Pourquoi frapper aussi fort la balle au service ?

Au tennis, il n’est pas rare de voir les joueurs servir très fort sur leur première balle, puis de se calmer sur la seconde. Est-ce pour se reposer un peu après le premier effort ou bien y-a-t-il une réelle logique derrière ?

Modélisons un peu tout ça (en reprenant une modélisation présentée par David Gale en 1971). Un joueur a un ensemble http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv01.gif de services possibles. A son premier service, il choisit le service http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv02.gif. La première difficulté est que le service soit correct (ou passe le filet pour faire simple), et on note http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv03.gif la probabilité qu’un tel service passe le filet. Si le service est passé, il a une certaine probabilité de gagner le point, que l’on notera http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif. Bien que ne connaissant pas vraiment le tennis, il n’est pas absurde de supposer qu’il y ait une forme d’arbitrage,

  • un service puissant a peu de chance de passer (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif petit), mais s’il passe le filet le serveur sera à son avantage, et la probabilité de gagner le point sera élevée (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif grand)
  • un service faible a de grandes chances de passer (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif grand), mais la balle sera alors facile pour l’adversaire, et la probabilité de gagner le point sera faible (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif petit)

A un service http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv07.gif donné, la probabilité de gagner le point (sur ce premier service) est alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv08.gif.

Supposons que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv01.gif soit “ordonné” au sens où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif peut être supposée strictement croissante.
Compte tenu de la remarque que nous avions faite initialement, il n’est pas absurde de supposer que la fonction

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv09.gif

soit à valeur dans http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv10.gif, avec une fonction croissante pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv.gif, puis décroissante pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv12.gif.

Le joueur cherche à maximiser sa probabilité de gagner le point.

Mais au tennis, si le premier service ne passe pas, le serveur a le droit a une deuxième chance. Le serveur choisi alors en réalité un couple http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv15.gif correspondant à son premier et second service, respectivement. La probabilité de gagner le point, à stratégie http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv16.gif donnée, est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv17.gif

On peut noter que la stratégie optimale pour la seconde balle est indépendante de ce qui a été fait pour la première. En effet, si on cherche à résoudre, à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv18.gif donné

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv20.gif

la condition du premier ordre est

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i.e

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Autrement dit, le second service doit être celui qui maximise sa probabilité de gagner le point, i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv23.gif.
Mais si on sait qu’il est optimal de jouer http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv23.gif, dans ce cas, pour le premier service, le joueur cherche à résoudre

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennissserv24.gif

dont la condition du premier ordre est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv25.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv26.gif

Le point s_1 qui vérifie cette condition peut se visualiser sur la figure ci-dessous, car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv27.gif s’interprète comme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv28.gif, i.e. la tangente de la fonction rouge, et on veut que cette tangente soit de pente http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv29.gif, qui est la pente de la courbe bleue (comme l’avait noté David Gale),

Autrement dit, il est optimal de servir plus fort la première fois que la seconde… Comme quoi finalement tout peut se démontrer avec un joli modèle…


3 thoughts on “Pourquoi frapper aussi fort la balle au service ?”

  1. Histoire d’avoir quelques ordres de grandeur (pour des joueurs pro, au cours d’un match à peu près équilibré) :
    – le % de premières balles réussies varie en gros de 50% (médiocre) à 80% (très bon), y compris pour un même joueur au cours d’un même match. Des valeurs qui sortent de cette fourchette pour un match complet sont rares
    – le % de pts gagnés sur le 1e service dépend de la vitesse moyenne dudit service et de la surface, mais est je pense un peu moins dispersé ; je dirais entre 60 et 80%
    – le % de pts gagnés sur 2e balle me semble davantage centré autour de 50%, je dirais entre 40 et 60%

    Pour dataminers fous, ibm vient de sortir une nouvelle interface de suivi de match, assez intéressante :
    http://www.rolandgarros.com/fr_FR/s

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