All posts by Arthur Charpentier

Arthur Charpentier, professor in Montréal, in Actuarial Science. Former professor-assistant at ENSAE Paristech, associate professor at Ecole Polytechnique and assistant professor in Economics at Université de Rennes 1.  Graduated from ENSAE, Master in Mathematical Economics (Paris Dauphine), PhD in Mathematics (KU Leuven), and Fellow of the French Institute of Actuaries.

Calculs de SCR, Solvency Capital Requirements

Pour reprendre le contexte général, Solvency II (l’analogue de la directive CRD pour les banques*) repose sur 3 piliers,

  1. définir des seuils quantitatifs de calcul des provisions techniques des fonds propres, seuils qui seront à terme réglementaires, à savoir le MCR (Minimum Capital Requirement, niveau minimum de fonds propres en-dessous duquel l’intervention de l’autorité de contrôle sera automatique) et le SCR (Solvency Capital Requirement, capital cible nécessaire pour absorber le choc provoqué par une sinistralité exceptionnelle),
  2. fixer des normes qualitatives de suivi des risques en interne aux sociétés, et définir comment l’autorité de contrôle doit exercer ses pouvoirs de surveillance dans ce contexte. Notons qu’en principe, les autorités de contrôle auront la possibilité de réclamer à des sociétés “trop risquées” de détenir un capital plus élevé que le montant suggéré par le calcul du SCR, et pourra les forcer àréduire leur exposition aux risques,
  3. définir un ensemble d’information que les autorités de contrôle jugeront nécessaires pour exercer leur pouvoir de surveillance.

Cette histoire de pilliers peut s’illustrer de la manière suivante

Sur le premier pilier, assureurs et réassureurs devront mesurer les risques, et devront s’assurer qu’ils détiennent suffisamment de capital pour les couvrir. En pratique, le CEIOPS et la Commission Européenne ont retenu une probabilité de ruine de 0,5%. Les calculs de capital se font alors de deux manières, au choix,

  1. utiliser une formule standard. La formule ainsi que la calibration des paramètres ont été abordé à l’aide des QIS.
  2. utiliser un modèle interne. Là dessus, le CEIOPS étudie les modalités d’évaluation.

En avril 2007, QIS3 a été lancé, afin de proposer une formule standard pour le calcul des MCR et SCR, en étudiant la problématique spécifique des groupes. En particulier, on trouve dans les documents la formule suivante (pour un calcul de basic SCR)

Cette formule sort du QIS3, mais on trouve des choses analogues dans Sandström (2004), par exemple,

Avec une contrainte forte sur la forme du SCR, il obtient alors

D’où sort cette formule ? Certains ont tenté des éléments de réponse, par exemple

Ce résultat n’est malheureusement pas très probant car il n’est jamais rien évoqué sur la dépendance entre les composantes, ce qui est troublant. Sandstôrm écrit quelque chose de similaire, même si pour lui “normalité” est ici entendu dans un cadre multivarié.

Une explication peut être trouvée dans un papier de Dietmar Pfeiffer et Doreen Straßburger (ici) paru dans le Scandinavian Actuarial Journal (téléchargeable ici). Il cherche à expliquer comment calculer le SCR,

Il note, et c’est effectivement l’intuition que l’on avait, que dans un monde Gaussien (multivarié), cette formule marche, aussi bien pour un SCR basé sur la VaR que la TVaR. En particulier, ils citent un livre de Sven Koryciorz, correspondant à sa thèse de doctorat, intitulée “Sicherheitskapitalbestimmung und –allokation in der Schadenversicherung. Eine risikotheoretische Analyse auf der Basis des Value-at-Risk und des Conditional Value-at-Risk“, publiée en 2004.
Sinon, pour aller un peu plus loin, on peut aussi noter, dans les rapports du CEIOPS des déclarations un peu troublantes, par exemple

Il est pourtant facile de montrer que ce n’est pas le cas (même si c’est effectivement ce que préconise la “formule standard“). Le graphique ci-dessous montre l’évolution de la VaR d’une somme de risques corrélés (échangeables) en fonction de la corrélation sous-jacente: sur cet exemple, les risques très très corrélés sont moins risqués que des risques moyennement corrélés.

(la loi sous-jacente est une copule de Student). En revanche pour la TVaR, sur le même exemple, la TVaR de la somme est effectivement une fonction croissante avec la corrélation,


(plus de compléments dans les slides de l’école d’été à Lyon l’été dernier, ici).

* Pour reprendre des éléments de la page de wikipedia (ici), la directive européenne CRD (Capital Requirements Directive, i.e. Fonds Propres Réglementaires) transpose dans le droit européen les recommandations des accords de Bâle II, visant à calculer les fonds propres exigés pour les établissements financiers (i.e. directives 2006/48/CEet 2006/49/CE) .

Qui veut des statistiques ethniques ?

ETHNIQUE, adj.

A.− Vx, RELIG. CATH. Qui appartient au paganisme. Nations, croyances, superstitions ethniques. Attesté ds Ac. 1798-1878, Littré, DG, Rob., Lar. Lang. fr.

B.− Spécifique d’une ethnie et, par extension, d’une race. Caractère, coutume, type, unité ethnique; origines ethniques. L’impossibilité vingt fois démontrée par de cruelles expériences de dissocier par des transferts de population des éléments ethniques étroitement imbriqués (Philos., Relig., 1957, p. 4616). −Spéc., LING., empl. adj. et subst. (p. ell. du déterminé). (Mot) ethnique.Mot dérivé d’un nom de pays ou de région et indiquant l’appartenance à ce pays, à cette région. Israël, du moins c’est le nom que portent ces gens, qui me semble un terme générique, ethnique, plutôt qu’un nom propre (Proust, J. filles en fleurs,1918, p. 764). Le nom, avec le patronyme et l’ethnique, du personnage honoré par un décret (L’Hist. et ses méth., 1961, p. 480).
Prononc. et Orth. : [εtnik]. Ds Ac. 1762-1932. Étymol. et Hist. 1. a) Subst. xiiie s. [ms.] etnique « païen » (Bible, Maz. 684, fo 235e ds Gdf.); de nouv. 1541ethnique (Cl. Marot, Psaume de David, 14 ds Œuvres, éd. P. Jannet, t. 4, p. 88);b) adj. 1549 ethnicque « païen » (Id., Deux Colloques d’Erasme traduits en françois, II, ibid., p. 38); 2. a) adj. 1752 mot ethnique » (mot) qui sert à désigner une population » (Trév.) ; b) subst. 1864 « dénomination d’un peuple » (Littré); 3.adj. 1871 « relatif à la race ou à l’ethnie » (Renan, Réf. intellect., p. 140). Empr. au gr.ἐθνικός proprement « de la nation, de la race », d’où « ethnique » terme de gramm. (d’où 2, 3); ayant servi dans la lang. néotestamentaire à désigner les Gentils [groupe d’hommes ayant les mêmes coutumes (païennes)] par opposition aux Hébreux, est passé dans cet emploi au lat. chrét. ethnicus, d’où 1. Fréq. abs. littér. : 71. Bbg. Cassagnau (M.). Considérations sur les ethniques. Vie Lang.1967, pp. 281-286.

Je tenais à faire un billet sur les statistiques “éthniques“, puisqu’il s’agissait d’un sujet d’actualité. Non pas pour apporter une contribution personnelle et innovante (je n’ai toujours pas compris ce que signifait “éthnique“), mais juste pour revenir sur le premier paragraphe d’un billet sur un blog de Libé (mentionné sur la page d’ouverture de Libé).

Cette première phrase a retenu mon attention pendant de longues minutes….1. tout d’abord la déclaration  “55% des Français” (puis par la suite “96% des Français”) montre que le questionnaire devait inclure une question sur la nationalité, ou au moins “êtes-vous Français(e) ?”. Selon la définition du dictionnaire, ce genre de question semble bien être une question “éthnique“. Peut-on d’ailleurs savoir ce qu’ont répondu les “non-Français” ? Pour revenir d’ailleurs sur ce qu’est un “Français”, je renvoie à un papier d’un collègue rennais,ici.

2. les “statistiques” ont-elles pour finalité de lutter contre le racisme (de manière “efficace“) ? La semaine dernière, Alain Desrosières était sur Rennes pour faire une exposé (Gouverner par les nombres), où il expliquait que bien que les statistiques soient étroitement liées à une gouvernance (pour reprendre mon dicitonnaire “statistique” fut emprunté à l’allemand Statistik, forgé par l’économiste allemand G. Achenwall (1719-1772), qui l’a dérobé de l’italienstatista « homme d’État », la statistique représentant pour lui l’ensemble des connaissances que doit posséder un homme d’État (Brockhaus Enzykl.)), il convient de distinger les statistiques collectées de l’utilisation qui en est faite.

3. il faudrait rapeler que certaines statistiques éthniques sont autorisées. La loi de 1978 (qui a fondé la CNIL) dit qu’on ne peut pas conserver ce type de données dans les fichiers de façon générale, sauf s’il y a des travaux de recherche menés par la statistique publique, c’est-à-dire l’Insee, certains ministères et des organismes de recherche comme l’INED. Cette loi a d’ailleurs été allégée par des directives européennes. Par exemple, l’INED pose des questions sur les lieux de naissance des personnes, les lieux de naissance de leurs parents, les changements de nationalité. Elle peut également poser des questions sur la couleur de la peau, à condition que les personnes donnent le “consentement exprès“, c’est-à-dire écrit (et encore, selon une directive européenne, le consentement exprès n’est plus nécessaire quand on pose ce genre de questions si le questionnaire a été au préalable soumis à un examen spécial de la CNIL). Il est possible d’aller voir ici par exemple pour plus d’information sur les données personnelles. Bref, il me semble qu’il y a une belle hypocrisie sur le sujet…

4. enfin, le point qui m’a le plus choqué est qu’on demande par sondage aux “Français” de trancher. Cela me fait constament penser à ce mémorable épisode de Qui veut gagner des millions,

Sous prétexte que 56% des “Français” pensent que le soleil tourne autour de la terre, ne faudrait-il pas déposer un recours à l’Académie des Sciences pour changer les livres de physique de 3ème ? Bref, j’ai toujours été sceptique sur cette utilisation des sondages*. Je renvoie d’ailleurs au chapitre de Questions de sociologie de Pierre Bourdieu, L’opinion publique n’existe pas (exposé fait en janvier 1972 et paru dans Les temps modernes, 318, janvier 1973, pp. 1292-1309, lisible ici).
“Toute enquête d’opinion suppose que tout le monde peut avoir une opinion ; ou, autrement dit, que la production d’une opinion est à la portée de tous. Quitte à heurter un sentiment naïvement démocratique, je contesterai ce premier postulat  […]  On sait que tout exercice de la force s’accompagne d’un discours visant à légitimer la force de celui qui l’exerce ; on peut même dire que le propre de tout rapport de force, c’est de n’avoir toute sa force que dans la mesure où il se dissimule comme tel. Bref, pour parler simplement, l’homme politique est celui qui dit : « Dieu est avec nous ». L’équivalent de « Dieu est avec nous », c’est aujourd’hui « l’opinion publique est avec nous ». Tel est l’effet fondamental de l’enquête d’opinion : constituer l’idée qu’il existe une opinion publique unanime, donc légitimer une politique et renforcer les rapports de force qui la fondent ou la rendent possible.  Ayant dit au commencement ce que je voulais dire à la fin, je vais essayer d’indiquer très rapidement quelles sont les opérations par lesquelles on produit cet effet de consensus. La première opération, qui a pour point de départ le postulat selon lequel tout le monde doit avoir une opinion, consiste à ignorer les non-réponses.[…] Deuxième principe à partir duquel les gens peuvent produire une opinion, ce que j’appelle l’« ethos de classe » (pour ne pas dire « éthique de classe »), c’est-à-dire un système de valeurs implicites que les gens ont intériorisées depuis l’enfance et à partir duquel ils engendrent des réponses à des problèmes extrêmement différents. […]  L’effet d’imposition de problématique, effet exercé par toute enquête d’opinion et par toute interrogation politique (à commencer par l’électorale), résulte du fait que les questions posées dans une enquête d’opinion ne sont pas des questions qui se posent réellement à toutes les personnes interrogées et que les réponses ne sont pas interprétées en fonction de la problématique par rapport à laquelle les différentes catégories de répondants ont effectivement répondu.”
En fait, on peut voir que ce que je critique, c’est surtout le résumé du sondage, à mon avis mal interprété. Quand on voit la question précise, et conclure comme titre que “les statistiques éthniques n’ont pas la côte” car une majorité de français les jugent “non-efficace“. Voici le résumé proposé dans Le Parisien, qui est à mon avis nettement plus mitigé,
Bref, je n’ai aucun avis sur les statistiques ethniques, mais je suis ravi de voir qu’une seule phrase ait pu me faire m’interroger autant !* Afin de légitimer ma critique, j’ai fait passer dans ma jeunesse (en 1996) des questionnaires dans la rue, sur une étude sur la perception qu’avaient les jeunes du système de retraite. Le questionnaire comportait des questions comme “En France, le système de retraite est un système (1) par répartition ou (2) par capitalisation“. J’ai alors découvert la méconnaissance totale qu’avaient “les Français” (ou plutôt “les gens” car je n’ai jamais demandé de nationalité) sur des aspects de base du système économique français, mais surtout le regard inquiet qu’ils me posaient après avoir répondu, du genre “j’ai bien répondu ?” Je me suis aussi rendu compte que beaucoup de monde n’osaient pas admettre qu’elles ne savaient pas, et étaient “sans opinion“, et préfèraient répondre n’importe quoi. Je pense que toute personne qui utilise des sondages devraient prendre 2 ou 3 jours pour en faire passer, dans la rue, pour comprendre comment les gens répondent avant de tirer des plans sur la comète…

[25/03/2009] Pour compléter ma critique des sondages, je voulais aussi rappeler un sondage intéressant, commandé en 2000 (aux Etats-Unis) par le magazine Time et CNN, lorsqu’il était demandé aux “gens” s’ils pensaient faire partie du 1% des Américains les plus riches: 19% répondaient que “oui“, et 20% affirmaient que “ça ne saurait tarder“. On peut retrouver une analyse plus complète par Andrew Eggers dans un  papier intitulé not so deluded after all (ici) ou dans un papier de David Brooks, superiority complex paru dans Monthly Atlantics en 2002 (ici). Sur le sondage original, Andrew Eggers explique qu’il a été mené par Yankelovich Partners fin octobre 2000 sur 2060 personnes interrogées au téléphone. Ces ordres de grandeurs ont été observés par la suite.

La loi de Goodhart

Pour conclure le cours de M2 sur les mesures de risque, je voulais revenir sur la loi de Goodhart, énoncé par Charles Goodhart, alors qu’il était chief economic advisor à la Banque d’Angleterre, en 1975 (voir ici pour une analyse détaillée de la loi). L’énoncé originelle était de la forme suivante “Once a social or economic indicator or other surrogate measure is made a target for the purpose of conducting social or economic policy, then it will lose the information content that would qualify it to play such a role.

On retrouve cette loi énoncée dans le livre Economics de John Sloman, par exemple sur le contrôle des banques “If bank advances are a good indicator of aggregate demand, the government may choose to control bank lending. But as soon as it does, bank lending will become a poor indicator.” Certaines personnes énoncent la loi sous la forme suivante, “when a measure becomes a target, it ceases to be a measure”. Autrement dit, pour les non-anglophiles, “toute mesure qui devient un objectif cesse d’être une mesure“.

Il va de soi que ce genre de remarque marche pour les mesures de risque et le contrôle, mais aussi pour des problèmes liés à l’évaluation des universités, comme les g ou h factor, ou le classement de Shanghaï.

Hasard et uniformité, le paradoxe des enveloppes

Suite au billet de ce matin sur la loi de Benford, et sur l’erreur commune consistant à assimiler hasard et uniformité, Mathieu Rosenbaum m’a rappelé un petit paradoxe que je donnais quand je faisais la formation au concours Administrateur de l’INSEE. C’est parfois appelé le paradoxe des deux enveloppes: “Deux enveloppes contiennent chacune un chèque. On sait que l’un des chèques porte un montant double de l’autre. Le candidat choisit une des enveloppes. On lui donne la possibilité d’ouvrir l’enveloppe et de regarde le chèque, puis on lui demande s’il souhaite changer d’enveloppe. Que fait-il ?“.

Essayons de raisonner…Supposons qu’il tombe sur un chèque d’un montant X en ouvrant. Il y a deux cas possibles :

  • une chance sur deux que l’autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus important (donc de valeur 2X);
  • une chance sur deux que l’autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus petit (donc de valeur X/2).

L’espérance de gain (si on oublie l’utilité et les aspects économiques du problème) si on change d’enveloppe paraît donc être 0,5 * 2X + 0,5 * X/ 2, soit 1,25X, qui est (strictement) supérieur à X. Il faudrait donc à tout coup changer d’enveloppe. Moralité, quel que soit le montant, on a toujours intérêt à changer…. “Étonnant, non ?“. Il était d’ailleurs inutile de regarder le montant… et tant qu’à faire, si la stratégie optimale est de toujours changer d’enveloppe, pourquoi ne pas l’avoir fait plus tôt… Dès qu’on veut prendre une enveloppe, il faut prendre l’autre… enfin non, l’autre, enfin,…. bref, que fait-on ?

Il y a plein d’explications de ce paradoxe, ici par exemple. Personnellement, je retiendrais celle qui est liée à ce que je racontais sur la loi de Benford… Quand on fait le calcul des probabilités, prendre 1/2 et 1/2, c’est suppose que P(2X)=P(X/2)… et ce quel que soit X… autrement dit, on prend une loi uniforme sur l’ensemble des réels positifs (ou des entiers positifs si on suppose que le chèque est un compte rond). Mais une telle mesure de probabilité n’existe pas…

[20/03/2009] Sur le paradoxe des enveloppes et plusieurs autres “phénomènes curieux en probabilités et statistiques” je renvoie vers un cours article de Michel Emery, ici.

Méthodes numériques et convolution, suite

Pour poursuivre un ancien billet, je voulais revenir plus particulièrement sur l’algorithme de Panjer, et sur la précision de l’approximation faite en discrétisant la loi des coûts individuels. Les références sont ici

Je reprends ici un partie de l’article de wikipedia sur le sujet. Comme toujours, on souhaite approcher la loi de

 S = \sum_{i=1}^N X_i\,

On suppose ici que les coûts individuels sont discrets, et on pose

f_k = P[X_i = hk].\,

On suppose de plus que les nombres sont dans une classe un peu particulière, vérifiant

 P[N=k] = p_k=

En fait, cette condition n’est pas trop forte, la plupart des lois classiques étant de ce type.

La formule permettant d’obtenir

g_k =P[S = hk] \,.

est alors obtenue par récurrence, en posant

g_0=p_0\cdot \exp(f_0 b)\text{ if }a = 0,\,

g_0=\frac{p_0}{(1-f_0a)^{1+b/a}}\text{ for }a \ne 0,\,

et ensuite

g_k=\frac{1}{1-f_0a}\sum_{j=1}^k \left( a+\frac{b\cdot j}{k} \right) \cdot f_j \cdot g_{k-j}.\,

L’avantage c’est que tout cela a été programmé sous R… Pour la discrétisation, je reprends ici actuar qui propose plusieurs techniques. En particulier on distinguera entre une borne supérieure et une borne inférieure, une version arrondir et une version sans biais.

> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "upper", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "lower", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "rouding", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1),method = "unbiased", lev = levgamma(x, 1), from = 0, to = 17, step = 0.5)

On peut alors utiliser l’algorithme de Panjer pour calculer la loi composée basée sur ces discrétisations. Au niveau de la programmation, le code est le suivant 

>  fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), from = 0, to = 22,
+  step = 0.5, method = "unbiased", lev = levgamma(x,2, 1))
>  Fs <- aggregateDist("recursive", model.freq = "poisson",
+  model.sev = fx, lambda = 10, x.scale = 0.5)

Graphiquement, on obtient la distribution suivante pour la loi composée (fonction de répartition et fonction quantile).

Convolution(s) et lois composées, aspects numériques

Nous avons vu en cours que l’outil de base pour travailler sur les sommes de variables aléatoires était la convolution,

(f * g )(t)  , stackrel{mathrm{def}}{=} int_{-infty}^{infty} f(tau)cdot g(t - tau), dtau
= int_{-infty}^{infty} f(t-tau)cdot g(tau), dtau.

permettant d’obtenir la densité ou la fonction de répartition de la somme de deux variables indépendantes.

Cet outils permet en théorie d’obtenir la forme d’une loi composée, i.e. d’une somme dont le nombre de termes est aléatoire.

Pour les calculs numériques de la convolée, Vincent Goulet a programmé pas  mal de choses dans la librairie actuar. Numériquement, il faut discrétiser la loi des coûts de sinistres. Si on suppose par exemple que les coûts individuels sont discrets, on peut obtenir la distribution simplement

> fx <- c(0, 0.15, 0.2, 0.25, 0.125, 0.075,
+         0.05, 0.05, 0.05, 0.025, 0.025)
> pn <- c(0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.15, 0.06, 0.03, 0.01)
> Fs <- aggregateDist("convolution", model.freq = pn,
+                     model.sev = fx, x.scale = 25)
> summary(Fs)
Aggregate Claim Amount Empirical CDF:
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
    0.0   150.0   275.0   314.5   400.0  2000.0 
> c(Fs(0), diff(Fs(25 * 0:21))) # probability mass function
 [1] 0.05000000 0.01500000 0.02337500 0.03467500 0.03257656 0.03578639
 [7] 0.03980787 0.04356232 0.04751800 0.04903380 0.05189806 0.05137886
[13] 0.05118691 0.05030486 0.04818189 0.04575882 0.04280890 0.03937836
[19] 0.03574568 0.03196808 0.02832446 0.02478833
> plot(Fs)

On peut aussi utiliser des méthodes d’approximation récursives,

> Fs <- aggregateDist(“recursive”, model.freq = “poisson”,
+                     model.sev = fx, lambda = 3, x.scale = 25)
> plot(Fs)

Ce qui donne le graphique suivant

Des méthodes d’approximation de type normal power sont aussi programmées, ainsi que les techniques de simulations. Par exemple ici pour une survenance Poissonienne avec des coûts Gamma, on écrit

> Fs <- aggregateDist("recursive", model.freq = "poisson",
+ model.sev = fx, lambda = 3, x.scale = 25)
> plot(Fs)

Enfin, pour lier avec le DM que je donnerais mercredi, Vincent Goulet a aussi programmé une méthode d’estimation de quantile,

> model.freq <- expression(data = rpois(3))
> model.sev <- expression(data = rgamma(100, 2))
> Fs <- aggregateDist("simulation", nb.simul = 1000,
+                     model.freq, model.sev)

Simulation d’un processus de Poisson

Le prochain cours reviendra sur la solvabilité des compagnies d’assurance, et en particulier sur la modélisation et le calcul de la probabilité de ruine. En particulier, nous passerons pas mal de temps sur le “processus de Poisson“.

Nous verrons en cours les notions de base sur les processus de Poisson$ \{N_t\}$. En particulier, nous verrons qu’ils se caractérisent soit par le processus d’arrivées $ \{T_i\}$, correspondant aux dates d’arrivée des sinistres, ou bien par$ W_i=, correspondants aux durées intersinistres. En effet, on peut obtenir des expressions de la forme $ N_t=.

Dans sa forme la plus simple, on s’intéresse aux processus homogènes. $ \{N_t: t \ge 0 \}$ sera un processus de Poisson homogène d’intensité $ \lambda > 0$ si les durées entre arrivées, $ W_i$ i.i.d. de loi exponentielle de paramètre $ \lambda $. L’algorithme naturel pour simuler les dates d’arrivées de sinistre $ T_1,T_2,\ldots,T_n$ est alors

  1. poser $ T_0 =
  2. pour $ i = on génère$ E$ suivant une loi exponentielle de paramètre $ \lambda $, puis on pose $ T_i =

Les choses vont se compliquer si on suppose que le processus de Poisson n’est plus homogène. Cette hypothèse est peut être davantage réaliste pour l’assurance. Par exemple, les assureurs savent qu’il y a plus d’accidents automobiles les jours de brouillard, ou de pluie, ou de verglas. On peut donc supposer qu’il existe un cycle lié au climat.

On suppose ici que le processus de Poisson est d’intensité $ \lambda(t)$. La première idée pour simuler un tel processus est de supposer qu’il existe $ \overline{\lambda}$ tel que $ \lambda(t)\leq\overline{\lambda}$ pour tout $ t$. On note $ T_1^* ,T_2^* , T_3^* ,\ldots$ des arrivées successives d’un processus de Poisson de paramètre $ \overline{\lambda}$. On met alors en place une stratégie acceptation/rejet, telle que l’on garde le $ i$ème sinistre $ T_i^*$ avec probabilité $ \lambda(T_i^* )/\overline{\lambda}$. La suite $ T_1, T_2, \ldots$ ainsi construite suit un processus de Poisson nonhomogène d’intensité $ \lambda(t)$. D’où l’algorithme

  1. On pose $ T_0 = et $ T^* = 0$
  2. on génère une variable exponentielle$ E$ d’intensité $ \overline{\lambda}$.
  3. On pose alors$ T^* = T^* + E$.
  4. On génère une variable $ U$ uniforme sur $ (0,1)$: si $ U>\lambda(T^*)/\overline{\lambda}$ on rejette (et on retourne en 2.), et sinon on pose $ T_i = .

Une autre méthode consiste à noter que l’incrément

$ N_t-N_s$, $ 0 < s < t$, suit une loi de Poisson d’intensité$ \widetilde{\lambda} = \int_s^t \lambda(u)du$. Aussi, la fonction de répartition $ F_s$ du temps d’attente $ W_s$ est qui vaut

On peut utiliser la méthode suivante pour simuler le processus de Poisson

  1. Poser $ T_0 =
  2. Générer $ U$ suivant une loi uniforme sur $ (0,1)$
  3. Poser $ T_i =

Pour aller plus loin, je renvoie à des bouquins sur la simulation de processus, ou pour les applications assurantielles au Statistical Tools for Finance and Insurance, chez Springer.

Perte d’exploitation, une application de la théorie des extrêmes

Je remets ici un lien vers un vieux papier puisque plusieurs personnes m’en ont récemment demandé une version électronique. La version officielle du papier est en ligne sur le site du Bulletin Français d’Actuariat (http://www.institutdesactuaires.com/bfa/, ou ici pour le papier tel qu’il a été publié). Pour ceux qui souhaitent aller plus loin, je mets à leur disposition la base (brute, xls) qui a servie à l’étude. Il s’agit de la version expurgée des noms des assurés, ainsi que de (certaines) informations sur les contrats.

Insurability is a major issue for risk managers in the insurance industry. Zajdenweber (1996) mentioned that business interruption is hardly insurable, using extreme value results: the right tail of the distribution should be modeled using some Pareto distribution with parameter 1, which has none finite moment. Since the expected value in tails is infinite, on a theoretical point of view, it becomes impossible to assess the price of that risk, and to hedge it using standard insurance covers. As we shall see, the use of more advanced results in extreme value theory (a wide survey will be proposed) may let us think that the assumption of very fat tails may be not relevant. For instance, we will propose a test to see if a distribution has a finite mean. We shall also discuss at the end the use of the pure premium as a criteria to assess whether a risk is or not insurable.

Visualiser des classes après une classification, avec XLStat

Avec R, il est très simple de visualiser les classes obtenus lors d’une classification. Mais avec XLStat…. on peut visualiser les nuages sur le plan principal (obtenu par ACP) ou alors visualiser les barycentres des classes sur le plan principal. En fait, il suffit de rajouter la variable correspondant à la “classe” dans le tableau initial, puis de faire une ACP en mettant la “classe” comme variable supplémentaire (qualitative). On commence par faire la classification des individus,

Ensuite on récupère la colonne et on la colle avec le tableau des données,

Enfin, on fait une ACP en rajoutant la classe comme variable supplémentaire.

On peut alors plus facilement interpréter les classes: ici le groupe 3 sont les “bons élèves“, le groupe 1 les “élèves moyens” et enfin le groupe 2 les “moins bons élèves“.

Sinon la base qui a servi pour cet exemple sera utilisée lors du dernier TD. Je mets aussi un lien vers la classification des bordeaux.

LRU et dentifrice

Les enseignants-chercheurs, c’est comme le dentifrice, une fois sortis du tube, on ne peut plus les faire rentrer (ou alors c’est compliqué, et pas très propre),

La coordination nationale exige l’abrogation de la LRU et du pacte pour la recherche et l’arret immediat de leur mise en oeuvre. Elle exige l’adoption d’une nouvelle loi…..” (daté de vendredi dernier). Visiblement la stratégie de Tullis Detritus n’était pas la bonne: en refusant de revenir sur les deux points de mécontentement du début des “événements“, i.e. du décret, c’est maintenant l’ensemble de la loi qui est remise en cause !

Une motivation supplémentaire pour suivre les cours d’actuariat ?

avec quelques jours de retard, un extrait du Nouvel Obs du début du mois.

Même si nous n’avons pas l’accord de l’Institut des Actuaires pour délivrer le titre d’actuaire, le Master Statistique & Econométrie offre une formation poussée en méthodologie statistique et économétrique, avec 2 gros cours d’assurance… ce qui devrait intéresser les compagnies et mutuelles d’assurance. En tous cas la demande est là semble-t-il. Moralité,

Pariwise and global dependence

I was just contacted by some researchers willing to test if a multivariate copula is – or not – Gaussian. They use a test proposed in an unpublished paper by Malevergne and Sornette, stating that one should simply test for pairwise normality. In this paper, the following result is mentioned

In other words, it is stated that (or at least something closed to this)

Unfortunately, this result is (probably) not correct (and if it is valid, it is nontrivial). It should be possible to construct a counterexample (thanks to Roger Nelsen (web) for the idea) by letting the correlation in each pair be close to -1 (i.e. global pairwise contercomonotonicity). Then the correlation matrix of the triplet would fail to be positive definite (which is a requierment for Gaussian vectors). This idea can be related to the “compatibility” condition in Joe (1997).

My colleague Mihai Gradinaru (web) mentioned the book by Wlodzimierz Bryc, Normal distribution: characterizations with applications, but I did not find any result in it (I looked very quickly). Anyway, I am still working on this… any comment is welcome !

Measuring and Covering Catastrophic Risks

Short course on Measuring and Covering Catastrophic Risks at the Maresias Conference in Sao Paulo, April 2009. Slides are now online.

There has been recently a large interest in catastrophic risks, especially following hurricane seasons in 2004 and 2005. But measuring those risks and providing an appropriate cover might be difficult. In this course, we will first describe those risks, especially climate risks (or climate related), man based risks (large fires or business interuption), and mortality risks. For those risks, we will also discuss possible covers, from classical (re)insurance to securitization (cat or mortality bonds) or insurance-linked securities (cat options). As we will see, the pricing of those products can simply be related to the choice of a risk measure. We will then discuss risk measures for large risks, and conclude with the aggregation issue.

Cat bond securitization will be studied in this course, explaining why they can be an additional tool (instead of an alternative technique) to insure against natural catastrophes.
while a Cat Bond mechanism is the following
For a more fancy description, it can be described as follows,

Two examples of natural catastrophes securitization will be studied carefully

  • WinCat : Winterthur securitization in 1997
  • The Mexican Earthquake 2007 Cat Cond.

The dataset used in this example was kindly provided by Dr. Miguel A. Santoyo (here)

  • Longevity and Mortality Risk

Article (de vulgarisation) sur les mesures de risque

Parution d’un article sur l’histoire des mesures de risques, dans la revue Risques, en partant des débats suite à la vaccination, jusqu’à l’adoption de la VaR (Value-at-Risk, i.e un quantile statistique) sous la pression de JP Morgan. En particulier, je voulais rappeler dans ce débat le lien avec la “probabilité de ruine“, étudiée en actuariat depuis plus d’un siècle correspondant à la principale mesure de risque car explicitement liée à la solvabilité d’une compagnie d’assurance.

Paradoxe de Grossman et Stiglitz


Pour le cinquième cours à l’X, sur les asymétries d’information, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy. Sinon la page maintenue par Alfred Galichon se trouve ici. Petit complément sur le paradoxe de Grossman et Stiglitz, étudié en exercice (i.e. si un marché est efficient du point de vue de l’information, autrement dit toute l’information pertinente est contenue dans les prix de marché, alors aucun agent n’est incité à acquérir de l’information sur laquelle sont fondés les prix),

Grossman and Stiglitz (1980) argued that because information is costly, prices cannot perfectly reflect the information which is available, since if it did, those who spent resources to obtain it would receive no compensation, leading to the conclusion that an informationally efficient market is impossible.” Sewell (2006)

” Second, perfect efficiency is an unrealistic benchmark that is unlikely to hold in practice. Even in theory, as Grossman and Stiglitz (1980) have shown, abnormal returns will exist if there are costs of gathering and processing information. These returns are necessary to compensate investors for their information-gathering and information-processing expenses, and are no longer abnormal when these expenses are properly accounted for. In a large and liquid market, information costs are likely to justify only small abnormal returns, but it is difficult to say how small, even if such costs could be measured precisely.” Campbell, Lo and MacKinlay (1997), page 24

” Grossman (1976) and Grossman and Stiglitz (1980) go even further. They argue that perfectly informationally efficient markets are an impossibility, for if markets are perfectly efficient, the return to gathering information is nil, in which case there would be little reason to trade and markets would eventually collapse. Alternatively, the degree of market inefficiency determines the efforrt investors are willing to expend to gather and trade on information, hence a non-degenerate market equilibrium will arise only when there are sufficient profit opportunities, i.e., inefficiencies, to compensate investors for the costs of trading and information-gathering. The profits earned by these industrious investors may be viewed as economic rents that accrue to those willing to engage in such activities.” Lo and MacKinlay (1999), pages 5-6