Dualité Individus / Variables en ACP

Dans le cours d’analyse des données, on va commencer l’analyse en composantes principales. Comme on l’a déjà évoqué à plusieurs reprises, il y a une dualité entre les individus dans l’espace des variables, et les variables dans l’espace des individus. Histoire de faire des dessins, on va se contenter de 3 individus, avec 3 variables,

> BD=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/securite.txt",
header=TRUE)
>  M=as.matrix(BD[,2:10])
>  colnames(M)=names(BD)[2:10]
>  rownames(M)=BD$dep
>  M=M[1:3,1:3]
>  n=nrow(M)  
>  M_s=scale(M,scale=TRUE)

 

On peut commencer par visualiser les individus

Les directions principales sont ici

> U=eigen(t(M_s)%*%(M_s))$vectors

 

Les deux premières nous donne le plan principal

La projection sur le plan donne ici

Mais on peut aussi visualiser les données dans l’autre dimension.

Rappelons que les variables ont été centrées et réduites. La encore, l’analyse spectrale nous donne les vecteurs principaux (qui vont maximiser l’inertie en projection),

>  V=eigen((M_s)%*%t(M_s))$vectors

 

Là encore, on peut s’intéresser au plan principal

Là encore on peut regarder la projection dans cette dimension,

Comme on a centré et réduit nos variables, on voit apparaître le “cercle de corrélations“.

Le principe de dualité dit que l’on peut superposer les projections

 

ce qui permettra de faire une réelle analyse des données


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