Ecart absolue ou écart type ?

Un petit billet très court pour répondre à une question d’élèves de licence. L’erreur quadratique moyen est définie comme

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alors que l’erreur absolue moyenne est définie comme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/eqt-02.png

(que je définie ici comme l’écart à la moyenne, certain considérant la distance à la médiane, qui minimise cette quantiié, alors que la moyenne minimise l’écart quadratique, mais je reviendrais là dessus bientôt, sur l’histoire de la loi normale).

Souvent ces quantités sont présentées comme des mesures de la même quantité, que l’on appellerait “dispersion” autour de la moyenne.

Si l’on prend deux observations, ces quantités sont rigoureusement identiques, car

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compte tenu du fait que

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En revanche, comme le montre le graphique ci-dessous,

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Aussi, avec davantage de termes, la différence peut devenir significativement différente. En particulier, comme le notent Goldstein et Taleb (2007), en ligne ici, dans le cas Gaussien centré réduit,

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Autrement dit, ces quantités peuvent parfaitement être différentes. Sur l’exemple ci-dessous, on considère un groupe de 4 individus, trois ayant le même revenu, et le dernier ayant un revenu plus important. On s’arrange pour que le revenu moyen soit constant (100 ici) et on regarde comment se comportent ces deux quantités lorsque le revenu du dernier individu s’accroît (de celui des autres).

(j’ai autorisé les revenus négatifs pour la simplicité des calculs et pour avoir un joli dessin). On en conclue qu’un écart significativement différent entre l’écart-type (L2) et l’écart absolu (L1) signifie simplement qu’il y a probablement des points aberrants dans la base (aberrants au sens “sensiblement différents“, des “outliers“).


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