Trop de probabilités tue les probabilités

Hier matin, au moment de quitter la maison, j’ai jeté un œil à la météo (car à Montréal le temps est très changeant, pas seulement d’un jour sur l’autre, comme je l’avis mentionné en arrivant en septembre, ici). En voyant les gros nuages gris dans le ciel, en me réveillant, je me suis demandé s’il fallait mettre un manteau et des bottes en caoutchouc aux enfants (pour aller l’école). Sur le site de météo, on a en effet la probabilité de pluie, i.e. de P.D.P.

Si on suppose que les probabilités sont indépendantes d’heure en heure, la probabilité qu’il va pleuvoir dans la matinée (dans les 5 prochaines heures pour faire simple, ou plus concret), va s’écrire comme le complémentaire de la probabilité qu’il va faire beau toute la matinée, autrement dit, avec des probabilités de pluie de l’ordre de 25%, par heure, la probabilité qu’il pleuve pendant les prochaines heures est de 75% environ

> 1-((1-.25))^5
[1] 0.7626953

Bref, on est loin de 25%. Essayons d’aller un peu plus loin pour mieux comprendre…
Notons https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie03.gif la variable indicatrice indiquant s’il pleut, ou pas (1 s’il pleut, et 0 sinon) à l’instant https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie04.gif. Supposons qu’il existe un processus latent sous-jacent, https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie05.gif tel que

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie06.gif

 

A une date https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie04.gif, on se demande ici s’il va pleuvoir dans la matinée, i.e. on veut

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie07.gifqui peut encore s’écrire

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie08.gifou, ce qui sera pleut être plus utile ensuite

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie09.gifAvec notre modèle latent, cette probabilité peut s’écrire

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie10.gifc’est à dire en notant https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie13.gif la fonction de répartition (jointe) du vecteur aléatoire https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie11.gif cette probabilité s’écrit
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie12.gifOr Wassily Hoeffding a montré qu’il était possible d’encadrer une fonction de répartition, avec les bornes suivantes: pour tout https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^d,
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie14.gif

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie15.gif
et
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie16.gif
(en notant que ces bornes sont atteignables). Autrement dit, ici, la probabilité qu’il fasse beau 5 heures de suite est encadrée par la probabilité qu’il pleuve sur une heure… et 1.
Bref, on n’a pas grand chose à dire*.

Une possibilité est de supposer un modèle Gaussien pourhttps://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie05.gif. Supposer les lois marginales n’est en rien contraignant. En revanche, supposer que la dynamique sous-jacente est Gaussienne est une hypothèse très forte. Et pour faire simple, supposons même que la dynamique soit auto-régressive (à l’ordre 1), i.e.
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie18.gifoù https://latex.codecogs.com/gif.latex?(\eta_t) est un bruit blanc, indépendant du processus latent. L’intérêt est que l’on a spécifié ainsi la structure de la matrice de variance covariance. En particulier, la matrice de corrélation du vecteur https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}^\star est alors
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie01.gif
On peut d’ailleurs visualiser facilement la forme de cette matrice en fonction de https://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho,
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/animationcorrelationpluie.gif
Avec ce formalisme, on peut alors en déduire https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie12.gif car on connaît très bien la fonction de répartition d’un vecteur gaussien multivarié via

On peut alors étudier l’impact de http://freakonometrics.blog.f ree.fr/public/perso3/slatex.gif (qui est associée à la probabilité d’avoir de la pluie pendant une heure en moyenne) et de la corrélation https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/correlation-pluie21.gif (qui est associée à la dynamique du processus). Pour simplifier, si on prend https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/slatex.gif tel que la probabilité de pluie soit de l’ordre de 25%, on a la probabilité d’avoir de la pluie suivante,

> s = .25
> r = .85
> i = 1:n
> I = matrix(rep(i,each=n),n,n)
> J = matrix(rep(i,n),n,n) 
> C = r^(abs(I-J))
> 1-pmnorm(rep(qnorm(1-s),n),mean=rep(0,n),varcov=C)[1]
[1] 0.458074

i.e. en faisant une boucle sur la valeur de la corrélation

Et plus généralement si on croise le seuil (i.e. la probabilité horaire de pleuvoir) et la probabilité, on a l’abaque suivante

On pourrait toutefois objecter que l’important n’est pas forcément qu’il ne pleuve pas de la matinée, mais qu’il ne pleuve pas quand ils sont dehors, i.e. (pour simplifier), à 8 heures, midi et 16 heures (c’est à dire toutes les 4 heures). On s’intéresse alors à
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/pluiecorrel-31.gif
qui est toujours un vecteur Gaussien, mais avec cette fois une structure de corrélation un peu différente,
https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/ppluie-coreel.gif
Dans ce cas, la probabilité de ne pas avoir de plus à ces trois moments de la journée est alors de la forme suivante

La corrélation joue alors un rôle relativement faible car il intervient à la puissance 4 dans la matrice d’auto-corrélation.
Dans ce cas, on notera que l’hypothèse d’indépendance n’est peut être pas absurde. Et avec une P.D.P. de 30%, sur toute la journée, on peut probablement se dire que la probabilité d’avoir de la pluie soit le matin, soit le midi, soit le soir sera de l’ordre de

> 1-(1-.3)^3
[1] 0.657

A tester !
* En fait si, on pourrait dire beaucoup de choses (et écrire une dizaine de billets) en particulier sur la borne supérieure, ici 1, dès lors que la probabilité horaire d’avoir de la pluie dépasse 20% – car la borne supérieure est

https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/prooooobacommentaire.gif

En fait, la borne inférieur n’est pas une fonction de répartition de manière générale. Toutefois, la borne est atteignable pour une certaine structure de dépendance. Ce qui explique que par la suite, avec un modèle Gaussien, on sera relativement loin de cette borne supérieure. La borne inférieure (i.e. la borne supérieure sur les fonction de répartition) est elle atteinte dès lors que les risques sont variables sont comonotones, c’est à dire dans le cas Gaussien si la corrélation entre deux instants (et entre tous les instants) vaut 1. La petite animation sur la matrice de corrélation permet de mieux comprendre la difficulté de comprendre le cas où la corrélation rho est négative: dans le cas où https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/rhofleche.gif1, on a une corrélation proche de 1 partout dans la matrice. En revanche, si https://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/rhofleche.gif -1, on a des corrélations proches de -1 dans la moitié (environ) des cellules de la matrice, et +1 dans l’autre moitié. La borne supérieure sur la probabilité savoir de la pluie dans matinée correspond donc à une structure plus complexe que la borne inférieure, car on ne peut pas avoir une corrélation négative forte avec tous les lags.


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