Niveau et puissance de test (paramétrique)

Lors du dernier cours de statistique, nous avons vu comme se construisent des tests, et comment on compare leur puissance. Considérons pour cela des observations  tirées suivant une loi uniforme . Et on se pose la question de savoir si l’hypothèse est rejetée, ou acceptée, avec par exemple. L’hypothèse alternative sera ici le complémentaire, autrement dit .

Comme on l’a vu, la construction d’un test se fait en utilisant une statistique de test (ou plus simplement un estimateur du paramètre inconnu), avec . On prend la décision (consistant à rejeter ) si , et la décision (consistant à ‘accepter’ ) si .

Le risque d’erreur de première espèce est basé sur . Si l’hypothèse est une hypothèse simple , le risque d’erreur de première espèce est https://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha=\mathbb{E}[\psi(\boldsymbol{X})\vert%20X_1,\cdots,X_n\sim%20F_{\theta_0}], soit pour un seuil . On va déterminer le seuil de manière à ce que le risque de première espèce soit 5%.

Pour cela, il nous fait un estimateur dont on connaîtrait la loi. Commençons par l’estimateur du maximum de vraisemblance. Rappelons que l’estimateur du maximum de vraisemblance est . Nous avons vu – dans la section sur les statistiques d’ordre – que

pour . Aussi, pour un seuil ,

pour . Le risque de première espèce

soit

qui atteindra son maximum en . Aussi

soit . Les régions d’acceptation et de rejet sont les suivantes,

Pour calculer l’erreur de seconde espèce, utilisons

de telle sorte que

puisque nous sommes sous . La puissance du test, basé sur le maximum des observations (correspondant au maximum de vraisemblance), est alors

On obtient graphiquement

theta=seq(1,3,by=.1)
n=5
puissance=1-(1-.05)*(1/theta)^n
plot(theta,puissance,type="l",lwd=2,col="red")

et on note que la puissance vaut quand et 1 lorsque .

Et que se passe-t-il si on avait utilisé l’estimateur de la méthode des moments, et non plus l’estimateur du maximum de vraisemblance ? Rappelons que si alors . Aussi, l’estimateur de la méthode des moments est . Le risque de première espèce est

Le soucis est que la loi de n’est pas simple à obtenir, analytiquement. Mais on peut l’avoir par simulations.

> ns = 1e5
> n = 5
> X = matrix(runif(ns*n),ns,n)
> Xbar = apply(X,1,mean)
> hist(Xbar,probability=TRUE)
> lines(density(Xbar),lwd=2,col="red")

La fonction de survie de s’approche avec la fonction de survie empirique, obtenue sur 100,000 simulations.

> x = seq(0,2,by=.001)
> y = Vectorize(function(t) mean(2*Xbar>t))(x)
> plot(x,y,type="l")
> abline(h=.05,col="red",lty=2)

On peut alors déterminer le niveau du seuil
valant 5% en utilisant le quantile empirique

> (c = quantile(2*Xbar,.95))
95%
1.427396

Ce seuil permet de construire un test de risque de première espèce 5%. On peut alors calculer la puissance de ce test, numériquement,

> ns = 1e4
> Puissance = function(t){
+ X = matrix(runif(ns*n,0,t),ns,n)
+ Xbar = apply(X,1,mean)
+ mean(2*Xbar > c)}
> theta =s eq(1,3,by=.1)
> puissance = Vectorize(Puissance)(theta)
> lines(theta,puissance,type="l",lwd=2,col="blue")

On a ainsi construit un test de même niveau que le précédant (risque de première espèce), mais de puissance plus faible, tout le temps.


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