TCL et approximation

Pour répondre (rapidement) à une autre question, sur l’intérêt du théorème central limite, il y tout d’abord l’approximation gaussienne pour les sommes. Pour rappel, le théorème central limite nous permet d’écrire, pour un échantillon i.i.d. de variance finie

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-2.png

lorsque http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-8.png, où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-10.png et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-11.png. On peut aussi l’écrire non pas sur la moyenne empirique, mais sur la somme (c’est cette forme que l’on a démontrée),

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-1.png

Pour parler d’approximations, rappelons que si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-3.png, alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-4.png. Et de plus, si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-6.png, alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-5.png. Bref, en bricolant un peu, on peut en déduire une approximation de la forme suivante

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-7.png

pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-9.png suffisamment grand. Empiriquement, si on s’amuse à sommer des variables de Bernoulli indépendantes (car on connaît très exactement la loi de la somme) on obtient, pour la fonction de probabilité

http://freakonometrics.free.fr/blog/TCL-cv-1.gif

et pour la fonction de répartition

http://freakonometrics.free.fr/blog/TCL-cv-1.gif

Bref, on a une belle convergence vers la loi normale….

Mais au delà de ces approximations numériques (très utiles à une époque où les ordinateurs n’étaient pas aussi avancés qu’aujourd’hui), il y a les propriétés de normalité asymptotique de plusieurs estimateurs, avec des résultats de la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-12.png

Ceci permettra de faire des tests, ou de construire des intervalles de confiance.Mais nous verrons ça (très) bientôt…


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