Histoire éthylique, et arrêt optimal

suite aux pressions générales, je vais reprendre mes discussions d’alcoolique…. ou plutôt reprendre des classiques de finance, en expliquant que ce sont simplement des problèmes que se posent les amateurs de boissons fortes (de là à conseiller plutôt de recruter dans les bars qu’à la sortie des grandes écoles…).
Bref, avant d’avoir entamé sa marche aléatoire dans la rue de la soif (ici, correspondant aux problèmes d’options à barrière traduit en termes financier), puis d’avoir un soucis avec ses clés (), puis la maréchaussée (ici), notre héros (car on peut maintenant l’appeler un héros après 4 billets qui lui sont consacrés) avait du choisir son bar… Le problème est loin d’être simple. Il y a 20 bars dans la rue (disons https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-50.png pour faire quelque chose de plus formel). Il arrive de la place sainte Anne, et là, il souhaite choisir le bar le moins cher. Le soucis est qu’il n’a pas le droit de faire demi-tour1 et il ne connaît pas les prix pratiqués dans les différents bars. Il part avec un a priori qui est que le prix d’une pinte est compris entre 3 et 6 euros, que le prix est uniformément réparti entre ces deux prix, et que les prix sont indépendants d’un bar à l’autre. Pour les financiers, il a une option (de commander une bière), et peut l’exercer quand il le souhaite. Une option américaine en quelque sorte. Supposons qu’on soit arrivé au bar https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-01.png. On peut soit payer https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-02.png (qui est supposé aléatoire, uniformément distribué et indépendant des autres bars), soit espérer que l’on puisse payer moins cher plus loin,
Soit https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-03.png la valeur de cette option, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-04.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-05.png

soit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-06.png

où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-07.png désigne la loi du prix de la bière (soit ici une loi uniforme) avec une condition terminale de la forme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-09.png

car il a soif, et ne quittera pas la rue sans avoir bu un verre !
Classiquement, par backward induction, on peut résoudre ce programme, à partir de la loi de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-10.png. Posons https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-12.png. Alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-13.png

et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-14.png

soit simplement

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-16.png

soit enfin

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-18.png

Je laisse les plus courageux simplifier les calculs. La “frontière d’exercice” est alors obtenue par récurrence. Numériquement, le code est alors simplement

> n=20
> u=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ u[k]=1/(b-a)*(u[k+1]*(b-u[k+1])+(u[k+1]^2-a^2)/2)
+ }

Dès qu’on atteint la barrière, on s’assoit au bar. On note que plus on avance dans la rue, moins on est exigent: au tout début, on ne s’assoit pas à moins de 3 euros 30… mais plus on avance, plus on relève le seuil d’exigence. Le calcul sous forme intégrale donne ici

> u=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ g=function(x){pmin(x,rep(u[k+1],length(x)))/(b-a)}
+ u[k]=integrate(g,lower=a,upper=b)$value
+ }

J’avais déjà abordé ce problème dans un précédant billet, sur les options américaines, mais on peut maintenant aller un peu plus loin… que se passe-t-il si on suppose que les prix sont discret (par exemple par tranches de 50 centimes ou 1 euro) ? L’avantage avec ces méthodes numériques est que l’on peut très facilement enlever des hypothèses, par exemple ici on aurait

> h=2
> K=(b-a)*h+1
> PRIX=seq(a,b,by=1/h)
> u2=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u2[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ g=function(x){pmin(x,rep(u[k+1],length(x)))}
+ u2[k]=sum(g(PRIX)*1/K)}

pour des seuils à 1 euros (les seuls prix possibles étant 3,4,5 ou 6 euros).

Ou la frontière suivante si les prix varient par tranche de 50 centimes.

Compte tenu de la discrétisation, notons que la vraie frontière devient alors ici

Bref, comme toujours, les problèmes d’alcooliques rejoignent les problèmes d’exercice optimal d’options américaines, problème classique en finance de marché…
1 pour rendre cette histoire crédible, à chaque bar rencontré il demande le prix d’une pinte. S’il estime que c’est trop cher, il s’exclame “mais c’est bien trop cher ici !” et s’en va. Sinon il commande et s’installe. Cette exclamation rend improbable – à ses yeux – l’idée de revenir finalement s’installer au bar….

L’énigme du modèle

(pour reprendre le titre de l’exposition). J’interviendrais mercredi soir, toujours dans le cadre de la Biennale, dans un débat avec Julien Prévieux (ici) et Olivier Raingeard responsable Stratégies Economiques et Etudes, chez Neuflize OBC investissements. Le but sera d’apporter un éclairage au travail de Julien. A priori mon intervention sera axée autour de deux thèmes. Tout d’abord la difficulté de faire des prévisions, et d’anticiper l’avenir. Ou pour reprendre une expression de Niels Bohr, “prediction is very difficult, especially about the future” (repris par Jacques Chirac au début des années 90). J’illustrerais ce point par une relecture des prévisions faites par les plus grands économistes lors de la crise de 1929. Ensuite, le second thème m’avait été inspiré l’autre jour par la lecture d’un article dans le Canard Enchaîné,

J’ai eu envie de reparler de ce point suite à la discussion que nous avions eu la semaine dernière dans les débats sur les risques émergents, où nous cherchions la limite entre science et science fiction

Par certains côtés, le high frequency trading ressemble à une histoire de science fiction, du genre “les algorithmes prennent le pouvoir“, ou comment se passer d’économistes sur les marchés financiers. Pour simplifier (avec un peu de mauvaise foi, j’en conviens), en faisant tourner des algorithmes sur des ordinateurs super-puissants, on délègue à la machine la décision d’acheter et de vendre des produits financiers, voire en l’occurrence des paquets de produits, sur des intervalles de temps très courts… L’intérêt est que pendant ce temps, les traders (les vrais) ont le temps pour venir lire un peu mon blog ! Il s’agit d’acheter des titres et de les revendre presque instantanément, afin de créer une courte période pendant laquelle les marchés ne sont plus efficients: on peut alors créer un arbitrage.

Certains font une différence entre le high frequency trading et le flash trading, ou encore high speed trading, mais personnellement j’ai du mal à saisir la nuance… Mais si les arbitragistes ont toujours existé (ce qui légitimait alors l’absence d’opportunité d’arbitrage), cette fois, ce sont les machines qui effectuent artificiellement des arbitrages au lieu de les traquer…
Paul Krugman avait été très critique à ce sujet: “the stock market is supposed to allocate capital to its most productive uses, such as by helping companies with good ideas raise money. It’s hard to see, however, how traders who place their orders one-thirtieth of a second faster than anyone else do anything productive” et un peu plus loin “HFT probably degrades the stock market’s function, because it’s a kind of tax on investors who lack access to super computers and at-exchange connectivity – which means that the money Goldman spends on those computers actually has a negative effect on national wealth” (ici).

Les images utilisées sont en ligne (empruntés à une présentation de Mathieu Rosenbaum) et le flyer est en ligne ci-dessous,

Sexe et naissances

Depuis quelques jours, nous faisons la présentation de la petite dernière à la famille et aux amis, et nous étions surpris du nombres de familles n’ayant que des filles (nous ne nous étions pas fait la réflexion jusqu’alors). La première piste était de remettre en cause l’indépendance des sexes entre enfants d’une même famille. La second théorie était de dire que les familles avec déjà deux petits gars devaient capituler rapidement, contrairement aux familles qui avaient des filles, qui pouvaient continuer… En gros, “les filles c’est plus simple à élever que les p’tits mecs”. Forcément, j’ai voulu mener l’enquête….

A partir du fichier enfant de l’enquête Education et Famille, EPCV d’octobre 2003, on peut récupérer quelques statistiques. Dans cette base, on dispose de 10027 enfants, issus de 4081 familles. Je ne reviens pas sur le sens de la famille disons que je vais travailler par identifiant du logement, i.e. les enfants habitant sous un même toit. Les personnes qui veulent en savoir plus iront sur le site de l’insee (ici).

  • De l’indépendance des sexes

Dans cette base, j’ai 50,52% de garçons et 49,48% de filles. 19% des enfants semblent être des enfants uniques, et dans 51,41% des cas il s’agit d’un garçon. Pour faire une étude sur la distribution des sexes, on note que les familles avec au moins deux enfants semblent représentatives de l’ensemble. Considérons alors les familles ayant eu au moins deux enfants, soit 3299 familles. La répartition se fait de la manière suivante, entre le sexe du premier enfant, et le sexe du second,

sexe Garçon (2) Fille (2)
Garçon (1) 857 801
Fille (1) 813 828

Si on fait un test d’indépendance du chi-deux, on observe qu’il y a indépendance entre le sexe des deux enfants,

>  chisq.test(tableau)
 Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
X-squared = 1.4346, df = 1, p-value = 0.231

Bref, on admettra qu’il y a indépendance entre les sexes au sein d’une famille….

  • Des familles dont les deux premiers enfants sont du même sexe

On notera (sur le tableau ci-dessus) qu’il y a plus de familles à deux garçons que de familles à deux filles. Parmi les 857 familles qui ont commencé par 2 garçons, 379 familles ont eu un troisième enfant, soit 44,22%, et 48,81% ont eu encore un garçon. Parmi les 828 familles qui ont commencé par 2 filles, 388 familles ont eu un troisième enfant, soit 46,86%, et d’ailleurs 50,77% ont encore eu une fille (cette statistique confirmant notre hypothèse d’indépendance).
Cette différence (entre les proportions de familles qui ont tenté un troisième enfant après les deux premiers du même sexe) ne semble pas négligeable, mais si on fait un test de Student, la différence n’est toutefois pas significative,

        Welch Two Sample t-test
t = -1.0858, df = 1680.417, p-value = 0.2777
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
95 percent confidence interval: -0.07397060  0.02125328 
sample estimates: mean of x mean of y0.4422404 0.4685990

Si on compare aux familles qui ont eu un garçon et une fille, on notera que 42,68% de ces familles tentent le troisième enfant (contre 45.51% pour les familles qui ont eu deux premiers enfants du même sexe). Cet fois, la différence semble presque significative,

        Welch Two Sample t-test 
t = -1.637, df = 3292.66, p-value = 0.1017 
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
95 percent confidence interval: -0.062203214  0.005596887 
sample estimates: mean of x mean of y 0.4268897 0.4551929

Bref, l’hypothèse comme quoi les familles avec uniquement des garçons sont moins nombreuses que les familles avec uniquement des filles ne semble pas tenir la route statistiquement….en revanche, il semble que les familles veulent à la fois avoir un garçon et une fille. Bon, c’est pas tout, mais j’ai une couche à changer… la prochaine fois je parlerais de sexe et de vaisselle…

PS: ce souhait d’aborder des sujets sur le sexe n’ont rien à voir avec le fait que, depuis que j’ai été référencé sur sexactu.com, la fréquentation sur mon blog a explosé… enfin, ça n’a duré qu’une journée, tout le monde s’est rendu compte de la supercherie…

Modeling analogies in life and nonlife insurance

On Wednesday afternoon I will be giving a talk at the SCOR Reserving Seminar. The talk will be on modeling analogies in life and nonlife insurance. We will start by discussing data analogies, based on the Lexis diagram in life insurance and in nonlife (when modeling claims dynamics),

This will induce similarities in datasets used in life models, and in nonlife reserving

Further, in the two cases, logPoisson models are usually used, either to model the number of deaths, or the amount of payment. The main difference is that in nonlife insurance, forecasting future payments is rather simple,

But in life models, unfortunately, we need to forecast the behavior of year based parameters.

Note that this is also the case in nonlife insurance when an inflation factor is introduced.
To go further, the slides are available here.

known knowns, known unknowns and unknown unknowns

ou l’histoire du quantitative risk management. Mercredi soir, je ferais un exposé lors de la biennale d’art contemporain, au couvent des Jacobins, ici.

L’exposé devrait commencer,  a priori, par une discussion autour de l’origine des probabilités. On commencera par se demander  pourquoi la théorie des probabilités est née aussi tard. Si les jeux de hasard dont très anciens, il a fallu attendre le XVIIIème siècle pour que naisse réellementle calcul des probabilités. Une explication simple peut toutefois être avancée. Quand on pense aux probabilités, on pense aux jeux de dés, ou aux jeux de cartes, qui sont généralement les premiers exemples que l’on introduit au lycée pour parler de probabilités. Or historiquement, les premiers dés (ou encore plus tôt les osselets, et autres astragales) sont mentionnés en Inde, en Egypte mais surtout à Rome.

Or en sciences, la recherche de “loi” signifie que l’on cherche “un rapport immuable entre plusieurs grandeurs“. Et s’il nous paraît évident qu’avec un dé, on a 1 chance sur 6 d’obtenir un “4” en le lançant, ce n’était pas vraiment le cas avec ces premiers dés, qui étaient très irréguliers.

 

Cette particularité physique fait qu’il ne pouvait exister de loi de probabilités. Une autre raison souvent invoquée est que la seule loi qui pouvait
régir le hasard était la loi divine. Bref, il a fallu attendre le XVIIème et surtout le XVIIIème siècle pour voir arriver le calcul des probabilités. Étrangement, cela correspond à la naissance des jeux de cartes. Le plus vieux jeu connu est un jeu chinois, datant de 1400, mais c’est surtout à l’époque de la révolution que les jeux de cartes se sont popularisés. Les jeux étant plus réguliers que les vieux dés, les calculs de probabilités étaient alors possibles….
https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso/galton_gauss.jpgNous aborderons ensuite la naissance des tables de mortalités, et de l’assurance vie, pour finir avec la finance. Pour pouvoir bien comprendre les problématiques du monde financier, il sera important de revenir un peu sur la loi normale. Cette loi, souvent appelée loi de Gauss, a été obtenue par de très nombreux mathématiciens, initialement comme limite d’un modèle binomial, visualisé sous la forme d’une “planche de Galton“. Nous verrons comment cette loi s’est imposée dans les modèles financiers, alors qu’elle ne semble définitivement pas y être à sa place…. en tous les cas si l’on s’intéresse à des problèmes de gestion des risques.
Enfin, l’exposé devrait se terminer sur les blacks swan, et autres unknown unknown, ou comment appréhender des risques pour lesquels on ne dispose pas de probabilités. Nous parlerons alors d’ambiguïté, de probabilités subjectives, et de “nouveaux risques“…

De la vitesse de convergence, partie 1

Samedi après midi, à l’heure de la sieste pour certains, nous discutions avec Magali, Jean Baptiste et Florent des machines qui pouvaient trier les cartes, de là, la discussion a dévié sur les algorithmes de tri, et sur la difficulté d’expliquer l’importance de la vitesse d’un algorithme, ou plus généralement, la vitesse de convergence. Bref, avant de parler de vitesse de convergence en statistique – ou peut être avant sur les méthodes de calcul d’intégrale (ou d’espérance) – je voulais faire un petit billet rapide sur les algorithmes de tri. Je commence par des choses simples. De mémoire c’est des choses que je me souviens avoir vu au lycée dans les années 90, dans les cours d’informatique… Mais l’exemple peut être intéressant pour comprendre la différence, par exemple, entre https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-02.pnghttps://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-03.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-04.png.
Le premier algorithme est appelé tri à bulles. C’est probablement l’algorithme le plus simple, et sa vitesse est en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-01.png. On va balayer autant de fois la base que l’on a d’observations, et à chaque passage, on récupère le maximum (ou le minimum, peu importe). L’algorithme ressemble à ça,

> n=25; s=1
> X=sample(1:n,size=n,replace=FALSE)
>          for(i in 1:(n-1)){
+          for(j in 1:(n-1)){
+          s=s+1
+          if(X[j] > X[j + 1]){X[c(j,j+1)]=X[c(j+1,j)]}
+          }}

Si on l’implémente, voilà ce que ça donne (tous les graphiques partent de la même permutation initiale, et tous contiennent autant d’images, de l’ordre de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-01.png)

Bref, un algorithme en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-05.png.Bon, j’ai été un peu brutal dans mon algorithme. En fait, on voit que les derniers points sont rapidement bien classés, donc inutile que la seconde boucle aille jusqu’au bout… on peut donc faire du https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-06.png, en faisant

 

+          for(j in 1:(n-i)){

Bref, la constante dans les https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-05.png peut être relativement importante comme on le voit ici.

Mais on peut faire  mieux, voire beaucoup mieux comme on le verra ensuite.
Le second algorithme est le tri par insertion. C’est aussi un algorithme très simple:  on balaye l’ensemble en plaçant les valeurs rencontrées à leur place, un peu comme quand on tri ses cartes… L’algorithme est là aussi en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-05.png. Ici l’algorithme converge un peu plus rapidement que le précédant, mais cela vient du fait que les données étaient partiellement ordonnées sur la fin. Autrement dit, un autre échantillon aurait pu donner autre chose… Mais généralement, c’est le cas.

>          for(i in 1:n){
+           x = X[i]
+          for(j in (i+1):2){
+          s=s+1
+         if(X[j - 1] < x){X[j] = X[j - 1];  j = j - 1;  X[j] = x}
+         }
+         }

(le tri est fait à l’envers ici…. mais c’est un détail).

Enfin, le tri fusion est un autre algorithme en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-07.png. L’idée est de couper, de trier, puis de fusionner. L’idée étant que trier un tableau dont la première moitié des éléments sont ordonnés, et où la dernière moitié est ordonné doit être plus rapide que quand tout est dans le désordre. A chaque étape, l’algorithme est simple, on compare le minimum des deux listes, puis on le vire à l’étape suivante. Sous R, ça donne, quand on commence

 

> for(i in 0:(trunc(n/2)-1)){
+ Y=X[c(1,2)+2*i]
+ if(Y[1]>Y[2]){X[c(1,2)+2*i]=X[c(2,1)+2*i]}
+ }

Bref, en commençant par classer les paires (1,2) puis (3,4), etc, puis les listes (1,2) versus (3,4). Le code est alors de la forme

> k=4
> for(i in 0:(trunc(n/4)-1)){
+ Y=X[1:k+k*i]
+ Y1=c(Y[1:(k/2)],rep(999999,k/2));Y2=c(Y[(k/2+1):k],rep(999999,k/2));
+ for(j in 1:k+k*i){
+     X[j]=min(c(Y1[1],Y2[1]),na.rm=TRUE)
+    if(X[j]==Y1[1]){Y1=Y1[
-1]}
+    if(X[j]==Y2[1]){Y2=Y2[-1]}
+ }}

(avec une petite correction pour le dernier bloc, qui ne compare pas forcément un bloc de taille 2 contre un autre de taille 2 (mais l’adaptation du code est infime). Puis on continue avec (1,2,3,4) versus (5,6,7,8), c’est relativement rapide de tout classer, comme le montre l’animation ci-dessous.

Il existe de très nombreux autres algorithmes de tri, le but étant de monter qu’un algorithme en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-07.png va effectivement beaucoup plus vite qu’un algorithme en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-05.png. J’ai tout fait ici en R, mais pour les adeptes d’autres langages, il existe plein de code en ligne, ici par exemple. Pour conclure, le graphique ci-dessous montre les différences entre les vitesses de convergence en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-08.png (en noir), en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-09.png (en rouge) et en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tri-10..png (en bleu),

La suite sur la convergence des méthodes de monte carlo, puis des théorèmes limites en stats….

Foot, probabilité, et assurance, partie 1

Depuis la fenêtre de mon bureau, je pourrais presque voir la grande banderolle sur le fronton du centre commercial de la Visitation,

Un vendeur d’électroménager proposer de rembourser certains achats sir la France gagne la coupe du monde de foot ! Cela me fait penser au court billet que j’avais fait l’an dernier, ici, comme quoi certainscamping pouvaient rembourser les vacances des vacanciers en cas de mauvais temps…. Oui, on pourrait s’en douter, il y a un contrat d’assurance derrière – afin d’éviter que ce revendeur (il n’est pas le seul d’ailleurs) ne fasse faillite ! Des amis qui suivent le foot me faisaient remarqué que la prime d’assurance ne devaient pas être trop élevée….
Pour être un peu plus précis, Berkshire Hathaway a annoncé avoir assuré un de ses souscripteurs en cas de victoire de l’équipe de France lors de la prochaine coupe du monde. La perte maximale ne semble pas collossale, comme le notait Warren Duffet: « je pense que nous allons perdre 30 millions de dollars, ou quelque chose comme ça, si la France gagne ».
Quant aux probabilités dans le cas des vacances (ici), Meteo France propose des estimations objectives des probabilités. Dans le cas du foot, on peut faire comme en finance, et aller extraire les probabilités des marchés, en l’occurence des sites de pari en ligne, comme ici. En l’occurence, on apprend que la cote de la France est de l’ordre de 21… mais je reviendrais là dessus dans un autre billet !

Discussions géométriques du matin (partie 2)

Suite rapide de mon billet sur la construction de triangles avec des bouts de bois (ici). Adrian me faisait remarquer () qu’il y avait plus simple pour calculer la probabilité de construire un triangle (je suis d’ailleurs affreusement jaloux de ne pas y avoir pensé tout seul). Mon principal soucis que j’ai en lisant le commentaire est “ça semble juste, mais est-ce que c’est juste ?” (mon expérience en TD de proba est que l’on peut souvent trouver un paquet de solutions qui “semblent” justes). Bref, faisons preuve de rigueur quelques minutes (même si France Inter continue à nous dire que le mot est toujours tabou ces temps-ci).
Rappelons que si on dispose d’un échantillon L'image “https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-01.png” ne peut être affichée car elle contient des erreurs. i.i.d. de loi https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-02.png, et de densité https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-03.png, et que l’on définie les statistiques d’ordre

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-04.png

la loi du couple https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-05.png, avec https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-06.png,est alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-07.png

à condition que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-08.png (sinon la densité sera nulle). C’est jsute des histoires de compter les classements possibles, et puis de calculer quelques probas simples. Un cas particulier connu de tous est la loi du couple https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-09.png, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-10.png

Dans le cas qui nous intéresse, supposons que l’on tire deux bâtons, alors la loi du couple s’écrit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-11.png

alors que la densité du maximum était

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-12.png

donc la loi du minimum conditionnellement au maximum doit d’écrire, par la formule de Bayes

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-13.png

qui est effectivement la densité de la loi uniforme sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-14.png. Bref, ça marche pour deux bâtons.
Dans le cas de trois bâtons, la loi du triplet s’écrit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-15.png

alors que la loi du maximum devient

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-30.png

aussi la loi conditionnelle du couple des deux premiers s’écrit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-31.png

Or si l’on avait deux lois uniformes sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-16.png, compte tenu de ce que l’on a écrit auparavant, la loi du couple des deux statistiques d’ordre seraient

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-17.png

soit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-18.png

Bref, il semble qu’effectivement, le résultat soit correct: conditionnellement au maximum, les autres variables sont indépendantes, et suivent un loi uniforme sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-19.png.
Moralité, effectivement, les non-maximum sont indépendants, et leur loi est uniforme sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-16.png. On peut alors sommer ces deux lois uniformes et indépendantes, ce qui donne une loi triangulaire, sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-20.png, avec le sommet en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-21.png. Et par des raisons de symmétrie, la probabilité de dépasser https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-21.png est alors https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-22.png.Merci Adrian. C’est effectivement plus élégant que mon calcul moche…

De là à en faire un papier…

mais mon blog est l’endroit rêvé pour exposer mes interrogations récurentes. Je ne sais pas si vous avez remarqué, mais au toilettes, au bureau, il y a (généralement) du papier toilette dans un distributeur, et souvent, un rouleau qui traîne à côté….  et régulièrement, je me demande quelle peut être la stratégie optimale: prendre la papier du distributeur ou le papier du rouleau qui traîne…? car mine de rien, la personne chargée du réapprovisionement ne semble intervenir que si l’un des deux est vide.. autrement dit, si les deux diminuent trop vite ensemble, on risque d’avoir un problème un jour. Bon, ce qui me rassure, c’est que Donald Knuth avait remarqué des choses similaires, et avait eu la prétention de publier ses observations dans le American Mathematical Monthly. En fait, pour formaliser le problème, on note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ02.png la probabilité que les gens utilisent du papier dans le rouleau le plus plein (on suppose connaître la quantité restant dans le distributeur qui dispose d’une fenêtre transparente), et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ04.png la probabilité de piocher dans le plus petit rouleau. Et quand les deux font la même taille, on choisit au hasard (avec probabilités 1/2). On suppose que les rouleaux sont valables pour https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ60.png utilisateurs (je n’introduis pas de d’aléa, voire de dépendance en fonction du menu à la cantine). On parlera de portions. En gardant les notation de Knuth, on note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ01.png l’espérance du nombre de portions restant sur le rouleau restant dès que l’un est terminé. Le but du papier de Knuth était d’étudier le comportement de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ01.png quand https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ61.png. Mais comme ça n’a que peu d’intérêt, je trouve, on va regarder ce qui se passe à https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ60.png fixé.
Knuth note que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ05.png et que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ06.png. En fait, histoire d’épater les filles, Donald prétend que on peut obtenir facilement les résultats suivants

Pour le premier, c’est trivial, et pour le second, on peut faire un dessin (oui, je suis très dessin en ce moment),

A partir de la diagonale (points verts), il y a égalité entre les paquets, et donc on choisit avec probabilité 1/2. Pour calculer https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ62.png, on note qu’il y a deux issues possibles, soit il reste 1 portion sur le rouleau non vide (les points rouges) soit il reste 2 portions sur le rouleau non vide (les points bleus). Les probabilités de passer d’un point à l’autre sont indiquées sur le dessin. Bref, on a https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ03.png chances d’atteindre un point bleu, et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ02.png chances d’atteindre un point rouge, dont l’espérance vaut ici

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ07.png

En continuant un peu, on obtient que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ08.png

En effet, sur notre petit dession, on rajoute juste les points autours, les valeurs à l’intérieur restant inchangées, et pour faire simple, je m’éloigne de la diagonale avec probabilité https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ03.png, et je m’en rapproche avec probabilité https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ02.png.

Comme tout à l’heure, on compte les probas d’arriver sur les différents points. On a https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ09.png chances d’atteindre un point violet, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ10.png chances d’atteindre un point bleu, et enfin https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ11.png chances d’atteindre un point rouge (il suffit d’étudier toutes les trajectoires possibles). Au total, on arrive à

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ12.png

qui se simplifie en

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ13.png

Quant aux conditions de bord, on notera que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ14.png et que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ1.png. En fait, on peut étudier un problème plus général, mais plus réaliste: les paquets dans les distributeurs sont souvent beaucoup plus gros que celui qui traîne. On peut donc noter https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ16.png la même quantité, avec m le nombre de portions dans le distributeur et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ60.png dans le rouleau qui traîne. Si on a compris le dessin ci-dessus, on se doute que ça ne change pas grande, chose, ormis que l’on ne commence pas sur la diagonale…
En fait, on note que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ17.png, avec les conditions de bord de la forme https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ18.png.
On peut aussi noter (il suffit de regarde sur le dessin en haut) que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ19.png

La preuve plus propre est que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ20.png

or comme https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ21.png par une symmétrie du problème, on a l’égalité. En utilisant l’idée de la preuve du résultat précédant (et le dessin, comme toujours), si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ22.png, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ23.png

Bref, on est capable de faire tous les calculs de manière récursive et relativement simple (pour ceux qui compte le faire la prochaine fois qu’ils vont aux toilettes, il faudra peut être emmener quand même leur ordinateur). On note que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ24.png

or https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ25.png (comme on l’a montré) et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ26.png

On a tout cette fois ci pour vérifier le calcul “facile” évoqué par Donald,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ27.png

Bref, on retombe sur le résultat précédant. On peut alors faire le calcul en fonction des valeurs de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ02.png (que l’on fixera, puis de m et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ60.png),

> p=0.4
> q=1-p
> m=50
> n=50
> M=matrix(NA,m+1,n+1)
> M[,1]=seq(0,m)
> M[1,]=seq(0,n)
> M[2,2]=2-p
> for(i in 3:(m+1)){
+ for(j in 2:(i-1)){
+ M[i,j]=p*M[i-1,j]+q*M[i,j-1]
+ }
+ M[i,i]=M[i,i-1]
+ }
> for(i in 2:(m)){
+ for(j in (i+1):(n+1)){
+ M[i,j]=M[j,i]
+ }}
> colnames(M)=seq(0,n)
> rownames(M)=seq(0,m)
> image(seq(0,n),seq(0,n),M,)
> contour(seq(0,n),seq(0,n),M,add=TRUE,
+ levels=seq(0,50,by=5))

Voilà ce que l’on obtient si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ28.png. le nombre de portions qui reste dès que l’un des rouleaux est fini peut se visualiser sur le graphique suivant, la couleur rouge correspond aux cas un peu dangereux où il reste peu de feuilles dans le rouleau, les zones jaunes indiquant au contraire des niveaux plus élevés,

Avec https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ29.png, on obtient

Autrement dit, il reste toujours du papier sur l’autre dès lors que les gens pensent à alterner suffisement (ici 95% des utilisateurs) alors que pour https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ30.png,

autrement dit, on risque constament de se retrouver à court… Ce qui est marrant (?) c’est le cas où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/PQ31.png: s’il y autant de personnes qui piochent dans le gros paquet ou dans le petit, alors il y a de fortes chances pour que les deux rouleaux soient vides dès que l’un l’est…

[ce billet a été initialement posté sur freakonometrics.blog.free.fr/… en mai 2010]

Moyenne géométrique versus moyenne arithmétique…

L’autre jour, j’étais de surveillance d’examen. Pour passer le temps, j’ai survolé l’énoncé, et je me souviens avoir lu “montrez que la moyenne arithmétique est plus grande que la moyenne géométrique“. Ayant généralement tendance à préférer les copies où il y a peu à lire, mais avec de jolis dessins, j’ai eu envie de proposer une correction sans écrire un mot aux étudiants (qui semblaient souffrir dans leur démonstration). Il suffit de monter que

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/moyennes-latex.png

Ben voilà,

quod erat demonstrandum. Non ? On note en plus que l’on a égalité si et seulement si les nombres sont égaux…. Allez, pour convaincre les sceptiques, je rajoute une deuxième preuve… Bon, en fait je peux prouver que

mais c’est la même chose, non ?