# From Simpson’s paradox to pies

Today, I wanted to publish a post on economics, and decision theory. And probability too… Those who do follow my blog should know that I am a big fan of Simpson’s paradox. I also love to mention it in my
econometric classes. It does raise important questions, that I do relate to multicolinearity, and interepretations of regression models, with multiple (negatively correlated) explanatory variables. This paradox has amazing pedogological virtues. I did mention it several times on this blog (I should probably mention that I discovered this paradox via Marco Scarsini, who did learn me a lot of things, in decision theory and in probability). For those who do not know this paradox, here is an example that Marco gave in one of his talk, a few years ago. Consider the following statistics, when healthy people entered in some hospital

 hospital total survivors deaths survival rate hospital A 600 590 10 98% hospital B 900 870 30 97%

while, when sick people entered in the same hospitals

 hospital total survivors deaths survival rate hospital A 400 210 190 53% hospital B 100 30 70 30%

Somehow, whatever your health situation, you should choose hospital A. Now, if we agregate

 hospital total survivors deaths survival rate hospital A 1000 800 200 80% hospital B 1000 900 100 90%

i.e. without any doubts, people should choose hospital B.

and

while

With symbolic notations, one can have at the same time

and

with also

as shown on the graph below

There should be connection between Simpson’s paradox and the ecological fallacy (which is an issue I recently discovered and that I found extremely interesting, related again to difficulties of interpreting
regressions). But that’s another story. My point today is that Colin Blyth did mention another nice paradox, that is related, this time, to stochastic orderings. The idea is the following. Consider the three spinners drawn below (imagine some arrows in those circles)

• spinner A: no matter where the arrow stops, the gain is 3,
• spinner B: 56% chances to gain 2, 22% chances to gain 4, and 22% chances to gain 6,
• spinner C: 51% chances to gain 1, 49% chances to gain 5.

Instead of spinners, it is also possible to consider three different lotteries,

You play against a friend, you pick a spinner, while the friend picks another. Everyone flick his arrow, the highest number wins (no matter the difference). Let us compute the odds. First case, A against B, from
A’s perspective

 B-2 B-4 B-6 A-3 56% +1 win 22% -1 lose 22% -3 lose

In that case, A has 56% chance of beating B. Second case, A against C, from A’s perspective,

 C-1 C-5 A-3 51% +1 win 49% -2 lose
In that case, A has 51% chance of beating C. Third (an final) case, B against C, from B’s perspective. Assuming independence between the spinners, joint probabilities can easily be computed,
 C-1 C-5 B-2 28.56% +1 win 27.44% -3 lose B-4 11.22% +3 win 10.78% -1 lose B-6 11.22% +5 win 10.78% +1 win
In that case, B has 61.78% chance of beating C. So, if we try to summarize,
• A is the best choice, since it beats both with – always – more than 50% chance,
• C is the worst choice, since it is beaten by both with – always – more than 50% chance,
Now, assume that you play not against one friend, but two friends. An everyone picks a different spinner. Let
us compute the odds, one more time. First case, A against B and C, from A’s perspective
 B-2 C-1 B-2 C-5 B-4 C-1 B-4 C-5 B-6 C-1 B-6 C-5 A-3 28.56% +1 win 27.44% -2 lose 11.22% -1 lose 10.78% -1 lose 11.22% -3 lose 10.78% -3 lose
In that case, A has 28.56% chance of beating B and C. Second case, B against A and C, from B’s perspective,
 A-3 C-1 A-3 C-5 B-2 28.56% -1 lose 27.44% -2 lose B-4 11.22% +1 win 10.78% -1 lose B-6 11.22% +3 win 10.78% +1 win
In that case, B has 33.22% chance of beating A and B.Third (an final) case, C against A, from C’s perspective,
 A-3 B-2 A-3 B-4 A-3 B-6 C-1 28.56% -2 lose 11.22% -3 lose 11.22% -5 lose C-5 27.44% +2 win 10.78% +1 win 10.78% -1 lose

In that case, C has 38.22% chance of beating A and B. So, if we try to summarize, this time

• C is the best choice, since has (strictly) more than 1/3 chances to win, which the highest probability
• A is the worst choice, since has (strictly) less than 1/3 chances to win, which the lowest probability

Odd isn’t it ? Now, is there an interpretation of that paradox ? Yes, Martin Gardner, in his paper on induction and probability, mentioned the case of drug testing. The value we had with the spinner is the health level, rated from 1 to 6. Thus, taking drug A, you always get an average health level of 3. With drug C, on the other hand, you get either very sick (level 1) or very well (level 5). Consider now a doctor who wants to maximize the patient’s chance of being well. If only pills A and C are available, then the doctor should choose A. This is what we’ve seen in the first part. Assume that now a company delivers a third pill, called drug B. Then the doctor should find C more interesting…. Odd, isn’t it ?

Colin Blyth gave a more amusing application. Assume that you like to go to the restaurant, and you like get a dessert there. Dessert A – the apple pie – is the average one, with a standard level, that you rank 3 (on a scale from 1 to 6). Dessert C – the cheese cake – can either be awfull (ranked 1) or delicious (ranked 5). You’d better go for the apple pie if you want to maximize the probability of not being disappointed (i.e. maximizing your “best chance” according to Colin Blyth, but I guess it can be interpreted as regret minimization too). Now assume that dessert B – the blueberry pie – is available (with ranks given by the spinner). Then you should go for the cheese cake. I let you imagine the discussion that you can have, then, with your favorite waitress

– Hi Mr Freakonometrics, do you want a piece of apple pie ? (yes, actually she also comes frequently on my blog, and knows me from my pseudo…)

– Probably. But actually, I was wondering if you did have your blueberry pie today ?

– Yes, in fact we do….

– Great, in that case, I’ll go for the cheese cake.

She’ll probably think that I am freak… so I hope she’ll come and read my post, to understand that, actually, it does make a lot of sense to go for what was supposed to be my worst case.

# Sorting rows and colums in a matrix (with some music, and some magic)

This morning, I was working on some paper on inequality measures, and for computational reasons, I had to sort elements in a matrix. To make it simple, I had a rectangular matrix, like the one below,

```> set.seed(1)
> u=sample(1:(nc*nl))
> (M1=matrix(u,nl,nc))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    7    5   11   23    6   17
[2,]    9   18    1   21   24   15
[3,]   13   19    3    8   22    2
[4,]   20   12   14   16    4   10```

I had to sort elements in this matrix, by row.

```> (M2=t(apply(M1,1,sort)))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    5    6    7   11   17   23
[2,]    1    9   15   18   21   24
[3,]    2    3    8   13   19   22
[4,]    4   10   12   14   16   20```

Nice, elements are sorted by row. But for symmetric reasons, I also wanted to sort them by column. So from this sorted matrix, I decided to sort elements by column,

```> (M3=apply(M2,2,sort))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    1    3    7   11   16   20
[2,]    2    6    8   13   17   22
[3,]    4    9   12   14   19   23
[4,]    5   10   15   18   21   24```

Nice, elements are sorted by column now. Wait… elements are also sorted by row. How comes ? Is it some coincidence ? Actually, no, you can try…

```> library(scatterplot3d)
> nc=6; nl=5
> set.seed(1)
> u=sample(1:(nc*nl))
> (M1=matrix(u,nl,nc))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    8   23    5   30   10   15
[2,]   11   27    4   29   21   28
[3,]   17   16   13   24   26   12
[4,]   25   14    7   20    1    3
[5,]    6    2   18    9   22   19
> M2=t(apply(M1,1,sort))
> M3=apply(M2,2,sort)```
```> M3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    1    3    7   14   19   22
[2,]    2    6    9   15   20   25
[3,]    4    8   10   17   23   26
[4,]    5   11   16   18   24   29
[5,]   12   13   21   27   28   30```

or use the  following function is two random matrices are not enough,

```> doublesort=function(seed=2,nl=4,nc=6){
+ set.seed(seed)
+ u=sample(1:(nc*nl))
+ (M1=matrix(u,nl,nc))
+ (M2=t(apply(M1,1,sort)))
+ return(apply(M2,2,sort))
+ }```

Please, feel free to play with this function. Because this will always be the case. Of course, this is not a new result. Actually, it is mentioned in More Mathematical Morsels by Ross Honsberger, related to some story on marching band. The idea is simple: consider a marching band, a rectangular one. Here are my players

```> library(scatterplot3d)
> scatterplot3d(rep(1:nl,nc),rep(1:nc,each=nl), as.vector(M1),
+ col.axis="blue",angle=40,
+ col.grid="lightblue", main="", xlab="", ylab="", zlab="",
+ pch=21, box=FALSE, cex.symbols=1,type="h",color="red",axis=FALSE)```

Quite messy, isn’t it ? At least, this is what the leader of the band though, since some tall players were hiding shorter ones. So, he brought the shorter ones forward, and moved the taller ones in the back. But still on the same line,

```> m=scatterplot3d(rep(1:nl,nc),rep(1:nc,each=nl), as.vector(M2),
> col.axis="blue",angle=40,
+ col.grid="lightblue", main="", xlab="", ylab="", zlab="",
+ pch=21, box=FALSE, cex.symbols=1,type="h",color="red",axis=FALSE)```

From the leader’s perspective, everything was fine,

```> M=M2
> for(i in 1:nl){
+ for(j in 1:(nc-1)){
+ pts=m\$xyz.convert(x=c(i,i),y=c(j,j+1),z=c(M[i,j],M[i,j+1]))
+ segments(pts\$x[1],pts\$y[1],pts\$x[2],pts\$y[2])
+ }}```

But someone in the public (on the right of this graph) did not have the same perspective.

```> for(j in 1:nc){
+ for(i in 1:(nl-1)){
+ pts=m\$xyz.convert(x=c(i,i+1),y=c(j,j),z=c(M[i,j],M[i+1,j]))
+ segments(pts\$x[1],pts\$y[1],pts\$x[2],pts\$y[2])
+ }}```

So the person in the audience ask – one more time – players to move, but this time, to match with his perspective. Since I consider someone on the right, some minor adjustments should be made here

```> sortrev=function(x) sort(x,decreasing=TRUE)
> M3b=apply(M2,2,sortrev)```

This time, it is much bettter,

```> m=scatterplot3d(rep(1:nl,nc),rep(1:nc,each=nl), as.vector(M3b),
+ col.axis="blue",angle=40,
+ col.grid="lightblue", main="", xlab="", ylab="", zlab="",
+ pch=21, box=FALSE, cex.symbols=1,type="h",color="red",axis=FALSE)```

And not only from the public’ perspective,

```> M=M3b
> for(j in 1:nc){
+ for(i in 1:(nl-1)){
+ pts=m\$xyz.convert(x=c(i,i+1),y=c(j,j),z=c(M[i,j],M[i+1,j]))
+ segments(pts\$x[1],pts\$y[1],pts\$x[2],pts\$y[2])
+ }}```

but also for the leader of the marching band

Nice, isn’t it ? And why is this property always valid ? Actually, it comes from the pigeonhole theorem (one more time), a nice explanation can be found in The Power of the Pigeonhole by Martin Gardner (a pdf version can also be found on http://www.ualberta.ca/~sgraves/..). As mentioned at the end of the paper, there is also an interpretation of that result that can be related to some magic trick, discussing – in picture – a few month ago on http://www.futilitycloset.com/… : deal cards into any rectangular array:

Then put each row into numerical order:

Now put each column into numerical order:

That last step hasn’t disturbed the preceding one: rows are still in order. And that’s a direct result from  pigeonhole theorem. That’s awesome, isn’t it ?

# Natural Catastrophe Insurance: How Should the Government Intervene?

An updated version of the joint paper with Benoit Le Maux is online on http://papers.ssrn.com/.

The present paper develops a new theoretical framework for analyzing the decision to provide or buy insurance against the risk of natural catastrophes. In contrast with conventional models of insurance, the insurer has a non-zero probability of insolvency that depends on the distribution of the risks, the premium rate, and the amount of capital in the company. Among several results, we show that risk-averse policyholders will accept to pay higher rates for a government-provided insurance with unlimited guarantee. However, depending on the correlation between and within the regional risks, a government program can be more attractive to high-correlation than to low correlation areas, which may lead to inefficiencies if the insurance ratings are not appropriately chosen.

# Le paradoxe de Saint Pétersbourg, partie 1

Pour répondre à une question sur mon précédant billet (ici), je vais revenir sur un paradoxe assez classique, le paradoxe de Saint Petersbourg. Mais avant de parler du paradoxe, et de ses implications en théorie de la décision dans l’incertain, je voulais présenter le jeu, et en profiter pour jouer à faire des dessins puisque j’ai cru remarquer que j’avais des amateurs d’explications géométriques.
Le jeu est simple, c’est un jeu de pile ou face répété, le jeu s’arrêtant à la sortie du premier “face” (et on le verra par la suite, l’idée est de doubler ses gains chaque fois que “pile” sort).
Aussi, le temps d’arrêt du jeu est  dont la loi est simplement

… etc. On retrouve ainsi une loi géométrique de paramètre 1/2. L’espérance du nombre de lancers que l’on ferra avant que le jeu ne s’arrête est fini (alors qu’on le verra le gain espéré est infini), et vaut l’inverse de cette probabilité, i.e. 2. Pour ceux qui ont oublié la formule (que l’on obtient de manière assez calculatoire, en faisant une dérivation dans une série), on peut refaire le calcul,

Personnellement, je ne sais pas calculer cette somme (infinie), mais comme dans mon précédant billet (ici), il existe une somme que l’on peut calculer simplement en faisant un petit dessin,

J’ai 1 carré (mauve) de surface 1, 2 (bleus ) de surface 1/2, puis 3 (verts) de surface 1/4, puis 4 (jaunes) de surface 1/8, puis 5 (rouges) de surface 1/16, 6 (oranges) de surface 1/32, etc. Autrement dit

Or l’espérance que l’on cherche à calculer, c’est cette somme, à un facteur 2 près….  Aussi, en moyenne, on peut espérer faire 2 lancers (la moitié de la surface) ! Ce qui correspond précisément à l’espérance d’une loi géométrique de paramètre 1/2. Décidément, on peut faire plein de choses avec des petits dessins..

# Représentation de l’équilibre de Stackelberg

On considère deux entreprises avec des fonctions de coût

et

La demande total des consommateurs se traduit par une fonction de
demande inverse

où  .

Bref, le profit de l’entreprise 1 est alors

soit

et on a une expression similaire pour l’entreprise 2. La courbe d’isoprofit pour l’entreprise 1 est

Si on recherche l’équilibre de Cournot, chaque entreprise va essayer de maximiser son profit, i.e. pour l’entreprise 1, on cherche

La condition du premier ordre donne

soit

On parle alors de fonction de réaction. Pareil, on obtient

en maximisant le profit de l’entreprise 2. L’équilibre de Cournot est le point d’intersection des deux fonctions de réaction, mais on peut aussi y voir une recherche de point fixe, i.e. on veut que

et

Bref, en l’occurence, le point d’équilibre est obtenu en résolvant

(avec une équation similaire en ).
Pour l’équilibre de Stackelberg, on suppose par exemple que la firme 1 domine l’autre: elle va chercher à maximiser son profit en supposant que l’autre prenne une décision suivant sa fonction de réaction.Elle va donc chercher

L’interprétation graphique est la suivante. Traçons les courbes d’isoprofit de l’entreprise 1 (en vert), soit

L’équilibbre est forcément sur la fonction de réponse de l’entreprise 2, c’est à dire la courbe rouge. L’aire jaune signifie qu’il est possible d’améliorer le profit de l’entreprise 1 (plus la courbe verte est base, plus grand est le profit). La courbe orange est alors l’ensemble des points accessibles par 1, qui correspondent à une réponse de 2. Aussi, l’équilibre se Stackelberg (le point mauvesur le graphique ci-dessous) appartient à cette courbe. Il suffit de trouver le point correspondant au profil maximal de l’entreprise 1 (ce que l’on voit lorsque les courbe verte se déplacent vers le bas).

Aussi, l’équilibre de Stackelberg est obtenu en cherchant le point de tangence entre une courbe d’isoprofit de la firme 1 (c’est le programme de la première firme qui veut maximiser son profit) et la courbe de réponse (l’entreprise 2 se contenant de répondre à la production de l’entreprise dominante).

# Optimum de Pareto

Les exercices de la PC8 sont en ligne ici et (merci à Yukio pour la dernière feuille), et ceux de la PC9 ici.

• Définition de l’optimalité au sens de Pareto

Tout d’abord, pour la petite histoire, Wilfredo Pareto (1848-1923) a pris la suite de Walras à la chaire d’économie politique à l’Université de Lausanne quand celui-ci est parti à la retraite. C’est dans son « Manuel d’économie politique » que se trouve son apport décisif sur l’optimum économique. D’abord, en passant de l’hypothèse walrasienne de cardinalité à celle d’ordinalité des préférences et de l’utilité, ce qui l’amène à privilégier la notion de courbes d’indifférence qu’il emprunte aux travaux d’Edgeworth. Ensuite, et surtout, il va introduire un critère de définition de l’optimum économique.
Le critère d’optimalité paretienne est proche de la conception utilitariste de la justice sociale héritée de John Bentham (et donc dans l’individualisme): une allocation Pareto-optimale est nécessairement « individuellement rationnelle » en ce sens que chaque agent la préfère à sa dotation initiale. Or, une allocation individuellement rationnelle n’est pas toujours « équitable » en ce sens qu’un agent au moins peut avoir envie d’une allocation obtenue par un autre agent. Pour dépasser les limites du critère paretien, d’autres conceptions de l’équité que l’utilitarisme ont été introduite, que ce soit la conception libertarienne (avec von Mises, Hayek et Nozick) ou la conception libérale-égalitaire (avec en particulier Rawls et Sen). Pour reprendre la terminologie de Gérard Debreu (1966) un optimum est  « un état réalisable auquel n’est préféré aucun état réalisable ». Connaissant (décrétant) l’optimum , le marché doit déterminer l’équilibre général correspondant. Elle doit donc trouver les prix relatifs “fictifs” ou “prix ombres” comme certains les ont appelés.
D’un point de vue quantitatif, l’utilité d’un individu X doit être est maximale sous contrainte que celle de Y doit rester supérieure à un niveau donné. Supposons que les deux consommateurs consomment deux biens, notés (1) et (2),

sous contraintes

où  et  désignent les quantités des deux biens qui sont disponibles, respectivement. Classiquement, on résout ce programme d’optimisation à l’aide du lagrangien

les conditions du premier ordre donnent

On en déduit alors simple que

ce qui correspond à une égalité des TMS à l’équilibre.
Formellement, on retombe sur des équations semblables en considérant le programme d’optimisation suivant

Le point optimal est obtenu à l’aide du diagramme d’Edgeworth (je peux renvoyer ici pour des slides d’Abdul Noury expliquant simplement la construction, et la lecture, de ce diagramme). Sur le dessin ci-dessous, on la région verte est l’ensemble des allocations pour lesquelles on augmente à la fois l’utilité de X et de Y,

Le théorème de bien être nous garantie que tout optimum de Pareto dans l’espace des répartitions des biens est atteignable en situation de concurrence pure est parfaite moyennant une redistribution forfaitaire des dotations initiales. En fait, tout se passe comme si les deux consommateurs étaient face l’un à l’autre pour négocier des échanges de bien (1) contre bien (2) et réciproquement, dans le but d’améliorer leur bien-être.
Le TMS représente le prix « psychologique » d’échange entre (1) et  (2) pour le consommateur considéré, c’est-à-dire la quantité maximum de (2) qu’un agent accepte de céder pour avoir une quantité infinitésimale supplémentaire de (1). Le TMS correspond à un prix psychologique limite. On arrive finalement à la conclusion qu’un état optimal doit être un état réalisable (avec saturation des contraintes, i.e. pour chaque bien, la somme des quantités allouées aux deux consommateurs doit être égale à sa quantité totale disponible) et cet état doit être efficient, en vérifiant l’égalisation des TMS pour les deux consommateurs.

• Optimalité au sens de Pareto à la cantine

Lorsque j’étais élève à l’ensae, je ne sais plus quel prof nous avait illustré l’optimalité au sens de Pareto à partir du passage à la cantine de l’insee… Quand on va chercher de l’eau à la fontaine à eau, il y a deux arrivées d’eau, mais qui se fournissent à la même source. Autrement dit, si deux personnes se servent en même temps, le débit est deux fois plus faible que si une seule personne se sert. De mémoire, si on est seul à prendre de l’eau, il faut environ 30 secondes pour remplir un pichet. Supposons que j’arrive à la fontaine à eau, et que quelqu’un soit en train de servir depuis 10 secondes. Deux possibilités s’offrent à moi,

• commencer à me servir dès que j’arrive: la première personne a fini de se servir au bout de 40 secondes, et 50 secondes pour moi
• attendre que la personne qui se sert ait fini: la première personne a fini de se servir au bout de 20 secondes, et moi 50 secondes

Bon, le raisonnement n’a de sens que si personne ne vient entre temps se servir sur l’autre fontaine (ou alors qu’au moins elle tienne le même raisonnement que moi, c’est à dire qu’elle attende que j’ai fini avant de se servir).

Si je compara les deux situations, on voit que le second cas permet à l’autre personne d’améliorer strictement la situation. Autrement dit l’optimum de Pareto est d’attendre que l’autre personne se soit servi avant de se servir.

# Le bois et la mine

Petit complément sur le premier exercice, sur « l’apologue du bois et de la mine »
APOLOGUE, subst. masc.

DIDACT. Court récit imaginaire ou parfois réel dont se dégage une vérité morale. Synon. histoire, conte, parabole, fable :

1. Cependant je ne doute point que vous n’ayez lu, dans beaucoup de préfaces de fables, que l’apologue est une instruction déguisée sous l’allégorie d’une action : …
Florian, Fables, De la Fable, 1792, p. 10.
2. Les patriciens envoyèrent au peuple celui des leurs qui lui était le plus agréable, Menenius Agrippa. Il leur adressa l’apologue célèbre des membres et de l’estomac, véritable fragment cyclopéen de l’ancien langage symbolique.
Michelet, Hist. romaine, t. 1, 1831, p. 110.

ÉTYMOL. ET HIST.

I.− xve s. « petit récit d’un fait vrai ou fabuleux, par lequel on veut présenter une vérité instructive » (G. Tardif ds Delb. Rec. ds DG : Le premier apologue ou fable).
II.− 1616-20 « apologiste » (D’Aubigné, Confessions du sieur de Sancy, [dédicace] ds Œuvres, éd. Reaume-de-Caussade, t. 2, p. 236 : un des traducteurs du Tasso, qui a choisi pour son apologue le Prince de Conty); repris par DG où il est qualifié de vieilli.
I empr. au lat. apologus, « id. » Plaute, Stich., 570 ds TLL s.v., 250, 7; cf. Cicéron, Inv. 1, 25, ibid., 249, 83; empr. au gr. ἀπολόγος « récit détaillé, narration » (Platon, Resp. 614a ds Bailly) d’où « fable » (Cependant le mot gr. ne figure pas ds Cicéron, De Orat., 2, 264, éd. Courbaud : Et ad hoc genus ascribamus etiam narrationes apologorum); II dér. de apologie* sur le modèle de analogie/analogue.
Il existe quelques références sur cet apologue, introduit par Gabriel Dessus à la fin des années 40 (sur la tarification des services publiques). Je peux renvoyer vers quelques pages en annexe de la thèse de Frédéric Marty, ici (ou pour la version intégrale des annexes). Pour remettre dans le contexte de l’époque, cet « apologue du bois et de la mine » a permis de préciser les insuffisances d’une tarification au coût moyen par rapport à la tarification au coût marginal. Tout cela est également repris, avec le contexte historique, dans des documents ici, toujours de Frédérci Marty.

# Théorème de l’enveloppe

Un tout petit complément sur l’utilité inverse, et l’exercice 2 de la PC de jeudi après midi.
Tout  d’abord un petit rappel sur le théorème de l’enveloppe. Supposons que l’on cherche à maximiser une fonction (dite objectif) $f(bold x,bold r)$ qui dépend de paramètres $bold r$, i.e. on cherche

$f^*(bold r) = max_{bold x} f(bold x,bold r),$

La fonction $f^*(bold r)$ est alors la fonction optimale pour les paramètres $bold r$ donnés. Soit  $bold x^*(bold r)$ la valeur optimale en $bold x$, fonction du paramètre $bold r$ , de telle sorte que

$f^*(bold r) = f(bold x^*(bold r), bold r)$

Le théorème de l’enveloppe nous permet de voir comment $f^*(bold r)$ varie lorsque le paramètre change, et plus particulièrement, on a

$frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial f(bold x,bold r)}{ partial r_i} Bigg|_{bold x =$

Autrement dit, la dérivée de $f^*(bold x,bold r)$ suivant  ri est donnée par la dérivée partielle de $f(bold x,bold r)$suivant ri, lorsqu’on l’évalue en $bold x =$.

Notons qu’il existe aussi une version un peu plus générale qui autorise un programme d’optimisation avec contrainte.
Supposons que l’on s’intéresse à

$max_{bold x} f(bold x,bold r) ;; s.t. ;; bold g(bold x,bold r) = bold 0$

dont le Lagrangien s’écrit

$mathcal{L}(bold x,bold r) = f(bold x,bold r) - boldsymbol{lambda} cdot bold g(bold x,bold r)$

où de manière classique $boldsymbol{lambda} = (lambda_{1},dots,lambda_{n})$ est l’ensemble de multiplicateurs de Lagrange où

$bold g(bold x,bold r) = (g_{1}(bold x,bold r),dots,g_{n}(bold x,bold r))$

Le théorème de l’enveloppe permet d’écrire

$frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial mathcal{L}(bold x,bold r)}{partial r_i} Bigg|_{ bold x =$

L’autre point important de la PC était le principe de dualité dans les programme d’optimisation, que j’avais abordé ici.
Bref, tout ça permet d’introduire la notion d’utilité inverse et de demande Hicksienne. Pour reprendre calmement cette partie (en s’inspirant d’une page de wikiversité sur le sujet), le programme classique visait à chercher

$max_{mathbf{x}in Bleft(mathbf{p},y
ight)}uleft(mathbf{x}
ight)$

où la contrainte budgétaire s’écrit classiquement

$B=left{mathbf{x}in X|mathbf{p}mathbf{x}=sum_{i=1}^Np_ix_i le y
ight}$

La solution est alors notée $mathbf{x}^mleft(mathbf{p},y
ight)$
(on parle de demande Marshalienne). Je passe rapidement sur le programme d’optimisation de l’agent, mais nous avions vu que le taux marginal de substitution était égal au rapport des prix. En effet, le Lagrangien s’écrit

$mathcal{L}equiv u(mathbf{x})-lambda(mathbf{p}mathbf{x}-y)$

ce qui donne de conditions du premier ordre de la forme

$frac{partial u(mathbf{x}^m)}{partial x_i}=u'_i=lambda p_i forall i$.
L’idée maintenant est d’injecter les fonction de demande dans la fonction d’utilité, ce qui permet d’obtenir la fonction d’utilité inverse

$v(mathbf{p},y)=u(mathbf{x}^m(mathbf{p},y))$

Une manière alternative d’étudier ce problème est de regarder le programme dual (on a supposé la fonction d’utilité convexe), i.e on cherche à trouver le panier de bien le moins cher possible nous procurant une utilité au moins égale à une utilité minimale, i.e. on cherche à résoudre

$min_{mathbf{x}|u(mathbf{x})gebar u}mathbf{p}mathbf{x}$

La solution de ce programme d’optimisation $mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)$ est appelée demande hicksienne. On peut alors considérer la fonction de dépense minimale,

$e(mathbf{p},bar u)=mathbf{p}mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)$

Le lemme de Shepard permet d’écrire

: $x^h_i(mathbf{p},bar u)=frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_i}$

Ce résultat se montre finalement assez simplement: en effet, par construction

$e(mathbf{p},bar u)=sum_{i=1}^Np_ix_i^h(mathbf{p},bar u)$

dont un calcul de dérivée rapide permet d’écrite

$frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}={color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}+x_k^h(mathbf{p},bar u)$

Rappelons que la condition de premier ordre s’écrit

$u'_i=frac{p_i}{lambda}$

Comme en $u(mathbf{x})=bar u$, nous sommes à un optimum, on en déduit

$sum_{i=1}^Nu'_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}=0$

et donc

$frac{1}{lambda}{color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}=0$

et comme $lambda e 0$ c’est que  la somme rouge est nulle. D’où le lemme dit de Shepard.
Les théorèmes de dualité permettent d’obtenir un certain nombre de résultats, parmi lesquels

• $e[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]equiv y$
• $v[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]equivbar u$
• $x^m_i(mathbf{p},y)equiv x^h_i[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]$
• $x^h_i(mathbf{p},bar u)equiv x^m_i[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]$

Enfin, en appliquant le théorème de Slutsky, on écrit

ce qui s’écrit encore

$frac{partial x_k^m}{partial p_j}=frac{partial x_k^h}{partial p_j}-frac{partial x_k^m}{partial y}{color{Red}frac{partial e}{partial p_j}}$

Bref, on retrouve ici ce qu’on avait fait en PC.
Mais si ça n’est toujours pas plus clair, il y a des notes de cours de Michael Manove, à Boston University, sur “indirect utility” et “duality“, dont les slides sont ici. Il y a également des compléments mathématiques, dont le théorème de l’enveloppe (Prop. 21.2) ou le théorème de Kuhn-Tucker (Prop.21.13), ici.
On pourra aussi trouver en ligne l’article de Lawrence Blume sur la dualité pour le dictionnaire Palgrave d’économie, ici. Larry a aussi écrit l’article sur la programmation convexe, diponible .
Sinon je mets ici les exercices des deux prochaines PC.

# Economie, et optimisation sous contraintes

Premier cours de microéconomie à l’X. Pour les PC (salle PC10), la liste des exercices est disponible ici, avec au programme la consommation des ménages. Je mets ici les exos de la prochaine PC (et une autre feuille d’exercices – que nous ne traiterons pas).

Petit complément sur la résolution du programme d’optimisation avec contrainte, via le Lagrangien. Comme je l’ai évoqué (très) rapidement, c’est lié à des résultats connus sous le nom de théorème (ou condition) de Kuhn et Tucker. De manière assez générale, le but est de trouver $X^* in mathbb{R}^n$ qui maximise $f(X) ,$ sous contrainte $g(X) ge 0$, c’est-à-dire résoudre le programme
$X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X)$ sous contrainte $g(X) ge 0$$g(X)=(g_i(X))_{1 le i le m}$ (correspondant à un ensemble de m contraintes).

Comme précisé en cours, l’idée de la résolution du problème (sous des hypothèses – fortes – de concavité des fonctions) est d’introduire des multiplicateurs de Lagrange (autant que de contraintes) $lambda = (lambda_i)_{1 le i le m} in mathbb{R}_+^m$ , et on définit le Lagrangien comme la fonction
$L(X, lambda) = f(X) + sum_{i=1}^m lambda_i g_i(X)$

On considère alors le problème d’optimisation (sans contrainte) du Lagrangien. Les conditions du premier ordre donne n premières conditions, à savoir

$frac{partial f}{partial X}(X) + sum_{i=1}^m lambda_i frac{partial g_i}{partial X}(X)=0$

et les m dernières correspondent à une saturation des contraintes (en fait $g_i(X)>0 Rightarrow lambda_i = 0$, donc si la contrainte n’est pas saturée, le multiplicateur de Lagrange est nul). Ces n+m conditions sont appelées “conditions de Kuhn-Tucker“. L’intérêt de cette formalisation est que l’on a le résultat suivant:

$X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X)$ sous les contraintes $g(X) ge 0$ si et seulement si $(X^*, lambda^*) ,$ est solution des conditions de Kuhn-Tucker.

Pour plus plus d’information, je peux renvoyer aux slides de Christophe Gonzales àParis 6, ici, ou aux notes de Julien Grenet, de l’ENS, . Sinon j’avais fait un billet il y a quelque temps sur un sujet connexe (et qu’on verra apparaître dans les cours suivants normalement), i.e. le principe de dualité en optimisation (ici).