Provisionnement et règle de trois

Longtemps, dans les formations d’actuariat, le provisionnement était un sujet traité en 2 heures, car malgré son importance stratégique dans les résultats d’une entreprise d’assurance, il ne s’agissait que d’une “règle de trois“.

  • De l’importance des provisions en assurance

D’un point de vue comptable, les provisions pour sinistres à payer sont une quantification des engagements pris par l’assureur envers ses assurés. En reprenant des vieux tableaux dans l’Argus, avec une compagnie d’assurance spécialisée en grands risques (AXA Corporate Solutions), une mutuelle (MAIF), et une autre société anonyme (Groupama), on obtient

Pour les grands risques, on notera que le montant de provision (plus de 5 milliards) est plus de 3 fois supérieur au montant des primes encaissées (1,5 milliards). Aussi, si l’on pense qu’il faut augmenter de 5% le montant des provisions (ce qui pourrait paraître acceptable à un statisticien) il faudrait augmenter le chiffre d’affaire de 15%.

  • Histoire de la “règle de trois

Le Petit Robert prétendait que l’expression « règle de trois » remontrait à 1538, même si le résultat sous-jacent est tout simplement le théorème de Thalès… Les manuels d’arithmétiques expliquaient ainsi que “la règle de trois est la méthode servant à résoudre les problèmes dans lesquels, étant données des grandeurs pouvant former les trois termes d’une proportion, on demande de trouver le quatrième terme“. On peut retrouver beaucoup plus d’infos sur le site images des mathématiques (ici) ou (), où on trouve d’ailleurs cette illustration,

La “règle de trois” est aussi le premier souvenir de raisonnement mathématique exposée par Paul Lévy dans sa biographie (“quelques aspects de la pensée d’un mathématicien“), lorsqu’il raconte qu’à 7 ans, il tenait la main d’une fille de 12 ans, il était surpris de lever la main. En effet, certes la jeune fille était plus grande que lui, mais son bras devait également être plus grand. Il compris alors le principe des règles de proportionnalité.
Bref, comme toujours, les actuaires ont inventé un nouveau mot pour la “règle de trois” (je renvoie à un vieux papier de Claude Bébéar sur la novlangue utilisée par les actuaires, ici, mais je reviendrais longuement sur le jargon une autre fois).

  • Les méthodes de provisionnement: Chain Ladder

J’avais évoqué il y a quelques temps les travaux d’Eugène Astesan (ici), précurseur de la méthode Chain Ladder, même si l’estimateur qu’il avait alors proposé n’était pas celui de variance minimale dans la classe des estimateurs. Les premiers travaux sur les modèles stochastiques de provisionnement ont chercher à justifier la règle de trois, par exemple via le papier de Thomas Mack “which stochastic model is underlying the chain ladder method” (ici).
Pour venir deux minutes sur la méthode “chain ladder“, par exemple à l’aide du triangle suivant, on peut estimer les montants à payer (dans la partie inférieure) via une simple règle de trois. Considérons le triangle suivant, tiré du livre de Partar, Lecoeur, Nessi,  Nisipasu et Reiz

Pour la seconde colonne, on fait une simple règle de trois, en calculant les sommes sur chacune des colonnes,

Aussi, ici,

i.e.

117,945 = 56,762 x 440,438 / 211,961

On peut ensuite passer à la troisième colonne, puis la quatrième, etc. La règle de trois donne ici

Voici pour la méthode dite “chain ladder“. Et Thomas Mack a été le premier à essayer de quantifier l’erreur de prédiction commise en utilisant cet estimateur. En particulier, les travaux théoriques des années 90 ont essayer d’étudier l’incertitude associée à l’estimation de la charge ultime, calculée aujourd’hui. Comme le notait un article paru dans l’Argus, les compagnies d’assurance qui utilisaient ces techniques étaient encore rares il y a 5 ans (et celles qui le faisaient cherchaient également à le faire savoir, ici). Mais les derniers documents (ici ou ) partent sur un objectif radicalement différent, que j’exposerais d’ici quelques jours, en revenant sur la novlangue des récents papiers sur le provisionnement..

Khi de la poule ou de l’oeuf…

Samedi soir, Djalil et Florent se demandaient ce que Karl Pearson avait inventé en premier, la loi du khi (ou du chi), ou la loi du khi-deux (pensant que la loi du chi-deux était relativement naturelle, et que la loi du khi découlait de la loi du khi-deux). La loi du khi admet pour densité

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/densite-chi.png

et est aussi parfois définie à partir de la fonction Gamma incomplète, i.e. sa fonction de répartition est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chi-fdr2.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/gamma-reg-1.png

avec

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/gamma-reg-2.png
et classiquement,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/gamma-reg-3.png

Pour la loi du khi-deux, sa densité est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chi2-densite.png

dont la fonction de répartition est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chi2-fdr.png

Bref, on peut définir ces deux lois complètement indépendamment de leurs applications: si on considère des variables indépendantes https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/Xi-normaux.png, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chi2-somme.png

suit une loi du khi-deux, alors que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chi-somme.png

suit une loi du khi. Bref, intuitivement, on définit d’abord la loi du chi-deux avant d’introduire la loi du khi, si l’on part de l’interprétation. Et si l’on reprend le texte fondamental de Fisher, ici, datant de 1922, on ne retrouve que le khi-deux

Mais dans “The lady drinking tea“, David Salsburg suggère que Karl Pearson avait introduit le khi avant le khi-deux… Si l’on y regarde de plus près, Karl Pearson a proposé le “test du chi-deux” en 1900 (ici), avec l’idée que l’exposant qui apparait dans la loi normale pouvait être noté, comme on le retrouve ci-dessous

On voit aussi interprété dans ce texte le khi, et pas seulement le khi-carré.

Effectivement, si l’on regarde ici par exemple, la loi du chi-deux est reliée à l’étude du volume d’un ellipsoïde. Mais ce n’est pas la première apparition de cette variation dite du khi-deux. Si on y regarde de plus près, par exemple ici, ou , on notera que Karl Pearson avait défini, dès 1896 aussi bien la loi du khi que la loi du khi-deux, dans le cadre de ce qui s’appelle les distribution de Pearson de type III,

Autrement dit, Karl Pearson a commencé par définir les deux lois simultanément, via les fonction gamma incomplète, et autres équations d’analyse fonctionnelle, et c’est seulement plus tard que l’utilisation de la loi du khi-deux l’a emporté, de part son interprétation relativement élégante (somme de carrés de lois normales centrées réduites) et le test d’indépendance (ou d’adéquation) du khi-deux.
Mais en 1931, Karl Pearson renvoie à un papier plus ancien où l’on trouve pour la première fois la loi du khi-deux, suggérant d’ailleurs d’appeler cette loi la loi de Helmert, en mémoire à Friedrich Robert Helmert, qui avait également beaucoup travailler sur les moindres carrés (dont il est naturel d’arriver à des sommes de carrés de lois normales, ici), qui aurait trouvé cette loi en 1875. Mais on peut également remonter aux travaux d’Ernst Karl Abbe en 1863 qui avait également mentionné la loi.

Mais c’est de Karl Pearson que l’on a hérité la notation et le nom du khi-deux.

Some historical remarks on extreme values

I will start here a short post on extreme values, with some historical perspective. In a recent paper (in French), I mentioned the use of the Pareto distribution as a standard model for extremes, but if reinsurers have been using the Pareto distribution for a long time (see here e.g.), the oldest mathematical models when dealing with extreme value should be related to work on maximum values in finite samples.

  • The work of Ronald Fisher and Leonard Tippett

Leonard Henry Tippett, a former student of Karl Pearson published in Biometrika a note on extremes, in 1925. The goal was “the determination of the distribution of the range and the extremes for a large number of samples“. In 1925, everyone was looking for the Gaussian distribution everywhere, and Leonard Tippett observed that the distribution of the largest value did not have a Gaussian distribution.
A few years after, a joint work with Ronald Fisher was presented to the Cambridge Philosophical Society. The starting point was the idea of “stability” (even if the term did not appear explicitely in their work): the limiting distribution the maximum should be of the “same type” as the underlying distribution. Thus, if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-01.png stands for the cumulative distribution function, it should satisfy functional equation

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-02.png

Solutions of that functional equation will give all possible limiting distributions. Thus, Fisher and Tippett obtained three possible limits,

  • solutions of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-03.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-04.png
  • solutions of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-05.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-06.png with https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-07.png (i.e. finite lower bound for the support), i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-08.png
  • solutions of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-05.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-10.png if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-11.png (i.e. finite upper bound for the support), i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-09.png

Based on those possible limiting distributions, Fisher and Tippett wanted to derive what has been called later on the “domain of attraction” of those distributions.

  • The work of Maurice Fréchet, at the same time

In 1926, Maurice Fréchet wrote a paper on “la loi de probabilité de l’écart maximum“. That paper, as well as the one by Fisher and Tippett (wrote at the same time), investigated asymptotic limits. Both obtained functional equations, but only Maurice Fréchet understood the importance of the stability concept, pointed out by Paul Levy in the context of sums. Thus, Maurice Fréchet introduced the concept of what is called now “max-stability“. But Fréchet solve only functional equation https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-05.png. The point is that Fréchet studied absolute values of errors, i.e. strictly positive random variables. Thus, Maurice Fréchet considered distribution

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-12.png

wherehttps://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-92.png is an arbitrary positive constant. The “2” comes from the fact that Fréchet considered errors with respect to the median. But he did not introduced that new distribution function, he also proved that the distribution appears as a limit when the underlying distribution of the https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-13.png‘s has an algebraic behavior at infinity, i.e. equivalent to https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-90.png, for some https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-91.png. I.e. he proved that Pareto-type tailed distibutions where in the domain of attraction of the Fréchet distribution.

  •  Later on, the work of Emil Gumbel

In 1932, Emil Gumbel gave a talk in France on the “âge limite“. But as he wrote it “on peut donc supposer que la distribution de l’âge limite – c’est à dire la probabilité que la probabilité de cet âge ait une valeur donnée – soit Gaussienne“. But a few years after, he read about Fisher’s work, and observed also that “la distribution d’une valeur extrêmes peut être représentée pour un nombre suffisant d’observations par la formule doublement exponentielle, pourvu que la distribution initiale se comporte asymptotiquement comme une exponentielle. La formule devient rigoureuse si la distribution initiale est exponentielle“, as he wrote in 1935. Thus, as Fréchet proved that Pareto type distribution were in the max-domain of attraction of Fréchet’s distribution, Gumbel obtained that exponential type distributions were in the max-domain of attraction of Gumbel’s distribution. He also introduced the term “distribution de type exponentiel
For Emil Gumbel, it was natural to study the logarithmic derivative of the distribution, since it is the mortality rate in demography (area that Emil Gumbel studied previously). As he mentioned “d’un point de vue théorique, il est intéressant de noter que M. Fréchet a construit une distribution initiale d”une variable aléatoire pour laquelle la valeur absolue de la dérivée logarithmique diminue sans limite“. But since it was not a valuable property for practical applications, he decided that “nous nous bornerons au traitement des données de type exponentiel“. Emil Gumbel always tried to relate his work on extremes and what he did on demograpy.
For instance in 1937, he wrote a paper on “les centennaires” that can also be related to the work of Bortkiewicz on rare events. He also applied his work on radioactivity, and hydrology.
In the 30’s, hydrographs as Hazen or Graszberger introduced the concept of “yearly maximum” of
a river level. They actually proposed to look for actuarial models to study decennial or centennial floods.  But they only used the lognormal distribution to model yearly maxima. In 1936, French hydrologist Aimé Coutagne met Emil Gumbel (who was teaching at the ISFA, in Lyon). At that time, Emil Gumbel was looking for possible applications (outside demography) for his doubly exponential distribution. As as pointed out by Aimé, “sa formule devait être applicable au cas des crues; c’est à dire des plus grands débits, problème analogue à celui des plus grands âges“. Not only Gumbel’s distribution gave better empirical results, but also it came with a theoritical justification.

  • Gumbel’s distribution properties

Consider the Gumbel distribution, with location and scale parameters alpha and beta respectively, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-40.png

Note that the associated quantile function is

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-41.png

with mean

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-43.png

and variance

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-44.png
  • The work of Waloddi Weibull

Waloddi Weibull, a Swedish physict proposed a distribution in 1939, to represent the distribution of breaking strength of materials. He used it in the 50’s in reliability concept. Actually, Weibull appeared late in the story of extremes, since Fréchet, Fisher and Tippett mentioned it already in the mid-20’s.

  • From the central limit theorem (on the average) to Fisher-Tippett theorem (on the maxima)

In order to visualize those two theorem, consider the following animation, where samples of 20 exponential variables are generated. From those 20 values, we plot the maximum in blue, and the average in red, on top. Just below, be rescale those points by considering https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-16.png, and below again, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-15.png}. When then look at the position of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-14.png and the one of the mean of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-15.png. We then build an histogram to visualize the distribution of the rescaled maximum (in blue) and the rescale average (in red).

For those who might be busy, after 1000 generations of samples, we obtain the following histograms (below), including the Gaussian distribution below (i.e. the average of exponential variables looks Gaussian, even with only 20 observations, actually the Gaussian distribution is only asymptotic, i.e. we should consider samples of size 2000), and the maximum over 20 observations of exponential variables (on top) looks like a Gumbel distribution (actually, here it is the exact distribution, and it is the asymptotic distribution for exponential type variables).

  • The GEV distribution

The unified expression of those three distributions is call the GEV distribution. The generalized extreme value distribution has cumulative distribution function

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-20.png

for https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-21.png, where https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-22.png is the location parameter, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-23.png the scale parameter and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-24.png the shape parameter. Note that the expected value is
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ext-30.png

Le billet de la Saint Valentin

Avec une petite semaine d’avance, un billet rapide pour préparer la Saint Valentin, i.e. récupérer des conseils d’experts. Il existe un site http://www.okcupid.com/ deFree Online Dating pour reprendre le titre. Mais son grand intérêt, c’est surtout le blog associé, qui propose des analyses statistiques sur les matching,http://blog.okcupid.com/.

Par exemple, les fondateurs (qui se sont amusés à faire beaucoup de statistiques) regardent les photos, et notent que pour espérer obtenir beaucoup de messages (ou tout du moins plus que la moyenne), les femmes doivent regarder l’objectif tout en souriant, en adoptant une moue un peu dragueuse (“flirty face“) (cf Myth 1 ici). Les hommes, eux, doivent plutôt tirer la tronche et regarder ailleurs…. Mais le plus amusant, c’est – je m’adresse aux hommes qui lisent mon blog – il y a une étude sur ce qui doit apparaître sur la photo,

Les résultats sont sans ambiguité: il faut être avec un animal (je ne sais pas si c’est un animal de compagnie, genre un gentil chiot du calendrier de La Poste, ou bien avec un boa autour du cou…). Et il peut être intéressant de montrer ses muscles ! Effectivement, on peut montrer ses abdos, mais avec l’âge, il commence à être plus sage de les cacher sous un gros pull….

alors que la tendance est inversée pour les décolletés des femmes,

qui ont d’autant plus intérêt à se découvrir qu’elles sont âgées… Ils ont aussi fait des études sur les correspondances raciales, en étudiant le pourcentage de matching,

qui est assez uniforme, et en le comparant au pourcentage de réponses au messages de dragues…

On observe que la “race” a un impact sur le fait qu’on se laisse draguer ou pas, mais ensuite, on y devient indifférent. On retrouve aussi l’étude sur la religion,

De manière plus amusante, l’étude est faite aussi sur les correspondances zodiacales (ici)

Bref, enfin des statistiques amusantes et instrucives sur un sujet qui intéressent tout le monde (pour citer le mémoire de nos étudiants qui avaient fait leur projet d’économétrie sur les relations amoureuses…)

from two to three…

A short post to give more details about the final remark in the course of Financial Econometrics, and more precisely the formula that can be found in the book of Philip Jorion,

Note that this formula can be found (perhaps written with slight changes) in several papers, e.g. the following sentence (on the http://www.bis.org/website),

or the following formula, on documents from the Bank of England website,

I recently pulished (in French, here) a paper on the Value-at-Risk, including the following graph,

Usually, three times the average over 60 trading days is the larger component, but during the financial crisis, it turned out that the daily component was almost three times higher than the average value over the past the months (this fact was mention by Paul Embrechts in some conference in Paris on risk measures).
The interpreation of the multiplicative k coefficient (which is from 2 to 3 in some publications, or which exceeds 3 in others) has been proposed in a paper of Gerhard Stahl, entitled three cheers. The idea is to use the Bienaymé-Tchebychev inequality. For random variables with finite variance, then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-01.png

Recall that this inequality is simply a corrolary of Markov’s inequality

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-02.png

or for any increasing function https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-99.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-03.png

(taking function https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-04.png, applied to https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-05.png). This upper bound can be far away from the true probability, see e.g. the gaussian case below, i.e. if  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-06.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-07.png

 

> z = seq(0,3,by=.01)
> P = 2*dnorm(k)
> U = 1/z^2
> plot(z,P,type="l",lwd=2,col="red",xlab="",ylab="")

The ratio between the two is given below,

> plot(z,U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",ylab="",ylim=c(0,10))

Note that it is possible to interprete the axis values as probabilities values, taking quantiles of the gaussian distribution

> plot(pnorm(z),U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",
+ ylab="",ylim=c(0,10),xlim=c(.9,1))
> abline(h=3,lty=2)

The interpretation is that the upper bound is 3 times higher than the true probability in the Gaussian case when z is the quantile of the https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-06.png distribution associated with probability level 99%.
Note that

  • if z is the 95% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 2 (1.92)
  • if z is the 99% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 3 (3.04)
  • if z is the 99.55% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is almost 4 (3.88)
  • if z is the 99.75% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 5 (5.04)

A more formal explaination is to assume that X is symmetric, and then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-09.png

Thus, if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-10.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-11.png, we have an upper bound for the  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-12.pngValue-at-Risk,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-20.png

where the upper bound is the upper bound for the https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-12.png Value-at-Risk for any distribution with finite variance and centred.
If  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-31.png, then https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-32.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-33.png.  But since, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-33.png for a https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-36.png distribution, then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-21.png

and further

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-22.png

Les modèles en réassurance

Publication d’un papier sur les modèles en réassurance dans la revue Risques (ici), suite à un questionnement sur la pertinence des modèles classiques utilisés par les réassureurs. La question initiale était partie de la constatation – que l’on retrouve ici ou – sur l’utilisation (ou la mauvaise utilisation) de modèles sophistiques en finance de marché, en essayant d’expliquer que – d’un point de vue épistémologique au moins – les modèles des réassureurs étaient plus robustes. En particulier, on notera que les modèles les plus anciens utilisés par les réassureurs (en particulier la loi de Pareto comme je l’avais évoqué ici) ont eu une légitimité pratique durant plusieurs décennies avant d’être justifiés par la théorie des valeurs extrêmes. Je ferais d’ailleurs bientôt un billet sur l’histoire des valeurs extrêmes en statistiques, en revenant en particulier sur les travaux de Gumbel ou de Fréchet.

Sinon le code utilisé dans le papier est en ligne ici, et la base

> sinpe = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/sinpe.csv",header=TRUE,sep=";")
> head(sinpe)
      DSUR  MNTPE
1 19850206 240439
2 19851228 125674
3 19850504 488331
4 19851118 457347
5 19850220 990919
6 19851214 182939
> annee=as.numeric(substr(as.character(sinpe$DSUR),1,4))
> sinistres=sinpe$MNTPE[annee>1992]
> XS=sinistres/100000

On se limite ici aux sinistres survenus après 1992. Si l’on visualise ces montants de sinistres, on obtient

> datesur=as.Date(as.character(sinpe$DSUR),"%Y%m%d")
> jour=datesur[annee>1992]
> plot(jour,sinistres/100000,xlab="",ylab="Coût individuel",cex=.5,ylim=c(0,600))
> ded=50
> abline(h=ded)

On peut aussi faire le graphique Pareto-log-log,

> library(evir)
> n=length(X)
> plot(log(sort(X)),log((n:1)/(n+1)),
+ xlab="Coûts des sinistres (logarithme)",ylab="Fonction de survie (logarithme)",cex=.8)
> out <- gpd(XS, 15)
> XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
> x0=seq(2,8,.01)
> lines(x,-1/XI*(x-log(15)),col="red")

(l’ajustement de la loi de Pareto permettant de tracer la droite rouge) ou encore visualiser l’estimateur de Hill de l’indice de queue,

> hill(X)

Pour finir, le code suivant permet de calculer la prime pure (ou plus généralement une prime de Wang) soit de manière non-paramétrique (burning cost) ou bien en utilisant l’ajustement d’une loi de Pareto. Le papier étant un papier de vulgarisation, j’ai pris le seuil de manière arbitraire, sans aucune recherche de valeur “optimale”

> DEDUC = seq(10,50,by=5)
> lambda=0;  seuil=5
> WG1=WG2=rep(NA,length(DEDUC))
> for(k in 1:length(DEDUC)){
+ deductible=DEDUC[k]
+ out <- gpd(XS, seuil)
+ XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
+ G0=function(x){1-pgpd(x+seuil, xi = XI, mu = seuil, beta = BETA)}
+ G=function(x){(G0(x+deductible-seuil))/(G0(deductible-seuil))}
+ F=function(x){pnorm(qnorm(G(x))+lambda)}
+ (wang1=integrate(F, 0, Inf))
+ X=XS[XS>deductible]
+ n=length(X)
+ FS= function(z){
+ m=rep(NA,length(z))
+ for(i in 1:length(m)){
+ m[i]=sum(X>z[i]+deductible)/n}
+ return(m)
+ }
+ G=function(x){pnorm(qnorm(FS(x))+lambda)}
+ (wang2=sum(G(seq(0,800,.01))*.01))
+ WG1[k]=as.numeric(wang1$value)
+ WG2[k]=wang2
+ }
> plot(DEDUC,WG2-DEDUC,type='b',xlab="Niveau de la priorité ('00 000 euros)",ylab="Prime pure par sinistres réassuré",ylim=c(0,50))
> lines(DEDUC,WG1-DEDUC,type='b',col="red",pch=4)
> legend(10,50,c("Aujustement d'une loi de Pareto","'Burning cost'"),
+ col=c("red","black"),lty=1,cex=.8,pch=c(4,1))