“Ce n’est pas la girouette qui tourne, c’est le vent”

(disait Edgar Faure). Allez, je n’avais jamais osé, mais l’occasion est tellement belle que je vais faire un (court) billet de macro-économie.En fait, je suis assez ” surpris” par cet emprunt national qui a été annoncé (ici ou ). Il y a quelques mois, on nous expliquait (démonstrations à l’appui) que l’endettement c’était sale et que l’état était au bord de la faillite, etc. Voilà maintenant que les mêmes personnes nous sollicitent pour aider l’état à s’endetter davantage ! Ce qui me surprendra toujours, c’est cette facilité de passer d’une conclusion à son contraire sans même s’en rendre compte (je suis un peu médisant car en occurrence, ce sont des hommes politiques, et pas des économistes), ou alors ça s’appelle de la mauvaise foi. Pourtant en Bretagne, on a parfois l’habitude de voir les girouettes tourner plusieurs fois dans la même journée !


Il y a quelques années, le Ministère de l’Économie, dans un soucis d’éducation avait édité un court livre d’une trentaine de pages sur les mécanismes de base de l’économie (ci-contre). Comme j’ignore les droits en matière de droit d’auteur, je me suis permis de mettre un lien vers la version pdf (c’est pour la bonne cause). Bref, vivement que l’on relance l’éducation économique (et scientifique), et que l’on arrête les plans de communication pour dire un truc et son contraire quelques semaines plus tard !
PS: évidemment, il existe de bien meilleurs ouvrages de vulgarisation économique, mais c’était juste pour rappeler qu’à une époque, l’éducation semblait être une valeur importante.

“on” a bien de la chance

Depuis quelques semaines, je passe un peu (trop) de temps dans les hôpitaux.

(l’image vient du blog de Lewis Trondheim, ici1). Histoire de tuer le temps, j’essaye de discuter avec “les gens” de tout et de rien2. Bref, l’autre jour j’étais avec une personne un peu âgée qui parlait des progrès de la médecine (en comparant la médecine telle qu’elle semblait l’avoir connue, et celle qu’elle vivait aujourd’hui), quand elle m’a dit cette phrase banale, “tous les ans, on gagne un trimestre d’espérance de vie” donc normalement “vous avez de la chance, vous devriez vivre plus de 100 ans“. Sur le moment, je me suis interrogé sur le sens de sa phrase3, et sur sa pertinence. Par politesse (ou peut être parce que j’évite de passer pour un nerd en public, sauf si j’y suis invité), je n’ai rien dit sur le moment. Cette phrase est un réel cliché, et je me suis demandé qui était ce “on” (qui a bien de la chance) ?

Mon prof de prépa se méfiait comme de la peste du “ça” du fameux “ça converge” (suffisamment vague pour espérer que l’examinateur trouverait – à notre place – ce qui converge). Mais ce “on” est une vraie plaie.

ON, pron. pers. indéf.

Pronom personnel de troisième personne, exprimant l’idée d’animé humain et fonctionnant toujours comme sujet. I. [Dans un cont. de généralité, souvent combiné avec un prés. gnomique révélé lui-même par une conj. de temps, désigne un suj. animé indéf.]

A. [Dans l’énoncé de vérités d’expérience, considérées comme universelles, c’est-à-dire vraies pour n’importe qui] On a souvent besoin d’un plus petit que soi. On peut éclaircir l’histoire, on ne la renouvelle pas (Bainville, Hist. Fr., t.1, 1924, p.6). On n’épuise pas le malheur, mon amour, on l’oublie. Vous ne voulez pas l’oublier (Bernanos, Dialog. ombres, 1928, p.47). Quand on vit seul, on ne sait même plus ce que c’est que raconter: le vraisemblable disparaît en même temps que les amis (Sartre, Nausée, 1938, p.21).

Étymol. et Hist. Pron. de la pers. suj. indéterminée A. 1. Employé sans art. 842 (Serments de Strasbourg ds Henry Chrestomathie, p.2, 5: Si salvarai eo cist meon fradre Karlo et in aiudha et in cadhuna cosa, si cum om per dreit son fradra salvar dift; cf. E. Koschwitz, Commentar zu den ältesten franz. Denkmälern, p.41; Moignet, Gramm. de l’a. fr., p.146 note ,,peut encore s’interpréter comme un subst.“); ca 1050 (St Alexis, éd. Chr. Storey, 235: Par nule guise ne l’em puet hom blasmer), [cf. 1647, Vaug., p.10: Si le verbe finit par une voyelle devant on, comme prie-on, alla-on, il faut prononcer et escrire un t entre deux: prie-t-on, alla-t-on pour oster la cacophonie]; ca 1100 (Roland, éd. J. Bédier, 2949: En un carner cumandez qu’hom les port);

Pour reprendre la définition du dictionnaire de l’académie française, On désigne un sujet indéterminé.

1. Les hommes en général, l’être humain. On naît, on vit, on meurt. On n’avait jamais constaté pareil phénomène. En raison de cette valeur, On s’emploie pour énoncer des vérités générales, dans des sentences, pensées, proverbes, etc. On a souvent besoin d’un plus petit que soi. À vaincre sans péril, on triomphe sans gloire, vers du Cid, de Pierre Corneille, souvent cité comme maxime.
2. Un ensemble d’individus, dont le locuteur ou la personne dont on parle peut ou non faire partie. On me le demande souvent. Comment en est-on arrivé là ? Plus on est de fous, plus on rit.
3. Un individu non différencié, anonyme ou inconnu. On frappe à la porte. On lui a volé son portefeuille (dans cet emploi, la construction avec On permet d’éviter la tournure passive).
4. Loc. On ne peut plus, extrêmement. Il est on ne peut plus doué pour la peinture. On ne peut mieux, excellemment. L’affaire a été réglée on ne peut mieux. Comme on dit, selon l’expression courante. On-dit, voir ce mot. Le qu’en dira-t-on, l’opinion des autres. Se soucier, se moquer du qu’en dira-t-on.

Bref, “onn’est pas franchement plus avancé… Je vais essayer de revenir un peu sur cette notion d’espérance de vie, en expliquant pourquoi il convient de la prendre en compte dans une perspective dynamique (une version plus historique et détaillée peut se trouver dans un article que j’avais fait pour Risque, ici). Accessoirement, tout ça sera abordé dans le cours de Statistique de l’Actuariat en Master 2, à la rentrée. Et surtout, on va essayer de comprendre qui peut être ceon“.

  • Modélisation de la durée de vie et diagramme de Lexis

La durée de vie résiduelle d’un individu (ou son espérance de vie résiduelle, car la durée de vie est aléatoire, sinon l’assurance décès n’aurait pas de sens) dépend de deux paramètres importants: son âge, et l’année où on se place.

D’où l’idée des tables de mortalité prospective, qui prennent en compte la fait que le taux de décès par exemple, évolue dans le temps,

(je renvoie ici ou pour un peu plus d’information).

  • Espérance de vie à la naissance

Voici le code R, à l’aide de library(demography), avec un ajustement de type Lee-Carter (basé sur un historique d’un siècle, et une projection par une série intégrée à l’ordre 1 pour le paramètre dépendant du temps),

> library(demography)
> france.LC1 <- lca(fr.mort,adjust="e0",series="female",years=c(1900,2040))
> france.fcast <- forecast(france.LC1)
> L2 <- lifetable(france.fcast)
> ex2=L2$ex
> L1=lifetable(fr.mort,series="female")
> ex1=L1$ex
> ex=c(ex1[1,],ex2[1,])
> plot(1899:2053,ex,col="blue")
> y=ex[72:102]
> x=1970:2000
> abline(lm(y~x),col="red") 

Si on regarde la pente de la droite sur les années 1970-2000, elle vaut 1/4

> lm(y~x)$coefficients:
(Intercept)            x 
  -403.3664       0.2433

1/4 d’année correspondant à un trimestre,effectivement, l’espérance de vie à la naissance augmente d’un trimestre par an.

Autrement dit, tous les ans, les bébés qui naissent (c’est le “on“) peuvent espérer vivre un trimestre de plus qu’un bébé qui serait né un an plus tôt.

  • Evolution de sa propre espérance de vie

Mais le pronom “on” laissant souvent croire que le locuteur est inclus dans le groupe4, et je voulais plutôt regarder comment “je” gagne en espérance de vie. En fait, pour que l’exercice soit marrant, on va supposer que “je” suis cette brave dame, et que j’aurais 70 ans (mille excuses si elle n’en a que 60 et qu’elle lit régulièrement mon blog, mais on va faire comme si, pour les besoins de la démonstration et de la science).

Reprenons notre base de données, et regardons l’évolution de l’espérance de vie résiduelle de cette brave personne (de manière rétrospective)

> M=ex1[,(ncol(ex1)-65):ncol(ex1)]
> plot(diag(M),col="blue")
> y=diag(M)[15:length(diag(M))]
> x=15:length(diag(M))
> abline(lm(y~x),col="red")
> abline(73,-1,col="purple")

Sans amélioration de l’espérance de vie (pas seulement dans le temps, mais aussi avec l’âge, car les deux augmentent simultanément), on devrait perdre un an tous les ans. Mais si on regarde attentivement, la décroissance est effectivement beaucoup moins forte qu’annoncé,
dessin

> lm(y~x)$coefficients
(Intercept)           x
  71.077486   -0.753065

Autrement dit, à chaque anniversaire, je perds 0,753064 année d’espérance de vie résiduelle. Cette différence de 0,25 avec l’unité peut également être interprété comme un gain d’un trimestre par an.
Aussi, tous les ans, “je” gagne un trimestre d’espérance de vie, mais par rapport à un modèle simpliste où la probabilité de décès serait une masse de Dirac sur l’âge limite (disons 110 ans): il n’y a plus d’incertitude sur la date de décès. Donc en un sens, “je” fais partie de ce “on“, mais la référence de la comparaison est un peu stupide.

En fait, la vraie comparaison aurait peut être du être les espérances de vie résiduelles qu’avait eu cette brave personne à la naissance (et qu’on pourrait interpréter comme des gains dûs aux progrès de la médecine),

> z=ex1[,(ncol(ex1)-65)]
> points(1:length(z),z,pch=19,cex=.8,col="dark green")


Le principal soucis est que cette personne est née avant guerre, et donc son espérance de vie résiduelle a explosé passé 10 ans (i.e. elle a survécu à la guerre).

> y=z[11:70]
> x=10:69
> lm(y~x)$coefficients
(Intercept)           x
 65.0226754  -0.8084443

Autrement dit, la pente des points verts est de -0,8. Bref, sans prendre en compte les progrès de la médecine, “on” gagnerait 1/5 d’espérance de vie résiduelle à chaque anniversaire (approche longitudinale de la mortalité). Les progrès de la médecine font passer la gain de 0,20 année à 0,25 (ce qui peut être interprété comme un gain de 0,05 point, ou comme un gain de 25%, soit encore 1/4, que l’on retrouve décidément partout).

Moralité, comme toujours, “on” a raison, à condition toutefois de bien expliquer comme comprendre cet adage….

1 j’avais promis à mes enfants (qui sont des fervents lecteurs de mon blog, surtout si je mets des images de cowboys, de chevalier, de princesse; de licornes, etc…) que je raconterais comment je suis tombé dans les pommes à l’hôpital, après l’opération de mon fils… Je me contenterais de cette image de Lewis afin d’expliquer la vérité: c’était une manœuvre de diversion !
2 je vais faire ici un billet sur l’utilisation délicate du pronom “on“, mais je pourrais faire une analyse similaire sur “les gens“. J’avais déjà dit (ici par exemple) tout le mal que je pensais de ce concept, et en particulier sur le fait que j’avais du mal à croire que “les gens” pouvait avoir une opinion (que l’on pourrait appeler “l’opinion publique“). Les deux sont d’ailleurs très proches si on commence à faire un peu d’analyse des discours politiques des dernières années, avec l’explosion d’expressions du genre “on sait bien que….” ou le “tout le monde sait bien que…“. Mais je sors du cadre de mon billet…
3 je ne rentrerais pas ici dans le débat de savoir si ce rallongement de la durée de vie est – ou n’est pas – une chance. Les personnes intéressées n’ont qu’à passer à l’heure de l’apéro à la maison, on a ce genre de discussion avec mon fils assez fréquemment (qui souhaite savoir si on est obligé de mourir, et comprendre pourquoi, parce que lui, il a pas envie…).
4 histoire de continuer dans les discussions familiales, ma femme avait l’habitude de me faire remarque qu’au contraire, j’avais souvent tendance à m’exclure de ce  “on“, comme dans le “on devrait changer sa couche, non ?“.

Optimisation et dualité

La notion de dualité est un peu utilisée à tort et à travers en optimisation, par exemple en gestion de portefeuille. Histoire de remettre les idées au clair, je voulais faire un court billet sur le sujet,

  • cas de la programmation linéaire

Dans le cas de l’optimisation linéaire, on s’intéresse au problème d’optimisation suivant

où ici

.

On parlera alors de “problème primal“. La version duale (appelé “problème dual“) s’écrit alors tout simplement

et ici

.

Pour diverses raisons, il peut parfois être plus simple de résoudre le problème dual que le problème primal. Et l’intérêt de cette réécriture est que les deux problèmes sont étroitement liés. En particulier, sous quelques hypothèses d’existence de solution, on a alors un résultat de la forme suivante (que l’on appelle parfois théorème de Minkowski-Farkas). Une solution au problème primal est optimale si et seulement si il existe une solution au problème dual vérifiant

.

Ce théorème est parfois abordé dans les cours sur la convexité… autrement dit, ce résultat doit être très liés à des propriétés de fonctions convexes, et c’est ce qu’on va voir ensuite… Je renvoie au livre de Yadolah Dodge d’Optimisation Appliquée (chapitre 7) pour ceux qui veulent des exemples.

  • la dualité dans un cas plus général (mais convexe)

Cette dualité, qui permet de résoudre un problème d’optimisation parfois plus simple ne marche toutefois que sous certaines hypothèses. Considérons pour cela le problème relativement général suivant,

où toutes les fonctions sont supposées convexes, et on suppose de plus que est un ensemble convexe, compact. On parle alors de programme convexe (cf wiki). Ce problème est équivalent au problème suivant,

autrement dit, la résolution de ce problème se fait en passant par le Lagrangien,

Le principe de dualité consiste alors à permuter les min et les sup, et la version duale (le “problème dual“) s’écrit alors tout simplement

où on s’intéresse à maximiser la fonction dite objectif.

On peut montrer que cette fonction est alors une fonction concave. On alors le résultat suivant

  • en programmation linéaire ou pour un programme convexe,
  • pour un programme non-convexe,

Autrement dit, si l’on supprime l’hypothèse de convexité, alors les deux problèmes ne sont plus équivalents. Pour expliquer de manière heuristique l’avantage de l’optimisation sur des fonctions convexes, on peut considérer le dessin ci-dessous (emprunté sur http://convexoptimization.com/…),

où on voit clairement que minimiser f sous la contrainte de maximiser g est équivalent à permuter l’ordre de l’optimisation.

  • la dualité dans un cas plus général non convexe

En fait, on peut montrer (ce sont des résultats montrés par Jean-Pierre Aubin et Ivar Ekeland en 1976, dans Applied nonlinear analysis) quelques résultats afin de contrôler l’écart entre les deux optimums,

Sous quelques conditions techniques, on peut alors majorer l’écart entre les solutions des deux problèmes,

en introduisant la distance entre la fonction à maximiser et son enveloppe convexe. Pour aller (beaucoup) plus loin, il existe un petit livre de Tyrrell Rockafellar sur ce sujet, conjugate duality and optimization. Je peux aussi renvoyer vers le site http://meboo.convexoptimization.com/ (et le livre associé, ici). Côté applications, elles sont nombreuses, en économie mais aussi en finance. En particulier, je renvoie à un papier que l’on avait fait avec Abder Oulidi sur l’optimisation de portefeuilles sous contraintes de VaR (ici). La VaR n’étant pas convexe, l’optimisation est un problème plus compliqué (d’où l’intérêt évoqué par certains de minimiser des mesures de risques convexes).

Repousser l’âge de la retraite ?

Le débat est relancé sans cesse… J’avais déjà parlé d’un ancien rapport du COR (ici), et je ne rajouterai pas une couche aujourd’hui. En fait, je voulais étudier une partie de la population qui a vocation à se prononcer intelligemment sur le sujet, à savoir nos députés. J’ai découvert récemment la base Sycomoe (ici) qui recense tous les députés depuis 1789. Je ne remontrais pas aussi tard, mais juste après guerre, pour voir un peu l’évolution de l’âge de nos députés en exercice (pour ceux qui veulent des études statistiques sur le très long terme, je renvoie à un papier de Vincent Loonis sur le sujet, ici).

On peut regarder (graphiques ci-dessous) l’évolution de la densité de l’âge de nos députés, avec les courbes de niveaux des fonctions de répartitions,

Pour y voir un peu plus clair, on peut faire des coupes, avec 4 années entre 1948 et 2008,On obtient d’ailleurs les boxplot suivants

On observe bien un vieillissement de nos députés, mais si on compare à septembre 1974, par exemple, les députés sont en moyenne plus âgés, mais il y a moins de personnes très âgées, et nettement moins de jeunes également. Et si on se focalise sur les personnes qui devraient prendre leur retraite, on note que la proportion des plus de 65 ans ne cesse d’augmenter…

Bref, pour une fois que nos représentants mettent (eux-même) en application des mesures qu’ils prônent, je me disais que le fait méritait d’être souligné !

Delta method avec R, ou transformation des paramètres

Un petit billet aujourd’hui sur une question qui m’a été posée (et qui m’a permis de découvrir des nouvelles fonctions sous R). On suppose que l’on a un modèle économétrique de la forme

que l’on peut encore écrire

Supposons que ce soit la formulation en terme de ces derniers coefficients qui nous intéresse, et que l’on cherche un intervalle de confiance.
La Delta Method nous dit que si on dispose d’un estimateur asymptotiquement gaussien (mais c’est le cas pour la plupart des estimateurs que l’on construit en pratique), tout transformation bijective de cet estimateur reste asymptotiquement Gaussien. Bref, on va pouvoir utiliser ces résultats pour en déduire un intervalle de confiance (asymptotique) pour le nouveau paramètre. En effet, l’estimateur par moindre carrés vérifie la normalité asymptotique (sous quelques hypothèses)

ce qui donne avec les notations précédentes

Autrement dit, on peut facilement en déduire un intervalle de confiance (asymptotique). Pour cela, on a trois méthodes (au moins) avec R. Pour la suite, je vais considerer la régression sur la base de données cars (comme toujours), et on s’intéresse à l’estimation de

 

(ne me demandez pas pourquoi, il me fallait un exemple numérique, j’ai pris un truc nonlinéaire pour qu’au moins ça puisse avoir un vague intérêt).

  • En faisant un peu de calcul formel

Pour les calculs symboliques, il y a la fonction D dans le package de base,

> f <- expression(sin(cos(x + y^2)))
> ( Dfx <- D(f, "x") )
-(cos(cos(x + y^2)) * sin(x + y^2))

ce qui pourra alors être utilisé pour faire les calculs de la variance asymptotique.

> x=c(0,1,2); y=1
> eval(D.sc)
[1] -0.7216061 -0.8316919 -0.0774320

On peut également utiliser cette fonction pour faire plein de jolis dessins,

> x <-seq(-5, 5, length=100)
> fx=x^2
> Df <-D(expression(x^2), "x")
> Dfx<-eval(Df)
> plot(x, fx, type = "l", las = 1,ylim=c(-2,2))
> for (i in 1:length(x)) {
+ abline(a = fx[i] - Dfx[i] * x[i], b = Dfx[i],
+ col = rainbow(100)[i])
+ }

Mais bon, c’était juste pour rigoler un peu… On peut utiliser cette fonction pour calculer l’écart type de l’estimateur de la grandeur qui nous intéresse.

> reg1 = lm(dist~speed, data = cars)
> estmean = coef(reg1)
> estvar = summary(reg1)$cov.unscaled * summary(reg1)$sigma^2
> f = function(x,y){
+ -y/(x+y)
+ }
> X=f(estmean[1],estmean[2])
> g=expression(-y/(x+y))
> x<-as.numeric(estmean[1]); y<-as.numeric(estmean[2])
> V=eval(c(eval(D(g, "x")),eval(D(g, "y"))))
> sqrt(t(V) %*% estvar %*% V)
          [,1]
[1,] 0.1063255

Voilà pour la première méthode. Petite remarque: pour faire le calcul symbolique de la dérivée, j’utilise expression et non pas function.

  • En utilisant la fonction deltamethod de la librarie msm

Ici on commence comme avant, sauf que la phase de calcul est immédiat…

> reg2 <- lm(dist~speed, data = cars)
> estmean = coef(reg2)
> estvar = summary(reg2)$cov.unscaled * summary(reg2)$sigma^2
> deltamethod (~ -x2 / (x1 + x2), estmean, estvar) 
[1] 0.1063255

et d’ailleurs, ça peut s’appliquer pour un paramètre en dimension 2

> deltamethod (list(~ -x2 / (x1 + x2), ~ x1+x2), estmean, estvar) 
[1] 0.1063255 6.3664368

En revanche, on obtient des estimateur des écart-types, et pas de la matrice de variance-covariance des estimateurs. Autrement dit on ne peut pas en déduire l’ellipse de confiance, seulement des intervalles de confiance marginaux (en utilisant la normalité asymptotique).

  • En utilisant la fonction delta.method de librarie alr3

Pour finir, une dernière fonction. La seule chose qui change c’est la synthaxe. Mais la sortie est plus élégante,

> reg3 = lm(dist~speed, data = cars)
> delta.method(reg3, "-b1/(b1+b0)")
Functions of parameters:  expression(-b1/(b1+b0))
Estimate = 0.2881585 with se = 0.1063255

En fait, l’écart-type indiqué ici est précisément celui qui est utilisé pour écrire l’intervalle de confiance. Dans cet exemple, l’intervalle de confiance approché (car on suppose que la normalité – en théorie seulement asymptotique – est vérifiée) et estimé (car les paramètres sont inconnus et estimés) est de la forme suivant, pour un seuil de confiance à 95%

> DM=delta.method(reg3, "-b1/(b1+b0)")
Functions of parameters:  expression(-b1/(b1+b0))
Estimate = 0.2881585 with se = 0.1063255 
> DM$estimate+qt(.975,df=nrow(cars)-1)*DM$se
[1] 0.5018277
> DM$estimate+qt(.025,df=nrow(cars)-1)*DM$se
[1] 0.07448936

C’est à dire qu’on a un intervalle de confiance de la forme [0.074;0.502].

Hypothèse d’indépendance en assurance

Il y a deux semaines, j’ai reçu un mail dans ma boite à l’ensae (que je consulte rarement) qui posait une vraie question. “Pour le modèle de risque collectif : S=X1+X2+…+XN. On suppose que les Xi et N sont indépendants (montant de sinistres et nombre de sinistres). Question : Dans la pratique (par exemple : assurance automobile), comment peut-on expliquer cette indépendance.

Sur la forme de la question, on mélange un peu théorie et pratique: c’est la théorie qui impose cette hypothèse, et effectivement, il convient de la confronter à la pratique afin d’utiliser les résultats qui découlent du modèle collectif (en particulier en terme de solvabilité, j’en parlerai à la fin). Mais cela pose toutefois une question très intéressante.

Pour rappels, cette hypothèse a été faite par Filip Lundberg quand il a proposé les premiers résultats  en 1903 (voire plus tôt), à l’époque où l’étude des processus était assez peu développée… Charles Spearman n’a introduit sa mesure de corrélation qu’en 1904, par exemple (même si on peut trouver des choses chez Francis Galton en 1888, puis chez Karl Pearson en 18921). Autrement dit, le premier modèle reposait sur les hypothèses les plus simples possibles (pour l’époque). Depuis, l’étude des processus ponctuels s’est beaucoup développée, et énormément de résultats ont été obtenus. Autrement dit, il existe des résultats théoriques permettant de s’affranchir de cette indépendance.

Petite remarque en passant, dans les livres avec Michel Denuit, on avait insisté longuement sur cette hypothèse d’indépendance… et c’est précisément sur ce point que Claude Bébéar avait ouvert la préface (ici) et qu’Hans Bühlmann avait clôturé la postface (). C’est d’ailleurs Hans Bühlmann qui notait en 1963 que “the independence hypothesis is so common to be made that many authors forget to mention it“.
Pour être un peu complet, il y a trois indépendances distinctes dans les hypothèses du modèle collectif:

  • d’indépendance entre les arrivées des sinistres, on parle plus proprement d’hypothèse d’un processus de Poisson homogène (les durées entre survenances suivent des lois exponentielles indépendantes),
  • d’indépendance entre les coûts (individuels) des sinistres,
  • d’indépendance entre les coûts de sinistres, et les arrivées.

C’est surtout la première hypothèse qui a été relâchée. On retrouvera des exemples dans les papiers suivants

  • Malinovskii, V.K. (1998). Non-Poissonian claims’ arrivals and calculation of the probability of ruin. Insurance: Mathematics and Economics, 22, 2, 123-138.
  • Gyllenberg, M. & Silvestrov, D.S. (2000). Cramer-Lundberg approximation for nonlinearly perturbed risk processes. Insurance: Mathematics and Economics, 26, 1, 75-90.

Sur les aspects pratiques, on peut retrouver ce phénomène en particulier sur les catastrophes naturelles qui sont très cycliques. L’exemple le plus connu et le plus étudié est les ouragans,

  • Parisi, F. & Lund, R. (2000). Seasonality and return periods of landfalling Atlantic basin hurricanes. Australian and New Zealand Journal of Statistics, 42, 3, 271-282.

Mais on a la même chose en assurance auto, à cause de la pluie et du brouillard (en France en tous cas2).
Pour la seconde, on peut trouver des choses dans les derniers papiers de Stéphane Loisel (ici).
Mais c’est le dernier point qui était évoqué, et seulement celui là… Avec la même dichotomie que tout à l’heure, on trouve des résultats théoriques, en particulier dans les papiers d’Hansjorg Albrecher

  • Albrecher, H. & Boxma, O.J. (2004). A ruin model with dependence between claim sizes and claim intervals. Insurance: Mathematics and Economics, 35, 2, 245-254.

Sur les aspects pratiques, l’exemple le plus classique et le plus étudié est celui des tremblements de terre. Pour faire très simple, un tremblement de terre est causé par une accumulation d’énergie: plus on attend, plus le tremblement de terre risque d’être important. Bref, d’un point de vue pratique, cette hypothèse peut être délicate à supposer. On avait utilisé un modèle ACD avec un processus marqué dans le cas des crues de rivières par exemple, dans un papier avec David Sibaï (ici). On modélisait un processus joint prenant en compte les durées des crues, les durées entre crue, et les importances des crues. Là aussi, intensités et durées ne sont pas indépendant.

Mais au delà de l’explication, il faut aussi – peut être – essayer de tester cette indépendance. Si quelqu’un a des données ou des résultats sur ce sujet, je suis preneur.

Pour conclure, je dirais que cette hypothèse d’indépendance est fondamentale. Si on la supprime, on peut perdre beaucoup de résultats classiques, sur la solvabilité par exemple. Pour reprendre une idée commune partagée par beaucoup de monde, dans l’Encyclopaedia of Financial Engineering and Risk Management, (ici) on apprend que “reinsurance is able to offer additional underwriting capacity for cedants, but also to reduce the probability of a direct insurer’s ruin“. En fait, ce résultat devient faux si l’on supprime cette hypothèse d’indépendance: on peut augmenter la probabilité de ruine en se réassurance ! La réassurance diminue alors la solvabilité de la compagnie d’assurance (ou tout du moins peut le faire). C’est dans un papier que j’ai soumis récemment, je garde donc tout ça pour un billet dans les mois à venir… à suivre donc.

1 Sur la corrélation de Pearson – que j’ai beaucoup critiqué sur ce blog – je renvoie à un très beau papier que je viens (seulement) de découvrir, de Joseph Rodgers et Alan Nicewander, intitulé Thirteen Ways to Look at the Correlation Coefficient (ici)
2 Si quelqu’un a des données pour illustrer ce point, je suis preneur !