Tests basés sur la vraisemblance – Rapport de Vraisemblance

Chose promise, chose due. J’avais dit qu’on parlerait du test de rapport de vraisemblance. L’idée – visuelle – est d’avoir une lecture dans l’autre sens : au lieu de se demander si  et  sont proches, on va se demander si   et  sont proches.

Si la fonction de vraisemblance est suffisamment régulière, on se pose la même question.

Lorsque j’avais présenté le test, en cours, hier matin, j’avais proposé d’utiliser la delta-method pour trouver la statistique de test. En effet, comme on sait que

pour toute fonction (là encore suffisamment régulière)

L’idée est ici d’utiliser comme transformation . Dans ce cas, on a

où la matrice de variance covariance est

Le soucis est que quand on calcule le score en s’annule (mais pas en , a priori….). Si on se souvient du second cours (slide20, en ligne), que j’avais rappelé hier dans mon précédant billet, on peut malgré tout utiliser un développement de Taylor quand la dérivée s’annule. On utilise le développement à l’ordre 2

https://latex.codecogs.com/gif.latex?[g(\widehat{\theta}_n)-g(\theta_\star)]=\frac{g%27%27(\theta_\star)}{2}[\widehat{\theta}_n-\theta_\star]^2+\cdots

de telle sorte que

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{n}[g(\widehat{\theta}_n)-g(\theta_\star)]\overset{\mathcal{L}}\rightarrow\frac{\sigma^2\cdot%20g%27%27(\theta_\star)}{2}\chi^2(1)

où la variance est celle qui apparaît dans l’écriture

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{n}[\widehat{\theta}_n-\theta_\star]\overset{\mathcal{L}}{\rightarrow}\mathcal{N}(0,\sigma^2)

(c’est donc  avec les notations d’hier).  On va alors écrire

Le point intéressant c’est que le dénominateur va alors être égal à 1 (par définition de l’information de Fisher). Aussi, on obtient la statistique du test de rapport de vraisemblance

qui, sous , vérifie

De manière générale,

Voilà notre deuxième statistique de test. L’avantage est qu’elle est très simple à calculer !

> Tobs=2*(logL(nx/n)-logL(p0))
> Tobs
[1] 0.2003347

Là encore, on peut alors calculer la p-value, en calculant la probabilité qu’une loi du chi-deux à un degré de liberté (on a un paramètre unidimensionnel) dépasse cette value

> 1-qchisq(Tobs,df=1)
[1] 0.9355956

On a un résultat très proche du précédant. Mais visuellement très différent car la lecture se fait dans l’autre sens,

Cela dit, ce test est presque plus intéressant car il permet en plus, et très simplement, de construire un intervalle de confiance. En effet, si on considère les bornes des valeurs pour lesquelles

on récupère un intervalle de niveau . Si on veut un intervalle de confiance de niveau 95%,

> qchisq(.95,df=1)
[1] 3.841459

on garde les valeurs pour lesquelles la log-vraisemblance excède

> logL(nx/n)-qchisq(.95,df=1)/2
[1] -15.68351

Les bornes de l’intervalle de confiance sont alors

> min(p[which(Vectorize(logL)(p)>
+ (logL(nx/n)-qchisq(.95,df=1)))])
[1] 0.336
> max(p[which(Vectorize(logL)(p)>
+ (logL(nx/n)-qchisq(.95,df=1)))])
[1] 0.751

(ce qui est très proche de l’intervalle de confiance obtenu par approximation Gaussienne). En fait, cette méthode est très populaire pour des paramètres multivariées, quand un paramètre est réellement le paramètre d’intérêt (les autres étant un peu accessoires…), appelée vraisemblance profilée. Cette dernière est une fonction de la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/profilik06.gif

que l’on cherche à maximiser en notre paramètre d’intérêt.

Mais je sors un peu du sujet, qui était de présenter rapidement un test… Le prochain ? le test du score !


One thought on “Tests basés sur la vraisemblance – Rapport de Vraisemblance”

  1. Bonjour,
    Bravo pour votre travail très intéressant.
    Les images n’apparaissent plus sur cette page !
    Merci
    Sarah

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *