Bonferroni, les anniversaires et les terroristes (ou pas)

Le paradoxe des anniversaires est un exercice de probabilité que l’on découvre assez vite. Mais assez souvent, on l’oublie, alors qu’il est en réalité assez profond. Le problème est le suivant: quel est le nombre de personnes qu’il faut réunir pour avoir (au moins) une chance sur 2 pour que deux personnes aient leur anniversaire le même jour. Si on calcule la probabilité que deux personnes dans un groupe de n fêtent leur anniversaire le même jour, on peut calculer la probabilité que personne ne soit né le même jour, parmi n personnes. Un calcul rapide montre qu’avec 23 personnes, la probabilité qu’au moins deux personnes fête son anniversaire le même jour est 50.73%. Autrement dit, il suffit d’une groupe de 23 personnes (c’était la taille d’une classe d’élèves, du moins à mon époque…).

L’intuition, pour comprendre pourquoi nous avons l’impression que ce nombre est petit est que, naturellement, si on a un événement qui survient avec probabilité p, et qu’on répète l’expérience n fois, la probabilité que rien ne se produise est (1-p)n. Aussi, en première approximation (et j’insiste sur ce point parce que c’est avec ce genre d’argument fallacieux qu’on conclue que la probabilité d’avoir une catastrophe nucléaire dépasse 100%, conduisant à du “certitude statistique“), on en déduit que la probabilité qu’un événement survienne est de l’ordre de np. Sauf qu’il, on compte des paires. Et avec n personnes, on constitue environ n2/2 paires. Et donc la probabilité devient proche de n2p/2… ce qui est bien plus grand que np. C’est grossièrement ce qui explique que notre intuition se sent trompée : avec seulement 23 personnes, on peut constituer plus de 250 paires. La probabilité que toutes les paires correspondent à des dates d’anniversaire différente n’est pas si petit qu’il y parait.

Jeff Ullman parle ainsi de principe de Bonferroni,

“if you look in more places for interesting patterns than your amount of data will support, you are bound to find crap”

Et cette intuition faussée quand on travaille sur des paires se retrouve dans les techniques utilisées par les services de renseigngement, tel que le montre Anand Rajaraman dans Mining Massive DatasetsSupposons qu’il existe un milliard d’individus qui pourraient potentiellement être des terroristes. Que les gens, quels qu’il soient vont à l’hôtel 1 jour sur 100. Un hôtel donné peut accueillir 100 personnes. On suppose qu’il existe 100,000 personnes, de sorte qu’en moyenne ils soient plein tous les jours. Et supposons qu’on regarde sur un historique de 3 ans, i.e. 1000 jours pour avoir des calculs ronds. Supposons que pour traquer les terroristes, on cherche les gens qui ont séjourné, ensemble, dans un hôtel, le même jour, au moins deux fois… On imagine que c’est effectivement rare, et donc suspicieux…

La probabilité que deux personnes données dorment à l’hôtel le même jour est faible, 1/100×1/100, soit 0,0001. Et comme il y a 100,000 hôtel, la probabilité que les deux personnes descendent, en plus, dans le même hôtel, il faut diviser 0,0001 par 100,000. Ce qui donne 10-9 . Mais ça, c’est la probabilité pour qu’ils se croisent une fois ! Si on regarde la probabilité qu’ils se croisent deux fois, en trois ans, on arrive à une probabilité de 10-18 Pour ceux qui ont du mal, ça doit faire environ

0,00000000000000001 %

Et encore. Ici il peut en plus se croiser la seconde fois dans un autre hôtel. La probabilité qu’il se croisent dans le même hôtel que la première fois devient encore plus petite !

Supposons maintenant qu’un organisme de surveillance avisé décider de lister les paires de personnes qui, sur des paires de jours, se sont retrouvé dans le même hôtel. Ça doit être suffisamment rare pour être suspicieux. Rappelons que quand on considère n individus, le nombre de paires possibles est de l’ordre de n2/2. Autrement dit, avec un million de personnes, le nombre de paires est de l’ordre de 5×1017. Et pareil, le nombre de paires de jours est de l’ordre de 5×105. Aussi, le nombre d’événements suspicieux que l’on observe, sur ces trois années est de l’ordre de

(5×1017 ) x (5×10) x10-18 = 250000

Autrement dit, 1/4 de millions de paires de personnes sont des terroristes potentiels ! Soit 1/2 millions d’individus.

Maintenant, supposons qu’il y ait 10 terroristes. S’ils sont assez stupides pour se retrouver dans les mêmes hôtels, les mêmes jours, ça veut dire que sur les 500000 personnes qui vont être surveillées, 10 sont effectivement des terroristes, et on a 499990 faux positifs… Enfin, “faux positifs”… ils ont forcément quelque chose d’autre à se reprocher, non ?


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