Les méchanismes bonus-malus

L’outil de base pour l’étude des systèmes bonus-malus est l’utilisation des chaînes de Markov, dès lors que l’on travaille sur des classes de bonus. Pour plus de compléments sur les chaînes de Markov, je renvoie à des vieilles notes de cours (inachevée, et sûrement remplis de coquillettes) ici.

  • Les chaînes de Markov

L’outil de base pour l’étude des systèmes bonus-malus est l’utilisation des chaînes de Markov, dès lors que l’on travaille sur des classes de bonus. Pour plus de compléments sur les chaînes de Markov, je renvoie à des vieilles notes de cours (inachevée, et sûrement remplis de coquillettes) ici.
Pour reprendre les grandes idées, on considère une suite de variables aléatoires à valeurs dans https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/calE.png, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/suiteXn.png. Cette suite est sera une chaîne de Markov si pour tout https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ngeq1.png, et pour tout

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/suitei.png

telle que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/markov-proba1.png

on ait

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/proab1.png
= https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/proab2.png

On parlera d’absence de mémoire (au sens où seule la dernière valeure intervient dans le calcul de la loi conditionnelle, et pas l’intégralité de la trajectoire). Si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/suiteXn.png est une chaîne de Markov de distribution initiale https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/lambdaV.png et de matrice de transition P, pour tout https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/nkentier.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/proba-markov-statioonnaire.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/pr135.png

Pour étudier l’évolution sur le long terme, on peut utiliser l’équation de Chapman-Kolmogorov: si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/suiteXn.png  est une chaîne de Markov de distribution initiale  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/lambdaV.png et de matrice de transition P,  pour tout
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/nkentier.png, pour tout https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zvze54v6.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/chapman-kol.png

Un corrolaire important est que si

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ezjpjio.png

alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcnaoli.png

Bref, on peut facilement étudier l’évolution à long terme de la chaîne de Markov en faisant un peu de calcul matriciel, i.e. des calculs de puissances de matrices.
En fait, formellement, on peut soit étudier des matrices, soit des graphes. Par exemple,

Si on veut étudier l’évolution sur deux périodes, il suffit de calculer le carré de la matrice, i.e.

  • Les systèmes bonus-malus par classes

Les tableaux ci-dessous sont tirés des annexes de la bible de Jean Lemaire, Bonus-Malus systems in automobile insurance. Le plus simple est probablement celui de Hong Kong, qui est Markovien (à l’ordre 1),

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.BM-hong-kong-B-9_m.jpg

L’exemple ci-dessous est celui qui a existé en Allemagne dans les années 80,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.BM-germany-B-7_m.jpg

puis celui qui existait en Finlande,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.BM-finnish-B-6_m.jpg

et enfin le système italien du début des années 90,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.BM-italy-B-11_m.jpg

Pour tous ces sytèmes, une fois spécifiée la loi du nombre de sinistres par an, il est possible de construire la matrice de transition des classes de bonus sur un an, ou plus.
En particulier, l’étude de la loi invariante de ce genre de sytème (que je mentionnais en introduction) permet d’étudier la viabilité du système à plus ou moins long terme, et la vitesse de la convergence vers l’état stationnnaire.

  • Le système bonus-malus français

En France, le mécanisme de bonus-malus peut paraître un peu plus compliqué, et il fonctionne de la manière suivante.

Le calcul du bonus-malus s’ef
fectue en fonction des sinistres survenus (ou non) pendant la période de douze mois consécutifs précédant de deux mois l’échéance annuelle du contrat d’assurance.
Seuls les accidents responsables donnent lieu à malus. C’est à dire qu’en cas de foce majeur, ou si l’accident est entièrement imputable à un tiers, alors le conducteur n’aura pas de malus. Notons aussi que Le malus est rattaché au contrat d’assurance. Autrement dit, si quelqu’un cause un accident avec un véhicule assuré par un tiers, il se supportera pas le malus.
La prime de référence est la prime qui sera utilisée pour ensuite actualiser le montant de prime en tenant compte du coefficient de majoration ou minoration. Il s’agit de la prime technique calculée par l’assureur en fonction de charactéristiques a priori, comme la puissance du véhicule véhicule, la zone géographique de circulation, l’usage socioprofessionnel ou encore le kilométrage parcouru….
A partir de cette prime de référence, on calcule une prime qui tient compte de l’expérience passée, via un coefficient multiplicatif.
La valeur de référence est de 1 pour le taux de majoration-minoration. Ce taux subie une réduction – corrrespondant à un bonus – pour une année sans accident, d’un niveau de 5 %. Toutefois, la valeur du coefficient est arrêté à la deuxième décimale et arrondi par défaut. Au final, le taux prend donc un nombre fini de valeurs. Pour résumer schématiquement

1 année sans accident 100 x 0.95 = 0.95 de Bonus
2 années sans accident 0.95 x 0.95 = 0.90 de Bonus
3 années sans accident 0.90 x 0.95 = 0.85 de Bonus
4 années sans accident 0.85 x 0.95 = 0.80 de Bonus
5 années sans accident 0.80 x 0.95 = 0.76 de Bonus
6 années sans accident 0.76 x 0.95 = 0.72 de Bonus
7 années sans accident 0.72 x 0.95 = 0.68 de Bonus
8 années sans accident 0.68 x 0.95 = 0.64 de Bonus
9 années sans accident 0.64 x 0.95 = 0.60 de Bonus
10 années sans accident 0.60 x 0.95 = 0.57 de Bonus
11 années sans accident 0.57 x 0.95 = 0.54 de Bonus
12 années sans accident 0.54 x 0.95 = 0.51 de Bonus
13 années sans accident 0.51 x 0.95 = 0.48 plafonné à 0.50

La réduction maximale est donc de 0.50, soit 50% de réduction sur la prime de référence.
En revanche, chaque accident responsable donne lieu à une majoration – on palera de malus – de 25 % du coefficient par accident. Toutefois, cette majoration est réduite de moitié (12,5 %) si la responsabilité n’est que partiellement engagée.Là encore, le coefficient obtenu est arrêté à la deuxième décimale et arrondi par défaut. Aussi, avec deux accidents responsables dans l’année, le coefficient sera multiplié par un coefficient de 1,56. Afin d’éviter l’absence d’assurance, on notera qu’en aucun cas, le coefficient de réduction-majoration ne peut excéder 3,50.
Pour les jeunes conducteurs, l’article A. 335-9-1 du code des assurances prévoit que l’assureur a la possibilité de majorer la prime de référence (dans des limites fixées par la loi là encore).
Notons enfin qu’il existe des avantages pour les bons conducteurs: si un conducteur est au bonus maximal depuis au moins trois ans, il conserve son bonus après le premier accident responsable. Notons que c’est le genre de disposition qui figure dans la loi et que certains assureurs utilisent à des fins commerciales (comme le montre l’affiche ci-dessus ou ci-dessous, qui a été analysée sur le blog de Gizmo (ici)).

Il existe aussi une règle dite de descente rapide qui peut atténuer les effets des malus: après deux années consécutives sans accident, votre coefficient ne peut être supérieur à 1.
Ce qui rend le système intéressant, c’est qu’il est obligatoire, en France. Aussi, en cas de changement d’assureur, le coefficient de bonus-malus sera recalculé à partir d’un relevé d’information: l’assureur est tenu de fournir ce document à la résiliation du contrat (contenant des informations sur le conducteur et le véhicule, ainsi que le nombre des sinistres survenus au cours des cinq années précédant l’établissement du relevé d’information, ainsi que leur nature et la part de responsabilité retenue)
Davantage d’information se trouve ici, (ce document propose d’ailleurs une petite simulation à la fin sur le coût d’un accident) ou encore (pour une approche plus actuarielle), voire (pour une approche plus économique).


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