Paradoxe de Simpson expliqué par un dessin

Il y a plusieurs mois, j’avais fait un billet sur le paradoxe de Simpson (ici). Pour reprendre un exemple simple, supposons que l’on a deux hôpitaux, affichant les statistiques suivantes, pour les personnes “saines”,

hôpital total survivants décès taux de
survie
hopital A 600 590 10 98%  x
hopital B 900 870 30 97%

et pour les personnes “malades” (on suppose vraiment que le critère est identique pour les deux hôpitaux)

hôpital total survivants décès taux de
survie
hopital A 400 210 190 53%  x
hopital B 100 30 70 30%

Bref, peu importe son état de santé, on a toujours intérêt à choisir l’hôpital A. D’où le paradoxe. En revanche, si on combine, on obtient “globalement”,

hôpital total survivants décès taux de
survie
hopital A 1000 800 200 80%
hopital B 1000 900 100 90%  x

on note que l’on a intérêt à choisir l’hôpital B. Étonnant non ? (l’exemple vient de Marco Scarsini, et je n’ai jamais trouvé plus élégant).

J’évoque souvent ce paradoxe en économétrie, et c’est ce que j’avais fait dans mon précédant billet (ici). En fait, Roger Nelsen propose un petit exemple simple permettant de comprendre comment on peut obtenir un tel paradoxe. L’idée est de noter que

et

et pourtant

Cela n’a a priori rien d’exceptionnel… On peut parfaitement avoir

et

tout en ayant,

C’est ce que l’on peut visualiser ci-dessous,

Merci Roger….

Dessins et preuves ?

Plusieurs personnes m’ont laissé des messages et des commentaires suites aux derniers dessins, disant en substance “c’est bien joli, mais est-ce que c’est vraiment une preuve ? “. Étant incompétent en épistémologie, je n’aurais pas la prétention d’apporter des lumières… En revanche, Olivier m’a forwardé (ici) le document en ligne (on l’on retrouve page 4 un dessin plus beau que celui que j’avais pu faire pour montrer que la loi géométrique est une vraie loi de proba), et surtout, il m’a fait découvrir ici la notion de “preuve sans mots“, où l’on retrouve une très jolie preuve animée (je me rends compte que l’animation aide vraiment à la compréhension, c’est ça que j’aurais du faire depuis le début) du théorème de Pythagore (que je continue de mentionner en cours, comme , lorsque je dois parler de formule de décomposition de la variance). Bref, sur la page wiki est mentionné des ouvrages de Roger Nelsen, que je dévore depuis ce matin.

(ainsi que quelques livres avec Claudi Alsina). Pour la petite histoire, c’est justement Roger qui m’avait expliqué comme obtenir ces propriétés de la loi géométrique, à l’époque où je faisais un short course à Samos, en 2004, sur advanced statistical methods in insurance. J’avais évoqué l’importance de la loi géométrique dans le concept de période de retour, et Roger m’avait expliquer comment retrouver l’histoire de l’espérance de la loi géométrique sans équations….

J’ai retrouvé plusieurs dessins que j’avais fait dans mes cahiers de prépas (que je commence à ressortir ces derniers temps, depuis que je dois revenir sur quelques concepts fondamentaux de convexité et de topologie… et qui m’avait servi pour les dessins que j’avais déjà pu faire, ici en particulier), et surtout j’en ai découvert un paquet d’autres, que je ne pourrais pas m’empêcher d’évoquer dans de futurs billets… D’ailleurs, je me suis rendu compte qu’on pouvait retrouver un bon nombre de ces exemples directement sur jstor, . Par exemple, il propose une interprétation de la comparaison de plusieurs moyennes (arithmétique, géométrique, etc), plus complète que ce que j’avais pu faire,

Sur la preuve par le dessin, Jean-Paul Delahaye apporte les éclaircissements suivant, ici, en citant David Hilbert qui disait : « les règles pour écrire une démonstration doivent être si claires que si quelqu’un vous propose une démonstration, alors une procédure mécanique doit pouvoir assurer que la démonstration est correcte, c’est-à-dire qu’elle obéit aux règles. ». Il détaille par ailleurs cet argument, “ce que les Grecs – par exemple Euclide – considéraient comme une démonstration est aujourd’hui encore, moyennant quelques adaptations dans le style et les notations, toujours considéré comme une démonstration. En revanche, nous avons beaucoup avancé sur les notations, la structure logique des arguments, et la compréhension de ce qu’il est possible d’attendre de la méthode axiomatique. Nos notations et la logique mathématique ont tellement progressé que, contrairement aux Grecs, nous savons formaliser les démonstrations que nous écrivons.”
Bref, pour ma part, je trouve cela tellement élégant (et surtout je sais que Roger est beaucoup plus compétent en maths que moi) que je ne m’empêcherais pas de mettre ici le compte rendu de mes lectures ! Merci Roger, et Olivier….

Discussions géométriques du soir

J’avais raconté l’autre jour l’aventure de mon fils qui souhaitait faire des triangles avec des bouts de bois (ici). Il a récidivé ce soir. Sauf qu’il n’avait qu’un grand baton, et que j’avais fermé le portillon qui l’empêchait d’aller dans la forêt en chercher (la nuance entre romancer et devenir mythomane doit être mince). Je lui ai suggéré de le casser en trois portions, puis de constituer un triangle avec les trois morceaux restant. Manque de bol, l’expérience rate (comme l’autre fois). Et me souvenant de mes pénibles calculs de la dernière fois, je me suis rappelé qu’il avait une chance sur deux de pouvoir effectivement construire un triangle… sauf que la manière d’obtenir les trois bouts de bois me semble différente… donc peut être que ce 1/2 n’est plus valide ?
En fait, je crois qu’il faut définir clairement comment on va couper les bouts de bois.

  • méthode 1: le coupage simultané

Je suppose que je peux couper d’un coup le bout de bois en deux. Formellement, je tire deux points sur l’intevalle correspondant à mon bout de bois, les tirages étant uniformes, et indépendants. On arrive alors à trois morceaux, alatex2png.2.php.pngalatex2png-1.2.php.png et alatex2png-2.2.php.pngen sachant que 

alatex2png-3.2.php.png

la longueur du bout de bois dont je diposais initialement. On supposera que aalatex2png.2.png=1 pour simplifier (ce qui ne changera rien au résultat final, on s’en doute). L’ensemble des points que je peux obtenir peuvent alors se visualiser comme des points du simplexe, 

alatex2png-4.2.php.png

autrement dit, on peut les représenter dans le triangle équilatéral ci-dessous.
Or on ne peut constituer un triangle que si la plus grande des longeurs n’excède pas la somme des deux autres. Supposons que alatex2png-2.2.php.png soit la plus grande longueur (et qu’elle soit visualisée graphiquement par rapport à la distance au côté en bas), le point rouge ci-dessous (correpondant à un triplet de longueurs possibles) ne convient pas. En fait, dès lors que l’on entre dans l’aire rosée, on ne peut plus constituer un triangle…

Moralité, à moins de tomber dans le triangle jaune, on ne peut pas constituer de triangle…. Ce qui veut dire qu’on n’a plus qu’une chance sur quatre !

  • méthode 2: le coupage séquentiel

Une autre méthodde consister à couper d’abord en deux (en tirant un point au hasard sur mon intervalle), puis de recouper en deux le plus grand morceau… Damned, mon fils a de bonne idée, mais ça sent les calculs à n’en plus finir ça…Ou alors va falloir continuer à essayer de faire des dessins, car mine de rien, c’est plus simple que les calculs de la dernière fois. Bon, la longueur de mon bout de bois est la hauteur de mon triangle. Je commence par le couper en deux, la distance au côté en bas devant être la plus petite des deux.

Une fois fixé la taille de ce petit bout, il me reste à couper le plus grand morceaux en deux. Pour cela, je vais me déplacer le long du segment rouge ci-dessous,
La position sur ce petit segment me donnant ensuite les deux autres longueurs des morceaux. Or rappelons que pour que nos bouts de bois forments un triangle, il faut forcément appartenir au triangle jaune,
Pour résumer, nous avions exclus la partie supérieure du triangle, et conditionnellement au fait que nous sommes dans le lozange inférieur, nous souhaitons être dans le triangle jaune. Arg, cette fois-ci la probabilité passe à une chance sur trois !

  • couper d’un coup comme découpage séquentiel aléatoire ?

Mais attends deux minutes mon bonhomme (oui, je parle à mon fils). Si j’avais choisi de découper le plus petit morceau, on sait qu’il est impossible de constituer un triangle car par définition alatex2png-5.2.php.png Supposons que l’on casse le baton en deux, et que l’on tire ensuite au hasard (avec probabilité 1/2 et 1/2) quelle partie sera alors coupée en deux, on doit se ramener au cas précédant non ? La probabilité de constituer un triangle doit alors être

alatex2png-6.2.php.png

Damned, mais ça ne fait pas un quart ça ! Bon, je crois que je vais prendre une aspirine et aller demander à mon fils d’aller ranger ses bâtons !

Comprendre les tableaux croisés, 1

Je voulais faire quelques billets rapides sur les tableaux croisés, suite à des demandes consécutives à mon billet sur le sexe des bébés (ici). Pour commencer, je vais m’intéresser au cas où les variables supposées indépendantes (d’autres billets seront l’occasion de tester d’autres types d’hypothèses). Histoire de trouver des données un peu originales, on peut traîner sur internet. Etant tombé (presque) par hasard sur le fichier pdf ici, j’ai voulu m’intéresser à l’origine des enseignants-chercheurs recrutés lors de la campagne 2008 (comme le dit le titre du document en ligne sur le site du ministère). Prenons deux variables catégorielles géographiques, par exemple

  • https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/cont-01.png, ville (au sens large) où l’on a soutenu sa thèse
  • https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/cont-02.png, ville (au sens large) où l’on a obtenu un poste de maître de conférence

Compte tenu des règles de non-recrutement local, on devrait pouvoir supposer que ces variables sont indépendantes. En fait, je ne raisonne pas ici par université, mais par ville, ce qui correspond à un recrutement local au sens large (passer de Paris 6 à Paris 7 sera ici considéré comme “local“).
L’étude a été faite à partir des données disponibles ici et . Petite précaution d’usage: ce sont les données de la campagne 2008, avant que les comités de sélection ne soient mis en place. Il conviendrait de refaire l’étude une fois les nouvelles données publiques. On a deux bases, une en droit-économie-gestion, et une en sciences. J’insiste sur le fait que l’on a des données sur une année seulement, donc avec peu d’observations… Mais comme l’indique le titre, je vais parler des outils visualisation des tableaux croisés, pas faire un billet sur le recrutement local. Voilà pour les précautions d’usage…
Pour visualiser ici, j’ai fait des regroupements, car avec 25 villes, ça ne tient pas dans mon billet (mais par la suite, l’analyse sera plus fine). Les données de base sont les suivantes, les lignes étant l’endroit où un doctorant a soutenu sa thèse (en économie ou droit), et en colonnes, l’endroit où a été recruté un maître de conférence,

Rennes Province
(autre)
Région
parisienne
total
Rennes 5 8 0 13
Province (autre) 3 124 23 150
Région parisienne 1 13 49 63
total 9 145 72 226

Classiquement, on peut retraduire ces chiffres (qui sont des comptages) sous la forme de probabilités,

Rennes Province
(autre)
Région
parisienne
total
Rennes 2,21% 3,54% 0,00% 5,75%
Province (autre) 1,32% 54,86% 10,18% 66,37%
Région parisienne 0.44% 5,75% 21,68% 27,88%
total 3,98% 64,15% 31,86% 100,00%

Les probabilités qui apparaissent sur les totaux sont les probabilités marginales. Aussi, au bout de la première ligne on trouve que 5,75% des doctorants qui ont eu un poste en 2008 avaient soutenu leur thèse à Rennes (ou dans la région, i.e. les universités de Rennes 1, de Rennes 2 et de Brest). De manière similaire, en bas de la première colonne, 3,98% des maîtres de conférences recrutés en 2008 ont été recrutés à Rennes.
Deux autres tableaux classiques sont alors les profils ligne et profils colonnes, c’est à dire les probabilités conditionnelles,

Rennes Province
(autre)
Région
parisienne
total
Rennes 38,46% 61,54% 0,00% 100,00%
Province (autre) 2,00% 82,67% 15,33% 100,00%
Région parisienne 1,58% 20,64% 77,78% 100,00%
total 3,98% 64,15% 31,86% 100,00%

par ligne, autrement dit, pour un étudiant qui a soutenu sa thèse à Rennes (et qui a eu un poste de Maître de Conférences), il avait  38,46% de chance de rester à Rennes (ou plutôt en Bretagne), et 61,54% de chance d’aller dans une autre ville de province. Côté colonnes,

Rennes Province
(autre)
Région
parisienne
total
Rennes 55,56% 5,52% 0,00% 5,75%
Province (autre) 33,33% 85,52% 31,94% 66,37%
Région parisienne 11,11% 8,96% 68,06% 27,88%
total 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%

Ici, on lit que pour un Maître de Conférences recruté sur la région parisienne, il y avait 68,06% de chances pour qu’il ait fait en région parisienne.
Bref, à partir de ces tableaux, on peut essayer de tester l’hypothèse d’indépendance, et si cette dernière n’est pas vérifiée, on va essayer de comprendre pourquoi.
Mais avant, rappelons que l’hypothèse d’indépendance se traduit par le fait que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/cont-03.png

La valeur de gauche est la probabilité jointe (que l’on retrouve au coeur du second tableau), alors que les deux autres sont les probabilités marginales, qui apparaissent en bas, et à droite (dans les totaux). Bref, on pourrait construire le tableau des probabilités que l’on devrait avoir sous hypothèse d’indépendance,

Rennes Province
(autre)
Région
parisienne
total
Rennes 0,22% 3,69% 1,83% 5,75%
Province (autre) 2,64% 42,58% 21,14% 66,37%
Région parisienne 1,11% 17,88% 8,88% 27,88%
total 3,98% 64,15% 31,86% 100,00%

que l’on peut retraduire en terme d’effectif espéré, toujours sous l’hypothèse d’indépendance. Pour ceux qui connaissent les copules, on change juste la structure de dépendance ici, pas les lois marginales (ou les effectifs marginaux) qui restent inchangés.

Rennes Province
(autre)
Région
parisienne
total
Rennes 0,5 8,3 4,2 13
Province (autre) 6,0 96,2 47,8 150
Région parisienne 2,5 40,5 20 63
total 9 145 72 226

L’outils de base pour comparer ces données est la distance du chi-deux.
La statistique du chi-deux est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/cont-04.png

ou encore

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/cont-05.png

Karl Pearson avait été un des premiers à étudier ces grandeurs, sous des hypothèses de normalité (des sommes de lois normales indépendantes au carré se ramenant à des lois du chi-deux).
On notera qu’une approche alternative est de supposer que les nombres (ou les effectifs) suivent une loi de Poisson. On peut alors se demander si

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/cont-06.png

Si on suppose avoir une loi de Poisson, on peut s’intéresser aux résidus de Pearson,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/cont-07.png

autrement dit, on retrouve des grandeurs très proches de la contribution au chi-deux (en prenant le carré). On aussi le signe qui nous indique s’il y a trop peu de monde, ou au contraire par assez….
Si je travaille sur la base totale, soit environ 25 “villes“, on obtient

> cont1=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/contingence-universite_1.csv",
+ header=TRUE,sep=";")
> cont2=cont1
> for(i in 1:ncol(cont2)){
+ for(j in 1:nrow(cont2)){
+ if(is.na(cont2[j,i]==TRUE)){cont2[j,i]=0} } }
> X=as.matrix(cont2[1:nrow(cont2),2:ncol(cont2)])
> rownames(X)=as.character(cont2[,1])
> colnames(X)=names(cont2[2:ncol(cont2)])
> X=X[,-2]
> X=X[-2,]
> X=X[,-9]
> X=X[-9,]
> Z=X[-nrow(X),]
> Z=Z[,-ncol(Z)]
> Z=Z[-nrow(Z),]
> chisq.test(Z)
        Pearson's Chi-squared test
data:  Z 
X-squared = 1342.546, df = 576, p-value < 2.2e-16

La base est assez sale, j’ai fait un copier/coller rapide du fichier pdf (et je vire les Antilles et la Réunion car après je voudrais faire un peu de visualisation sur une carte). Autrement dit, l’hypothèse d’indépendance ne semble pas validée par le test du chi-deux. Essayons maintenant de comprendre un peu mieux les interactions dans notre carré…
Si on regarde les problèmes de recrutement local, il faut regarder ce qui se passe sur la diagonale de la matrice des résidus,

> CT=chisq.test(Z)
Message d'avis :
In chisq.test(Z) : l'approximation du Chi-2 est peut-être incorrecte
> Dia=diag(CT$residuals)
> names(Dia)=rownames(Z)
> Dia
 AIX-MARSEILLE        BESANCON        BORDEAUX            CAEN        CLERMONT  
     6.43901593      3.26116568      8.37261202     10.53607373      5.12692873 
         CORSE           DIJON        GRENOBLE           LILLE         LIMOGES  
     8.56426340      4.10931024      9.18869705      7.59456681      8.56426340 
          LYON     MONTPELLIER           NANCY          NANTES            NICE  
     3.16119625      4.18366071      8.84765951      2.67087742      7.86973591 
       ORLEANS        POITIERS           REIMS          RENNES           ROUEN  
     1.79480842      5.81144228     -0.06651901      6.22963060      6.57435350 
    STRASBOURG        TOULOUSE           PARIS         CRETEIL      VERSAILLES  
     5.64850464      4.12289099      5.46092001     -0.22061860      4.01351350

Visuellement, sur une carte de France, on obtient la distribution ci-dessous, pour les postes en économie et droit,

et ci-dessous pour les postes en sciences et pharmacie,

Si on regarde le tableau des résidus on obtient les valeurs suivantes sur la ligne correspondant à Rennes, i.e. les endroits où vont les étudiants ayant soutenu leur thèse à Rennes,

avec en bleu les valeurs positives, et en rouge les valeurs négatives. A droite sont représentées les lignes, i.e. les endroits d’où viennent les Maîtres de Conférences recrutés à Rennes.
Au lieu de regarder ville par ville, on peut aussi faire une petite animation, soit sur les endroits où sont partis les doctorants,

ou les endroits d’où viennent les Maîtres de Conférence recrutés,

On peut également s’il existe des interactions, ou des échanges d’une ville à l’autre. Dans ce cas, les résidus croisées https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/cont-08.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/cont-09.png doivent être positifs.

Bref, au delà du “recrutement local” on voit également apparaître de fortes interactions régionales (Rennes-Nantes, Toulouse-Bordeaux, Orléans-Paris).

Avant de conclure, il existe une autre technique permettant de mieux visualiser les interactions, c’est l’analyse factorielle des correspondances (je renvois icipour des slides). Si on regarde les 2 premiers axes principaux, en sciences (à gauche) et en droit et économie (à droite), on obtient les projections suivantes des modalités, avec en bleu les villes où les étudiants ont soutenu leur thèse, enrouge les villes où les postes de Maître de Conférences ont été obtenus,

et sur les les 2 axes suivants

Bref, comme souvent en statistique, afin de mieux comprendre un ajustement de modèle (ou comme ici lors la réalisation d’un test d’hypothèse) la visualisation des résidus est la technique de base (c’était l’idée d’ailleurs du commentaire que j’avais fait ).
Voilà pour la première partie, sur les modèles où l’on suppose l’indépendance. La prochaine fois, on verra d’autres formes d’hypothèses.

Le paradoxe de Saint Pétersbourg, partie 1

Pour répondre à une question sur mon précédant billet (ici), je vais revenir sur un paradoxe assez classique, le paradoxe de Saint Petersbourg. Mais avant de parler du paradoxe, et de ses implications en théorie de la décision dans l’incertain, je voulais présenter le jeu, et en profiter pour jouer à faire des dessins puisque j’ai cru remarquer que j’avais des amateurs d’explications géométriques.
Le jeu est simple, c’est un jeu de pile ou face répété, le jeu s’arrêtant à la sortie du premier “face” (et on le verra par la suite, l’idée est de doubler ses gains chaque fois que “pile” sort).
Aussi, le temps d’arrêt du jeu est https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-01.png dont la loi est simplement

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-02.png  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-03.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-04.png  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-05.png

… etc. On retrouve ainsi une loi géométrique de paramètre 1/2. L’espérance du nombre de lancers que l’on ferra avant que le jeu ne s’arrête est fini (alors qu’on le verra le gain espéré est infini), et vaut l’inverse de cette probabilité, i.e. 2. Pour ceux qui ont oublié la formule (que l’on obtient de manière assez calculatoire, en faisant une dérivation dans une série), on peut refaire le calcul,
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-06.png

Personnellement, je ne sais pas calculer cette somme (infinie), mais comme dans mon précédant billet (ici), il existe une somme que l’on peut calculer simplement en faisant un petit dessin,

J’ai 1 carré (mauve) de surface 1, 2 (bleus ) de surface 1/2, puis 3 (verts) de surface 1/4, puis 4 (jaunes) de surface 1/8, puis 5 (rouges) de surface 1/16, 6 (oranges) de surface 1/32, etc. Autrement dit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-07.png

Or l’espérance que l’on cherche à calculer, c’est cette somme, à un facteur 2 près….  Aussi, en moyenne, on peut espérer faire 2 lancers (la moitié de la surface) ! Ce qui correspond précisément à l’espérance d’une loi géométrique de paramètre 1/2. Décidément, on peut faire plein de choses avec des petits dessins..

Zénon, sommes infinies et loi géométrique

Ayant parlé plusieurs fois de Luc Chatel sur mon blog je n’ai pas pu m’enpêcher de mettre l’image qui est à la une du Canard de cette semaine.
Pour ceux qui se souviennent de leurs cours de philo au lycée, c’est le paradoxe de Zénon (ou presque). Pour cela il faut fermer les yeux et imaginer une flèche en vol (en fait non, je viens de faire l’expérience, si on ferme les yeux, on ne peut pas lire la suite, ça ne marche qu’en cours cette histoire). La flèche est lancée à 10 mètre de sa cible. Il faut un certain temps, non nul, à cette pierre pour parcourir la moitié de la distance qui la sépare de la cible. Ensuite, il lui reste encore 5 mètres à parcourir, dont elle accomplit d’abord la moitié, 2,5 mètres, ce qui lui prend un certain temps. Puis elle parcourt la moitié, puis la moitié, et cela – à chaque fois – avec un temps non nul. Zénon (Ζήνων, parfois appelé aussi Zénon d’Elée)  en conclut que la pierre ne pourra frapper l’arbre qu’au bout d’un temps infini, c’est-à-dire jamais (ou pour la version illustrée, je peux renvoyer à un extrait de Kid Paddle, ici). En fait, Zénon introduit  la notion d’infini divisibilité (on dira qu’un élément est indéfiniment divisible, c’est d’ailleurs surprenant ce lien en français entre l’infini et l’indéfini), qui philosophiquement, est un complexe qui a mis du temps à s’imposer: une somme infinie d’éléments non nuls peut être finie (je renvois ici par exemple).

Formellement, l’histoire de la flèche revient à se demander si on peut calculer quelquechose qui ressemble à

 https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zenon-01.png

soit, de manière plus formelle,

 https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zenon-02.png

on retrouve la somme d’une série géométrique (au premier terme près), dont on sait que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zenon-03.png

Un application intéressante est que la loi géométrique, vérifiant

 https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zenon-06.png

est effectivement une loi de probabilité,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zenon-05.png

(les termes sont positifs, et la somme vaut 1). Il existe une démonstration élégante de ce dernière résultat, qui tient en un dessin (à condition d’accepter ce principe un peu fractal d’infini divisibilité):

Je reviendrais un jour sur les lois de probas infiniment divisibles, car elles sont très très intéressantes de par certaines propriétés….

Les abaques comme outils de pédagogie statistique

Comme je l’avais mentionné à propos d’un vieux papier paru dans Le Canard, c’est souvent compliqué de communiquer sur les retraites. C’est un sujet complexe et assez rapidement technique. Historiquement, les abaques sont les tables de calculs,

Mais il faut admettre que retrouve un peu n’importe quoi dans ce terme d’abaque…. Certaines sont évoquées ici ou , voire pour quelque chose de très joli. On notera qu’il existe une idée sous-jacente commune, à savoir construire un outil graphique permettant de visualiser comment 3 paramètres peuvent être liés (généralement, ils sont liés par une fonction complexe).

  • Abaques et retraites

Parmi les outils que l’on retrouve dans les documents du COR, j’ai été surpris de voir ressortir l’utilisation des abaques (par exemple ici). On nous en fait même la promotion en vidéo,

Pour la petite histoire, j’avais évoqué son utilisation dans un graphique ici sur les problèmes d’échantillonnage. C’est effectivement un outil graphique intéressant, à condition de savoir le décoder…
L’idée est simple, à savoir lier les trois paramètres essentiels(ou supposés comme tels) du bilan d’un système de retraite, à savoir

  • le niveau des prélèvements,
  • le niveau de l’âge effectif de départ en retraite
  • le niveau des pensions.

La difficulté est de trouver une forme graphique permettant de relier ces trois niveaux (la dimension 3 étant souvent trop abstraite). Par exemple dans les sondages, pour construire un intervalle de confiance, les abaques sont utilisées (comme ici) pour relier

  • le niveau des intervalles de confiance (5%-95% ou 10%-90%)
  • le niveau de probabilité attendu dans le sondage
  • la taille de l’échantillon interrogé

On peut d’ailleurs trouver d’autres exemple en statistiques ici ou . Mais pour revenir au problème des retraite, sur le graphique ci-dessous (appendix 1 ici), en abscisse on met le taux de remplacement (c’est à dire le ratio de la pension moyenne par rapport au revenu moyen) et en ordonnée on met le niveau d’un hausse du taux de cotisation (en points de cotisation). chaque ligne représente un âge moyen de départ en retraite effectif.

On se fixe alors des scénarios d’équilibre et on regarde la manière dont se déplacent les équilibres. J’avais prévu toute une analyse technique, mais je viens de me rendre compte qu’Antoine a mis en ligne un billet remarquable sur le sujet sur http://www.ecopublix.eu/2010/…, que je ne pourrais jamais égaler en clarté. Donc je vais proposer une autre construction d’abaque afin de montrer son intérêt pédagogique.

  • Comprendre l’actualisation

Sur le site http://images.math.cnrs.fr/…, Xavier Caruso explique son émerveillement devant la difficulté de faire des calculs d’actualisation. En un sens, ça me rassure de voir que les calculs actuariels ne paraissent pas triviaux à tout le monde (et surtout plein de contre-intuitions). Xavier essaye d’expliquer la différence entre

  • ouvrir un compte rémunéré à 4,5% sur lequel on dépose 500 euros chaque mois pendant 10 ans
  • ouvrir un compte rémunéré à 4,5% sur lequel on dépose 60000 euros initialement sans plus jamais l’alimenter ensuite.

Si effectivement la somme des 120 versements de 500 euros correspond aux 60000 euros, la valeur intégrant les intérêts n’est pas du tout la même au bout de 10 ans, car dans le premier car, comme le disent les banquiers, “les intérêts se capitalisent“. Bon, si Xavier fait des maths (et donc des développements limités par avoir des formules fermés), on va plutôt faire ici un peu de calculs numériques. Tout d’abord, pour visualiser l’évolution des montants disponibles sur les comptes, rien de plus simple,

> tps=1/12*(1:120)
> plot(tps,60000*(1+0.045)^tps,ylim=c(0,100000))
> lines(tps,cumsum(500*(1+0.045)^(tps)))

les montants au bout de 10 ans étant

> sum(500*(1+0.08525)^(1/12*(1:120)))
[1] 93180.33
> sum(500*(1+0.045)^(1/12*(1:120)))
[1] 75514.32

Ce qui confirme l’intuition que nous avions. Comme le note Xavier, il faudrait un taux d’intérêt deux fois plus grand pour le placement mensuel, la preuve

> sum(500*(1+0.09)^(1/12*(1:120)))
[1] 95543
> sum(500*(1+0.08525)^(1/12*(1:120)))
[1] 93180.33

Xavier obtient cette valeur en effectuant des développements limités. Il résume ça à l’aide du dessin

On peut aller plus loin, en notant qu’à taux sur le placement mensuel donné, ainsi que la maturité, le taux sur le placement bloqué qui rapporte la même valeur à échéance est donné par

 

>1))/(500*12*10))^(1/10)-1
[1] 0.04762238

(dans le cas d’un placement rapportant 9%). En fait, si on regarde le montant dont on dispose sur les comptes à chaque date, on obtient précisément les valeurs suivantes, en fonction du temps,

on retrouve effectivement qu’à 4,5%, les deux placements ne donnent pas le même montant à échéance (ici 10 ans). Alors que si le placement alimenté tous les mois rapportait 8,525%, on aurait exactement la même somme au bout de 10 ans

ou si on compare avec un placement à 9% (le double, ce qui est obtenu par développement limité), on obtient

Pour trouver la valeur exacte du multiplicateur en fonction du taux offert sur le compte bloqué et la maturité, la fonction est tout simplement

> taux=4.5/100
> T=10
> f=function(k){(1*12*T)*(1+taux)^T-sum(1*(1+k*taux)^(1/12*(1:(12*T)))) }
> uniroot(f,interval=c(0,20))$root
[1] 1.894332

L’idée d’utiliser une abaque peut s’avérer intéressante, car on essaye ici de relier

  • le taux de rendement de l’argent bloqué
  • le taux proposé pour le placement alimenté tous les mois
  • la durée envisagée du placement

Je peux mettre en abscisse le taux du placement bloqué. En ordonné, je met le multiplicateur utilisé pour le placement alimenté tous les mois. A maturité donné (par exemple 10 ans en rouge), on peut regarder la valeur du multiplicateur pour que les valeurs à échéance coïncident,

On retrouve directement que le taux équivalent pour un placement alimenté tous les mois doit être 1,89 fois le taux offert sur le placement bloqué si on se fixe une échéance de 10 ans pour égaliser les placements. Le code est simplement le suivant

> tx=seq(0.005,.05,by=.001)
> tps=seq(5,25,by=.25)
> M=matrix(NA,length(tps),length(tx))
> for(i in 1:length(tps)){
+ for(j in 1:length(tx)){
+ T=tps[i]
+ taux=tx[j]
+ f=function(k){
+ (1*12*T)*(1+taux)^T-sum(1*(1+k*taux)^(1/12*(1:(12*T))))
+ }
+ M[i,j]=uniroot(f,interval=c(0,2))$root
+ }}
> contour(tps,tx,M,lwd=2,
+ xlab="Durée du placement (en années)",ylab="Taux (du placement bloqué)")
> abline(v=seq(5,25,by=1),lty=2,col="grey")
> abline(h=seq(0,.05,by=.005),lty=2,col="grey")

Bref, l’actualisation est un sujet délicat (même ce n’est que des calculs de sommes et de puissances). Et faire des petits dessins permet souvent de mieux comprendre…

  1. sum(500*(1+0.09)^(1/12*(1:120 []

Foot, probabilité, et assurance, partie 2

Continuons le billet commencé ici, où j’essayais noté que les enseignes qui se sont engagé à faire des cadeaux en cas de victoire de l’équipe de France s’étaient couvertes via des contrats d’assurance. En fait, elles peuvent également se couvrir sur les marchés (en l’occurrence les sites de paris en ligne). Il existe plusieurs façons de faire des paris. La première est de faire (ou d’acheter) un pari sur un événement (la France ira en finale de la coupe du monde, par exemple). Ce pari est assorti d’une cote que défini le bookmaker. A une cote de 20 contre 1, si je paris 1 euro, je gagne 20 euros en cas de qualification pour la finale.
Dans ce cas particulier, le bookmaker est un agent important dans le marché, car il fixe le prix. Le site oddschecker.com (ici) permet de voir les cotes offertes par différents bookmakers.

Mais il existe aussi des marchés de paris, sans bookmakers. Il s’agit réellement d’un marché, où les parieurs prennent des positions les uns contre les autres, le bookmaker ne servant que d’intermédiaire et d’animateur sur ce marché. C’est le cas sur betfair.com () qui est un site d’échange de paris.

Pour commencer simplement, imaginons que nous sommes quelques jours avant une finale opposant la Corée du Sud aux Etats-Unis. Comme il ne peut y avoir qu’un vainqueur il existe des contratssymétrique, où l’on peut gagner 20 euros si la Corée gagner (et rien si elle perd) et un autre où l’on peut gagner 20 euros si la Corée perd. Bref, soit je suis acheter sur la Corée, soit je suis vendeur. Le prix de ces contrats indiquent la probabilité qu’a la Corée de gagner. On parle aussi de back or lay, deux évènements étant possibles.

  • Lecture d’une cote

Regardons maintenant le match d’ouverture, opposant l’Afrique du Sud au Mexique. Les cotes sont les suivantes, “Mexique 6/4, Afrique du Sud 15/8 et Draw (match nul) 11/5” sur un des sites. Le premier nombre indique ce que l’on gagne (net) en misant le second, si mon pari est gagnant. Autrement dit, si je paris 5 euros sur un match nul, et que match nul il y a, alors mon bénéfice sera de 11 (que je touche en plus de ma mise). La cote est alors de 1+11/5, soit 16/5 (j’avais fait ici un billet sur le lien entre cote et probabilité). Elle indique non plus le bénéfice, mais le gain: en misant 5 euros, j’empoche 16 euros. On parlera de paris 1X2.

Pour aller plus loin, on peut aussi parier sur le nombre de buts marqués. On parlera de paris over/under.

Chez le même bookmaker, si je paris 1 euro que la France gagne la coupe du monde, je fais un bénéfice de 18 euros.

  • Cote ou probabilité ?

Lorsque j’avais essayé d’expliquer l’origine de la loi logistique (ici), j’avais expliqué qu’il existait un lien simple entre probabilité et cote, la cote étant la probabilité que l’évènement se réalise, divisé par la probabilité qu’il ne se réaliste pas. Malheureusement, les choses sont un peu plus complexes dans les paris…
Zoomons un peu sur le match d’ouverture,

La cote est la valeur offerte la par le bookmarker, à laquelle on ajoute 1. La “probabilité” est alors l’inverse de cette cote.

résultat Bookie Offers Cote “probabilités”
Mexico 11/8 2.375 42.10%
South Africa 13/8 2.623 38.09%
Draw 11/5 3.200 31.25%
total 111.45%

A-t-on raté quelquechose ? car visiblement la “probabilité” n’est pas une vraie probabilité… En fait, supposer que l’on puisse construire une mesure de probabilité à partir des cotes doit pouvoir être relié au “théorème fondamental d’asset pricing” (et de probabilités risques neutres mentionnés tout à l’heure)

  • Relecture des cotes à l’aide du théorème fondamental

Autrement dit, on suppose qu’il existe une mesure https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-01.png telle que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-02.png

où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-03.png est l’ensemble des gains possibles, et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-04.png un équivalent certain.
On suppose qu’il existe un ensemble d’évènements https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-05.png (mutuellement exclusif comme on dit, formant une partition de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-06.png), un seul pouvant survenir (en l’occurrence l’équipe qui reçoit gagne, ou l’équipe qui reçoit perd, ou il y a match nul). On considère un bookmaker qui accepte de payer https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-08.png si l’évènement i survient à un joueur qui aura parié 1 euro. On pourra légitimement pense que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-09.png. Notre souhait est de relier ces https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-08.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-10.png, si un lien quelconque pouvait exister. Ce problème avait été soulevé par Ramsey ou de Finetti.
En notant https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-11.png le montant total placé sur l’évènement https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-12.png. On pourra dire que l’on est à l’équilibre si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-13.png est constant. Autrement dit, le ratio des cotes doit être l’inverse des ratios de montants placés,
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-15.png
On peut ainsi s’intéresser à

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-16.png

qui est la fraction de l’argent qui sera effectivement rétribuée aux parieurs, ou https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-17.png sera la  part gardée par le bookmaker. On peut penser qu’un bookmaker fixe https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-18.png, et alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-20.png

En fait, k peut être vu comme un taux d’actualisation (l’équivalent d’un https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-22.pngen mathématique financière). On peut d’ailleurs noter que si on note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-25.png le produit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-26.png

alors la stratégie consistant à parier

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-27.png

sur l’évènement https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-12.png, pour tout les évènements, aura un coût unitaire (j’ai ici constitué mon portefeuille si on revient à la théorie de l’arbitrage). Aussi

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-29.png

En l’occurrence, sur le match d’ouverture de la coupe du monde, on obtient  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-18.png de l’ordre de 90% (l’inverse de la somme de la dernière colonne). Autrement dit, le bookmaker prend de l’ordre de 10%.
A partir de là, on peut en déduire de ces prix d’Arrow Debreu une “probabilité implicite” qui est la probabilité risque neutre, ou la croyance des investisseurs dans la survenance des évènements. Pour cela, on pourrait poser

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-30.png

sauf que dans ce cas, compte tenu de la dernière relation, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-34.png. On définie alors la probabilité implicite des parieurs sous la forme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-35.png

On a réussit à construire une mesure de probabilité https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/foot-pari-01.png, qui correspond à l’intuition des parieurs… mais qui n’a rien à voir avec la probabilité réelle. Si l’on compare les bookmakers, on note que les probabilités induites sont très proches,

et si on compare la part prise par le bookmaker sur ce match, on est là aussi sur des ordres de grandeurs comparables,

Justin Wolfers et Eric Zitzewitz, dans Prediction Markets paru dans le Journal of Economic Perspectives de 2004 (ici) expliquent d’ailleurs tout cela très clairement. Je peux aussi renvoyer à un document de travail datant de novembre dernier de Egon Franck, Erwin Verbeek, et Stephan Nüesch (en ligne ici).
J’ai parlé tout à l’heure de probabilité risque neutre, mais cela sous-entend que l’on puisse supposer les marchés efficients, et qu’il n’y ait absence d’opportunité d’arbitrage. C’est précisément ce qu’avait regardé Steven Levitt et Richard Gillici, dans un vieux papier, évoqué également . Pour résumer les conclusions, il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage sur ces marchés, et il existe des “market makers”, c’est à dire des parieurs misant énormément, ce qui accroît considérablement la liquidité de ces marchés. Mais cette conclusion sur l’absence d’opportunité d’arbitrage a été largement remise en cause en pratique. Pour aller plus loin, on peut aussi regarder un article de Moris Eaton et David Freedman, Dutch Book against some ‘Objective’ Prior, paru dansBernoulli en 2004, en ligne . C’est marrant car cette relecture Bayésienne des jeux de pari peut être étudier en pratique, pour la coupe du monde de foot surworldcup.bayesialab.com (, merci Avner pour le lien). Je vais continuer de suivre ça lorsque les matchs commençerons, afin de voir les mises à jour des paris au fur et à mesure de l’évolution des matchs… à suivre donc.

Arrêtez donc vos singeries !

Tout le monde connaît l’expérience où l’on compare les gains financiers obtenus par un traders expérimenté et un singe. Même si beaucoup de sites évoquent “la célèbre expérience“, je n ’en ai pas trouvé beaucoup – en France – qui donnent une référénce claire. Cette expérience  était née d’une théorie de Burton Malkiel dans son livre a random walk down wall street, qui affirmait “a blindfolded monkey throwing darts at a newspaper’s financial pages could select a portfolio that would do just as well as one carefully selected by experts“. En 1988, le Wall Street Journal a pris Burton Malkiel au mot, et a tenté l’expérience.Mais ils n’utilisèrent pas des singes, et ce furent des journalistes qui tiraient au hasard les actions sur lesquelles ils investiraient (alors que parallèlement, les mêmes sommes étaient confiées à des vrais inverstisseurs). Après 6 mois d’expérience, ils firent le bilan. “On October 7, 1998 the Journal presented the results of the 100th dartboard contest. So who won the most contests and by how much? The pros won 61 of the 100 contests versus the darts. That’s better than the 50% that would be expected in an efficient market. On the other hand, the pros losing 39% of the time to a bunch of darts certainly could be viewed as somewhat of an embarrassment for the pros. Additionally, the performance of the pros versus the Dow Jones Industrial Average was less impressive. The pros barely edged the DJIA by a margin of 51 to 49 contests. In other words, simply investing passively in the Dow, an investor would have beaten the picks of the pros in roughly half the contests (that is, without even considering transactions costs or taxes for taxable investors). The pro’s picks look more impressive when the actual returns of their stocks are compared with the dartboard and DJIA returns. The pros average gain was 10.8% versus 4.5% for the darts and 6.8% for the DJIA.” Il semble que l’Expansion en France ait aussi voulu tenter l’expérience.

La conclusion de cette expérience est qu’en moyenne, il est dur de battre le hasard ! Une autre conclusion peut aussi être qu’en mettant 500 singes dans une salle de marchés, au bout d’un certain temps on peut en trouver un qui sera aussi riche que Georges Soros, comme le disait Jean-Philippe Bouchaud. On peut parler de grandes déviations éventuellement…
Cette histoire peut prêter à sourire, effectivement, mais un think tank plutôt conservateur outre atlantique (le National Center for Public Policy Research) envisage de faire la même chose pour prédire les ouragans: au lieu d’écouter les climatologues, ils envisagent de faire appel à un singe (comme mentionné ici ou ).  Même si les prévisions des chercheurs ne sont pas toujours très fiables (en particulier sur les catastrophes comme les séismes ou les ouragants), elles reposent sur des éléments rationnels, avec souvent des intervalles de confiance…. Oui, je suis le premier à râler quand Météo France prévoit un beau week end et qu’au final il pleut, mais je suis agacé parces démagogues qui critiquent le travail des scientifiques (surtout qu’en l’occurence, je pense que le NCPPR confond  météo et climat, mais c’est un autre débat). Il y a un an, la communauté scientifique essayait de faire comprendre qu’elle n’était pas un parasite, voilà que maintenant il faut que l’on se batte pour faire comprendre qu’on fait des choses qu’un chimpanzé ne saurait pas faire ! On est décidément tombé bien bas…

Copules et processus empiriques

Tarek Zari a soutenu sa thèse au début du mois, présentant une “contribution  à l’étude du processus empirique de copule“, et sa thèse est en ligne ici. Je mets aussi une copie des slides de la soutenance . Historiquement, il semble que Frits Ruymgaart a été le premier a parler de processus empirique de copules, en 1973 (sa thèse est en ligne ici).

Paul Deheuvels avait également introduit la notion en copule empirique dès 1979 sous le nom de “fonction de dépendance empirique“. A la même époque, Ludger Rüschendorf proposait également une étude asymptotique des processus empiriques de copules (ici en 1976), ou encore Gäenssler et Stute dans leur seminar on empirical processes et Winfried Stute dans les années 80 (). Une revue de la littérature sur les processus empiriques multivariés a été publié à cette époque, en ligne . Depuis Jean-David Fermanian a publié un papier ici sur la convergence faible, et Paul Deheuvels ou Ludger Rüschendorf ont publié énormément de choses, en particulier sur la vitesse de convergence…

Copules et processus empiriques

Tarek Zari a soutenu sa thèse au début du mois, présentant une “contribution  à l’étude du processus empirique de copule“, et sa thèse est en ligne ici. Je mets aussi une copie de ses slides . Historiquement, il semble que Frits Ruymgaart a été le premier a parler de processus empirique de copules, en 1973 (sa thèse est en ligne ici).

Paul Deheuvels avait également introduit la notion en copule empirique dès 1979 sous le nom de “fonction de dépendance empirique“. A la même époque, Ludger Rüschendorf proposait également une étude asymptotique des processus empiriques de copules (ici en 1976), ou encore Gäenssler et Stute dans leur seminar on empirical processes et Winfried Stute dans les années 80 (). Une revue de la littérature sur les processus empiriques multivariés a été publié à cette époque, en ligne . Depuis Jean-David Fermanian a publié un papier ici sur la convergence faible, et Paul Deheuvels ou Ludger Rüschendorf ont publié énormément de choses, en particulier sur la vitesse de convergence…

Fibonacci: des lapins à l’actualisation

Depuis qu’on peut facilement commander des livres d’occasion outre-atlantique, j’avoue en abuser un peu… La dernière commande que j’ai faite est le “origins of value“. Cet ouvrage, qui est une compilation d’articles d’histoire de la finance, contient un chapitre passionnant sur Leonardo Pisano alias Fibonacci. Pour remettre dans le contexte, Fibonacci vivait il y a fort fort longtemps, autour de 1200 (300 ans avant la renaissance et Léonard de Vinci). Je peux renvoyer ici par exemple pour une analyse de quelques uns de ses ouvrages.
Pour moi, Fibonnaci, c’était l’histoire de la reproduction des lapins, c’est à dire, l’étude
des suites récurentes pour ceux qui se souviennent de leurs cours de lycée, avec des suites de la forme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fibo-001.png

Le problème que l’on cherche à résoudre – posé par Fibonacci – est “partant d’un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu’après deux mois ?”. Pour ceux qui se souviennent de la résolution, l’équation charactéristique de cette relation de récurence est un polynôme de degré 2,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fibo-002.png

dont les solutions sont

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fibo-003.png

et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fibo-004.png

Le premier nombre est souvent connu comme étant le nombre d’or (ici). Bref, Fibonacci a été recyclé abondamment par l’utilisation ésotérique de cette racine de polynôme de degré 2. Aussi, lorsque j’ai vu évoqué le nom de Fibonacci dans cet ouvrage de finance, j’ai eu peu peur, d’autant plus que certaines personnes faisant de l’analyse chartiste utilisent ce nombre d’or (comme l’évoque rapidement certains site, comme http://www.forexfibonacci.com/ ou http://www.fibonaccitrader.com/). Aussi, parler de Fibonacci en finance, c’est un peu comme parler de Nostradamus dans les modèles de prévisions.

Que nenni mon ami ! Fibonacci est l’auteur d’un  Liber Abaci, correspondant à un livre des calculs. En fait, Leonardo s’est énormément inspiré des mathématiques arabes, alors que la norme était plutôt l’arithmétique romaine. Pour ceux qui ont essayé un jour dans leur vie de lire des nombres latins (même dans Astérix), la logique est assez déroutante ! Par exemple 888 s’écrit DCCCLXXXVIII… Essayez avec cette écriture de poser une addition ! Les nombres arabes – eux – utilisaient le système décimale, ce qui a fait gagné énormément de temps de calcul (on peut aussi remonter à l’arithmétique indienne, mais on sort largement du cadre de mon billet). Fibonacci évoque d’ailleurs constamment l’utilisation de la règle de trois (sans l’appeler ainsi, j’étais revenu ici sur l’origine de cette règle).
Dans son livre d’arithmétique des nombres arabes, Fibonacci montre une application intéressante: le calculs d’actualisation et des marges commerciales. William Goetzmann reprend tout cela dans un article publié en 2003, ” Fibonacci and the Financial Revolution” en ligne ici. Il faut aller pour cela dans le chapitre 12 du Liber Abaci, où Fibonacci parle de partage du profit (ce que nous appellerions l’allocation de capital, et que l’on retrouve dans les travaux sur les jeux coopératifs, en particulier les travaux de Shapley), mais aussi d’actualisationde flux futurs, et surtout, de réflexions sur la différence entre un taux annuel et un taux trimestriel. La version en anglaise est la suivante

ou encore

Dans la version originale, cela donne

Quand on pense qu’auparavant l’arithmétique se faisait en chiffre romain, et n’autorisait pas de raisonnements aussi subtils, on peut légitimement penser que Fibonacci est révolutionné le calcul actuariel (certes, en se contentant de traduire des textes arabes). Si on cherche à remonter encore dans le temps, on peut également citer un mathématicien indien, Brahmagupta, ब्रह्मगुप्त, vers 650, qui semble également avoir beaucoup inspiré Fibonacci.