La parade des nains, ou la visualisation des inégalités

Dans mon précédant billet, sur la répartition de la population sur le territoire français, j’utilisais l’indice de Gini, comme mesure d’inégalité. Et je notais que l’indice était passé de 0.45 au début du XIXème siècle à 0.75 aujourd’hui. Mais force est de constater que cet indice n’est pas très visuel (à moins que l’on ne soit à l’aise avec les courbes de Lorenz). En 1970, Jan Pen proposa introduisit la “parade des nains” afin d’illustrer les inégalités. Pour décrire des inégalités de revenus, on représente des individus dont la taille est proportionnelle au revenu.

Il y a quelques (rares) géants, et beaucoup de nains. On peut tracer la courbe associée à cette parade des nains. Formelle, pour , on trace

où  est la fonction de répartition de la variable que l’on étudie. Rappelons que pour une loi lognormale , l’indice de Gini est

De manière duale, à partir d’un indice de Gini, on peut obtenir les paramètres d’une loi lognormale sous-jacente. Par exemple, pour une loi lognormale, associée à un indice de Gini de l’ordre de 0.25, on obtient

> library(ineq)
> gini=0.25
> sigma=qnorm((1+gini)/2)*sqrt(2)
> x=rlnorm(n,0,sigma)
> Pen(x)

Pour des indices de Gini de 0.50 et de 0.75, on obtient les courbes suivantes

> gini=0.5
> sigma=qnorm((1+gini)/2)*sqrt(2)
> n=1e4
> y1=qlnorm((1:n)/(n+1),0,sigma)/
+ exp(0+sigma^2/2)

> gini=0.75
> sigma=qnorm((1+gini)/2)*sqrt(2)
> y2=qlnorm((1:n)/(n+1),0,sigma)/
+ exp(0+sigma^2/2)
> plot((1:n)/(n+1),y1,ylim=c(-.5,10))
> rect(0,0,1,1,col="light yellow",border=NA)
> polygon(c(0,(1:n)/(n+1),1),c(0,y1,0),
+ col=rgb(1,0,0,.5))
> polygon(c(0,(1:n)/(n+1),1),c(0,y2,0),
+ col=rgb(0,0,1,.5))
> abline(h=1,lty=2,col="grey")

La courbe jaune est une distribution parfaitement égalitaire. La courbe rouge est obtenue avec un indice de Gini de l’ordre de 0.50 alors que celle en bleu est obtenue avec un indice de 0.75.

Pour reprendre notre exemple de population, répartie sur le territoire, on peut aussi imaginer un territoire linéaire de 1 km de long. On suppose que la zone de gauche est la moins dense, et celle de droite est la plus dense.

  • avec une répartition uniforme, supposons que tout le monde puisse loger dans des immeubles de 5 étages.
  • avec un indice de Gini de 0.50,  les premiers 200m sont des immeubles de 1 étage, les 200m suivants, ce sont des immeubles de 2 étages, etc. A 700m, on obtient les derniers immeubles de 5 étages. Sur la fin, on a des immeubles de 15 étages sur les 50 derniers mètres, et avant un immeuble de 12 étages, et avant encore des immeubles de 10 étages.
  • dans le cas d’un indice de Gini de l’ordre de 0.75, il n’y a rien sur 25% du territoire, puis sur les 25% suivant, des immeubles de 1 étage, etc. 80% des logements ne dépassent pas 5 étages.  Par contre, sur la fin, on des tours relativement haute, dépassant 20 étages.
> n=19
> gini=0.5
> sigma=qnorm((1+gini)/2)*sqrt(2)
> y1=qlnorm((1:n)/(n+1),0,sigma)/
+ exp(0+sigma^2/2)

> gini=0.75
> sigma=qnorm((1+gini)/2)*sqrt(2)
> y2=qlnorm((1:n)/(n+1),0,sigma)/
+ exp(0+sigma^2/2)

> plot((1:n)/(n+1),y1*5,ylim=c(-.5,20))
> for(i in 1:n){
+ rect(i/(n+1)-.02,0,i/(n+1)+.02,1*5,
+ col="light yellow",border=NA)
+ rect(i/(n+1)-.02,0,i/(n+1)+.02,round(y1[i]*5),
+ col=rgb(1,0,0,.5),border=NA)
+ rect(i/(n+1)-.02,0,i/(n+1)+.02,round(y2[i]*5),
+ col=rgb(0,0,1,.5),border=NA)
+ }
> abline(h=1*5,lty=2,col="grey")
> axis(2)

ou, si on zoome, on obtient

La courbe rouge, c’est la répartition de la population, en France au XIXème siècle, ou en Allemagne aujourd’hui (tel que décrit dans mon précédant billet). La courbe bleue représente la France aujourd’hui.


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