Loi des grands nombres et théorème central limite en assurance

Dans le dernier numéro de la revue Risques figure un petit article sur la loi des grands nombres et le théorème central limite en assurance (ici) Le but était de remettre un peu les pendules à l’heure sur la différence entre les implications de ces deux résultats, et surtout d’amorcer une discussion sur l’importance des hypothèses (en particulier celle de risques indépendants).

Valeur de l’euro de rente

Il y a quelques années, j’avais été sollicité pour rédiger les Annexes de l’ouvrageévaluation du préjudice corporel, de Max le Roy. Comme l’indique le descriptif du livre, j’ai un peu la pression car pas mal de jugements rendus sont basés sur mes calculs, “La résolution 75-7 du comité des ministres du Conseil de l’Europe est intervenue pour faciliter l’harmonisation des législations et des jurisprudences en matière de réparation des dommages en cas de lésion corporelle ou de décès. Elle a proposé un certain nombre de principes qui, bien que non obligatoires pour les États membres, sont très largement suivis par les juridictions françaises. Ce sont ces principes et leur application en droit français qui sont exposés et commentés dans cet ouvrage qui rend compte, notamment, de la très importante réforme apportée en matière de recours subrogatoire des caisses de sécurité sociale contre les tiers par la loi n° 2006-1640 du 21 décembre 2006. Le barème de capitalisation de rentes tient compte des plus récentes tables de mortalité et prend pour base un taux d’intérêt de 5 % conforme aux données économiques et financières actuelles. Accompagné d’un barème fonctionnel indicatif des incapacités en droit commun, de tableaux de jurisprudence et de formules de jugement, l’ouvrage fait le point sur toutes les questions auxquelles sont confrontés les magistrats, avocats, experts, médecins, assureurs.”

Avec la mise à jour des tables de mortalité en France, j’ai du remonter mes manches et reprogrammer tous les calculs. Sauf que cette fois, j’ai proposé un petit code R pour générer à nouveau ces tables. Le but est de calculer le prix de mille euros de rente viagère ou temporaire limitée. Une petite option permet de dire si on veut la nouvelle table, ou l’ancienne (ce qui m’a permis de vérifier que je ne disais pas des bêtises).

LF=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TV8890.csv",
header=TRUE,sep=";")
LH=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TD8890.csv",
header=TRUE,sep=";") 
PRIX=function(annee=2011,age,sex="HOM",taux=0.04,
              duree,C=1000,old=FALSE){
if(old==FALSE){
file  = paste("http://freakonometrics.blog.free.fr/public/data/",
              sex,"-table-SPLx.csv",sep="")
B     = read.table(file,header=TRUE,sep=",")
an    = annee-age; if(an>2005){an=2005}
nom   = paste("X",an,sep="")
L     = B[,nom]}
if(old==TRUE){
if(sex=="HOM"){L = c(LH$Lx,rep(0,20))}
if(sex=="FEM"){L = c(LF$Lx,rep(0,20))}}
Q     = L[(age+1):length(L)]/L[(age+1)]
actualisation = (1+taux)^(0:min(duree,120-age))
prixsup = sum(Q[2:(min(duree,120-age)+1)]/
          actualisation[2:(min(duree,120-age)+1)] )
prixinf = sum(Q[1:(min(duree,120-age))]/
          actualisation[1:(min(duree,120-age))] )
return(C*c(prixsup,prixinf))}

Les tables TGH-05 et TGF-05 sont issues d’une population de rentiers et on peut consulter les tables ici (pour les 38 pages du Journal Officiel). Ces tables ont été construites sur une population différente des tables TH et TF (construites sur l’ensemble de la population française). La méthodologie est décrite ici (merci d’ailleurs à Fred qui a approuvé mon utilisation de ces tables).

Par exemple, on peut retrouver la valeur figurant dans les anciennes Annexes (ici),

> PRIX(age=50,sex="HOM",duree=150,taux=.05,old=TRUE)
[1] 13452.15 14452.15

En bouclant, on peut générer les tables données en Annexe.

AGES=c(150,65,60,55,25,20,18,16)
tableH=matrix(0,106,length(AGES))
for(i in 1:length(AGES)){
for(a in 0:min(c(AGES[i]-1,105))){
tableH[a+1,i]=PRIX(age=a,sex="FEM",duree=
        AGES[i]-a,taux=.04,old=FALSE)[1]
}}
write(tableH,"table-femme-nouvelle-04.csv",sep=";")

(on utilise la première valeur var on veut des rentes versées en fin d’année, en cas de vie). Avec un taux de 4%, on a pour les hommes la table ici, et pour les femmes la table . Si quelqu’un voit une coquille, merci de me signaler avant que le livre ne parte à l’éditeur…

Petit calcul de probabilités

En mars 1996, Parade Magazine publiait une question intéressante relative à un calcul de probabilité (la question est reproduite ici, ainsi qu’une discussion autour de l’existence de ce professeur… mais comme le note le site , il semble qu’il s’agisse d’une légende urbaine). De manière un peu surprenante, la réaction de la personne est que – si les deux élèves ont menti – la probabilité que deux personnes désigne le même pneu d’une voiture serait de 1/16. Pourtant, si on note A, B, C et D les quatre pneus de la voiture, un dénombrement rapide donne 16 situations possibles,

(A,A) (A,B) (A,C) (A,D)
(B,A) (B,B) (B,C) (B,D)
(C,A) (C,B) (C,C) (C,D)
(D,A) (D,B) (D,C) (D,D)

mais 4 paires concordantes. Soit un chance sur quatre que les étudiants indiquent le même pneu. Intuitivement, on demande à un étudiant quel pneu a crevé (jusque là pas de calculs de probabilités) http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/101_3.jpgpuis on veut voir si l’autre indique le même pneu (s’il ment, il a alors une chance sur quatre de donner le même que son voisin). Cette intuition que la probabilité serait 1/16 est alors un peu surprenante. Cela correspondrait au cas où le professeur sait quel pneu avait éclaté, mais pas les étudiants (on retrouve le mythe que l’enseignant sait toujours tout). Ou au cas où trois étudiants étaient dans la voiture et que l’on demande que les trois répondent la même chose.

Que signifie “utiliser de l’information” ?

Considérons un simple jeu de pile ou face. On suppose que l’on tombe sur pile avec une probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif (histoire de formaliser un peu). Le but du jeu est dedeviner sur quelle face la pièce va tomber: si on devine bien, on gagne, sinon on perd. Et le but de mon billet est de comprendre quelle est la stratégie qu’il convient de mettre en œuvrer si on connaît, ou si on estime http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif.

  • Connaissance parfaite des probabilités

Supposons que l’on connaisse parfaitement http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif. A priori deux stratégies sont possibles:

  • jouer au hasard, en utilisant les différentes probabilités: on prédit pile avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif et face avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-21.gif.
  • ne pas jouer au hasard, et prédire la valeur la plus probable, autrement dit si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-22.gif, on prédit pile, sinon on prédit face (à chaque lancer si on fait plusieurs lancers consécutifs).

Notons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-24.gif la variable correspondant à la valeur prise au lancer, disons 1 si on tomber sur pile et 0 sur face. Et notons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-23.gif la valeur prédite. On gagne si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-25.gif, et la probabilité de gagner est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-26.gif

i.e. pour la première stratégie

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-27.gif

En revanche pour la seconde, la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-28.gif

Graphiquement, on peut représenter en ligne la prédiction que l’on fait, et en colonne la face obtenue. En bleu, on gagne, et en rouge on perd,

Supposons que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-29.gif. Considérons le polynôme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-30.gif, dont les racines sont http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-31.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-32.gif, i.e sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-33.gif,
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-34.gif

ou encore

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-35.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-36.gif

(avec une inégalité stricte si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif est strictement inférieur à 1). Bref, il est toujoursplus intéressant de parier toujours la même chose (et de ne pas essayer de jouer au plus malin).

  • Connaissance imparfaite des probabilités

Supposons maintenant que la probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif soit inconnue, mais estimable. Autrement dit, on a assisté à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-03.gif lancers, on a un échantillon http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-01.gif et on estime la probabilité de tomber sur pile par

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-05.gif

Comme auparavant pour la première stratégie, on utilise un générateur de nombre aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-04.gif (qui tire une loi uniforme sur le segment unité), pour la prochaine valeur, on prédit

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-06.gif

Pour la seconde stratégie

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-07.gif

Autrement dit, si on estime que la probabilité de tomber sur pile dépasse 50%, on prédit pile, et sinon on prédit face.
On gagne si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-08.gif, et la probabilité de gagner est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-09.gif

Dans le premier cas, la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-11.gif
dont l’espérance est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-12.gif (comme auparavant). En revanche, dans le second cas, le calcul de la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-13.gif

Graphiquement, on obtient, cette fois,

Si on se place au bout de 20 lancers, on obtient la courbe rouge ci-dessous pour le cas d’information imparfaite, et verte dans le cas de l’information parfaite, pour le ratio de la probabilité de gagner avec le second cas divisé par le premier cas (nous avions vu auparavant que le ratio été inférieur à 1)

à partir du code suivant

> p=seq(.5,1,by=.01)
> q=(p^2+(1-p)^2)/(p*(1-pbinom(10,20,p))+
+ (1-p)*pbinom(10,20,p))
> plot(p,q)
  • Répétons le jeu plusieurs fois et apprentissage des probabilités

Supposons que l’on répète le jeu un certain nombre de fois, avec un apprentissage au fur et à mesure que les tirages avancent, i.e. l’algorithme s’écrit

> n=10
> p=.64
> X=sample(c("a","b"),size=100,prob=c(p,1-p),replace=TRUE)
> S1=S2=rep(NA,100)
> for(s in (n+1):100){
+ P=c(mean(X[1:(s-1)]=="a"),mean(X[1:(s-1)]=="b"))
+ S1[s]=(sample(c("a","b"),size=1,prob=P)==X[s])
+ S2[s]=(names(sort(table(X[1:s])))[2]==X[s])
+ }
> sum(S1[(n+1):100])/sum(S2[(n+1):100])

Graphiquement, si on suppose que l’on apprend sur 10 tirages (et que l’on calcule le nombre moyen de victoires sur les 90 lancers suivants), on obtient un graphique assez proche de ce que l’on avait auparavant,

I.e. comme le ratio est inférieur à 1, la seconde stratégie l’emporte toujours.
Moralité, j’ai un peu l’impression qu’il est souvent inutile d’élaborer une stratégie trop complexe, car les stratégies les plus simples permettent de gagner le plus souvent…

Mal calculer les probabilités tue les probabilités

Suite à un tweet d’Olivier, j’ai découvert avec stupéfaction l’article paru dans Libé sur le risque nucléaire (ici).

On apprend que la probabilité d’accident majeur est d’environ 0.0003 0,0003 par an pour chaque réacteur. Or l’Europe possède 143 réacteurs et donc, sur 30 ans, la probabilité d’un incident majeur est

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/nucle-05.gif

et les auteurs de l’article concluent que “la probabilité d’occurrence d’un accident majeur sur ces parcs serait donc […] de plus de 100% pour l’Union européenne”

Etienne Ghys a déjà – brillamment – discuté ce chiffre avant hier (ici). Le soucis est que si https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/nucle-02.gif est la proba annuelle d’incident par an et par réacteur, en supposant les centrales indépendantes, la probabilité d’avoir un incident sur https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/nucle-3.gif réacteurs sur une durée de https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/nucle-04.gif années est

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/nucle-01.gif

Comme https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/nucle-02.gif est supposé petit, un développement limité donnerait

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/nucle-06.gif

Malheureusement, dans les développements limités de ce genre, s’il faut que https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/nucle-02.gif soit petit, encore faut-il que la puissance ne soit pas trop grande….
En fait, si on retient que pour un réacteur nucléaire à eau pressurisée (REP) tels ceux exploités en Europe de l’Ouest, le risque de fusion du cœur est estimé à 0.00005 par centrale et par an (en reprenant les estimateurs mentionnés sur wikipedia, ici), la vraie probabilité d’avoir un incident majeur en Europe serait plutôt de l’ordre de

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/nuclea-07.gif

(avec une probabilité 10 fois supérieure, Etienne arrivait à 72%). C’est marrant car cette erreur commise en croyant qu’un développement limité serait légitime quand on utilise des probabilité annuelle sur des horizons plus longs était évoqué ici il y a un an jour pour jour, sur des problèmes d’actualisation….

Trop de probabilités tue les probabilités

Hier matin, au moment de quitter la maison, j’ai jeté un œil à la météo (car à Montréal le temps est très changeant, pas seulement d’un jour sur l’autre, comme je l’avis mentionné en arrivant en septembre, ici). En voyant les gros nuages gris dans le ciel, en me réveillant, je me suis demandé s’il fallait mettre un manteau et des bottes en caoutchouc aux enfants (pour aller l’école). Sur le site de météo, on a en effet la probabilité de pluie, i.e. de P.D.P.

Si on suppose que les probabilités sont indépendantes d’heure en heure, la probabilité qu’il va pleuvoir dans la matinée (dans les 5 prochaines heures pour faire simple, ou plus concret), va s’écrire comme le complémentaire de la probabilité qu’il va faire beau toute la matinée, autrement dit, avec des probabilités de pluie de l’ordre de 25%, par heure, la probabilité qu’il pleuve pendant les prochaines heures est de 75% environ

> 1-((1-.25))^5
[1] 0.7626953

Bref, on est loin de 25%. Essayons d’aller un peu plus loin pour mieux comprendre…
Notons https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie03.gif la variable indicatrice indiquant s’il pleut, ou pas (1 s’il pleut, et 0 sinon) à l’instant https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie04.gif. Supposons qu’il existe un processus latent sous-jacent, https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie05.gif tel que

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie06.gif

 

A une date https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie04.gif, on se demande ici s’il va pleuvoir dans la matinée, i.e. on veut

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie07.gifqui peut encore s’écrire

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie08.gifou, ce qui sera pleut être plus utile ensuite

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie09.gifAvec notre modèle latent, cette probabilité peut s’écrire

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie10.gifc’est à dire en notant https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie13.gif la fonction de répartition (jointe) du vecteur aléatoire https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie11.gif cette probabilité s’écrit
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie12.gifOr Wassily Hoeffding a montré qu’il était possible d’encadrer une fonction de répartition, avec les bornes suivantes: pour tout https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^d,
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie14.gif

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie15.gif
et
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie16.gif
(en notant que ces bornes sont atteignables). Autrement dit, ici, la probabilité qu’il fasse beau 5 heures de suite est encadrée par la probabilité qu’il pleuve sur une heure… et 1.
Bref, on n’a pas grand chose à dire*.

Une possibilité est de supposer un modèle Gaussien pourhttps://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie05.gif. Supposer les lois marginales n’est en rien contraignant. En revanche, supposer que la dynamique sous-jacente est Gaussienne est une hypothèse très forte. Et pour faire simple, supposons même que la dynamique soit auto-régressive (à l’ordre 1), i.e.
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie18.gifoù https://latex.codecogs.com/gif.latex?(\eta_t) est un bruit blanc, indépendant du processus latent. L’intérêt est que l’on a spécifié ainsi la structure de la matrice de variance covariance. En particulier, la matrice de corrélation du vecteur https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}^\star est alors
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie01.gif
On peut d’ailleurs visualiser facilement la forme de cette matrice en fonction de https://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho,
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/animationcorrelationpluie.gif
Avec ce formalisme, on peut alors en déduire https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie12.gif car on connaît très bien la fonction de répartition d’un vecteur gaussien multivarié via

On peut alors étudier l’impact de http://freakonometrics.blog.f ree.fr/public/perso3/slatex.gif (qui est associée à la probabilité d’avoir de la pluie pendant une heure en moyenne) et de la corrélation https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie21.gif (qui est associée à la dynamique du processus). Pour simplifier, si on prend https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/slatex.gif tel que la probabilité de pluie soit de l’ordre de 25%, on a la probabilité d’avoir de la pluie suivante,

> s = .25
> r = .85
> i = 1:n
> I = matrix(rep(i,each=n),n,n)
> J = matrix(rep(i,n),n,n) 
> C = r^(abs(I-J))
> 1-pmnorm(rep(qnorm(1-s),n),mean=rep(0,n),varcov=C)[1]
[1] 0.458074

i.e. en faisant une boucle sur la valeur de la corrélation

Et plus généralement si on croise le seuil (i.e. la probabilité horaire de pleuvoir) et la probabilité, on a l’abaque suivante

On pourrait toutefois objecter que l’important n’est pas forcément qu’il ne pleuve pas de la matinée, mais qu’il ne pleuve pas quand ils sont dehors, i.e. (pour simplifier), à 8 heures, midi et 16 heures (c’est à dire toutes les 4 heures). On s’intéresse alors à
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/pluiecorrel-31.gif
qui est toujours un vecteur Gaussien, mais avec cette fois une structure de corrélation un peu différente,
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/ppluie-coreel.gif
Dans ce cas, la probabilité de ne pas avoir de plus à ces trois moments de la journée est alors de la forme suivante

La corrélation joue alors un rôle relativement faible car il intervient à la puissance 4 dans la matrice d’auto-corrélation.
Dans ce cas, on notera que l’hypothèse d’indépendance n’est peut être pas absurde. Et avec une P.D.P. de 30%, sur toute la journée, on peut probablement se dire que la probabilité d’avoir de la pluie soit le matin, soit le midi, soit le soir sera de l’ordre de

> 1-(1-.3)^3
[1] 0.657

A tester !
* En fait si, on pourrait dire beaucoup de choses (et écrire une dizaine de billets) en particulier sur la borne supérieure, ici 1, dès lors que la probabilité horaire d’avoir de la pluie dépasse 20% – car la borne supérieure est

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/prooooobacommentaire.gif

En fait, la borne inférieur n’est pas une fonction de répartition de manière générale. Toutefois, la borne est atteignable pour une certaine structure de dépendance. Ce qui explique que par la suite, avec un modèle Gaussien, on sera relativement loin de cette borne supérieure. La borne inférieure (i.e. la borne supérieure sur les fonction de répartition) est elle atteinte dès lors que les risques sont variables sont comonotones, c’est à dire dans le cas Gaussien si la corrélation entre deux instants (et entre tous les instants) vaut 1. La petite animation sur la matrice de corrélation permet de mieux comprendre la difficulté de comprendre le cas où la corrélation rho est négative: dans le cas où https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/rhofleche.gif1, on a une corrélation proche de 1 partout dans la matrice. En revanche, si https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/rhofleche.gif -1, on a des corrélations proches de -1 dans la moitié (environ) des cellules de la matrice, et +1 dans l’autre moitié. La borne supérieure sur la probabilité savoir de la pluie dans matinée correspond donc à une structure plus complexe que la borne inférieure, car on ne peut pas avoir une corrélation négative forte avec tous les lags.

Pourquoi frapper aussi fort la balle au service ?

Au tennis, il n’est pas rare de voir les joueurs servir très fort sur leur première balle, puis de se calmer sur la seconde. Est-ce pour se reposer un peu après le premier effort ou bien y-a-t-il une réelle logique derrière ?

Modélisons un peu tout ça (en reprenant une modélisation présentée par David Gale en 1971). Un joueur a un ensemble http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv01.gif de services possibles. A son premier service, il choisit le service http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv02.gif. La première difficulté est que le service soit correct (ou passe le filet pour faire simple), et on note http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv03.gif la probabilité qu’un tel service passe le filet. Si le service est passé, il a une certaine probabilité de gagner le point, que l’on notera http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif. Bien que ne connaissant pas vraiment le tennis, il n’est pas absurde de supposer qu’il y ait une forme d’arbitrage,

  • un service puissant a peu de chance de passer (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif petit), mais s’il passe le filet le serveur sera à son avantage, et la probabilité de gagner le point sera élevée (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif grand)
  • un service faible a de grandes chances de passer (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif grand), mais la balle sera alors facile pour l’adversaire, et la probabilité de gagner le point sera faible (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif petit)

A un service http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv07.gif donné, la probabilité de gagner le point (sur ce premier service) est alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv08.gif.

Supposons que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv01.gif soit “ordonné” au sens où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif peut être supposée strictement croissante.
Compte tenu de la remarque que nous avions faite initialement, il n’est pas absurde de supposer que la fonction

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv09.gif

soit à valeur dans http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv10.gif, avec une fonction croissante pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv.gif, puis décroissante pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv12.gif.

Le joueur cherche à maximiser sa probabilité de gagner le point.

Mais au tennis, si le premier service ne passe pas, le serveur a le droit a une deuxième chance. Le serveur choisi alors en réalité un couple http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv15.gif correspondant à son premier et second service, respectivement. La probabilité de gagner le point, à stratégie http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv16.gif donnée, est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv17.gif

On peut noter que la stratégie optimale pour la seconde balle est indépendante de ce qui a été fait pour la première. En effet, si on cherche à résoudre, à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv18.gif donné

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv20.gif

la condition du premier ordre est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisser21.gif

i.e

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv22.gif

Autrement dit, le second service doit être celui qui maximise sa probabilité de gagner le point, i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv23.gif.
Mais si on sait qu’il est optimal de jouer http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv23.gif, dans ce cas, pour le premier service, le joueur cherche à résoudre

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennissserv24.gif

dont la condition du premier ordre est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv25.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv26.gif

Le point s_1 qui vérifie cette condition peut se visualiser sur la figure ci-dessous, car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv27.gif s’interprète comme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv28.gif, i.e. la tangente de la fonction rouge, et on veut que cette tangente soit de pente http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv29.gif, qui est la pente de la courbe bleue (comme l’avait noté David Gale),

Autrement dit, il est optimal de servir plus fort la première fois que la seconde… Comme quoi finalement tout peut se démontrer avec un joli modèle…

Minuit, l’heure du crime ? heure d’hiver ou d’été ?

Suite à mon précédant billet où j’essayais d’étudier la dynamique des appels aux 911 à Montréal, j’avais noté qu’un seul type d’appels avait lieu aux alentours de minuit, à savoir les trouble à la paix. Mais minuit est une notion quelque peu relative. En tous les cas, c’est la réflexion que je me faisais alors que les jours commencent à rallonger… car l’hiver à Montréal, minuit ça peut presque 8 heures après le coucher du soleil, et l’été à peine 4 heures…C’est aussi ce que me demandait @simon dans un commentaire.

En fait, de manière assez étrange, les cycles sont relativement stables en fonction des saisons (avec dans le cercle au centre l’ensoleillement de la journée – avec en bleu la nuit)

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/911-mois.gif

Je mettrais peut être cela sur le compte que Montréal est relativement proche de l’heure solaire, au sens où midi est assez souvent le milieu de la journée et que minuit est le milieu de la nuit.

Dans le même état d’esprit, on peut se demander s’il y a un impact du changement d’heure. Par exemple si on considère le changement d’heure qui survient au printemps. Le graphique de gauche représente les appels le week-end qui précédait le changement d’heure (vendredi, samedi et dimanche qui précédaient) et à droite le week-end qui a suivi (même trois jours),

Il y a peut être un léger désaxage vers la droite, mais à peine…

Et si on regarde d’autres types d’appels, comme les coups de feu, on observe le début de la période d’appel (un peu plus intense) suit le commencement de la nuit: s’ils finissent vers 4 heures du matin, les appels arrivent plus tôt l’hiver que l’été

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/911-mois-409.gif

en revanche, on a un impact presque nul du changement d’heure,

On peut aussi regarder les conflits, qui présentaient une dynamique relativement différente, on observe ici une relative stabilité

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/911-mois-610.gif

et encore une fois, on a un impact presque nul du changement d’heure,

ma que calor !

J’avais commencé plusieurs analyse (ici ou ) sur les appels passé au 911, à la police, à Montréal, en fonction de l’heure et des jours de la semaine afin de détecter d’éventuels cycles. Mais ces derniers jours, maintenant qu’il commence à faire beau et chaud, je me suis demandé s’il n’était pas possible de croiser avec la température… Car j’aurais l’idée naïve qu’on ne va pas commettre un cambriolage quand il fait -25°C, ou que les conflits sont en hausse s’il fait +35°C…


Si on regarde assez rapidement, en comptant le nombre d’appels en fonction de la température, et en faisant une régression splines, on obtient

autrement dit, entre -20°C et +30°C, il y a environ 50% d’appels en plus. Ce qui est loin d’être négligeable ! Mais on peut aussi croiser la température avec l’heure d’appel, avec l’heure en abscisse et la température en ordonnée

Aussi, la région ou le nombre d’appels est le plus élevé est indiquée ci-dessous: on note que l’on a plus d’appels quand il faut chaud, et plutôt en fin de journée,

Pour les conflits, par exemple, on a davantage de conflits en fin d’après midi comme on l’avait relevé, mais surtout, ces derniers sont très liés à la température: il y a d’autant plus d’appels qu’il faut chaud.

Les appels sont d’autant plus importants dans la région bleue ci-dessous,

Si l’on se concentre uniquement sur la température et les conflits, on a l’évolution suivante

après presque deux fois plus d’appels s’il fait +30°C par rapport à -20°C. De même pour les agressions sexuelles, qui augmentent très fortement avec la température (environ +25%),

En revanche les holds ups sont indépendants de la température,

En revanche les alarmes cambrioleurs semblent générer plus d’appels s’il fait chaud, mais aussi s’il fait froid…