‘Mathiness’ et Assurance

Au printemps dernier, l’économiste Paul Romer avait initié une discussion passionnante autour de la notion de “mathiness” (“mathitude” pourrait être la traduction la plus simple pour reprendre l’expression de Lavigne (2015)), posant la question de la place du formalisme mathématique en économie. Ou plus précisément, des liens entre les théorèmes mathématiques et la réalité économique. Et la principale critique faite par Paul Romer est que les mathématiques sont trop souvent utilisées pour obscurcir, plutôt qu’éclairer un débat. Cette discussion n’est pas nouvelle, mais il est intéressant de voir qu’elle survient à un moment où les assureurs s’interrogent, eux aussi, sur les modèles actuariels.

Science économique, et économie

Le point de départ de la discussion de Romer (2015) est qu’il est surprenant qu’en plus de 20 ans, la théorie de la croissance n’ait toujours pas abouti à un consensus. Son explication repose sur le concept de mathiness. Pour reprendre l’expression de Tim Harford, “economics has a reputation for producing rigourous nonsense“. Dans les années 40, Paul Samuelson avait initié un mouvement visant à clarifier les arguments des économistes, en cherchant des fondements plus « scientifiques ». La route de l’enfer serait-elle pavée de bonnes intentions ?

La critique de Paul Romer ne porte pas sur la quantité de mathématiques utilisée par les économistes, mais sur l’utilisation d’un formalisme pour masquer des intentions idéologiques, que ce soit en partant d’hypothèses peu réalistes par exemple. Si certains articles économiques sont écrits dans une novlangue d’équations (pour reprendre l’expression de Georges Orwell) il faut garder en mémoire que que pour Orwell, il existe un lien particulier entre la politique et les fondements du langage. Et Paul Romer pense comme Orwell qu’il existe un brouillard rhétorique qu’il convient de dissiper. “Like mathematical theory, mathiness uses a mixture of words and symbols, but instead of making tight links, it leaves ample room for slippage between statements in natural versus formal language and between statements with theoretical as opposed to empirical content“. Et de même que la réponse à la novlangue n’est pas d’arrêter de parler, la réponse au problème de « mathiness » n’est pas d’arrêter d’utiliser un formalisme mathématique.

Mathématique et sciences

La physique est une science. Dans une équation physique, les variables correspondent à des grandeurs réelles, observables, quantifiables. La physique du point permet ainsi de décrire la trajectoire d’objets, que des expériences permettent de vérifier. La conquête spatiale est la preuve qu’on peut prévoir la trajectoire de satellites, et de manière très fine (comme en a témoigné la mission Rosetta – et l’atterrisseur Philae – pendant l’été 2014). En micro-économie, on cherche à prévoir le prix qu’un assuré est prêt à payer pour s’assurer. Ou qu’un assureur est prêt à débourser lors de vente aux enchères de banderoles publicitaires. Dans le cas de la physique, des expériences permettent de vérifier la théorie, mais en économie, c’est plus complexe. Le plus souvent, il faut agréger des montants, et des comportements, en particulier pour comprendre les phénomènes macroéconomiques.

L’équation d’Euler en mathématiques donne une condition suffisante pour trouver l’optimum  du programme d’optimisation

sous une contrainte de la forme  donné. Dans ce cas, l’optimum vérifie une relation de la forme

si la fonction  est suffisamment régulière (on pourra consulter Bourguignon (2008) pour une preuve complète, mais c’est juste une conséquence du principe de Pontryagin en calcul variationnel). En économie, cette équation apparaît quand on dit qu’un agent cherche à maximiser une utilité inter-temporelle de la forme

sous une contrainte de budget. On reconnaît ici une version très simple du programme d’optimisation précédant (avec un problème en temps discret) et où  est l’utilité de l’agent. Si  est le taux sans risque, on obtient alors l’équation d’Euler (telle qu’elle est enseignée en économie),

Cette équation  (largement évoquée dans Romer (2015)) permet – si on connaît l’utilité d’un agent, d’obtenir son processus de consommation.

Pour la tester, les économistes ont inventé l’économétrie pour confronter cette équation (ou ce modèle) et la réalité. Le plus souvent en agrégeant des quantités, par exemple le total des consommations, ou des montants d’épargne dans un pays. Si on ne va pas chercher à remettre en doute la validité de l’équation d’Euler, on peut toutefois remettre en question certaines hypothèses qui permettent de l’écrire, ou les agrégats statistiques utilisés pour la valider.

Mathématiques financières et finance de marché

Nombreux ont été ceux qui ont prétendu que les mathématiques n’étaient pas neutres dans les récentes crises financières. Dans son rapport de 2013, la Banque d’Angleterre était très critique envers certaines firmes qui ont utilisé pour “to pull the wool over the eyes of the regulator” (que l’on pourrait traduire de manière moins imagée “duper le régulateur”). A la même époque, les autorités de contrôle américaines ont mis en avais certains tours de passe passe mathématiques dans l’épisode « London whale ». Comme le rappelle Tim Johnson, citant Levy (2012), en 1877 un gros assureur américain se défendait détruire la mutualisation entre assurés, face au régulateur en expliquant “there are certain fundamental rules… which can only be understood by actuaries, and it is impossible for me to go into here“. Se cacher derrière la sophistication des modèles pour ne pas avoir à se justifier ne date pas d’hier.

Les mathématiques financières reposent sur un grand nombre de « théorèmes ». Le plus connu est probablement celui d’Arrow-Debreu qui montre l’existence d’un équilibre général entre l’offre et la demande si le marché est complet, et en concurrence pure. Cet équilibre général (qui est un optimum, au sens de Pareto) donne en plus des vecteurs de prix. D’un point de vue économique, on peut voir ce théorème comme la preuve de l’existence d’une main invisible, pour reprendre la terminologie d’Adam Smith, marchés financiers et efficience économique allant de pair. D’un point de vue mathématique, la preuve repose sur le théorème de séparation d’ensembles convexes. Si personne ne cherchera à contester ce théorème, on peut toutefois se demander si l’hypothèse de convexité des ensemble de production a du sens. Ou s’il est possible que cette hypothèse ne soit pas toujours vérifiée. Mais d’un point de vue historique, rappelons que si ce résultat est aujourd’hui appelée théorème d’Arrow-Debreu, les économistes avaient déjà des outils, moins rigoureux, certes, pour comprendre le fonctionnement des marchés (on pensera aux travaux d’Alfred Marshall par exemple). Le théorème d’Arrow-Debreu n’est qu’une formalisation de théories qui existaient bien avant. Mais son avantage est d’avoir mis en avant les hypothèses (techniques) garantissant sa validitéi.

Pour aller plus loin, Ekeland (2010) revient sur les liens entre modèle mathématique et réalité, dans le contexte des marchés financiers. Pour Ivar Ekeland, il n’est pas question de remettre en question les modèles de finance mathématique. L’article de Black et Scholes commence par l’affirmation “it should not be possible to make sure profit“, et cette règle d’absence d’opportunité d’arbitrage est fondée. S’il est possible effectivement de faire des profits certains, c’est que le marché ne fonctionne pas, et pas que la théorie mathématique est fausse. Et pour lui, l’explication est assez simple : “if speculative profits have been made more secure, it is because the governments paid off the bad bets, not because some mathematical magic prevented the risk from materializing“.

Mathiness en Assurance

La science actuarielle peut être vue comme une formalisation mathématique des risques assurantiels. Elle est ainsi à l’intersection des mathématiques et de l’économie, tout comme peut l’être la finance mathématique. Avant même de parler de probabilités, Trowbridge (1989) met l’économie du risque comme pilier fondateur de la science actuarielle.

Un des résultats les plus importants en économie de l’assurance est probablement le résultat de Mossin sur le partage des risques. Ce résultat a été publié en 1968. Selon ce résultat, si le prix demandé par un assureur excède la prime pure (et on peut supposer que c’est souvent le cas, au moins pour des raisons de solvabilité), il n’est pas optimal pour un assuré de s’assurer complètement, et un contrat avec franchise est alors optimal. Pourtant, beaucoup d’assurés prennent des contrats avec une franchise très faible. Le fait que le modèle de Jan Mossin ne puisse être validé empiriquement, n’empêche pas que ce résultat soit évoqué dans tous les cours d’économie de l’assurance. Tous comme le majorant de la probabilité de ruine obtenu par Filip Lundberg en 1903 dans le contexte où la correspond à un résultat financier négatif (sans endettement possible, ou mise à jour de la prime). Tous les cours de théorie du risque présentent ces résultats, alors qu’ils ne sont jamais utilisé par la réglementation, pour fixer un niveau de capital réglementaire, par exemple.

Depuis plus d’un siècle, les assureurs ont compris que les modèles mathématiques actuariels étaient trop simples pour être utilisés sans « bon sens ». Les modèles actuariels peuvent être vus comme des modèles normatifs, permettant d’appréhender des situations complexes. Comme le notait Paul Romer dans son article, “empirical work is science, theory is entertainment“. Au delà du lien avec la notion de mathiness, on peut noter que c’est le genre d’argument que l’on voit resurgir contre les modèles économétriques, par les partisans de l’apprentissage statistique. On retrouve cette phrase dans la conclusion d’Anderson (2008), “correlation supersedes causation, and science can advance even without coherent models, unified theories, or really any mechanistic explanation at all“. Dans cet article, on y apprend que les modèles vont finir par apprendre tout seul. Si le problème de la tarification actuarielle dans un contexte concurentiel pouvait être posé correctement, il suffirait d’écrire un algorithme pour le résoudre, et de laisser la machine apprendre au fur et à mesure.

En assurance, les modèles de sciences actuarielles et la pratique actuarielle ont toujours cohabité sereinement, les uns cherchant à modéliser des phénomènes complexes, les autres cherchant des justifications à des pratiques séculaires, ou au contraire des réponses à des problèmes nouveaux. Cette saine pratique pourrait toutefois être mise en danger par la volonté de certains assureurs de donner plus de place aux algorithmes, d’avoir une automatisation de nombreuses pratiques, y compris celles reposant sur l’expertise des actuaires dans les compagnies. L’idée de rejeter les modèles mathématiques au profit d’un apprentissage direct sur les données semble semble être une néfaste conséquence cette idée de mathiness.

Anderson, C. 2008. The End of Theory: The Data Deluge Makes the Scientific Method Obsolete. Wired.

Banque d’Angleterre, 2013. Changing Banking for Good.

Bourguignon, J.P. 2008. Calcul variationnel. Edition de l’Ecole Polytechnique.

Ekeland, I. 2010. Response to Rogalski. The Mathematical Intelligencer, 32, 9-10.

Harford, T. 2015. Down with Mathiness. Financial Times.

Johnson, T. 2015. Finance and Mathematics: Where is the Ethical Malaise? The Mathematical Intelligencer, 37, 1-4.

Levy, J. 2012. Freaks of Fortune: The Emerging World of Capitalism and Risk in America. Harvard University Press.

Lundberg, F. (1903) Approximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Uppsala.

Mossin, J. 1968. Aspects of Rational Insurance Purchasing, Journal of Political Economy, 76, 553-568.

Romer, P. 2015. “Mathiness in the Theory of Economic Growth.” American Economic Review, 105(5): 89-93.

Trowbridge, C.L. 1989. Fundamental Concepts of Actuarial Science. AERF,.

U.S. Senate, 2013. Jpmorgan Chase Whale Trades: A Case History Of Derivatives Risks and Abuse.

i Encore que d’un point de vue logique, le fait que “si A est vérifié alors B est vraie” ne dit pas ce qui se passe si A n’est pas vérifiée. Les théorèmes sont rarement intéressant par leur preuve, mais sur leur robustesse aux hypothèses.

Cite this article as: Arthur Charpentier, "‘Mathiness’ et Assurance," in Freakonometrics, 16/11/2015, http://freakonometrics.hypotheses.org/20585.


One thought on “‘Mathiness’ et Assurance”

  1. Juste une incidente sur Arrow-Debreu. Plus que la question de la pertinence des théorèmes du bien être, on peut y voir l’apport important du raisonnement par modélisation mathématique. Depuis 1776 et la main invisible, des raisonnements (bien) argumentés présentaient la supériorité sociale des situations issues du libre jeu de la concurrence. C’est en général bien écrit et plutôt convaincant.

    Le principe de faire une modélisation (certes très simplifiée) des marchés et de voir in fine les conditions nécessaires à la démonstration du théorème (notamment la question des convexités, mais également de complétude des marchés contingents) permet en fait de relativiser la portée du raisonnement d’Adam Smith : c’est pas clair que ça marche pas tout le temps aussi bien.

    Ensuite, la question est ce qu’on fait de ce résultat. Est-ce qu’on bat les ministères tel un VRP en disant “C’est SCIENTIFIQUEMENT démontré, ce que fait le marché est toujours parfait !”, ou est-ce qu’on s’attelle en à interpréter ce que signifient dans la réalité les hypothèses formelles (c’est à dire qu’on travaille au fameux lien entre math et réalité) : dans quelle mesure les marchés financiers réels s’approchent ou sont au contraire très éloignés de l’hypothèse de complétude ? Est-ce que l’économie numérique est plus ou moins convexe que l’économie industrielle ? etc…

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