi les caméras de surveillance couplées à des algorithmes de reconnaissance faciale de plus en plus performant. Fin 2017, en Chine 170 millions de caméra étaient installées, et le cap des 300 millions devrait être atteint d’ici 2020. Lors d’une expérience tentée par la BBC[1], il a fallu 7 minutes pour retrouver le journaliste John Sudworth qui se promenait dans les rues. Le danger est que l’on ne sait jamais trop qui contrôle. De plus en plus de compagnies privées de sécurité se sont associées aux gouvernements. Les fournisseurs de messageries électroniques lisent nos messages pour détecter du spam, mais aussi pour revendre certaines informations. Par exemple, dans les règles de confidentialité annexées aux conditions générales d’utilisation de Gmail (Google) on lit « Nos systèmes automatisés analysent vos contenus (y compris les e-mails) afin de vous proposer des fonctionnalités personnalisées sur les produits, telles que (…) des publicités sur mesure ». Les assureurs envisagent de plus de plus l’installation de boitiers GPS dans les voitures, mais en passant par des prestataires externes. Au-delà de la propriété des données (évoqué dans Charpentier & Suire (2016)) on peut s’interroger sur leur revente, et leur utilisation. Savoir que quelqu’un se rend régulièrement dans un centre de transfusion sanguine est une information potentiellement intéressante, surtout couplée à d’autres. Depuis 2014, le gouvernement chinois travaille sur un système d’évaluation de ses propres citoyens, programmé pour être mis en place en 2020, comme le raconte Trujillo (2017). Ce « système de crédit social » vise à créer un « score citoyen » (pour reprendre l’expression de Galeon & Bergan (2017)), afin de prédire, et prévenir, les dangers potentiels, normalisant les conduites individuelles par des dispositifs panoptiques (par exemple la vidésurveillance), induisant des réflexes d’autodéfense et d’autocontrôle. Comme le disait Foucault (1975), il s’agit de « faire que la surveillance soit permanente dans ses effets, même si elle est discontinue dans son action; que la perfection du pouvoir tende à rendre inutile l’actualité de son exercice » (même souvent, aujourd’hui, elle est en plus continue dans son action). Certains de ces scores sont utilisés par la police pour savoir où patrouiller pour faire baisser la criminalité, comme PredPol. Mais quand on y regarde de plus près, les prédictions disent, en substance, que les crimes auront lieu (en majorité) dans les zones (historiquement) les plus criminogènes de la ville. La frontière entre la banalité et la tautologie est étroite. Et le réel danger est que bien souvent, les scores transforment les probabilités en quasi-certitudes, et le soupçon devient une preuve, comme le notait Supiot (2015). # Justice prédictive et méthodes actuarielles En juin 2010, un rapport de l’Académie de médecine préconisait d”« améliorer la pratique des expertises de dangerosité des criminels sexuels en enseignant et en diffusant les méthodes actuarielles ». Ces « méthodes actuarielles » sont tout simplement les techniques de scoring, de « profilage » tel que le défini le règlement européen relatif aux données personnelles du 27 avril 2016 (RGDP). Angèle Christin s’est intéressée aux algorithmes qui estiment la probabilité de récidive dans la justice pénale américaine. Comme elle l’a montré, ces techniques posent nombre de questions, en particulier des biais discriminatoires, l’opacité qui rend difficile les recours, et surtout la difficulté de comprendre ce qui est réellement calculé. Dans l’État de Virginie, un score entre 1 et 10 est renvoyé, convention reprise par Compas (Correctional Offender Management Profiling Alternative Sanctions ) qui offre en plus un code couleur qui prédit le risque de récidive violent. Il s’agit alors d’un outil d’aide à la décision, une machine ne pouvant placer une personne en détention seule (Christin et al. (2015)). Les conclusions d’un score prédictif dépendent de deux éléments clés : le modèle utilisé, et les données. Dans la majorité des cas aux Etats Unis, les codes des modèles restent opaques (et donc impossible à attaquer), et rares sont ceux qui ont vu les données utilisées pour calibrer ces modèles. Mais on peut se demander si les décisions de justice ne sont pas eux aussi relativement opaques ? Certes, les juges doivent motiver leurs décisions, ce qui les rend critiquables et attaquables, mais si le processus était si transparent, les issues d’un procès (humains) ne devraient-elles pas être alors davantage prévisibles ? Enfin, les différents biais sont assez simples à comprendre. Supposons qu’être riche permet d’avoir un bon avocat, et avoir un bon avocat permet de ne pas avoir certaines condamnations. Dans ce cas, une variable liée à la richesse (le type de véhicule possédé par exemple) sera liée positivement avec le fait de ne pas être coupable (reconnu coupagle), et fera baisser le score de dangerosité. L’autre danger dans les biais de sélection est qu’ils sont parfois complexes à comprendre, voire paradoxaux. Un exemple classique est celui illustré sur la Figure 1. Pendant la seconde guerre mondiale, il a été demandé à des ingénieurs et des statisticiens comment renforcer les bombardiers qui faisaient face au feu ennemi. Figure1 : Endroits endommagés des avions revenus (source : McGeddon 2016) Le statisticien Abraham Wald a commencé à collecter des données sur les impacts dans la carlingue, comme le raconte Mangel & Samaniego (1984). A la surprise générale, il a recommandé de blinder les endroits des appareils qui présentaient le moins de dommages. En effet, les avions utilisés dans l’échantillon présentait un biais important : seuls les avions revenus ont été pris en compte. S’ils ont pu revenir avec des trous au bout des ailes, c’est que ces parties sont suffisamment solides. Et comme aucun avion n’est revenu avec des trous au niveau des moteurs des hélices, ce sont ces parties qu’il convenait de renforcer. Un autre danger est celui où les relations causales sont inversées. Que penser de ce médecin qui prescrit un puissant neuroleptique à un patient mis en examen, de peur que la justice lui reproche de ne pas avoir vu la dangerosité de son patient, et qu’inversement, la justice s’appuie sur cette prescription pour prouver que le patient est dangereux ? Un algorithme mal conçu pourrait comprendre de travers le sens des relations causales. Mais les modèles prédictifs en matière judiciaire ne sont pas que du côté des juges. Lors d’un accident corporel sur la route, la loi Badinter (du 5 juillet 1985) prévoit un « droit à indemnisation » pour toute victime d’un accident de la circulation dans lequel est impliqué un véhicule terrestre à moteur. Lorsque la compagnie d’assurance du conducteur propose une indemnité, la victime fait une rapide analyse coût/bénéfice pour savoir s’il va au tribunal. Si elle ne construit pas formellement un modèle prédictif, elle tente de voir, à partir de quelques éléments à sa connaissance, les coûts de demander à un juge de trancher sur le montant de l’indemnité, et ses bénéfices (potentiels). Autre point important, les juristes appellent ces modèles « prédictifs » des modèles « actuariels ». Or la première fonction des actuaires était d’actualiser, de calculer la valeur du temps. Et le temps judiciaire a des conséquences souvent désastreuses. En quoi une décision humaine, imparfaite, prise au bout de 5 ans de procédure serait « meilleure » qu’une décision automatique prise en 15 jours par une machine ? Nombre de personnes qui ont connu des procédures de plusieurs années, aboutissant à un non-lieu, rêvent de procédures accélérées. Car le « temps perdu » a une valeur, les actuaires le savent bien. Que penser alors de cette efficacité des modèles algorithmiques ? La justice se doit d’être efficace, mais cette contrainte ne doit pas faire oublier l’objectif central qui est celui de rendre la justice. Que se passe-t-il si l’efficacité devient un objectif, pour ne pas dire le principal objectif ? Car c’est bien la question que posent les modèles prédictifs : quel est l’objectif que l’on cherche à maximiser ? Et comment le formule-t-on de manière simple ? # Aide à la décision, ou justification d’une prise de décision Aux Etats-Unis, nombre de juges se sont vu reproché de motiver un jugement à l’aide d’outils d’aide à la décision, ce qui laisse planer un doute sur la fonction réelle de ces outils. L’idée était initialement d’apporter une aide. Récemment, plusieurs systèmes mis en place dans les années passées ont été questionnés. Par exemple en Australie, le STMP (Suspect Targeting Management Plan) proposait d’identifier si des préadolescents doivent être surveillés, ou pas. Ce modèle ressemble à s’y méprendre à n’importe quel modèle actuariel, c’est à dire un outil d’évaluation et prédiction des risques, en se concentrant soit sur les récidivistes, soit sur les personnes suspectées de commettre un futur crime. Or un rapport récent montrait que son utilisation n’a eu « aucun impact observable sur la prévention du crime »[2]. Parallèlement aux Etats-Unis, l’outil Compas (Correctional Offender Management Profiling Alternative Sanctions) a été critiqué dans Dressel & Farid (2017) : « Les défenseurs de ces systèmes soutiennent que les données et l’apprentissage automatique avancé rendent ces analyses plus précises et moins biaisées que celles des humains. Cependant, nous montrons que le logiciel d’évaluation des risques Compas, largement utilisé, n’est pas plus précis ou juste que des prédictions faites par des personnes qui ont peu ou pas du tout d’expertise en matière de justice pénale ». En questionnant des personnes recrutées sur Internet, sans compétences en droit, il s’agissait de prévoir si des personnes allaient, ou pas commettre un autre crime dans les deux ans à venir. Compas s’est trompé dans 34.8% des cas, et les internautes dans 33% des cas. Cela dit, on peut se demander ici ce que “se tromper” signifie. En l’occurrence, on ne mesure pas ici la récidive des personnes, mais la condamnation pour récidive des personnes. Et si les modèles (ou les gens) ne s’étaient pas trompés, mais que les juges, en revanche, oui ? # Prévoir, et se tromper Et si un des soucis ne venait pas dans ce que l’on demande à un outil prédictif ? Prévoir, c’est (fondamentalement) établir une probabilité pour un fait futur. Comme cela avait été rappelé dans un débat sur les sondages et les élections, est-ce qu’on peut dire qu’on se trompe si on annonce qu’un événement peut se produire avec 5% de chances, et qu’il se produit effectivement ? Pour savoir si une technique de prévision est bonne, il faut collecter un ensemble de prévision, et les comparer aux observations. C’est ce que font les météorologues depuis une quinzaine d’années, et qui a été formalisé par Gneiting et al. (2007). Leur idée est qu’un ensemble de distributions prédictives est obtenu par un modèle $\{\hat F_t,\hat F_{t+1},..,.\hat F_{t+h}\}$ et il convient de comparer ces distributions aux observations $\{y_t,y_{t+1},..,.y_{t+h}\}$ – et non pas $\{\hat y_t,\hat y_{t+1},..,.\hat y_{t+h}\}$. Il faut alors introduire une distance entre les distributions prédictives, et les observations. Dans un système physique, il est possible d’imaginer comprendre les différentes relations causales, et donc de prévoir. Mais dans les relations humaines (et la justice en est un exemple parfait), rien n’est aussi simple, aussi automatique que les lois de mécanique des fluides qui permettent de modéliser des phénomènes météorologiques. # Références Binet, Jacques-Louis, 2010, La prévention médicale de la récidive chez les délinquants sexuels. Académie de Médecine. Botsman, Rachel. 2017. Who Can You Trust?: How Technology Brought Us Together – and Why It Could Drive Us Apart. Portfolio Penguin Charpentier, Arthur & Suire, Raphaël 2016. Données et santé: valeurs, acteurs et santé. Risques, 107 Charpentier, Arthur. 2016. Les dérives du principe de précaution. Risques. 108 Christin, Agnèle, Rosenblat, Alex & Boyd, Danah 2015. Courts and Predictive Algorithms. Datacivilrights Dressel, Julie & Farid, Hany 2018. The accuracy, fairness, and limits of predicting recidivism. Science Adavances Foucault, Michel 1975 Surveiller et punir, naissance de la prison. Gallimard Galeon, Dom & Bergan, Brad 2017. China’s “Social Credit System” Will Rate How Valuable You Are as a Human. Futurism Gneiting, Balabdaoui & Raftery 2007. Probabilistic forecasts, calibration and sharpness. JRRS-B, 69, 243–268. Mangel, Marc & Samaniego, Francisco 1984. Abraham Wald’s work on aircraft survivability , Journal of the American Statistical Association, vol. 79, no 386,‎ 259–267 McLannahan, 2015 Being ‘wasted’ on Facebook may damage your credit score (Octobre 2015, Financial Times) Supiot, Alain 2015. La gouvernance par les nombres : cours au Collège de France, 2012-2014. Fayard. Trujillo, Elsa 2017. La Chine met en place un système de notation de ses citoyens pour 2020. Le Figaro, décembre 2017 [1] Décrit dans « In Your Face: China’s all-seeing state » http://www.bbc.com/news/av/world-asia-china-42248056/in-your-face-china-s-all-seeing-state [2] https://www.numerama.com/politique/300907-un-algorithme-teste-par-la-police-pour-anticiper-les-crimes-des-jeunes-inquiete-laustralie.html # (Advanced) R Crash Course, for Actuaries The fourth year of the Data Science for Actuaries program started this morning. I will be there for the introduction to R. The slides are available online (created with slidify, the .Rmd file is also available) A (standard) markdown is also available (as well as the .Rmd file). I have to thank Ewen for his help on slidify (especially for the online quizz, and the integration of leaflet maps or the rgl animated graph….) # Visualizing effects of a categorical explanatory variable in a regression Recently, I’ve been working on two problems that might be related to semiotic issues in predictive modeling (i.e. instead of a standard regression table, how can we plot coefficient values in a regression model). To be more specific, I have a variable of interest $Y$ that is observed for several individuals $i$, with explanatory variables $\mathbf{x}_i$, year $t$, in a specific region $z_i\in\{A,B,C,D,E\}$. Suppose that we have a simple (standard) linear model (forget about time here) $$y_i=\beta_0+\beta_1x_{1,i}+\cdots+\beta_kx_{k,i}+\sum_j \alpha_j \mathbf{1}(z_i\in j)+\varepsilon_i$$ Let us forget the temporal effect to focus on the spatial effect today. And consider some simulated dataset. There will be only one (continuous) explanatory variable. And I will generate correlated covariates, just to be more realistic. n=1000 library(mnormt) r=.5 Sigma=matrix(c(1,r,r,1), 2, 2) set.seed(1) X=rmnorm(n,c(0,0),Sigma) X1=cut(X[,1],c(-100,quantile(X[,1],c(.1,.4,.7,.85)), 100),labels=LETTERS[1:5]) X2=X[,2] Y=5+X[,1]-X[,2]+rnorm(n)/2 db=data.frame(Y,X1,X2) Here we have $$y_i=\beta_0+\beta_1x_{1,i}+\sum_{j\in\{A,B,C,D,E\}} \alpha_j \mathbf{1}(z_i\in j)+\varepsilon_i$$ The goal here is to get to graph to visualize the vector $\hat\alpha=(\hat\alpha_A,\cdots,\hat\alpha_E)$. Let us run the linear regression reg1=lm(Y~X1+X2,data=db) idx=which(substr(names(reg1$coefficients), 1,2)=="X1") v1=reg1$coefficients[idx] names(v1)=LETTERS[2:5] barplot(v1,col=rgb(0,0,1,.4)) Note that it is possible to add some sort of “confidence interval” to discuss significance (or to avoid to spend hours discussing differences in bar heights that are not significantly different) library(Hmisc) sv1=summary(reg1)$coefficients[idx,2] (bp1=barplot(v1,ylim=range(c(0,v1+2*sv1)))) errbar(bp1[,1],v1,v1-2*sv1,v1+2*sv1,add=TRUE)

My main concern here is the “reference” that is considered. Should $A$ be the reference? Why not $B$

db$X1=relevel(db$X1,"B") reg1=lm(Y~X1+X2,data=db) idx=which(substr(names(reg1$coefficients),1,2)=="X1") v1=reg1$coefficients[idx] names(v1)=LETTERS[c(1,3:5)] library(Hmisc) sv1=summary(reg1)$coefficients[idx,2] (bp1=barplot(v1) errbar(bp1[,1],v1,v1-2*sv1,v1+2*sv1,add=TRUE) Why not the smallest one? Why not the largest one?… What if there is no simple way to choose. Furthermore, let us get back to the original point, which is that there might be some temporal aspects. More precisely, we can have $\hat\alpha^{(t)}=(\hat\alpha_A^{(t)},\cdots,\hat\alpha_E^{(t)})$. If we have also $\hat\alpha^{(t+1)}$ and we get another plot, how do we interpret it. If for $E$ the bar is taller, it means that relative to $A$, the difference has increased. I have the feeling that the interpretation is more complicated because we do not see, on that graph, changes in $\hat\alpha^{(t)}_A$. Let us try something else. First, let us get back to the original setting db$X1=relevel(db$X1,"A") Consider here the regression without the intercept, so that all values remain reg1=lm(Y~0+X1+X2,data=db) idx=which(substr(names(reg1$coefficients),1,2)=="X1") v1=reg2$coefficients[idx] names(v1)=LETTERS[1:5] barplot(v1) It can be hard to read, especially if $Y$ takes (very) large values, and you think that barplots should start at 0. But still, having those 5 values is nice. Why not rescale that graph? A natural idea my be to consider the case where no spatial component is considered, and to look at the difference with that reference. reg1=lm(Y~1+X2,data=db) reg2=lm(Y~0+X1+X2,data=db) idx=which(substr(names(reg2$coefficients),1,2)=="X1") v1=reg2$coefficients[idx] v2=v1-reg1$coefficients["(Intercept)"] barplot(v2,col=rgb(0,0,1,.4)) sv2=summary(reg2)$coefficients[idx,2] (bp2=barplot(v2,ylim=range(c(v2-2*sv2,v2+2*sv2)))) errbar(bp2[,1],v2,v2-2*sv2,v2+2*sv2,add=TRUE) I like that graph, I should admit it. Now, I still have some remaining questions. For instance, can we insure that when only the intercept is considered, the value of $\hat\beta_0$ is somewhere between $\hat\beta_A,\cdots,\hat\beta_E$? Is it possible that $\hat\beta_A-\hat\beta_0,\cdots,\hat\beta_E-\hat\beta_0$ are all positive? In that case, I would find that hard to interpret. Actually, if I really want values that can be seen as compared to some average, why not consider a (weighted) average of $\hat\beta_A,\cdots,\hat\beta_E$? (weights being here proportion in each class, in each region) w=table(db$X1) v3=v1-sum(w*v1)/sum(w) (bp3=barplot(v3,ylim=range(c(v3-2*sv3,v3+2*sv3)))) errbar(bp3[,1],v3,v3-2*sv3,v3+2*sv3,add=TRUE)

I like that one. But what if, instead of normalizing at the end, we normalize the original dependent variable. By “normalize”, I mean “rescale”, to have a centered variable.

db$Y0=db$Y-mean(db$Y) reg3=lm(Y0~0+X1+X2,data=db) sv3=summary(reg3)$coefficients[idx,2] (bp3=barplot(v3,ylim=range(c(v3-2*sv3,v3+2*sv3)))) errbar(bp3[,1],v3,v3-2*sv3,v3+2*sv3,add=TRUE)

This one is nice, because it is extremely simple to explain. But what if instead of a linear regression, we add a logistic one (with $Y\in\{0,1\}$)? or a Poisson regression…

So maybe it cannot be the best solution here. Let us try something else… In insurance ratemaking, people like to use “zonier“. It is a two-stage regression. The idea is to run a regression without any spatial components, first. Then, consider the regression of residuals on spatial variables. Here, it would be something like

reg1=lm(Y~1+X2,data=db) reg2=lm(Y~0+X1+X2,data=db)

Since we focus on residuals, those are centered, and we have an easy interpretation of respective values

sv4=summary(reg4)$coefficients[idx,2] v4=reg4$coefficients (bp4=barplot(v4,names.arg=LETTERS[1:5]))) errbar(bp4[,1],v4,v4-2*sv4,v4+2*sv4,add=TRUE)

I guess that it can also be use in generalized linear models, with Pearson (or deviance) residuals.

Another possible idea can be the following. Again, the goal is not to have the true values, but to visualize on a graph how regions can be different. Here, all of them are significantly different. And in region $A$, $Y$ is smaller, ceteris paribus (other things equal in the sense that we have taken into account $x_1$). And in region $E$ it is larger. Here, the graph helps to “see” those differences.

Why not consider a completely different graph. What if we plot vector $a$ instead of $\alpha$, where $a_A$ can be interpreted as the value of the coefficient if we consider region $A$ against “not region $A$“. What if we consider 5 regressions where dichotomous versions of $Z$ are considered : $Z_j=\mathbf{1}_{Z=j}$.

v5=sv5=rep(NA,5) names(v5)=LETTERS[1:5] for(k in 1:5){ reg=lm(Y~I(X1==LETTERS[k])+X2,data=db) v5[k]=reg$coefficients[2] sv5[k]=summary(reg)$coefficients[2,2]}

We can plot that sequence of values, including some confidence intervals (that would be related to significance with respect to all other regions)

(bp5=barplot(v5,ylim=range(c(v5-2*sv5,v5+2*sv5)))) errbar(bp5[,1],v5,v5-2*sv5,v5+2*sv5,add=TRUE)

Looking at values does not give intuitive results, but I have the feeling that it is easy to explain what we plot (we compare each region to “the rest of the world”), and the ordering of $a$ seems to be consistent with $\alpha$ (but I could not prove it).

Here are some ideas I got. I should be able to provide other graphs, but I would love to discuss with anyone on that topics, to find a proper and nice way to visualize effects of a categorical explanatory variable in a regression model (that can be a logistic one). Comments are open…

# Holt-Winters with a Quantile Loss Function

Exponential Smoothing is an old technique, but it can perform extremely well on real time series, as discussed in Hyndman, Koehler, Ord & Snyder (2008)),

when Gardner (2005) appeared, many believed that exponential smoothing should be disregarded because it was either a special case of ARIMA modeling or an ad hoc procedure with no statistical rationale. As McKenzie (1985) observed, this opinion was expressed in numerous references to my paper. Since 1985, the special case argument has been turned on its head, and today we know that exponential smoothing methods are optimal for a very general class of state-space models that is in fact broader than the ARIMA class.

Furthermore, I like it because I think it has nice pedagogical features. Consider simple exponential smoothing, $$L_{t}=\alpha Y_{t}+(1-\alpha)L_{t-1}$$ where $\alpha\in(0,1)$ is the smoothing weight. It is locally constant, in the sense that ${}_{t}\hat Y_{t+h} = L_{t}$

 library(datasets) X=as.numeric(Nile) SimpleSmooth = function(a){ T=length(X) L=rep(NA,T) L[1]=X[1] for(t in 2:T){L[t]=a*X[t]+(1-a)*L[t-1]} return(L) } plot(X,type="b",cex=.6) lines(SimpleSmooth(.2),col="red")

When using the standard R function, we get

hw=HoltWinters(X,beta=FALSE,gamma=FALSE, l.start=X[1]) hw$alpha [1] 0.2465579 Of course, one can replicate that optimal value V=function(a){ T=length(X) L=erreur=rep(NA,T) erreur[1]=0 L[1]=X[1] for(t in 2:T){ L[t]=a*X[t]+(1-a)*L[t-1] erreur[t]=X[t]-L[t-1] } return(sum(erreur^2)) } optim(.5,V)$par [1] 0.2464844

Here, the optimal value for $\alpha$ is the one that minimizes the one-step prediction, for the $\ell_2$ loss function, i.e. $$\sum_{t=2}^n(Y_t-{}_{t-1}\hat Y_t)^2$$ where here ${}_{t-1}\hat Y_t = L_{t-1}$. But one can consider another loss function, for instance the quantile loss function, $$\ell_{\tau}(\varepsilon)=\varepsilon(\tau-\mathbb{I}_{\varepsilon\leq 0})$$. The optimal coefficient is then obtained using

HWtau=function(tau){ loss=function(e) e*(tau-(e&lt;=0)*1) V=function(a){ T=length(X) L=erreur=rep(NA,T) erreur[1]=0 L[1]=X[1] for(t in 2:T){ L[t]=a*X[t]+(1-a)*L[t-1] erreur[t]=X[t]-L[t-1] } return(sum(loss(erreur))) } optim(.5,V)$par } Here is the evolution of $\alpha^\star_\tau$ as a function of $\tau$ (the level of the quantile considered). T=(1:49)/50 HW=Vectorize(HWtau)(T) plot(T,HW,type="l") abline(h= hw$alpha,lty=2,col="red")

Note that the optimal $\alpha$ is decreasing with $\tau$. I wonder how general this result can be…

Of course, one can consider more general exponential smoothing, for instance the double one, with $$L_t=\alpha Y_t+(1-\alpha)[L_{t-1}+B_{t-1}]$$and$$B_t=\beta[L_t-L_{t-1}]+(1-\beta)B_{t-1}$$so that the prediction is now ${}_{t}\hat Y_{t+h} = L_{t}+hB_t$ (it is now locally linear – and no longer constant).

hw=HoltWinters(X,gamma=FALSE,l.start=X[1]) hw$alpha alpha 0.4200241 hw$beta beta 0.05973389

The code to compute the smoothed series is the following

DoubleSmooth = function(a,b){ T=length(X) L=B=rep(NA,T) L[1]=X[1]; B[1]=0 for(t in 2:T){ L[t]=a*X[t]+(1-a)*(L[t-1]+B[t-1]) B[t]=b*(L[t]-L[t-1])+(1-b)*B[t-1] } return(L+B) }

Here also it is possible to replicate R using the $\ell_2$ loss function

V=function(A){ a=A[1] b=A[2] T=length(X) L=B=erreur=rep(NA,T) erreur[1]=0 L[1]=X[1]; B[1]=X[2]-X[1] for(t in 2:T){ L[t]=a*X[t]+(1-a)*(L[t-1]+B[t-1]) B[t]=b*(L[t]-L[t-1])+(1-b)*B[t-1] erreur[t]=X[t]-(L[t-1]+B[t-1]) } return(sum(erreur^2)) } optim(c(.5,.05),V)$par [1] 0.41904510 0.05988304 (up to numerical optimization approximation, I guess). But here also, a quantile loss function can be considered HWtau=function(tau){ loss=function(e) e*(tau-(e&lt;=0)*1) V=function(A){ a=A[1] b=A[2] T=length(X) L=B=erreur=rep(NA,T) erreur[1]=0 L[1]=X[1]; B[1]=X[2]-X[1] for(t in 2:T){ L[t]=a*X[t]+(1-a)*(L[t-1]+B[t-1]) B[t]=b*(L[t]-L[t-1])+(1-b)*B[t-1] erreur[t]=X[t]-(L[t-1]+B[t-1]) } return(sum(loss(erreur))) } optim(c(.5,.05),V)$par }

and we can plot those values on a graph

T=(1:49)/50 HW=Vectorize(HWtau)(T) plot(HW[1,],HW[2,],type="l") abline(v= hw$alpha,lwd=.4,lty=2,col="red") abline(h= hw$beta,lwd=.4,lty=2,col="red") points(hw$alpha,hw$beta,pch=19,col="red")

(with $\alpha$ on the $x$-axis, and $\beta$ on the $y$-axis). So here, it is extremely simple to change the loss function, but so far, it should be done manually. Of course, one do it also for the seasonal exponential smoothing model.

# Justice “actuarielle”, algorithmes… et données

Il y a un peu plus d’un an, Virginie Gautron m’envoyait plein de documents sur la “justice actuarielle”, concept que je découvrais alors. Pour comprendre un peu de quoi il s’agit, je peux renvoyer vers pénalité et gestion des risques : vers une justice « actuarielle » en Europe ? qui dresse un état de l’art, en francais. J’avoue avoir un peu mis de côté ensuite (faute de temps), et puis l’autre jour, j’ai dévoré surveillé et punir de Nicolas Bourgoin, qui contient un chapitre sur le sujet.

Sans vouloir tomber dans le cliché des deux cultures (à la CP Snow), il faut bien admettre que pour un économètre, lire des écrits de juristes parlait de modèles prédictifs (ou actuariels) est une expérience marquante. Et ce qui me trouble (j’ai d’ailleurs le même soucis avec la psychologie – c’est un sujet proche) c’est que l’accent est souvent mis sur le modèle, l’algorithme, ce truc qui semble fasciner les juristes, alors qu’il me semble que le coeur du problème, ce sont les données. On nous dit, par exemple, que les algorithmes sont racistes (c’est un peu la thèse de Cathy O’Neil dans Weapons of Math Destruction), mais le problème ce n’est pas le modèle. C’est le fait qu’il y a un énorme biais de sélection dans les données ! Et selon l’adage “garbage in, garbage out“… dit de manière plus policée, je pourrais tenter un “purgamentum init, exit purgamentum” pour parler comme un juriste. Ou dit autrement, si on entre des mauvaises données en entrée, faut pas espérer grand chose en sortie…

Pour comprendre le biais de sélection, on peut relire Mostly Harmless Econometrics de Joshua Angrist et Jörn-Steffen Pischke. En particulier, dans l’introduction, ils posent la question simple suivant : vaut-il mieux, suite à une opération, renvoyer les gens chez eux, ou bien les laisser en chambre de convalescence, à l’hôpital ? Le soucis est que les données sont biaisées : oui, si on regarde les données brutes, ceux qui sont rentré chez eux se sont remis plus vite… mais peut être a-t-on autorisé les gens à rentrer justement parce qu’ils allaient bien ? Et on retrouve ce biais de sélection un peu partout. Probablement même encore davantage dans les problèmes relatifs à la justice.

Prenons un exemple simple. On va s’intéresser à la probabilité d’être coupable d’un crime, et d’être condamné par la justice. C’est ma variable $Y$. Pour avoir un modèle économétrique, il me faut des variables explicatives. J’ai une variable $X_3$ et une autre $X_4$, la première influençant vraiment la probabilité de commettre un crime, et l’autre étant juste du bruit. Maintenant, entrons dans le coeur du modèle. Supposons que j’ai une variable corrélée à ma richesse $\tilde{X}_2$, comme le lieu d’habitation, un critère racial, ou pour faire simple le diplôme. Notons $X_1$ le niveau de diplôme de la personne (mais encore une fois, on peut imaginer n’importe quoi, l’idée est que cette variable est corrélée à la richesse). Et surtout, cette variable n’est pas du tout une variable causale dans mon modèle. La probabilité de commettre un crime n’est pas influencée par $X_1$. Une personne ayant un diplôme de second cycle universitaire a autant de chance de commettre un crime qu’une personne ayant raté le brevet. On va même supposer que la probabilité de commettre un crime soit indépendante de la richesse. En fait, la richesse me permet de payer un bon avocat. Et avoir un bon avocat permet de diminuer la probabilité d’être condamné. Pour faire simple, j’ai deux niveaux de richesse, qui me donne soit un avocat commis d’office, soit un avocat qui s’impliquera peut être davantage (je simplifie à des fins pédagogiques). Bref, mon modèle aura la forme suivante : la probabilité d’être condamné pour un crime s’écrit $$p=(0.025+0.05\cdot X_3)\cdot[k\cdot \mathbb{1}(X_2=R)+\mathbb{1}(X_2=P)]$$ Autrement dit, ma probabilité est une fonction croissante (linéaire) de $X_3$, et si je suis riche (ce qu’on note $X_2=R$), j’ai moins de chance d’être condamné, avec un facteur $k\in[0,1]$, toutes choses étant égales par ailleurs, ceteris paribus, histoire de parler latin comme les juristes.

Pour simuler un jeu de données, on considère une population d’un million de personnes, et je suppose que ma richesse est très corrélée avec mon niveau de diplôme. Pour info, la classe $A$ ce sont les gens les plus diplômés, et je suppose qu’un bon avocat divise par trois la chance d’être condamné.

 n=1000000 r=.95 k=1/3 S=matrix(c(1,r,r,1),2,2) library(mnormt) set.seed(1) vectX=rmnorm(n,varcov=S) X1=cut(vectX[,1],breaks=c(-10,1,-1,10), c("C","B","A")) X1=relevel(X1,"A") X2=cut(vectX[,2],breaks=c(-10,1,10),c("P","R")) X3=runif(n) X4=runif(n) Y1=rbinom(n,size = 1,prob=(.025+.05*X3)*(k*(X2=="R")+(X2=="P"))) B0=data.frame(X1,X2,X3,X4,Y1)

On peut faire un peu de statistiques pour regarder les caractéristiques des gens condamnés (uniquement)

B1=data.frame(X1=X1[Y1==1],X2=X2[Y1==1],X3=X3[Y1==1],X4=X4[Y1==1])

Par exemple si je regarde la proportion de gens les plus diplômés: ils sont 15% dans la population totale, et 5% parmi les personnes condamnées

 mean(B0$X1=="A") [1] 0.158734 mean(B1$X1=="A") [1] 0.05016072 t.test(B0$X1=="A",B1$X1=="A") data: B0$X1 == "A" and B1$X1 == "A" t = 219.5, df = 1283500, p-value &lt; 2.2e-16 95 percent confidence interval: 0.1076038 0.1095428 sample estimates: mean of x mean of y 0.15873400 0.05016072

Autrement dit, on a une différence significative entre ces deux pourcentages. Pareil si je regarde la valeur moyenne de $X_3$, qui était de 50% dans la population et de 58% dans la population condamnée

 t.test(B0$X3,B1$X3) data: B0$X3 and B1$X3 t = -163.46, df = 844940, p-value &lt; 2.2e-16 95 percent confidence interval: -0.08455430 -0.08255058 sample estimates: mean of x mean of y 0.5000094 0.5835618

alors que pour $X_4$, on a 50% dans la population totale, et 50% dans la population condamnée. Mais on s’y attendait….

 t.test(B0$X4,B1$X4) data: B0$X4 and B1$X4 t = -0.81161, df = 48645, p-value = 0.417 95 percent confidence interval: -0.003869879 0.001603452 sample estimates: mean of x mean of y 0.5001326 0.5012659

Passons à la seconde phase. Il semble y avoir un vrai intérêt dans la littérature sur les modèles actuariels pour la construction de modèles liés à la probabilité de récidive. Là encore, je vais faire une hypothèse forte : faire de la prison n’influence en rien la probabilité de récidiver. Autrement dit, pour cette population déjà condamnée, je vais refaire tourner mes simulations, avec une probabilité de commettre un crime qui dépend seulement de $X_3$, mais avec toujours notre effet richesse qui permet de payer un avocat qui fera baisser la probabilité d’être condamné.

 set.seed(2) n1=nrow(B1) Y2=rbinom(n1,size = 1,prob=(.025+.05*B1$X3)*(k*(B1$X2=="R")+(B1$X2=="P"))) B2=cbind(B1,Y2) reg=glm(Y2~X1+X3+X4,data=B2,family=binomial) J’ai construit ici mon modèle permettant de calculer une probabilité de récidive. Le modèle est construit sur le niveau de diplôme $X_1$ (qui n’influence en rien, encore une fois, la probabilité de commettre un crime), la variable $X_3$ (qui effectivement joue un rôle) et la variable de bruit $X_4$.  set.seed(2) n1=nrow(B1) Y2=rbinom(n1,size = 1,prob=(.025+.05*B1$X3)*(k*(B1$X2=="R")+(B1$X2=="P"))) B2=cbind(B1,Y2) reg=glm(Y2~X1+X3+X4,data=B2,family=binomial)

Je fais ici un score logistique car c’est le plus logique.

 summary(reg) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(|z|) Inter.) -4.04753 0.11592 -34.916 2e-16 *** X1C 0.61311 0.10914 5.618 1.93e-08 *** X1B 0.68807 0.09977 6.896 5.34e-12 *** X3 1.00610 0.08052 12.495 2e-16 *** X4 -0.13562 0.07286 -1.861 0.0627 .

Premier élément à observer, la variable $X_4$ est à la limite d’être significative… Certains auteurs sur ces thèmes diraient que c’est un signal faible. Pourtant, en l’occurence, c’est du bruit ! Juste du bruit !! Et parmi les signaux forts, très clairement significatifs, on retrouve $X_1$, notre niveau de diplôme. Ici, si on est faiblement qualifié (niveaux $B$ ou $C$) alors on a une chance de récidive beaucoup plus importante ! C’est très fortement significatif ! Alors que pour rappel, la probabilé de commettre un crime, et de récidiver n’est aucunement causé par cette variable ! C’est juste une variable corrélée avec la variable richesse, qui permet de faire baisser la probabilité d’être condamné.

Plus intéressant, si je regarde la valeur du coefficient, en fonction de $k$, autrement dit la valeur d’un bon avocat (que l’on peut s’offrir si on est riche) on obtient la courbe suivante.

Autrement, sur la partie droite, même si un bon avocat ne baisse que de 5% la chance d’être condamné, le niveau de diplôme semble être significativement liée à la probabilté de récidive. Avec un pic autour de 30%. Si les avocats ont un pouvoir incroyable, par exemple en divisant par 20 la probabilité d’être condamné, étrangement, la variable de diplôme redevient très peu significative, mais je pense que c’est parce qu’on n’a alors plus personne de très diplômé dans la base.

On pourrait me reprocher d’avoir une corrélation trop forte entre richesse et niveau de diplôme, ici. En mettant une corrélation à 70% (dans mon modèle Gaussien latent), j’obtiens

qui donne un effet moindre, mais là encore, si un bon avocat permet de réduire la probabilité d’être condamné par un facteur compris entre 5% et 90%, alors la variable de diplôme semblera significative.

Mon modèle n’est pas faux ici. C’est essentiellement que j’ai un biais dans mes données. Et ne pas en tenir compte fait que le modèle n’a aucun sens, et ne peut pas être interprété sans commettre d’erreurs (et ici je cumule les âneries, en voyant un signal faible alors qu’il y a du bruit, et en voyant un signal fort pour une variable qui n’a aucun lien causal). J’insiste lourdement, mais le diplôme n’intervient aucunement ici. Et on peut remplacer le diplôme par toute variable corrélée à la richesse, comme locataire et propriétaire, etc.

Bref, l’utilisation de modèles économétrique dans des problèmes judiciaires n’est pas simple ! Je parle ici de biais de sélection, mais la formulation qui me semble la plus juste serait une mauvaise spécification du modèle (on n’utilise pas les bonnes variables, mais ces dernières sont peut-être non-observables – ou difficiles à justifier éthiquement : peut-on demander le revenu de la personne pour faire un score de récidive, et avoir un score qui dépende effectivement du revenu ?). Il y a aussi un problème d’identification, car on a du mal à savoir ce qui influence le fait de commettre un crime, et la condamnation. Ce qu’on observe, ce sont les condamnations, pas les actes (je ne parle pas des condamnations à tort ici, que j’avais pu évoquer dans un autre billet, sur le principe de précaution). Mais j’essayerais de revenir sur ce point après les vacances….

Dernière anecdote pour finir. Après avoir découvert ces modèles via Virginie Gautron, j’avais discuté avec une amie, présidente de tribunal, qui me parlait de la nullité des experts qu’elle avait sous la main. Et elle voulait faire un peu de ménage. Bref, elle me demandait si je pouvais faire un modèle attribuant un score à un expert. Et là encore, ma réponse a été que oui, faire un modèle c’est facile, à condition d’avoir des données. Comment puis-je avoir un score $Y$ d’un expert? Qui sait ce qu’est un bon expert? C’est quelqu’un contre qui on ne demande pas de contre-expertise? Malheureusement, la justice ne fonctionne pas ainsi, et la demande n’a rien à voir avec la qualité de l’expert. Et la qualité, vu du point de vue de la juge, est une notion qui peut être très différente de celle des deux parties qui s’opposent… Bref, je pourrais facilement faire un modèle. Mais en avoir un qui ait du sens, c’est une autre paire de manches !

# Actuariat de l’Assurance Non-Vie #11

Cette semaine, nous allons finir la modélisation du passif d’une compagnie d’assurance non-vie. Les slides sont en ligne.

# Actuariat de l’Assurance Non-Vie #10

La semaine dernière, nous avions commencé la modélisation du passif d’une compagnie d’assurance non-vie. Les slides introductifs sont en ligne.

# Optimal Portfolios Exam

Pour l’examen du cours de Gestion d’Actifs (optimal portfolios) un cas pratique avec des vraies données, disponibles sur

loc="http://freakonometrics.free.fr/base_portefeuille.csv" base=read.csv2(loc,sep=";") base[,1]=as.Date(as.character(base[,1]),"%Y-%m-%d") for(i in 2:10) base[,i]=as.numeric(as.character(base[,i]))

Pour le rendu, je demande un markdown dont la trame est en ligne ici,  exam_portfolio.Rmd, et la sortie est exam_portfolio.html. Il faut télécharger le fichier Rmd, l’ouvrir avec RStudio, puis me renvoyer le fichier rempli (ainsi que le fichier html compilé) pour midi, à arthur.charpentier@univ-rennes1.fr.

# Actuariat de l’Assurance Non-Vie #9

Cette semaine, nous avons fini les modèles de tarification, avec une extention sur les modèles globaux (sans passer par une séparation entre fréquence et coût moyen), et sur le choix de variables, et le choix de modèles. Les slides introductifs sont en ligne.

# The myth of interpretability of econometric models

There are important discussions nowadays about data modeling, to choose between the “two cultures” (as mentioned in Breiman (2001)), i.e. either econometrics models or machine/statistical learning models. We did discuss this issue recently in Econométrie et Machine Learning (so far only in French) with Emmanuel Flachaire and Antoine Ly. One argument often used by econometricians is the interpretability of econometric models. Or at least the attempt to get an interpretable model.

We also have this discussion in actuarial science, for instance in ratemaking (or insurance pricing). Machine learning based models usually perform better (for some a priori chosen metric), but actuaries claim that econometric models are more easily interpretable. In actuarial literature, we assume that claim frequency $Y$ is driven by some non-observable risk factor $\Theta$, and therefore, we do have heterogeneous risks in our portfolio. And, it can be seen as legitimate to differentiate prices. Assume that this risk factor $\Theta$ is strongly correlated with $X_1$, the age of the driver. Because in our portfolio, old drivers tend to have more accidents. Here, we could pretend to have a “causal story” (as defined in Freedman (2009)) because of a possible interpretation of the model. So it is natural here to consider a regression model of $Y$ on $X_1$ to derive our actuarial pricing model. But assume that, possibly, risk factor $\Theta$ is also strongly correlated with $X_2$, that can be related to spatial features (say latitude, which denoted a north/south position). Because in our portfolio, drivers living in the south tend to have more accidents (reads are known to be more dangerous there). Here, we could pretend to have a second “causal story”.

Of course, since $\Theta$ is strongly correlated with $X_1$ and $X_2$, it means that $X_1$ and $X_2$ are strongly correlated. Here also, this correlation can be interpreted (not in a causal way as previously, but still), since we know that old people like to live in southern regions. So, what should we do here ? Let us run some simulations to  illustrate.

 set.seed(123) n=1e5 Theta=rnorm(n) X1=Theta+rnorm(n)/8 X2=Theta+rnorm(n)/8 L=exp(-3+Theta) Y=rpois(n,L) B=data.frame(Y,X1,X2)

Our first idea was to consider a model where $Y$ is “explained” by the first variable $X_1$,

 g1=glm(Y~X1,data=B,family=poisson) summary(g1)   Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(&gt;|z|) (Inter.) -2.97778 0.01544 -192.88 &lt;2e-16 *** X1 0.97926 0.01092 89.64 &lt;2e-16 ***

As expected, our variable is “significant”, but also, probably more interesting, $X_2$, has no impact on the residuals

 B$e1=residuals(g1,type="pearson") g1e=lm(e1~X2,data=B) summary(g1e) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(&gt;|t|) (Inter.) 0.0003618 0.0031696 0.114 0.909 X2 0.0028601 0.0031467 0.909 0.363 The interpretation is that once we corrected claim frequency for the age of the drivers, there is no spatial effect here. So, a good model should be based only on the age of the drivers. But we can also consider the other story. We can consider a model where $Y$ is “explained” by the second variable $X_2$,  g2=glm(Y~X2,data=B,family=poisson) summary(g2) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(&gt;|z|) (Inter.) -2.97724 0.01544 -192.81 &lt;2e-16 *** X2 0.97915 0.01093 89.56 &lt;2e-16 *** Here also we have a valid model, that can be interpreted, and here also $X_1$, has no impact on the residuals  B$e2=residuals(g2,type="pearson") g2e=lm(e2~X1,data=B) summary(g2e)   Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(&gt;|t|) (Inter.) 0.0004863 0.0031733 0.153 0.878 X1 0.0027979 0.0031504 0.888 0.374

The story is similar here. If we correct from the spatial pattern, claims frequency does not depend on the age of the driver.

So, what should we do now? We do have two models, and each of them is as interpretable as the other one. Note that we can not use any statistical tool to distinguish the two: they are comparable

 AIC(g1) [1] 51013.39 AIC(g2) [1] 51013.15

Why not incorporate the two explanatory variables $X_1$ and $X_2$, at the same time, in our regression model, and let “the model” decide what to do…?

 g=glm(Y~X1+X2,data=B,family=poisson) summary(g)   Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(&gt;|z|) (Inter.) -2.98132 0.01547 -192.723 2e-16 *** X1 0.49310 0.06226 7.920 2.38e-15 *** X2 0.49375 0.06225 7.931 2.17e-15 ***

It looks like we completely lost the interpretability of the model, since our two explanatory variables are (strongly) correlated. Actually, instead of saying “use one, and drop the other one (since it brings no further information)”, it says “use both, each one will explain half of the variable”. Strange interpretation, isn’t it?  So why not try some LASSO here?

library(glmnet) fit=glmnet(x=as.matrix(B[,c("X1","X2")]), y=B$Y,family="poisson") plot(fit,xvar="lambda") Here also, it says that we either keep both, or none. So it cannot be used for variable selection (which is an important motivation to use LASSO technique). So, what should be do if we several interpretable models, but no way to choose? Because usually, we claim that we prefer to use a model with an interpretation. But what should be done here? # Optimal Portfolios #2 Next week, we will continue the crash course on financial portfolio optimization, with application in R. The slides are available here, and R codes from there (in a Markdown). The first part is still online, here. # Faire (rapidement) un zonier Dans le cours d’actuariat de l’assurance non-vie, on avait évoqué rapidement l’idée de faire un zonier. Autrement dit, on souhaite créer une variable polytomique (avec 4 ou 5 classes) représentant le critère spatial du risque. On va tenter de segmenter le territoire, en regroupant l’ensemble des territoires ‘proches’ (en terme de risque) étudiées en un nombre de classes prédéfini, permettant de tenir compte d’un (potentiel) critère spatial dans la tarification. Pour les aspects pratiques, comme on va manipuler des données spatiales, chargeons quelques packages pour commencer library(maptools) library(rgeos) library(rgdal) library(ggplot2) library(plyr) library(maptools) library(cartography) On va aussi avoir besoin de données spatialisées (disons en France métropolitaire). Pour faire simple, je vais tirer des codes insee de communes au hasard, un millier, et une variable $Y$ qui va nous intéresser. Et je suppose qu’elle dépend de $X$ que je n’observe pas, mais qui est liée à des caractéristiques spatiales (en gros la latitude, i.e. un positionnement nord/sud) download.file("http://freakonometrics.free.fr/popfr19752010.csv","popfr.csv") base = read.csv("popfr.csv",header=TRUE) base$insee = base$dep*1000+base$com
n=1000
set.seed(123)
id=sample(1:nrow(base),size=n)
simbase=data.frame(insee=base$insee[id]) X=(46-base$lat[id])/2
simbase$Y=X+rnorm(n) Ici, on a la base suivante (mais on va supposer que je n’observe pas $X$ – qui n’a servi qu’à simuler des données) > head(simbase) insee Y 1 61499 -1.8573363 2 19181 -0.7059191 3 55307 -0.5923649 4 74030 0.6098773 5 30328 -0.4584795 6 10050 -1.2361240 Classiquement, $Y$ peut être un résidu (normalisé) de régression, par exemple. Pour visualiser, il faut un fond de carte download.file("http://biogeo.ucdavis.edu/data/gadm2.8/rds/FRA_adm0.rds","FRA_adm0.rds") FR0=readRDS("FRA_adm0.rds") Ensuite, on met les points (en fusionnant nos données avec la base insee donnant latitude et longitude des codes insee de communes) plot(FR0) simbase = merge(simbase,base[,c("insee","long","lat")]) cols = rev(carto.pal(pal1 = "red.pal",n1 = 10,pal2="green.pal",n2=10)) bk = seq(-5,4.5,length=21) cuty = cut(simbase$Y,breaks=bk,labels=1:20)
points(simbase$long,simbase$lat, col=cols[cuty],pch=19,cex=.5)

On va voir eux techniques pour faire un zonier. Le premier est de travailler par zone prédéfinie, comme le département,

simbase$dpt=trunc(simbase$insee/1000)
A=aggregate(x = simbase$Y,by=list(simbase$dpt),mean)
names(A)=c("dpt","y")
donnees_carte=data.frame(FR@data)
d=donnees_carte$CCA_2 d[d=="2A"]="201" d[d=="2B"]="202" donnees_carte$dpt=as.numeric(as.character(d))
donnees_carte=merge(donnees_carte,A,all.x=TRUE)
donnees_carte=donnees_carte[order(donnees_carte$OBJECTID),] bk=seq(-2.75,2.75,length=21) donnees_carte$cuty=cut(donnees_carte$y,breaks=bk,labels=1:20) cols = rev(carto.pal(pal1 = "red.pal",n1 = 10,pal2="green.pal",n2=10)) plot(FR, col=cols[donnees_carte$cuty],xlim=c(-5.2,12))

autrement dit, on fait une carte choroplèthe

(il faut s’assurer que les couleurs sont mises au bon endroit). Ensuite, on peut définir deux zones,

bk=seq(-2.75,2.75,length=3)
donnees_carte$cuty=cut(donnees_carte$y,breaks=bk,labels=1:2)
plot(FR, col=cols[c(4,16)][donnees_carte$cuty],xlim=c(-5.2,12)) ou quatre bk=seq(-2.75,2.75,length=5) donnees_carte$cuty=cut(donnees_carte$y,breaks=bk,labels=1:4) plot(FR, col=cols[c(3,8,12,17)][donnees_carte$cuty],xlim=c(-5.2,12))

On va créer uen variable à 4 modalités, à partir des départements.

Une autre solution consiste à utiliser les données spatiales, obtenues par fusion avec la base insee

simbase=merge(simbase,base[,c("insee","long","lat")])

On va ensuite se donner une grille, en France. C’est un peu pénible. Il nous faut le polynôme de contour de la France

P1=FR0@polygons[[1]]@Polygons[[355]]@coords
P2=FR0@polygons[[1]]@Polygons[[27]]@coords
plot(FR0,border=NA)
polygon(P1)
polygon(P2)

(ici on a juste la France métropolitaine, et la Corse – deux polygônes donc)

et on part d’une grille sur un rectangle

grille<-expand.grid(seq(min(simbase$long),max(simbase$long),length=101),seq(min(simbase$lat),max(simbase$lat),length=101))
paslong=(max(simbase$long)-min(simbase$long))/100
paslat=(max(simbase$lat)-min(simbase$lat))/100

On retient alors juste les points qui sont dans les polygônes

f=function(i){ (point.in.polygon (grille[i, 1]+paslong/2 , grille[i, 2]+paslat/2 , P1[,1],P1[,2])>0)+(point.in.polygon (grille[i, 1]+paslong/2 , grille[i, 2]+paslat/2 , P2[,1],P2[,2])>0) }
indic=unlist(lapply(1:nrow(grille),f))
grille=grille[which(indic==1),]
points(grille[,1]+paslong/2,grille[,2]+paslat/2,cex=.4,pch=19,col="blue")

voilà le résultat

Maintenant, on peut utiliser du krigeage mais j’ai plutôt voulu tenter des plus proches voisins. Pour chaque point de la grille, on prend la moyenne des plus proches voisins (à vol d’oiseau, i.e. avec une norme Euclidienne – sur la sphère)

library(geosphere)
knn=function(i,k=20){
d=distHaversine(grille[i,1:2],simbase[,c("long","lat")], r=6378.137)
r=rank(d)
ind=which(r<=k)
mean(simbase[ind,"Y"])
}
grille$y=Vectorize(knn)(1:nrow(grille)) bk=seq(-2.75,2.75,length=21) grille$cuty=cut(grille$y,breaks=bk,labels=1:20) cols <- rev(carto.pal(pal1 = "red.pal",n1 = 10,pal2="green.pal",n2=10)) points(grille[,1]+paslong/2,grille[,2]+paslat/2,col=cols[grille$cuty],pch=19)

Ici, ca donne la carte suivante

mais là encore, on peut retenir deux niveaux

bk=seq(-2.75,2.75,length=3)
grille$cuty=cut(grille$y,breaks=bk,labels=1:2)
plot(FR0,border=NA)
polygon(P1)
polygon(P2)
points(grille[,1]+paslong/2,grille[,2]+paslat/2,col=cols[c(4,16)][grille$cuty],pch=19) ce qui donne les zones suivantes bk=seq(-2.75,2.75,length=5) grille$cuty=cut(grille$y,breaks=bk,labels=1:4) plot(FR0,border=NA) polygon(P1) polygon(P2) points(grille[,1]+paslong/2,grille[,2]+paslat/2,col=cols[c(3,8,12,17)][grille$cuty],pch=19)

ou bien, si on retient quatre niveaux

A partir de là, pour créer une variable de zone, le plus simple est à un point donné de chercher le point de la grille le plus proche, et de lui donner la valeur de la couleur associée

pred=function(z){
d=distHaversine(z,grille[,1:2], r=6378.137)
grille[which.min(d),"cuty"]
}

Facile, non ?

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