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Article (de vulgarisation) sur la crédibilité

Parution d’un court article sur la Théorie de la Crédibilité dans la revue Risques.

La théorie de la crédibilité est une jolie application de l’approche bayésienne de la statistique, puisque l’on cherche à déterminer la probabilité d’appartenir à une classe de risque conditionnellement à une expérience de sinistralité observée. La théorie développée par Hans Bühlmann propose d’ailleurs de jolies applications, en particulier sur les jeux de fléchettes, où l’on compare la moyenne sur un sous-groupe homogène (ou supposé l’être) avec la moyenne de la population totale. En faisant intervenir des variance intra et des variances inter, on arrive à un résultat relativement simple et élégant.

Copulas, risk dependence and applications to Solvency II

Exposé dans le cadre de la Summer School of the Groupe Consultatif Actuariel Européen: Enterprise Risk Management (ERM) and Solvency II. Petite réflexion à partir des déclarations du rapport technique QIS3, en particulier la déclaration qui mériterait des heures de commentaires,
In view of the insufficiency of currently available data, the setting of these correlation coefficients will necessarily include a certain degree of judgement. This is also true because, when selecting correlation coefficients, allowance should be made for non-linear tail correlation, which is not captured under a “pure” linear correlation approach. To allow for this, the correlations used should be higher than simple analysis of relevant data would indicate.

Copules, avenir de l’actuariat ou gadget statistique?

Exposé sur les copules cette semaine, à Paris 6. Petite réflexion sur le sujet, inspiré du papier de Thomas Mikosch sur ce sujet,

Il y a de longues années vivait un empereur qui aimait par-dessus tout les beaux habits neufs ; il dépensait tout son argent pour être bien habillé. Il ne s’intéressait nullement à ses soldats, ni à la comédie, ni à ses promenades en voiture dans les bois, si ce n’était pour faire parade de ses habits neufs. Il en avait un pour chaque heure du jour et, comme on dit d’un roi : « Il est au conseil », on disait de lui : « L’empereur est dans sa garde-robe. »

La vie s’écoulait joyeuse dans la grande ville où il habitait ; beaucoup d’étrangers la visitaient. Un jour arrivèrent deux escrocs, se faisant passer pour tisserands et se vantant de savoir tisser l’étoffe la plus splendide que l’on puisse imaginer.

Non seulement les couleurs et les dessins en étaient exceptionnellement beaux, mais encore, les vêtements cousus dans ces étoffes avaient l’étrange vertu d’être invisibles pour tous ceux qui étaient incapables dans leur emploi, ou plus simplement irrémédiablement des sots. « Ce seraient de précieux habits, pensa l’empereur, en les portant je connaîtrais aussitôt les hommes incapables de mon empire, et je distinguerais les intelligents des imbéciles. Cette étoffe, il faut au plus vite la faire tisser. »

Il donna d’avance une grosse somme d’argent aux deux escrocs pour qu’ils se mettent à l’ouvrage. Ils installèrent bien deux métiers à tisser et firent semblant de travailler, mais ils n’avaient absolument aucun fil sur le métier.

Ils s’empressèrent de réclamer les plus beaux fils de soie, les fils d’or les plus éclatants, ils les mettaient dans leur sac à eux et continuaient à travailler sur des métiers vides jusque dans la nuit. J’aimerais savoir où ils en sont de leur étoffe, se disait l’empereur, mais il se sentait très mal à l’aise à l’idée qu’elle était invisible aux sots et aux incapables.

Il pensait bien n’avoir rien à craindre pour lui-même, mais il décida d’envoyer d’abord quelqu’un pour voir ce qu’il en était. Tous les habitants de la ville étaient au courant de la vertu miraculeuse de l’étoffe et tous étaient impatients de voir combien leurs voisins étaient incapables ou sots.

Je vais envoyer mon vieux et honnête ministre, pensa l’empereur. C’est lui qui jugera de l’effet produit par l’étoffe, il est d’une grande intelligence et personne ne remplit mieux sa fonction que lui. Alors le vieux ministre honnête se rendit dans l’atelier où les deux menteurs travaillaient sur les deux métiers vides. Mon Dieu ! pensa le vieux ministre en écarquillant les yeux, je ne vois rien du tout ! Mais il se garda bien de le dire. Les deux autres le prièrent d’avoir la bonté de s’approcher et lui demandèrent si ce n’était pas là un beau dessin, de ravissantes couleurs.

Ils montraient le métier vide et le pauvre vieux ministre ouvrait des yeux de plus en plus grands, mais il ne voyait toujours rien puisqu’il n’y avait rien. « Grands dieux ! se disait-il, serais-je un sot ? Je ne l’aurais jamais cru et il faut que personne ne le sache ! Remplirais-je mal mes fonctions ? Non, il ne faut surtout pas que je dise que je ne vois pas cette étoffe. » Eh bien ! vous ne dites rien ? dit l’un des artisans. Oh ! c’est vraiment ravissant, tout ce qu’il y a de plus joli, dit le vieux ministre en admirant à travers ses lunettes. Ce dessin ! … ces couleurs ! …

Oui, je dirai à l’empereur que cela me plaît infiniment. Ah ! nous en sommes contents. Les deux tisserands disaient le nom des couleurs, détaillaient les beautés du dessin. Le ministre écoutait de toutes ses oreilles pour pouvoir répéter chaque mot à l’empereur quand il serait rentré, et c’est bien ce qu’il fit. Les escrocs réclamèrent alors encore de l’or et encore des soies et de l’or filé. Ils mettaient tout dans leurs poches, pas un fil sur le métier, où cependant ils continuaient à faire semblant de travailler.

Quelque temps après, l’empereur envoya un autre fonctionnaire important pour voir où on en était du tissage et si l’étoffe serait bientôt prête. Il arriva à cet homme la même chose qu’au ministre, il avait beau regarder, comme il n’y avait que des métiers vides, il ne voyait rien. N’est-ce pas là une belle pièce d’étoffe ? disaient les deux escrocs, et ils recommençaient leurs explications. « Je ne suis pas bête, pensait le fonctionnaire, c’est donc que je ne conviens pas à ma haute fonction. C’est assez bizarre, mais il ne faut pas que cela se sache. »

Il loua donc le tissu qu’il ne voyait pas et les assura de la joie que lui causait la vue de ces belles couleurs, de ce ravissant dessin. C’est tout ce qu’il y a de plus beau, dit-il à l’empereur. Tous les gens de la ville parlaient du merveilleux tissu. Enfin, l’empereur voulut voir par lui-même, tandis que l’étoffe était encore sur le métier.

Avec une grande suite de courtisans triés sur le volet, parmi lesquels les deux vieux excellents fonctionnaires qui y étaient déjà allés, il se rendit auprès des deux rusés compères qui tissaient de toutes leurs forces – sans le moindre fil de soie. N’est-ce pas magnifique, s’écriaient les deux vieux fonctionnaires, que Votre Majesté admire ce dessin, ces teintes. Ils montraient du doigt le métier vide, s’imaginant que les autres voyaient quelque chose.

« Comment ! pensa l’empereur, je ne vois rien ! Mais c’est épouvantable ! Suis-je un sot ? Ne suis-je pas fait pour être empereur ? Ce serait terrible ! Oh ! de toute beauté, disait-il en même temps, vous avez ma plus haute approbation. » Il faisait de la tête un signe de satisfaction et contemplait le métier vide. Il ne voulait pas dire qu’il ne voyait rien. Toute sa suite regardait et regardait sans rien voir de plus que les autres, mais ils disaient comme l’empereur : « Oh ! de toute beauté ! » Et ils lui conseillèrent d’étrenner l’habit taillé dans cette étoffe splendide à l’occasion de la grande procession qui devait avoir lieu bientôt. Magnifique ! Ravissant ! Parfait ! Ces mots volaient de bouche en bouche, tous se disaient enchantés.

L’empereur décora chacun des deux escrocs de la croix de chevalier pour mettre à leur boutonnière et leur octroya le titre de gentilshommes tisserands. Toute la nuit qui précéda le jour de la procession, les escrocs restèrent à travailler à la lueur de seize chandelles. Toute la ville pouvait ainsi se rendre compte de la peine qu’ils se donnaient pour terminer les habits neufs de l’empereur. Ils faisaient semblant d’enlever l’étoffe de sur le métier, ils taillaient en l’air avec de grands ciseaux, ils cousaient sans aiguille et sans fil, et à la fin ils s’écrièrent :

Voyez, l’habit est terminé ! L’empereur vint lui-même avec ses courtisans les plus haut placés. Les deux menteurs levaient un bras en l’air comme s’ils tenaient quelque chose : Voici le pantalon, voici l’habit ! voilà le manteau ! et ainsi de suite. C’est léger comme une toile d’araignée, on croirait n’avoir rien sur le corps, c’est là le grand avantage de l’étoffe. Oui oui, dirent les courtisans de la suite, mais ils ne voyaient rien, puisqu’il n’y avait rien.

L’empereur enleva tous ses beaux vêtements et les escrocs firent les gestes de lui en mettre. Dieu ! comme cela va bien
 ! Comme c’est bien pris, disait chacun. Quel dessin, quelles couleurs, voilà des vêtements luxueux. Les chambellans qui devaient porter la traîne du manteau de cour tâtonnaient de leurs mains le parquet et les élevaient ensuite comme s’ils ramassaient cette traîne. C’est ainsi que l’empereur marchait devant la procession sous le magnifique dais, et tous ses sujets s’écriaient :

Dieu ! que le nouvel habit de l’empereur est admirable. Personne ne voulait avouer qu’il ne voyait rien, puisque cela aurait montré qu’il était incapable dans son emploi, ou simplement un sot. Jamais un habit neuf de l’empereur n’avait connu un tel succès. Mais il n’a pas d’habit du tout ! cria un petit enfant dans la foule. Grands dieux ! entendez, c’est la voix de l’innocence, dit son père. Et chacun de chuchoter de l’un à l’autre :

Il n’a pas d’habit du tout … Il n’a pas d’habit du tout ! cria à la fin le peuple entier. L’empereur frissonna, car il lui semblait bien que tout son peuple avait raison, mais il pensait en même temps qu’il fallait tenir bon jusqu’à la fin de la procession. Il se redressa encore plus fièrement, et les chambellans continuèrent à porter le manteau de cour et la traîne qui n’existait pas.

(Andersen, les habits neufs de l’empereur)

Convergence of Archimedean Copulas

The paper on Convergence of Archimedean Copulas, with Johan Segers, just appeared, in Statistics and Probability Letters.

Convergence of a sequence of bivariate Archimedean copulas to another Archimedean copula or to the comonotone copula is shown to be equivalent with convergence of the corresponding sequence of Kendall distribution functions. No extra differentiability conditions on the generators are needed.

Modeling 2003’heatwave

Modeling the 2003 heatwave in Paris (paper)

In February 2005, opening the conference on Climate change: a global, national
and regional challenge, chairman Dennis Tirpak pointed out that there is no
longer any doubt that the Earth’s climate is changing […] globally, nine of
the past 10 years have been the warmest since records began in 1861“. He
singled out the heatwave that gripped western Europe in 2003 as an example:
Europe’s worst natural disaster in 50 years killed as many as 40; 000 people
and inflicted an estimated 30 billion dollars in damage. Hence, the summer of
2003 will be remembered for the extreme heat, and the approximately 40,000
heat-related deaths over western Europe (from 30,000 up to more than 52,000
depending on the source). More specifically, the period 1-15 August 2003 was
the most intense heat of the summer. The report of Pirard et al. (2005) states
that Europe experienced an unprecedented heat wave in the Summer 2003. In
France, it was the warmest summer recorded for 53 years in terms of minimal,
maximal and average temperature and in terms of duration
” […]

Insurance and reinsurance of natural catastrophes

Conférence Insurance and Adaptation to Climate Change, Paris, Mars 2007. The paper appeared in the Geneva Papers.

The IPCC 2007 report noted that both the frequency and strength of hurricanes, floods and droughts have increased during the past few years. Thus, climate risk, and more specifically natural catastrophes, are now hardly insurable: losses can be huge (and the actuarial pure premium might even be infinite), diversification through the central limit theorem is not possible because of geographical correlation (a lot of additional capital is required), there might exist no insurance market since the price asked by insurance companies can be much higher than the price householders are willing to pay (short-term horizon of policyholders), and, due to climate change, there is more uncertainty (and thus additional risk). The first idea we will discuss in this paper, about insurance markets and climate risks, is that insurance exists only if risk can be transferred, not only to reinsurance companies but also to capital markets (through securitization or catastrophes options). The second one is that climate is changing, and therefore, not only prices and capital required should be important, but also uncertainty can be very large. It is extremely difficult to insure in a changing environment.

The paper was presented in a conference, in Paris, in 2007

Exposé à Toulouse sur l’estimation (nonparamétrique) de quantiles

Exposé à Toulouse 1, sur l’estimation nonparamétrique de quantiles.

In this talk we propose several nonparametric estimators of quantiles based on Beta kernel and applied to transformed data by the generalized Champernowne distribution initially fitted to the data. A Monte-Carlo based study will show that those estimators improve the efficiency, not only for light tailed distributions, but mainly for heavy tailed, when the probability level is close to 1. Another application will be seen, on portfolio optimization in the mean-VaR context.

Advances in copula density estimation

Exposé aux Gemeinsame Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung und der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, dans la session Multivariate Dependence Modelling using Copulas – Applications in Finance, Humboldt-Universität zu Berlin, Mars 2007, à partir du chapitre écrit avec Jean David Fermanian et Olivier Scaillet sur The estimation of copulas : theory and pratice.

Copulas are a way of formalising dependence structures of random vectors. Although they have been known about for a long time (Sklar (1959)), they have been rediscovered relatively recently in applied sciences (biostatistics, reliability, biology, etc). In finance, they have become a standard tool with broad applications: multiasset pricing (especially complex credit derivatives), credit portfolio modelling, risk management, etc. For example, see Li (1999), Patton (2001) and Longin and Solnik (1995). […] In this chapter, we focus on the practical issues practitioners are faced with, in particular concerning estimation and visualisation. In the first section, we give a general setting for the estimation of copulas. Such a framework embraces most of the available techniques. In the second section, we deal with the estimation of the copula density itself, with a particular focus on estimation near the boundaries of the unit square.