Histoire éthylique, et arrêt optimal

suite aux pressions générales, je vais reprendre mes discussions d’alcoolique…. ou plutôt reprendre des classiques de finance, en expliquant que ce sont simplement des problèmes que se posent les amateurs de boissons fortes (de là à conseiller plutôt de recruter dans les bars qu’à la sortie des grandes écoles…).
Bref, avant d’avoir entamé sa marche aléatoire dans la rue de la soif (ici, correspondant aux problèmes d’options à barrière traduit en termes financier), puis d’avoir un soucis avec ses clés (), puis la maréchaussée (ici), notre héros (car on peut maintenant l’appeler un héros après 4 billets qui lui sont consacrés) avait du choisir son bar… Le problème est loin d’être simple. Il y a 20 bars dans la rue (disons https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-50.png pour faire quelque chose de plus formel). Il arrive de la place sainte Anne, et là, il souhaite choisir le bar le moins cher. Le soucis est qu’il n’a pas le droit de faire demi-tour1 et il ne connaît pas les prix pratiqués dans les différents bars. Il part avec un a priori qui est que le prix d’une pinte est compris entre 3 et 6 euros, que le prix est uniformément réparti entre ces deux prix, et que les prix sont indépendants d’un bar à l’autre. Pour les financiers, il a une option (de commander une bière), et peut l’exercer quand il le souhaite. Une option américaine en quelque sorte. Supposons qu’on soit arrivé au bar https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-01.png. On peut soit payer https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-02.png (qui est supposé aléatoire, uniformément distribué et indépendant des autres bars), soit espérer que l’on puisse payer moins cher plus loin,
Soit https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-03.png la valeur de cette option, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-04.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-05.png

soit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-06.png

où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-07.png désigne la loi du prix de la bière (soit ici une loi uniforme) avec une condition terminale de la forme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-09.png

car il a soif, et ne quittera pas la rue sans avoir bu un verre !
Classiquement, par backward induction, on peut résoudre ce programme, à partir de la loi de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-10.png. Posons https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-12.png. Alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-13.png

et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-14.png

soit simplement

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-16.png

soit enfin

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-18.png

Je laisse les plus courageux simplifier les calculs. La “frontière d’exercice” est alors obtenue par récurrence. Numériquement, le code est alors simplement

> n=20
> u=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ u[k]=1/(b-a)*(u[k+1]*(b-u[k+1])+(u[k+1]^2-a^2)/2)
+ }

Dès qu’on atteint la barrière, on s’assoit au bar. On note que plus on avance dans la rue, moins on est exigent: au tout début, on ne s’assoit pas à moins de 3 euros 30… mais plus on avance, plus on relève le seuil d’exigence. Le calcul sous forme intégrale donne ici

> u=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ g=function(x){pmin(x,rep(u[k+1],length(x)))/(b-a)}
+ u[k]=integrate(g,lower=a,upper=b)$value
+ }

J’avais déjà abordé ce problème dans un précédant billet, sur les options américaines, mais on peut maintenant aller un peu plus loin… que se passe-t-il si on suppose que les prix sont discret (par exemple par tranches de 50 centimes ou 1 euro) ? L’avantage avec ces méthodes numériques est que l’on peut très facilement enlever des hypothèses, par exemple ici on aurait

> h=2
> K=(b-a)*h+1
> PRIX=seq(a,b,by=1/h)
> u2=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u2[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ g=function(x){pmin(x,rep(u[k+1],length(x)))}
+ u2[k]=sum(g(PRIX)*1/K)}

pour des seuils à 1 euros (les seuls prix possibles étant 3,4,5 ou 6 euros).

Ou la frontière suivante si les prix varient par tranche de 50 centimes.

Compte tenu de la discrétisation, notons que la vraie frontière devient alors ici

Bref, comme toujours, les problèmes d’alcooliques rejoignent les problèmes d’exercice optimal d’options américaines, problème classique en finance de marché…
1 pour rendre cette histoire crédible, à chaque bar rencontré il demande le prix d’une pinte. S’il estime que c’est trop cher, il s’exclame “mais c’est bien trop cher ici !” et s’en va. Sinon il commande et s’installe. Cette exclamation rend improbable – à ses yeux – l’idée de revenir finalement s’installer au bar….


One thought on “Histoire éthylique, et arrêt optimal”

  1. J’ai une histoire un peu intéressante qui pourrait vous inspirer pour une autre aventure de votre héros.

    L’autre jour, je me promenais dans une ville inconnue et je me suis perdu. Après une bonne marche, je suis arrivé à une rue dont je reconnaissais le nom, mais je ne savais pas dans quelle direction je devais aller. J’avais une vague idée (insérer ici une fonction a priori) combien de rues je devais franchir avant d’avoir un repère qui m’indiquera si je suis dans la bonne direction ou non. Certains repères m’indiquent avec plus de certitude la bonne direction (ex: fin de la rue).

    De plus, j’ai un champs de vision de 1 rue.

    Après être parti dans une direction, j’ai changé d’avis après quelques rues, pour rechanger d’avis plusieurs fois, toujours en augmentant la distance explorée de mon point de départ. Tout en pestant après mon sort, je me suis demandé quelle serait la stratégie optimale pour trouver ma destination le vite possible?

    REPONSE: j’adore cette histoire… je creuse…

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *